2021-2022學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題匯編：最短路徑問題（解析版）

2021-2022學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題專題精選匯編

專題05最短路徑問題

一.選擇題

1.(2021春?開江縣期末)如圖，在四邊形/5CD中，N/=NC=90°,NB=32°,在邊48,上分別

找一點(diǎn)￡,尸使的周長最小，此時(shí)/以用=()

A.110°B.112°C.114°D.116°

【思路引導(dǎo)】如圖，作點(diǎn)。關(guān)于A4的對(duì)稱點(diǎn)尸，點(diǎn)。關(guān)于3C的對(duì)稱點(diǎn)0,連接尸。，交AB于

交.BC于F',則點(diǎn)E',尸,即為所求，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和即可得出答案.

【完整解答】解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于A4的對(duì)稱點(diǎn)尸，點(diǎn)。關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)0,連接P。，交4B于

E',交BC于F',則點(diǎn)中，P即為所求.

O

:四邊形48CD中，N/=/C=90°,NB=a,

：.ZADC=\S0°-a,

由軸對(duì)稱知，ZADE'=/P,ZCDF'=ZQ,

在△尸DQ中，NP+/0=18O°-ZADC

=180°-(180°-32°)

=32°,

/.ZADE'+ZCDF'=/P+N0=32°,

AZE'DF'=ZADC-(AADE,+ZCDF')

=180°-64°

=116°.

故選：D.

2.(2020秋?泗水縣期末)如圖，等邊△48C中，于。，QD=1.5,點(diǎn)、P、0分別為/8、上的

兩個(gè)定點(diǎn)且8P=4。=2,在8。上有一動(dòng)點(diǎn)￡使PE+QE最短，則尸￡+。￡的最小值為()

A.3.5B.4C.5D.6

【思路引導(dǎo)】作點(diǎn)。關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)0',連接尸。'交.BD于E,連接0E,此時(shí)尸E+E。的值最

小.PE+PQ=PE+EQ'=PQ',

【完整解答】解:如圖，:△/Be是等邊三角形，

：.BA=BC,

；BD_LAC,AQ=1cm,QD=\.5cm,

.?-C=/0+0D=3.5(cm),

作點(diǎn)。關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)0',連接尸0'交BD于E,連接。E,此時(shí)PE+E0的值最小.最小值PE+QE

=PE+EQ'=PQ',

AQ—2cm,AD—DC—3.5cm,

：.QD=DQ'=1.5(cm),

：.CQ'=BP=2(cm),

.'.AP=AQ'=5(cm),

VZA=60°,

：./\APQ'是等邊三角形，

：.PQ'=PA=5(cm),

：.PE+QE的最小值為5cm.

故選：C.

A

3.（2021春?蜀山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在RtZUBC中，ZBAC=90a,AB=4,AC=3,N/8C的平分線交

ZC于點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸分別是2D、48上的動(dòng)點(diǎn)，則/￡+斯的最小值為（）

A.2B.2.4C.2.5D.3

【思路引導(dǎo)】作點(diǎn)Z關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)過M作MfUNB于R交BD于E,則NE+EF的最小值是

MF的長.由百〃C4可得迎里，進(jìn)而可得答案.

CBCA

【完整解答】解：作點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)M,

,；BD平分/4BC,

二用■落在BC上.

：.BM=BA=4,

過〃■作MF_L4B于R交.BD于E,

則AE+EF的最小值是MF的長.

C.MF//CA,

.BMMF

??二,

CBCA

即MF=2A,

53

：.AE+EF=MF=2A.

故選：B.

方法二：作點(diǎn)尸關(guān)于2。的對(duì)稱點(diǎn)

連接AM交BD于E,則則AE+EF的最小值是AM的長,

■:點(diǎn)E,歹分別是3。、48上的動(dòng)點(diǎn)，

.?.當(dāng)時(shí)，最小，

VZBAC=90°,AB=4,AC=3,

：.AC=5,

'：ZCAB=ZAMB=90°,

NCBA=NABM,

：./\CABS/\AMB,

?.?一CB=AC一，

ABAM

：.AM^2A.

故選：B.

4.（2020秋?封開縣期末）如圖，等邊△48C中，BDLAC^D,AD=3.5cm,點(diǎn)、P、0分別為48、AD1.

