2023年北京中考數(shù)學重難題型專練：新定義創(chuàng)新型綜合壓軸問題（北京專用）【解析版】

2023中考數(shù)學重難題型押題培優(yōu)導練案(北京專用)

專題01新定義創(chuàng)新型綜合壓軸問題

(北京13-22年最后一題+真題10道模擬30道)

【方法歸納】題型概述，方法小結，有的放矢

新定義"型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀

懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型

(1)定義新運算；(2)定義初、高中知識銜接"新知識"；(3)定義新概念.這類試題考查考生對"新定

義”的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將"新定義"的知識與已學知識聯(lián)系起來，利

用已有的知識經(jīng)驗來解決問題.

解決此類題的關鍵是(1)深刻理解“新定義”一一明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論；

(2)重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的做題方法；歸

納“舉例”提供的分類情況；(3)依據(jù)新定義，運用類比、歸納、聯(lián)想、分類討論以及數(shù)形結合的數(shù)學思

想方法解決題目中需要解決的問題。

北京中考最后一題的新定義主要涉及函數(shù)與圓的有關新定義問題，屬于函數(shù)的范疇，已經(jīng)考過“對應

點”、“關聯(lián)線段”、“平移距離”“閉距離”、“相關矩形”、“反稱點”、“有界函數(shù)”、“關聯(lián)點”等新定義。在

平時的教學過程中要從細節(jié)中挖掘出數(shù)學的本質(zhì)特征，引領學生找到解決問題的思想方法.解答這類問題的

關鍵是要讀懂題目提供一的新知識，理解其本質(zhì)，把它與己學的知識聯(lián)系起來，把新的問題轉(zhuǎn)化為己學的知

識進行解決.

【典例剖析】典例精講，方法提煉，精準提分

【例1】(2022?北京?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，已知點M(a,6),N.對于點P給出如下定義：將點P

向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|個單位長度，再向上(6>0)或向下(b<0)平移網(wǎng)個單位長度，得到點P',

點P'關于點N的對稱點為Q,稱點Q為點P的“對應點”.

⑴如圖，點點N在線段。M的延長線上，若點P(—2,0),點Q為點P的“對應點”.

①在圖中畫出點Q；

②連接PQ,交線段ON于點T.求證：NT=

(2)。。的半徑為1,M是。。上一點，點N在線段。M上，且。N=tG<t<l),若P為。。外一點，點Q為

點P的“對應點”，連接PQ.當點M在。。上運動時直接寫出PQ長的最大值與最小值的差(用含t的式子表示)

【答案】(1)見解析

(2)4t-2

【解析】

【分析】

(1)①先根據(jù)定義和求出點P'的坐標，再根據(jù)點P'關于點N的對稱點為Q求出點0的坐標；②延長

CW至點4(3,3),連接40,禾！J用Z/S證明ZVlQTwAOPT,得到兀4=7。=敖4,再計算出。4,OM,ON,

即可求出NT=ON-OT=￥=TOM；

(2)連接尸。并延長至S,使。P=OS,延長S。至7,使ST=OM,結合對稱的性質(zhì)得出為AP'QT的中

位線，推出NM=^QT,得出SQ=ST-TQ=1^(2-2t)=2t-l,則PQmax-PQmin=(PS+QS)-(PS-QS)

=2QS.

(1)

解：①點0如下圖所示.

?.?點

...點P(-2,0)向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到點P',

；中(一1,1),

?.?點P'關于點N的對稱點為Q,N(2,2),

二點Q的橫坐標為：2x2—(—1)=5,縱坐標為：2x2—1=3,

...點Q(5,3),在坐標系內(nèi)找出該點即可;

②證明：如圖延長ON至點4(3,3),連接

AQ//OP,

：.A.AQT=Z.OPT,

在與ANOPT中，

(Z.AQT=乙OPT

{/.ATQ=乙OTP,

IAQ=OP

：.^AQT=/^OPT(AAS),

：.TA=TO=1OA,

'：4(3,3),N(2,2),

OA=V32+32=3vLOM=<12+12=V2-ON=V22+22=2VL

：.TO=^OA=y2,

NT=ON-OT=2&-=浮

：.NT=^OM；

⑵

解：如圖所示，

連接尸。并延長至S,使OP=OS,延長S。至7,使ST=OM,

：M(a,b),點P向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|個單位長度，再向上(匕>0)或向下(6<0)平移網(wǎng)個單位長

度，得到點P',

：.PP'=OM=1,

"/點P'關于點N的對稱點為Q,

:.NP'=NQ,

又，：OP=OS,

J.OM//ST,

為AP'QT的中位線，

J.NM//QT,NM^QT,

\'NM=OM-ON=l-t,

：.TQ=2NM=2-2t,

：.SQ=ST—TQ=1—(2—2t)=2t—1,

在APQS中，PS-QS<PQ<PS+QS,

結合題意，PQmax=PS+QS,PQmin=PS-QS,

???PQmax-PQmin=(PS+QS)—(PS—QS)=2QS=4t—2，

即PQ長的最大值與最小值的差為4t—2.

【點睛】

本題考查點的平移，對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定，兩點間距離，中位線的性質(zhì)及線段的最值問題，第2

問難度較大，根據(jù)題意，畫出點。和點P'的軌跡是解題的關鍵.

【例2】(2021?北京?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1,對于點A和線段BC,給出如下

定義：若將線段BC繞點力旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦8'C'分別是的對應點)，則稱線段BC是。。的以

點力為中心的“關聯(lián)線段”.

(1)如圖，點481，0刀2，。2島,。3的橫、縱坐標都是整數(shù).在線段2c2，B3c3中，。。的以點力為中心的

“關聯(lián)線段”是;

(2)△4BC是邊長為1的等邊三角形，點4(0,。，其中￡力0.若BC是。。的以點4為中心的“關聯(lián)線段”，

求t的值；

(3)在△A8C中，AB^1,AC=2.若BC是。。的以點4為中心的“關聯(lián)線段”，直接寫出。4的最小值和最

大值，以及相應的BC長.

【答案】⑴82c2；⑵t=±V3;(3)當。4nin=l時，此時BC=g；當CMmax=2時，此時BC=容

【解析】

【分析】

(1)以點/為圓心，分另IJ以4B1/C1/B2/C2/B3/C3為半徑畫圓，進而觀察是否與。。有交點即可；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABC是等邊三角形，且良。是O。的弦，進而畫出圖象，則根據(jù)等邊三角形的性

質(zhì)可進行求解；

(3)由BC是。。的以點4為中心劭關聯(lián)線段”，則可知B1C嘟在O。上，且2B，=4B=1,4。="=2,然

后由題意可根據(jù)圖象來進行求解即可.

【詳解】

解：(1)由題意得：

通過觀察圖象可得：線段B2c2能繞點A旋轉(zhuǎn)90。得到O。的“關聯(lián)線段”，Bi。,83c3都不能繞點A進行旋轉(zhuǎn)

得至！1;

故答案為B2c2；

(2)由題意可得：當8C是。。的以點2為中心的“關聯(lián)線段”時，則有△ABC是等邊三角形，且邊長也為

1,當點/在y軸的正半軸上時，如圖所示:

設BC與y軸的交點為。，連接。夕,易得BCly軸，

1

B'D=DCr=-,

?*-OD=y/0B'2-B'D2=亭AD=y/AB'2-B'D2=亭

OA=V3>

??t=V^；

當點/在y軸的正半軸上時，如圖所示：

同理可得此時的。A=痘,

?*-t=-v^；

(3)由BC是00的以點4為中心的關聯(lián)線段”，則可知所,(?都在00上，且2B，=4B=1/。=4。=2,則

有當以方為圓心，1為半徑作圓，然后以點/為圓心，2為半徑作圓，即可得到點/的運動軌跡，如圖所示

r

由運動軌跡可得當點”也在O。上時為最小，最小值為1,此時4。為O。的直徑,

AAAB'C=90°,

：.^AC'B'=30°,

：.BC=B'C=AC-cos30°=遮；

由以上情況可知當點49,。三點共線時，OA的值為最大，最大值為2,如圖所示：

連接。（7,9。，過點。作CQ4于點尸,

0C—1,AC'—0A=2,

設0P=%,則有ZP=2-%,

???由勾股定理可得：CP2=AC'2-AP2=OC'2-OP2,即22—（2-%）2=1—X2,

解得：久=；,

4

...c,p=逗，

4

3

：.B,P=OB,-OP=^

4

在Rt△中，BC=sjB'P2+CP2=浮

:.BC=圓,

2

綜上所述：當。4min=l時，此時BC=后當。4max=2時，此時=孚.

【點睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基

本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.

【真題再現(xiàn)】必刷真題，關注素養(yǎng)，把握核心

1.（2020?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1,A,B為。O外兩點，AB=1.給出

如下定義：平移線段AB,得到。O的弦（48分別為點A,B的對應點），線段44長度的最小值稱為

線段AB到。O的“平移距離”.

（1）如圖，平移線段AB到。O的長度為1的弦P/2和P3P4,則這兩條弦的位置關系是;在

點21島島島中，連接點A與點的線段的長度等于線段AB到OO的“平移距離”；

（2）若點A,B都在直線y=73%+2行上，記線段AB到。O的“平移距離”為心，求心的最小值；

（3）若點A的坐標為（2,|）,記線段AB到。。的“平移距離”為d2,直接寫出d2的取值范圍.

【答案】⑴平行，P3；（2）爭（3）|=d2M等

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)圓的性質(zhì)及“平移距離”的定義填空即可;

(2)過點O作OE±AB于點E,交弦CD于點F,分別求出OE、OF的長，由乙=0E—。?得到心的最小

值；

(3)線段AB的位置變換，可以看作是以點A(2,|)為圓心，半徑為1的圓，只需在00內(nèi)找到與之平行,

且長度為1的弦即可.平移距離期的最大值即點A,B點的位置，由此得出d2的取值范圍.