的兩個(gè)定點(diǎn)且8P=/Q=2c"z,在AD上有一動(dòng)點(diǎn)E使PE+QE最短，則PE+QE的最小值為（）

B

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【思路引導(dǎo)】作點(diǎn)。關(guān)于3。的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接P0'交BD于E,連接。E,此時(shí)尸E+EQ的值最

小.PE+EQ=PE+EQ'=PQ'.

【完整解答】解：如圖，:△/Be是等邊三角形，

：.BA=BC,

\'BD±AC,

AD—DC—3.5cm,

作點(diǎn)。關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)0'，連接尸。'交BD于E,連接0E,此時(shí)尸E+E0的值最小.最小值尸￡+￡。

=PE+EQ'=PQ',

AQ—2.cm,AD—DC—3.5cm,

：.QD=DQ'=1.5(cm),

：.CQ'=BP=2(cm),

'.AP=AQ'=5(cm),

VZyl=60°,

：./\APQ'是等邊三角形，

：.PQ'=PA=5(cm),

：.PE+QE的最小值為5cm.

故選：C.

5.(2020秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末)/和8兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN,使從/到8的路徑

NMV3最短的是(假定河的兩岸是平行線，橋與河岸垂直)()

A/

【思路引導(dǎo)】過/作河的垂線/〃，要使最短，直線a,AI=MN,連接3/即可得出N,作出/M、

MN、8N即可.

【完整解答】解：根據(jù)垂線段最短，得出是河的寬時(shí)，最短，即直線“(或直線6),只要

/加最短即可，

即過/作河岸。的垂線垂足為"，在直線上取點(diǎn)/,使4等于河寬.

連接力交河的b邊岸于N,作垂直于河岸交。邊的岸于M點(diǎn)，所得即為所求.

6.(2021春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/(2,5),B(5,1),C(m,-m),D

(m-3,-加+4),當(dāng)四邊形/BCD的周長最小時(shí)，則加的值為()

A.3B.JQC.2D.3

2

【思路引導(dǎo)】首先證明四邊形/BCD是平行四邊形，再根據(jù)垂線段最短解決問題即可.

【完整解答】解：,.'A(2,5),B(5,1),C(m,-m),D(m-3,-加+4),

V(5-2)2+(l-5)2;732+42=5,CD=V(m-3-m)2+(-m+4-4n)2;732+42=5)

，AB=Cr)=5,

..?點(diǎn)8向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到

點(diǎn)C向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到。，

由平移的性質(zhì)得：

BC//AD,BC=AD,

四邊形48C。是平行四邊形，

...當(dāng)8CLCD時(shí)，的值最小,

*/C(m,-m)

點(diǎn)C在直線y=-x上運(yùn)動(dòng)，

?.,Bca直線尸-x,

???直線平行直線^=%,

?,?直線BC的解析式為y=x+b,

把8(5,1)代入y=x+b得：

1=5+6,

解得：b=~4,

.\y=x-4,

聯(lián)立方程組得：產(chǎn)x-4,

ly=-x

解得，x=2

ly=-2

：.C(2,-2),

:?m=2,

故選：C.

7.(2020秋?東城區(qū)校級(jí)期中)如圖，在△48C中AB=/C,BC=4,面積是20,NC的垂直平分線即分別

交/C、AB邊于E、F點(diǎn)、,若點(diǎn)。為8c邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則△CW周長的最小值為

()

A.6B.8C.10D.12

【思路引導(dǎo)】連接4D，AM,由于△/5C是等腰三角形，點(diǎn)。是5c邊的中點(diǎn)，故/OL2C,再根據(jù)三

角形的面積公式求出ND的長，再再根據(jù)E尸是線段NC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線防的對(duì)稱點(diǎn)

為點(diǎn)/,故4D的長為CA什的最小值，由此即可得出結(jié)論.

【完整解答】解：連接4D,AM.

是等腰三角形，點(diǎn)。是8C邊的中點(diǎn)，

C.ADLBC,

：.S^ABC=—BC-AD=工X4X/D=20,解得AD=10,

22

是線段/C的垂直平分線，

???點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)4

：.MA=MC,

■:ADWAM+MD,

.AD的長為CM+MD的最小值,

.,.△COM的周長最短=CCM+MD)+CD=AD+^-BC=10+^X4=10+2=12.