【詳解】

解：(1)平行；P3；

(2)如圖，線段AB在直線丫=后+2四上，平移之后與圓相交，得到的弦為CD,CD〃AB,過點0作

OEJ_AB于點E,交弦CD于點F,0F1CD,令y=0,直線與x軸交點為(-2,0),直線與x軸夾角為

60°,A=2sin60°=V3.

由垂徑定理得：0F=工℃2—(92哼

(3)線段AB的位置變換，可以看作是以點A(2,|)為圓心，半徑為1的圓，只需在。。內(nèi)找到與之平行,

且長度為1的弦即可；

點A到O的距離為4。=-2+(|)2=

如圖，平移距離電的最小值即點A到。O的最小值：41=|;

y

平移距離d2的最大值線段是下圖AB的情況，即當AI,A2關于0A對稱，且A[B2，AIA2且A]B2=1時./

B2A2Al=60°,則NOA2Al=30°,

VOA2=1,.\OM=i,A2M哼

【點睛】

本題考查圓的基本性質(zhì)及與一次函數(shù)的綜合運用，熟練掌握圓的基本性質(zhì)、點與圓的位置關系、直線與圓

的位置關系是解題的關鍵.

2.（2019?北京?中考真題）在aABC中，D,E分別是△ABC兩邊的中點，如果而上的所有點都在AABC的

內(nèi)部或邊上，則稱朝為AABC的中內(nèi)弧.例如，下圖中而是AABC的一條中內(nèi)弧.

D

B-------------------------1C

(1)如圖，在RSABC中，AB=AC=2^2,D,E分別是AB,AC的中點.畫出AABC的最長的中內(nèi)弧

DE,并直接寫出此時畫的長；

(2)在平面直角坐標系中，已知點4(0,2),8(0,0),C(4t,0)(t>0),在aABC中，D,E分別是AB,2C的

中點.

①若t=(求4ABC的中內(nèi)弧南所在圓的圓心P的縱坐標的取值范圍；

②若在△居(：中存在一條中內(nèi)弧南，使得命所在圓的圓心P在aABC的內(nèi)部或邊上，直接寫出t的取值

范圍.

【答案】⑴兀；⑵①P的縱坐標為N1或處W9②0<"我.

【解析】

【分析】

(1)由三角函數(shù)值及等腰直角三角形性質(zhì)可求得DE=2,最長中內(nèi)弧即以DE為直徑的半圓，市的長即以

DE為直徑的圓周長的一半；

(2)根據(jù)三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心一定在DE的中垂線上,，①當t=：時，要注意圓心P在DE上方的

中垂線上均符合要求，在DE下方時必須AC與半徑PE的夾角/AEP滿足90°<ZAEP<135°；②根據(jù)題意,

t的最大值即圓心P在AC上時求得的t值.

【詳解】

解：(1)如圖2,

5

以DE為直徑的半圓弧礪，就是aABC的最長的中內(nèi)弧瓦，連接DE,VZA=90°,AB=AC=2VLD,E

分別是AB,AC的中點,；.BC=^=孺=4可十C/X4=2,

____1

，弧。E=-x2TT=7T;

(2)如圖3,由垂徑定理可知，圓心一定在線段DE的垂直平分線上，連接DE,作DE垂直平分線FP,

作EG_LAC交FP于G,

①當t=T時，C(2,0),：.D(0,1),E(1,1),F(pl),

設PG，TH)由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心線段DE上方射線FP上均可，???mNl,

VOA=OC,ZAOC=90°

ZACO=45°,

VDE/7OC

???ZAED=ZACO=45°

作EG_LAC交直線FP于G,FG=EF=|

根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點G的下方(含點G)直線FP上時也符合要求;

1

???-

綜上所述，血《/或mNl.

②圖4,設圓心P在AC上,

???P為AE中點，作PM_LOC于M,則PM=|

VDE/7BC

???ZADE=ZAOB=90°,

??.AE=y/AD2+DE2=712+(2t)2=個4t2+1

VPD=PE,

???ZAED=ZPDE

ZAED+ZDAE=ZPDE+ZADP=90°,

???ZDAE=ZADP

1

AP=PD=PE=—AE

由三角形中內(nèi)弧定義知，PD<PM

AE<3,即V4t2+143,解得：t<V2

t>0

???0<t<V2

【點睛】

此題是一道圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，弧長計算，直角三角形性質(zhì)等，給出了“三角形中內(nèi)弧”新定義,

要求學生能夠正確理解新概念，并應用新概念解題.

3.(2018?北京?中考真題)對于平面直角坐標系xOy中的圖形M,N,給出如下定義P為圖形M上任意一點，

Q為圖形N上任意一點，如果P,Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M,N間的“閉距離”，

記作dCM,N).