22

8.（2019秋?吳興區(qū)期末）線段N8上有一動(dòng)點(diǎn)C（不與/,8重合），分別以NC,8c為邊向上作等邊△/CM

和等邊△3CN,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，連接4D,BD,在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，有下列結(jié)論：①可能

為直角三角形；②可能為等腰三角形；③△CW可能為等邊三角形；④若/3=6,則ND+3D的

最小值為3VM.其中正確的是（）

A.②③B.①②③④C.①③④D.②③④

【思路引導(dǎo)】當(dāng)C為的中點(diǎn)時(shí)，如圖，設(shè)NO,CM交于E,BD,CN交于F,連接EF,根據(jù)等邊三

角形的性質(zhì)得到4M=/C=MC=8C=；V5,推出△CW是等邊三角形，故③正確；根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得到4D=AD,推出是等腰三角形，故②正確；當(dāng)點(diǎn)C為48的中點(diǎn)時(shí)，4D+AD的值最小，求

得C。為的垂直平分線，得到兒少=1/8,根據(jù)勾股定理得到AD+8D=3有，故④正確；若AABD

可能為直角三角形，則//￡>8=90°,推出ZC=CD,與所求的結(jié)論不符，故①錯(cuò)誤.

【完整解答】解：當(dāng)C為的中點(diǎn)時(shí)，如圖，設(shè)CM交于E,BD,CN交于F,連接跖，

A4CM和叢BCN是等邊三角形,

:.AM=AC=MC=BC=NB,

?.?點(diǎn)。是MN的中點(diǎn)，

：.MD=ND,

VZMCN=6Q°,

：.ZCMN=ZCNM=60°,

...△CW是等邊三角形，故③正確；

VAAMD=ZBND=120°,

：.AAMD^ABND(SAS),

:.AD=BD,

是等腰三角形，故②正確；

當(dāng)點(diǎn)C為的中點(diǎn)時(shí)，AD+BD的值最小,

?.?點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

CD為的垂直平分線，

4

'：AB=6,

2

"：AD=BD,

：.AD+BD=347,故④正確;

過〃作MP_L48于尸，過D作。于E,過N作NQ_L4B于Q,

J.PM//DE//NQ,

"：MD=DN,

：.PE=EQ,

設(shè)/尸=PC=a,BQ=CQ=b,

：.PM=42fl,NQ=^,

:.DE=^0+b)PE=0E=31L,

22

/.AE=a+^~=3a+b_,g—a+Wb,

222

?/a—(3a+b)2+3(a+b)2—(a+3b)'+3(a+b)”

~i4，4T~

AB2=(2a+26)2,

：.AD2+BD2^AB2,

...△48。不是直角三角形，故①錯(cuò)誤；

故選：D.

二.填空題

9.(2020秋?碑林區(qū)校級(jí)期末)如圖，四邊形N8C。中，Z5=30°,ZZ)=120o,ABLAC,AD+CD=

6,則四邊形/BCD周長的最小的是15+6、用.

【思路引導(dǎo)】過點(diǎn)/作。垂線交CD延長線于E,設(shè)磯＞=。，由N/DC=120°得/。=2°,AE=心,

再由得CE=6-a,由此可求得NC最小值為3?,設(shè)/C=x，由乙8=30°,/8_L/C得/8+2C

=(2+73)AC,故/8+8C的最小值為6揚(yáng)9,從而四邊形/8C。周長的最小值為6+6J19=

15+6百

【完整解答】解：過點(diǎn)A作CD垂線交CD延長線于E,

AZADE=60°,

談ED=a,則/O=2a,

AE=，AD2-ED2=，

?：4D+CD=6,

：.CD=6-2a,

:?CE=DE+CD=6-a,

?*^C=VAE2+EC2=7(V3a)2+(6-a)2=^4(a-y)2+27)

.?.當(dāng)。=_|時(shí)，/C有最小值3?,

VZ5=30°,ABLAC,

；?設(shè)NC=x,則3c=2x,AB=，BC2-AC2=,

：.AB+BC=(2+V3)x=(2+V3)/C，

J.AB+BC的最小值為6標(biāo)9,

四邊形488周長的最小值為6+673+9=15+6V3.

故答案為：15+6

10.(2020秋?無棣縣期末)如圖，在△48C中，N4CB=90°,ZB=30°,NC=6,尸為5c邊的垂直平

分線?！晟弦粋€(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△NCP周長的最小值為18

A

【思路引導(dǎo)】因?yàn)榈拇怪逼椒志€為DE,所以點(diǎn)C和點(diǎn)8關(guān)于直線DE對(duì)稱，所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸和E重

合時(shí)尸的周長最小值，再結(jié)合題目的已知條件求出的長即可.