已知點4(一2,6),B(-2,-2),C(6,-2).

(1)求d(點。，△ABC)；

(2)記函數(shù)y=kx(—1WxWl,kKO)的圖象為圖形G,若d(G,△ABC)=1,直接寫出k的取值范圍

(3)07的圓心為T(7,0),半徑為1.若d(OT,AABC)=1,直接寫出/的取值范圍.

【答案】(1)2；(2)—lWk<0或0<kWl；(3)t=—4或0Wt<4—2魚或t=4+2或.

【解析】

【詳解】

分析：(1)畫出圖形，根據(jù)“閉距離”的概念結合圖形進行求解即可.

(2)分k<0和上>0兩種情況，畫出示意圖，即可解決問題.

(3)畫出圖形，直接寫出,的取值范圍.

詳解：(1)如下圖所示：

VB(-2,-2),C(6,-2)

：.D(0,-2)

：.d(。，△ABC)=OD=2

(2)-l<fc<O^cO</c<l

(3)t=—4或0WtW4-2魚或t=4+2?.

點睛屬于新定義問題，考查點到直線的距離，圓的切線的性質(zhì)，認真分析材料，讀懂“閉距離”的概念是解

題的關鍵.

4.（2017?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中的點P和圖形M,給出如下的定義：若在圖形M存在

一點Q，使得P、Q兩點間的距離小于或等于1,則稱P為圖形M的關聯(lián)點.

（1）當。O的半徑為2時，

①在點「1仔0）,2（］亨）,P3（|,0）中，。。的關聯(lián)點是.

②點P在直線y=-x上，若P為。O的關聯(lián)點，求點P的橫坐標的取值范圍.

（2）?C的圓心在x軸上，半徑為2,直線y=-x+l與x軸、y軸交于點A、B.若線段AB上的所有點都

是。C的關聯(lián)點，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍.

【答案】⑴①P2、P3,②—室xS一弓或日Wx岑；（2）-2<x<l2<x<2V2.

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）①由題意得，P只需在以O為圓心，半徑為1和3兩圓之間即可，由?！?,。。3的值可知。2,

P3為。O的關聯(lián)點；②滿足條件的P只需在以O為圓心，半徑為1和3兩圓之間即可，所以P橫坐標范圍

是一隨＜x＜一返或返＜x包名

2222

(2).分四種情況討論即可，當圓過點A,CA=3時；當圓與小圓相切時；當圓過點A,AC=1時；當圓過

點B時，即可得出.

試題解析：

(1)OP1=l，OP2=l,OP3=l，

點Pl與。的最小距離為|，點P2與。的最小距離為1,點P3與。的最小距離為今

???0的關聯(lián)點為P2和23.

②根據(jù)定義分析，可得當直線y=-x上的點P到原點的距離在1到3之間時符合題意；

/.設點P的坐標為尸(x,-x),□

當OP=1時，由距離公式可得，OP=J(x—0)2+(—X一0)2=1,解得x=±￥,當op=3時，由距離公式

可得，OP=J(x—0)2+(—X—0)2=3,/+#=9,解得％=±乎，

點的橫坐標的取值范圍為一乎＜X＜-^或當＜X＜^2

(2):丫=班+:!與軸、軸的交點分別為A、B兩點，令y=0得，-x+l=0,解得x=l,口

令得x=0得，y=0,

；.A(1,0),5(0,1),

分析得：

如圖1,當圓過點A時，此時CA=3,

...點C坐標為，C(-2,0)□

如圖2,當圓與小圓相切時，切點為D,

；.CD=1,

又?.?直線AB所在的函數(shù)解析式為y=-x+l,

二直線AB與x軸形成的夾角是45。，

RTAACD中，CA=V2，

C點坐標為(1-或，0)

C點的橫坐標的取值范圍為；-2WXcW1-魚，

如圖3,當圓過點A時，AC=1,

C點坐標為(2,0)

如圖4,

當圓過點B時，連接BC，此時BC=3,

在RtaOCB中，由勾股定理得0?=存11=2魚，C點坐標為（2V2.0）.

二C點的橫坐標的取值范圍為2sxe<2V2;

???綜上所述點C的橫坐標的取值范圍為一乎<xc<~^或日夕c餐.

【點睛】本題考查了新定義題，涉及到的知識點有切線，同心圓，一次函數(shù)等，能正確地理解新定義，正

確地進行分類討論是解題的關鍵.

5.（2016?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（/，月），點Q的坐標為（%2,及），

且小片冷，月力及，若P，Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為

點P,Q的“相關矩形”.下圖為點P,Q的“相關矩形”的示意圖.

（1）已知點A的坐標為（1,0）.

①若點B的坐標為（3,1）求點A,B的“相關矩形”的面積;

②點C在直線x=3上，若點A,C的“相關矩形”為正方形，求直線AC的表達式;

（2）。。的半徑為,/二，點M的坐標為（m,3）.若在。O上存在一點N,使得點M,N的“相關矩形”為

正方形，求m的取值范圍.