【完整解答】解：???尸為8c邊的垂直平分線?！晟弦粋€(gè)動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)C和點(diǎn)8關(guān)于直線DE對(duì)稱，

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸和￡重合時(shí)△/CP的周長最小值，

VZACB=90°,/B=30°,AC=6,

；.A8=2/C=12,

'：AP+CP=AP+BP=AB=12,

LACP的周長最小值=4C+/8=6+12=18,

故答案為：18；

11.（2021春?新鄉(xiāng)期末）如圖，在RtZUBC中，ZACB^90°,CM平分N/C8,點(diǎn)。為CM上一點(diǎn)，點(diǎn)

P為邊/C上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，，C重合），連結(jié)。尸，BP.已知CD=8C,當(dāng)。P+8P的值最小時(shí)，ZCDP

的度數(shù)為22.5.

【思路引導(dǎo)】如圖，作點(diǎn)8關(guān)于NC的對(duì)稱點(diǎn)次，連接。夕交4c于點(diǎn)、P,當(dāng)D,P,B'共線時(shí)，PA+P8

的值最小.證明C2'=8,根據(jù)/。。8=工//。3=45°,可得結(jié)論.

2

【完整解答】解如圖，作點(diǎn)2關(guān)于/C的對(duì)稱點(diǎn)夕，連接。2'交/C于點(diǎn)尸，當(dāng)。，P,B'共線時(shí),

AZZ)CS=Ax90°=45。，

2

,:CB=CB',CD=CB,

：.CD=CB',

：.ZCDB'=ZB',

VZDCB=ZCDB'+ZB',

:.NCDP=225°,

故答案為：22.5.

12.(2021春?濟(jì)源期末)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/(2,2),C(4,4)是第一象限角平分線上的兩點(diǎn),

點(diǎn)3的縱坐標(biāo)為2,且歷1=C8,在y軸上取一點(diǎn)。，連接BC,AD,C。，使得四邊形的周

長最小，則這個(gè)周長的最小值為4+2滿.

【思路引導(dǎo)】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/R4C=45°,得到48=90°,求得NC=BC=2,作C關(guān)于y軸

的對(duì)稱點(diǎn)C',連接ZC'交y軸于。，則此時(shí)，四邊形/BCD'的周長最小，這個(gè)最小周長的值=

AB+BC+AC,過根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【完整解答】解：???點(diǎn)/(2,2),點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為2,

.?.43〃x軸，

ZBAC=45°,

,:CA=CB,

:.NACB=NBAC=45°,

：.ZB=90°,

VC(4,4)

：.B(4,2),

；.AB=BC=2,

作C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，

連接/U交y軸于。'，

則此時(shí)，四邊形/BCD'的周長最小，這個(gè)最小周長的值=/3+2C+/C',

VC,(-4,4),A(2,2)

-■AC=可2+22=2泥,

最小周長的值=/6+BC+/C'=4+2泥，

故答案為：4+2遙.

13.(2021春?思明區(qū)校級(jí)月考)若力為常數(shù)，且機(jī)＞0,點(diǎn)/的坐標(biāo)為(0,10加)，8點(diǎn)的坐標(biāo)為(5m,-

2m),C點(diǎn)為x軸上一點(diǎn)，NC+2C的最小值為13m,4C-BC最大值為—圾如(用含加的代數(shù)

式表示)

【思路引導(dǎo)】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求出AC+BC的最小值，利用軸對(duì)稱求出AC-BC的最小值即可.

【完整解答】解：如圖，連接交x軸于點(diǎn)C,此時(shí)NC+C8的值最大，

最大值=/=={(5m)2+(12m)2=13w-

作點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)夕，連接N8',延長/夕交x軸于C',

此時(shí)NC'-BC的值最大，

最大值為/夕=4(5m)2+(8戊)2=我加

故答案為：13m,

14.（2021春?海淀區(qū)校級(jí)月考）已知如圖，是等邊△4SC中NB/C的平分線，尸是ND上一點(diǎn)，￡為

NC中點(diǎn)，連接尸C,PE,若45=6,則尸C+PE的最小值是3、/.

A

BDC

【思路引導(dǎo)】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得垂直平分8C,再根據(jù)線段垂直平分的性質(zhì)可得尸8=PC,

然后根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短可得PC+PE的最小值.