【答案】（1）①2；②y=x—l或y=-x+l；（2）l<m<5或者—5WmW-l.

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）①易得S=2；

②得到C的坐標可以為（3,2）或者（3,-2）,設AC的表達式為y=kx+b,將A、C分別代入AC的表達

式即可得出結論；

（2）若OO上存在點N,使MN的相關矩形為正方形，則直線MN的斜率k=±l,即過M點作k=±l的直

線，與。O相切，求出M的坐標，即可得出結論.

試題解析：（1）①S=2xl=2；

②C的坐標可以為（3,2）或者（3,-2）,設AC的表達式為y=kx+b,將A、C分別代入AC的表達式得到

C二上嚼或｛4受江6,解得：｛，=匕或｛"普1，則直線AC的表達式為y=x—1或y=—x+l；

（2）若。。上存在點N,使MN的相關矩形為正方形，則直線MN的斜率k=±l,即過M點作k=±l的直

線，與。。有交點，即存在N,當k=—1時，極限位置是直線與。O相切，如圖人與l，直線A與。O切于

點N,ON=V2，ZONM=90°,與y交于Pi（0,-2）.（m1；3）,/.3-（-2）=0-

：.Mr（-5,3）；同理可得M2（-1，3）；

當k=l時，極限位置是直線b與〃（與。O相切），可得“3（1，3）,“4（5,3）.

因此m的取值范圍為l<m<5或者一5WmW—1.

考點：一次函數(shù)，函數(shù)圖象，應用數(shù)學知識解決問題的能力.

6.(2015?北京?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為r,尸是與圓心C不重合的點，點P關

于。C的反稱點的定義如下若在射線CP上存在一點P,滿足CP+CP=2r,則稱P為點P關于。C的反稱

點，如圖為點尸及其關于。。的反稱點P的示意圖.

特別地，當點P與圓心C重合時，規(guī)定CP=0.

(1)當。。的半徑為1時.

①分別判斷點M(2,1),N(|,0),T(1,V3)關于。。的反稱點是否存在？若存在，求其坐標；

②點尸在直線產(chǎn)-x+2上，若點尸關于。。的反稱點P存在，且點P不在x軸上，求點尸的橫坐標的取值

范圍；

(2)。。的圓心在x軸上，半徑為1,直線廠■■爭+2機與x軸、y軸分別交于點N,B,若線段上存在

點尸，使得點尸關于。C的反稱點P在。C的內(nèi)部，求圓心C的橫坐標的取值范圍.

【答案】(1)①見解析；②0〈尤<2；(2)圓心C的橫坐標的取值范圍是2SxW8.

【解析】

【分析】

(1)①根據(jù)反稱點的定義畫圖得出結論；@-：CP<2r=2,CP2<4,P(x,—x+2),CP2=x2+(—x+

2)2—2x2—4x+4<,2x2~4x<0,x(x—2)<0,0<x<2,把x=2和x=0代入驗證即可得出，P(2,0),

P'(2,0)不符合題意P(0,2),P(0,0)不符合題意，Z,0<x<2

(2)求出4,2的坐標，得出。/與05的比值，從而求出/。48=30。，設C(x,0)

①當C在。4上時，作S_L43于〃，HlJCH<CP<2r^2,：.AC<4,得出C點橫坐標近2.(當x=2時,

C點坐標(2,0),〃點的反稱點M(2,0)在圓的內(nèi)部)；②當C在/點右側(cè)時，C到線段48的距離為

NC長，NC最大值為2,；.C點橫坐標爛8,得出結論.

【詳解】

解：(1)解：@M(2,1)關于。O的反稱點不存在，

N(|,0)存在，關于。。的反稱點存在，反稱點N6,0)

T(L何存在，關于。O的反稱點存在，反稱點7(0,0).

②2r=2,OP2<4,P(x,—x+2),

。尸2=N+(一無+2)2=2/—4X+4S4

2x2—4x<0,x(x—2)<0,

/.0<x<2,當x=2時，P(2,0),P'(2,0)不符合題意

當x=0時，P(0,2),P'(0,0)不符合題意，

.,.0<x<2

(2)解：由題意得：A(6,0),B(0,2V3)，

?,送=后

：.ZOAB=30°,

設C(x,0)

①當。在上時，作CH_L/8于〃，則C77WCPW2r=2,：.AC<4,。點橫坐標史2.

(當x=2時，C點坐標(2,0),〃點的反稱點發(fā)(2,0)在圓的內(nèi)部)

②當C在/點右側(cè)時，C到線段48的距離為ZC長，/C最大值為2,點橫坐標爛8

綜上所述：圓心C的橫坐標的取值范圍2WxW8.

考點：定義新運算；一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；圓的有關性質(zhì)，解直角三角形；

7.(2014?北京?中考真題)對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M>0,對于任意的函數(shù)值y,都滿足

-M<y<M,則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值.例如,

下圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.

(1)分別判斷函數(shù)y=；(刀>。)和丫=尤+1(—4<%三2)是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)，求其邊界值；

(2)若函數(shù)y=—%+《力力>a)的邊界值是2,且這個函數(shù)的最大值也是2,求b的取值范圍；

(3)將函數(shù)y=/(—1<%<加，m20)的圖象向下平移租個單位，得到的函數(shù)的邊界值是t,當TH在什么

范圍時，滿足為Y1?

【答案】(1)y=：(%>0)不是有界函數(shù)，y=%+1(—4V%42)是有界函數(shù)，邊界值是3；(2)-1<h<3；

(3)或

【解析】

【分析】

(1)分析題意，結合已知中有界函數(shù)的定義可進行判斷；

(2)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得y=-x+1的增加性,再結合自變量的取值范圍和題意可得｛-24：1<2,

解此不等式組可得b的取值范圍；

(3)要分情況討論，易判斷巾>1不符合題意，故小《1；結合已知函數(shù)解析式可得函數(shù)過點(一1,1)和

(0,0),以此求得其平移后的點坐標，進而可得?41—或一1《一由此即可求得小的取值范圍.

【詳解】

解：（1）結合已知根據(jù)有界函數(shù)的定義可知y=*x>0）不是有界函數(shù)，y=x+1（—4<x42）是有界函數(shù),

邊界值是3；

（2）y=—%+1中一1V0,y隨式的增大而減小，

???當％=。時，y=—a+1=2,故a=—1.

當％=b時，y=—b+1,

根據(jù)題意可得：｛-24］箕1<2，

***3>b>-1；

（3）若6>1,函數(shù)向下平移m個單位后，％=0時，函數(shù)值小于一1,此時函數(shù)的邊界值力大于1,與題意不

符，故血《1.

當％=—1時，y=1,即過（一1,1）,

當％=0時,ymin=0,即過（0,0）,

將（-L1），（0,0）都向下平移加個單位，得到（一1,1一瓶），（0,-m）,

根據(jù)題意可得：1—血=力或一m=3

—或一14一?71《天

???

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關鍵是結合新定義，弄清函數(shù)邊界值的定義，同時要熟悉平移變換的

性質(zhì).

8.（2013?北京?中考真題）對于平面直角坐標系xOy中的點P和。C,給出如下定義：若。C上存在兩個點

A,B,使得NAPB=60。，則稱P為。C的關聯(lián)點.已知點D（8,1）,E（0,一2）,F（范,0）

（1）當。O的半徑為1時，

①在點D,E,F中，。。的關聯(lián)點是；

②過點F作直線交y軸正半軸于點G,使NGFO=30。，若直線上的點P（m,n）是。0的關聯(lián)點，求m的

取值范圍；

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點，求這個圓的半徑r的取值范圍.

【答案】（1）①D,E?0<m<V3（2）r>l

【解析】

【詳解】

解：

（1）①根據(jù)關聯(lián)點的定義，得出E點是。。的關聯(lián)點，進而得出F、D,與00的關系：

如圖1所示，過點E作。O的切線設切點為R,

VE0=2,.,.ZOER=30°.

根據(jù)切線長定理得出00的左側(cè)還有一個切點，使得組成的角等于30°.

；.E點是。O的關聯(lián)點.

VDC|,E（0,-2）,F（2V3，0）,

；.OF>EO,DO<EO.

.??D點一定是。0的關聯(lián)點，而在。O上不可能找到兩點使得組成的角度等于60。.故在點D、E、F中,

OO的關聯(lián)點是D,E.

②由題意可知，若P要剛好是。C的關聯(lián)點，需要點P到。C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60。.

由圖2可知NAPB=60。，貝i]/CPB=30。，

連接BC,則PC=V^=2BC=2r,

sinzCPB

.?.若P點為。C的關聯(lián)點，則需點P到圓心的距離d滿足0<d<2r.

由(1),考慮臨界點位置的P點，

點P到原點的距離OP=2xl=2,

過點。作x軸的垂線OH,垂足為H,

則tan/OGF=螺=乎=V3-

二ZOGF=60°.

OH=OGsin60°=V3.sinzOPH=零=§.

/.ZOPH=60°.可得點Pi與點G重合.

過點P2作PzMLx軸于點M,可得NP20M=30。，

.,.OM=OP2COS30°=V3.

二若點P為。O的關聯(lián)點，則P點必在線段PiP2±.

.,.0<m<V3.

(2)若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應在線段EF的

中點.

即恰好E、F點為。K的關聯(lián)時，則KF=2KN李F=2,此時，r=l.

若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點，這個圓的半徑r的取值范圍為r>l.