【完整解答】解：如圖，連接尸8、BE,

'：AD是等邊三角形N2C中ABAC的平分線，

：.AD垂直平分BC,

:.PB=PC,

:.PC+PE=PB+PE,

由兩點(diǎn)間線段距離最短可知，

當(dāng)點(diǎn)3,P,E在一條直線上時(shí)，P8+PE取值最小，最小值為8E,

:△/BC為等邊三角形，且48=6,E為/C的中點(diǎn)，

：.BC=AB=6,CE=LC=X48=3,

22

BE=22=22=

VBC-CEV6-33?'

即PC+PE的最小值為3?,

故答案為：

15.（2020秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)48在直線兒W的同側(cè)，N到的距離/C=8,8到九W的距

離BD=5,已知CD=4,P是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記尸N+P8的最小值為°,平-尸目的最大值為6,

【思路引導(dǎo)】作點(diǎn)/關(guān)于直線上的對(duì)稱點(diǎn),連接2交直線上于點(diǎn)尸，過點(diǎn)作直線HE±BD

的延長線于點(diǎn)￡,再根據(jù)勾股定理求出8的長就是尸/+%的最小值；

延長48交M2V于點(diǎn)P,此;時(shí)PA-P'B=AB,由三角形三邊關(guān)系可知-尸引，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)

動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)|尸/-必|最大，作由勾股定理即可求出48的長就是甲/-依|的最大值.進(jìn)一步

代入求得答案即可.

【完整解答】解：如圖，

作點(diǎn)/關(guān)于直線￡的對(duì)稱點(diǎn)卬，連接H5交直線L于點(diǎn)尸，

則點(diǎn)尸即為所求點(diǎn).

過點(diǎn)H作直線的延長線于點(diǎn)E,則線段H3的長即為尸/+尸8的最小值.

'：AC=8,BD=5,CD=4,

：.A'C=8,B￡=8+5=13,A'E=CD=4,

'B=4]§2+《2=Q185,

即PA+PB的最小值是a

■:P'A-P'B=AB,AB>\PA-PB\,

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，\PA-

"：BD=5,CD=4,AC=8,

過點(diǎn)3作3E_L/C,則8E=CD=4,AE=AC-BD=S-5=3,

二3山2+32=5-

：.\PA-PB\=5為最大，

即b=5,

：.a2--=185-25=160.

故答案為：160.

16.（2021春?番禺區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊。/在x軸上，且。4=6,點(diǎn)8的坐

標(biāo)為（2,4）點(diǎn)。為CM的中點(diǎn)，A8的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C,交于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸為線段CE上的

一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（［魚，A）.

—5-5―

【思路引導(dǎo)】如圖，連接8C,PB,BD.首先證明N/CB=90°,利用勾股定理求出8D,tg?PA+PD

PB+PD^BD,推出5,P,。共線時(shí)BP+尸。的值最小，可得直線CE的解析式為y=x-2,直線3D的

解析式為y=-4x+12,構(gòu)建方程組確定點(diǎn)尸坐標(biāo).

【完整解答】解：如圖，連接3C,PB,BD.

:。/=6,B（2,4）,

ZBAO=45°,

「CE垂直平分線段48,

:.CB=CA,PA=PB,

；./CBA=NC4B=45°,

：.ZBCA=90°,

：.OC=2,AC=BC=4,

?：OD=DA=3,

:.CD=OD-CD=L

/\PADW=PD+PA+AD=PB+PA+3,

又；BP+PD>BD,

；.B,P,。共線時(shí)8P+P。的值最小，

?.?直線CE的解析式為y=x-2,直線3。的解析式為y=-4x+12,

J14

由（y=x-2,解得,5

（y=-4x+12V=A

I5

.?.滿足條件的點(diǎn)尸（皂，A）.

55

故答案為：（」四，1）.

55

17.（2021?儀征市二模）如圖，RiAABC^RtAFDE,/ABC=NFDE=90°,N2/C=30,NC=4,將

RtzXEDE沿直線/向右平移，連接8。、BE,則AD+2E的最小值為，夜_.

【思路引導(dǎo)】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系，可以假設(shè)E(m,?),則。(m+1,2?),則AD+2E=

7(m+l)2+(273)2+7m2+(V3)2,欲求8D+BE的最小值，相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)尺⑸，0),使得R

到〃(-1,2?),N(0,?)的距離和的最小值，如圖1中，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N',連接

MN,交x軸題意尺，連接RN,此時(shí)RW+RN的值最小，最小值=MN'的長.

【完整解答】解：建立如圖坐標(biāo)系，

在RtZX/BC中，ZABC=90°,AC=4,NBAC=3Q°,

：.BC=^AC=2,

2

AB=y[^BC=2M，

斜邊/C上的高=2"：返=?,

,/△4BC0△FDE,

：.EF=AC=4,斜邊斯上的高為丁

??.可以假設(shè)E(.m,J§),則。(加+1,2^^),

J血+1)2+(2付2+汗+(a)2,

欲求8ZHAE的最小值，相當(dāng)于在x軸上找一點(diǎn)7?(m,0),使得R到〃(7,2?),N(0,?)的

距離和的最小值，如圖1中，

圖1

作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N',連接MN'交x軸題意尺，連接RV,此時(shí)公RV的值最小，最小值=

MN=爪2+（加）2=2"

：.BD+BE的最小值為2枚，

故答案為：

18.（2021春?中原區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△4BC中，//=45°,48=17,CD為邊上的高，CD=12,

點(diǎn)P為邊3c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N分別為邊48,NC上的動(dòng)點(diǎn)，則△M7VP周長的最小值是

204>/2

131

【思路引導(dǎo)】作點(diǎn)P關(guān)于直線ABAC的對(duì)稱點(diǎn)。，凡連接QM,RN,QR,通過APMN的周長為:尸M+M2V+PN=

QW+MN+AN,判斷出當(dāng)點(diǎn)Q,M,N,R四點(diǎn)共線時(shí)，△肱V。的周長最小，即為QR的長，再根據(jù)當(dāng)/尸，8c時(shí)，

AP的值最小，此時(shí)QR的值最小，即△MAP的周長最小，求出QR的最小值即可。

【完整解答】解：作點(diǎn)P關(guān)于直線ABAC的對(duì)稱點(diǎn)0K連接QM,RN,QR,W：

.：.叢PMN的周長為:PW+7W+PN=QA/+AmRN,

/.當(dāng)點(diǎn)Q,MNR四點(diǎn)共線時(shí),△〃樣的周長最小，即為QR的長，

連接/。力尸〃尺

:點(diǎn)P關(guān)于直線AB^C的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,R,

：.ZBAQ=ZBAP,ZCAR=ZCAP^4Q=AP=AR,

：.ZQAP=2ZBAP,ZRAP=2ZCAP,

VZBAC=45°,

AZBAP+ZCAP^45°,

：.2ZBAP+2ZCAP=90°,

ZQAR=ZQAP+ZRAP=2ZBAP+2ZCAP=90°,

在RtZkQ/R中，ZQAR=9Q°^4Q=AR,

'.'A^+AR2=QR2,

：.2AQ2=Qie,

:?R=?AQ=?AP,

...求0R的最小值時(shí)，只需求出4P的最小值，

?.,點(diǎn)尸在8c上運(yùn)動(dòng)，

...當(dāng)/PL3c時(shí)，4P的值最小，此時(shí)0？的值最小，即△跖VP的周長最小,

在RtAa4c中,/ADC=90°,/ZUC=45°,

AZDCA=90°-ZDAC=90°-45°=45°=ADAC

：.AD=CD=12,

:48=17,

：.BD=AB-AD=17-12=5,

在RtADBC中,N8DC=90°,

-3c=JBD24cl)2=V52+122=13,

.?.當(dāng)/P_L3C時(shí),

S^BC=—BC-AP=IAB-CD,

22

.,pAB-CD17X12204

BC1313

???QR=&*P=&x20420472

1313

:ANMP的周長的最小值為圓運(yùn).

13

故答案為：22還。

13

19.(2020秋?河?xùn)|區(qū)期末)如圖，在邊長為2的等邊△4BC中，。是3C的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段4D上，連

接BE,在的下方作等邊△8ER連接。F.當(dāng)△8。廠的周長最小時(shí)，/DBF的度數(shù)是3下.

【思路引導(dǎo)】連接CF,由條件可以得出尸，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以證明△5/￡名

△BCF,從而可以得出NBCF=4840=30°,作點(diǎn)。關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G,連接CG,DG,則ED=

FG,依據(jù)當(dāng)8,F,G在同一直線上時(shí)，。尸+8廠的最小值等于線段5G長，可得△3DP的周長最小，再

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到b的度數(shù).