【模擬精練】押題必刷，巔峰沖刺，提分培優(yōu)

一、解答題

I.（2022?北京朝陽?二模）在平面直角坐標系xQy中，。。的半徑為1,48=1,且3兩點中至少有一

點在。。外.給出如下定義平移線段N3,得到線段49（4,9分別為點4,3的對應點），若線段49上

所有的點都在0。的內(nèi)部或。。上，則線段44長度的最小值稱為線段N8到。。的“平移距離”.

（1）如圖1,點41，%的坐標分別為（-3,0）,（—2,0）,線段到。。的"平移距禺"為__，點人2，口2

的坐標分別為（一，V3）,多遮），線段人2&到。。的“平移距離”為—；

（2）若點/,2都在直線y=Bx+2值上，記線段48到。。的“平移距離”為4,求d的最小值;

(3)如圖2,若點/坐標為(1,原),線段N8到。。的“平移距離”為1,畫圖并說明所有滿足條件的點8形

成的圖形(不需證明).

【答案】⑴2,日

⑵亨

(3)見解析，MN

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平移的性質(zhì)及線段到圓的“平移距離”定義可分別求得；

(2)如圖1,可求得直線/與兩坐標軸的交點，則可求得/與x軸所夾的銳角，將直線/向右平移得到直線

h，當直線人經(jīng)過點4時，與圓的另一個交點為夕，則可得△。4方是等邊三角形，且邊長為1；作力4,直線

I于點4線段到。。的“平移距離總是44的長度，從而可求得最小值d.

(3)如圖2,連接04交。。于點3,設。。交x軸正半軸于點E,連接BE,作3關于y軸的對稱點。，

連接3。、OD,則易得△(?"、△OAD都是等邊三角形，由點8是CM中點，可求得點8、。的坐標，由8

到/的平移及已知可求得點。、E平移后的對應點M、N的坐標，則M、N在以點/為圓心1為半徑的圓

上，此時可得點2形成的圖形.

(1)

當線段出為向右平移2個單位長度時，線段/由/上的點除/I點位于。。上外，其余點全部位于。。內(nèi)部,

則線段AjB,到。。的“平移距離”為點Aj平移的距離2；

如圖，當線段上已向下平移到上萬2'時，線段七夕2‘上的點除七'、兩點位于。。上外，其余點全部位于

。。內(nèi)部，設企'%'與了軸交于點C,

=/z%，=3282=OA2—1,

...由勾股定理得："="廿_42￡2=112_?=爭

,點a2,%的坐標分別為(一pV3)>(g，W，

.?.小是向下平移的距離為：遮―苧=容

則線段出層到。。的“平移距離”為爭

(2)

如圖1,直線/的表達式為y=舊刀+2b，4點的坐標為(-1,0).

在丫=+2V^中,令y=0,得x=-2；令x=0,得y=2V^,

則直線/與x軸和y軸的交點坐標分別為(-2,0),(0,2V3).

.?.直線/與x軸所夾銳角為60。.

將直線/向右平移得到直線h，當直線"經(jīng)過點4時，與圓的另一個交點為方.

VOA'=OB',Z.B'A'0=60°,

△。4所是等邊三角形，

：.A'B'=1.

二當點4,8在直線/上運動時，線段到。。的“平移距離加總是44的長度.

作44,直線/于點/,此時44的長度當即為d的最小值

（3）

如圖2,連接。4交。。于點8,設。。交x軸正半軸于點E,連接8E,作3關于y軸的對稱點。，連接

BD、OD,

由點/坐標知：tanN40E=^=V^,

二ZAOE=60°,

'：OB=OE=\,

...△O2E是等邊三角形，

：.BE=\.

由N/OE=60。，則射線OA與y軸正半軸的夾角為30°,

,由對稱性知，/BOD=60。,

:.AOBD是等邊三角形，

：.BD=\,且8。_1_了軸.

由題意知點/平移后的對應點為S點。、E分別是線段的端點3平移后的對應點，且是兩個邊界點，

?.?點8是CM的中點，

.?碇闈,

皿4,到

由于3點向右平移半個單位長度再向上平移當單位長度后得到點/,則點。、E按此平移分別得到點"（0,

V3）＞N空），

二以點4為圓心，1為半徑畫圓，可知點M,N在＜3/上.

所有滿足條件的點5形成的圖形為MN.

【點睛】

本題屬于圓的綜合題，考查了平移變換，一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知

識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識，學會尋找特殊位置解決數(shù)學問題.

2.（2022?北京北京?二模）在平面直角坐標系久Oy中，。。的半徑為1.對于線段PQ給出如下定義：若線段

PQ與O。有兩個交點M，N,且PM=MN=NQ,則稱線段PQ是。。的“倍弦線”.

(1)如圖，點48,C,。的橫、縱坐標都是整數(shù).在線段力B,AD,CB,CD中，O。的倍弦線”是；

⑵O。的“倍弦線”PQ與直線尤=2交于點E,求點E縱坐標'E的取值范圍；

(3)若。。的“倍弦線”PQ過點(1,0),直線y=x+b與線段PQ有公共點，直接寫出6的取值范圍.