【完整解答】解：如圖，連接CF,

,:AABC、ZXBE尸都是等邊三角形，

；.AB=BC=AC,BE=EF=BF,NBAC=/ABC=/ACB=NEBF=/BEF=/BFE=6G°,

/./ABC-ZEBD=ZEBF-ZEBD,

：.ZABE=ZCBF,

在△&IE和△5CF中，

rAB=BC

<ZABE=ZCBF-

tBE=BF

:.ABAE安/\BCF(W),

:.NBCF=NBAD=3Q°,

如圖，作點(diǎn)。關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G,連接CG,DG,則EDjFG,

...當(dāng)8,F,G在同一直線上時(shí)，。尸+8廠的最小值等于線段8G長，且2G_LCG時(shí)，△8。廠的周長最小,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得/OCG=2N3CF=60°,CD=CG,

.?.△OCG是等邊三角形，

:.DG=DC=DB,

:./DBG=NDGB=L/CDG=30。,

2

故答案為：30。.

20.(2021春?同安區(qū)校級(jí)月考)如圖，A,3兩個(gè)工廠位于一段直線形河的異側(cè)，/廠距離河邊/C=5機(jī),

B廠距離河邊BD=lkm,經(jīng)測量CD=8筋z,現(xiàn)準(zhǔn)備在河邊某處(河寬不計(jì))修一個(gè)污水處理廠E.

(1)設(shè)ED=x,請(qǐng)用X的代數(shù)式表示AE+BE的長；

(2)為了使兩廠的排污管道最短，污水廠E的位置應(yīng)怎樣來確定此時(shí)需要管道多長？

(3)通過以上的解答，充分展開聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，請(qǐng)你猜想吐石W(15-x)2+25的最小值

【思路引導(dǎo)】(1)依據(jù)ACLCD.BDYCD,故根據(jù)勾股定理可用x表示出的長；

(2)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知連接AB與CD的交點(diǎn)就是污水處理廠E的位置.過點(diǎn)B作BFYAC于

F,構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求出的長；

(3)根據(jù)AE+BE=dx2+gT(15r)2十25可作出圖形，當(dāng)“、瓜呂共線時(shí)，利用勾股定理求出

的值即可.

【完整解答】解：(1)在RtZkNCE和中，根據(jù)勾股定理可得/￡={(8_*)2+25,BE=

7x2+r

*'-^+^=V(8-x)2+25+Vx2+r

(2)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接N2與CD的交點(diǎn)就是污水處理廠E的位置.

過點(diǎn)8作瓦LL4C于R則有8F=CD=8,BD=CF=\.

：.AF=AC+CF=6.

在RtA^SF中，BA=^^p2+gp2=yj^2+^2=]0,

此時(shí)最少需要管道10km.

(3)根據(jù)以上推理，可作出下圖，設(shè)ED=x,BD=3,CD=15,AC=5,當(dāng)4、E、2共線時(shí)，求出

AB的值即為原式的最小值.

在RtZ\48尸中，AF=8,BF=CD=15,

由勾股定理可得：^^^82+152=17,

；7x2+gT(15-x)2+25的最小值為17.

A

21.(2021春?青羊區(qū)校級(jí)月考)如圖，已知△/8C三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為/(0,4),B(-2,-2),C(3,

0),點(diǎn)P在線段/C上移動(dòng).

(1)△/2C的面積為13.

(2)當(dāng)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1,m)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趛軸上找點(diǎn)。，使△尸。。周長最小，畫出圖形井求出。點(diǎn)坐標(biāo)和△

PQC周長.

(3)直線AP將△/8C的面積分成1："兩部分.

①分別求出當(dāng)"=1,〃=2時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo).

②直接寫出直線8尸將△A8C的面積分成1："(?>2)兩部分時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo).

【思路引導(dǎo)】(1)過點(diǎn)5作8E〃y軸，過/點(diǎn)作/￡〃苫軸交于點(diǎn)E,過C作C尸〃夕軸，過/作/尸〃x

軸父于點(diǎn)尸，根據(jù)SUBC=S梯形EBC5-S^EB-S^APC即可求得；

(2)作尸點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)P,連接PC交于0,此時(shí)P0+QC=PC,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，。

就是△尸0。周長最小的點(diǎn)，利用勾股定理求得直線NC的解析式，即可求得尸的坐標(biāo)，進(jìn)而求得則P'

(-1,1),個(gè)待定系數(shù)法求得直線CP,即可求得。的坐標(biāo)，然后根據(jù)△尸0c周長=PC+CP求得

3

即可，

(3)①根據(jù)/、C的坐標(biāo)即可求得尸的坐標(biāo)；②根據(jù)同高三角形面積的比等于底邊的比，然后根據(jù)/、

。的坐標(biāo)即可求得結(jié)論.