【答案】⑴4B,CD；

(2)—V5WYEWV5：

(3)-V2-2<b<2V2+l

【解析】

【分析】

(1)依次連接線段力B,AD,CB,CD,通過“倍弦線”的定義判斷即可；

(2)通過〃、N均在圓上，可以求得必V的取值范圍，進而可以求出P0的取值范圍，結合圖形，就可以

求出點E縱坐標VE的取值范圍；

(3)先畫出尸、。兩點的運動軌跡，分別求出直線y=x+b與兩個圓相切時對應的尸、S坐標，進而就可

以去就出b的取值范圍.

(1)

解：如圖，連接分別交O0于點E、F,連接分別交O。于點G、H,連接CD分別交O0于點K、

F,連接C8,

???C2與。。沒有交點，故CB不符合題意；

觀察圖像，AG豐DH,故/￡>不符合題意；

???ZE=EF=FB=2,；.線段45是O。的“倍弦線”；

CK=KF=FD=奩，.?.線段CD是。。的“倍弦線”,

故O。的“倍弦線”是AB,CD；

⑵

由題意，可得PQ=3MN,

?：M、N在圓上,

：.MN<2,

：.PQ<6,

如圖，當OP=3且點尸在直線x=2上時,

\'0H=2,

???PH=70P2一。。2=<32_22=V5-

：.P1H^P2H=^>

結合圖形，點￡的縱坐標取值范圍為一遍三丫后3通；

(3)

由題意可得，P、0的運動軌跡分別是以M為圓心，1為半徑的圓和以N為圓心，2為半徑的圓，如圖所示,

當直線y=x+b與圓N相切時，如圖中的直線RP,切點為。，

連接N0,?.?直線R尸與ON相切，^NQR=90°,

因為R、尸在直線丫=刀+6上，；.NORP=45。，

叢QRN是等腰直角三角形，

過點。作QE1久軸垂足為E,貝ikNQE=乙ENQ=45°,

設EQ=EN=a,則EQ2+后解=NQ2,即a2+a2=22,解得a=&(負值舍去),

OE=ON+NE=?+1,

則Q(—五—1,五),將其代入、=%+6中，解得6=2五+1,

直線RP的解析式為y=x+2或+1,

當x=0時，解得、=2魚+1,

故P(0,2?+1),

當直線y=x+b與圓M相切時，如圖中的直線S少，切點為7,

連接“7,?.,直線S少與OM相切，NMTW=90。，

因為S、沙在直線y=x+b上，：.^OWS=45°,

.?.△7%是等腰直角三角形，

過點7作7F1x軸垂足為F,則NFMT=ZFTM=45°,

設MF=FT=a,則“產(chǎn)+口2=“72,即小+小=了,解得。=￥（負值舍去），

???"=0M+MF=2+亭

則7（2+乎，一孝），將其代入y=x+6中，解得b=—2或—2,

二直線SW的解析式為y=x-V2-2,

當久=0時，解得、=一四一2,

故S（o,-四一2）,

綜上，6的取值范圍為一四—2WbW2四+1.

【點睛】

本題考查了坐標與圖形的新定義問題，涉及到的知識點較多，勾股定理解三角形，等腰直角三角形的判定

與性質(zhì)，圓的切線性質(zhì)，一次函數(shù)的應用等，解題的關鍵在于正確作出輔助線，理解“倍弦線”的定義是解題

的關鍵.

3.（2022?北京大興?二模）在平面直角坐標系中，對于點P和直線y=l,給出如下定義：若點尸在直

線y=l上，且以點P為頂點的角是45。，則稱點P為直線y=l的“關聯(lián)點”.

（1）若在直線％=1上存在直線y=1的“關聯(lián)點”尸.則點P的坐標為；

y八

2-

1>=1

-3-2-1O12345%

-1-

-2-

（2）過點P（2,l）作兩條射線，一條射線垂直于x軸，垂足為出另一條射線、交x軸于點2,若點P為直線y=l

的“關聯(lián)點”.求點8的坐標；

yf

2-

i>=i

-3-2-1O12345K

-1-

-2-

(3)以點。為圓心，1為半徑作圓，若在。。上存在點N,使得NOPN的頂點尸為直線y=l的“關聯(lián)點”.則

點P的橫坐標a的取值范圍是.

【答案】

(2)B(l,0)或B(3,0).

(3)-l<a<l.

【解析】

【分析】

(1)在直線x=l上存在直線y=1的“關聯(lián)點”P,可得點尸為兩直線的交點，從而可得答案；

(2)根據(jù)題意畫出圖形，結合等腰直角三角形的性質(zhì)可得答案；

(3)如圖，過(一1,0),(1,0)作圓的兩條切線，當P(—時，NOPN=45。，根據(jù)三角形的外角的性

質(zhì)可得：NOQN<4OPN=45。,再根據(jù)對稱性，可得答案.

(1)

解：在直線x=l上存在直線y=l的“關聯(lián)點”尸