【完整解答】解(1)過點(diǎn)8作8E〃y軸，過/點(diǎn)作么￡〃苫軸交于點(diǎn)E,過C作C尸〃y軸，過N作/尸

〃無軸交于點(diǎn)F,

SAABC=S梯形EBCFS^AEB~S^AFC

=(BE+CFAEFX工-LE?BE-=^AF-CE

222

=(6+4)X5XA-XX9X6-AX3X4

222

=25-6-6

=13,

???△/5C的面積為13,

故答案為13；

(2),：A(0,4),C(3,0),

設(shè)直線4C的解析式為歹=fct+b(左WO),

4

.*=4,解得.k=萬，

l3k+b=0卜=4

直線NC的解析式為：y=-AX+4,

3

?..點(diǎn)P在線段NC上移動(dòng)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,m),

:.m=--X1+4=—,

33

：.P(1,旦)，

3

作尸點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)P,連接PC交于0,此時(shí)尸Q+QC=PC,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，0就是

△尸0。周長最小的點(diǎn)，則P(-1,1),

3

設(shè)直線P。的解析式為（冽WO）,

'_2

.*.<解得.m-1，

L3m+n=0n=2

直線PC的解析式為尸--|-x+2,

點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）,

△9℃周長=PQ+CQ+CP,

...△PQC的周長最小值為：此.

33

(3)①

尸為/C的中點(diǎn),

'：A(0,4),C(3,0),

：.P(&,2),

2

當(dāng)〃=2時(shí)，8P三等分△4BC,

尸為/C的三等分點(diǎn)，

當(dāng)尸靠近4時(shí)，

：.P(1,旦)，

3

當(dāng)尸靠近C時(shí)，

：.P(2,A),

3

綜上所述，?=1時(shí)，P(―,2)；?=2時(shí)，P(1,金)或尸(2,A),

233

②當(dāng)SMBP：SABPC='：〃時(shí)'

：.AP：PC=l：n,

:.p

n+1n+1

當(dāng)S^BP：S^BPc=n：1時(shí)'

：.AP：PC=n：1,

:.p(@_,/-),

n+1n+1

綜上述，P(_J_,_^L)或尸(①，-A_).

n+1n+1n+1n+1

22.(2020秋?襄城區(qū)期末)如圖，已知△N8C是等邊三角形，于點(diǎn)。，點(diǎn)E是NC的中點(diǎn).

(1)在直線CD上作一點(diǎn)P,使PA+PE最??；

(2)在(1)的條件下，若CD=12,求線段。尸的長.

【思路引導(dǎo)】(1)點(diǎn)E關(guān)于直線CC?的對(duì)稱點(diǎn)廠在線段C3上，連接//交CD于點(diǎn)尸，連接PE,此時(shí)

PA+PE的值最小.

(2)解直角三角形求出/O,。尸即可.

【完整解答】解：(1)如圖，:△/Be是等邊三角形，CDLAB,

，點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)F在線段CB上，

連接力尸交CD于點(diǎn)P,連接尸E,此時(shí)R4+PE的值最小.

即點(diǎn)尸即為所求作.

(2)\'CD=12,ZCDA=90°,ZCAD=60°,

AZACD=30°,

：.AC=2AD,

：.4AD2=AD2+n2

."￡>=4愿，

,:AE=EC,E,尸關(guān)于CZ)對(duì)稱，

，CF=BF,

"：AC=AB,

：.ZBAF=ZCAF=ZACD=30°,

：.PA=PC=2PD

：.PD=1-CD=4.

3

23.(2020秋?恩施市期末)如圖，B、C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)/的坐標(biāo)是(0,6),點(diǎn)C坐標(biāo)為(-

a-b).

(1)直接寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)為(a,-a-b)；

(2)用尺規(guī)作圖，在x軸上作出點(diǎn)尸，使得/P+P8的值最??；

(3)ZOAP=45度.

*C

4

----------------------?

X

【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)即可得到結(jié)論；

(2)如圖所示，作點(diǎn)/關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)H,連接H3交x軸于尸，點(diǎn)P即為所求；

(3)過8作軸于。(0,-a-6),貝U8Z)=-。，。。=-。-6,由(2)知/與H關(guān)于x軸

對(duì)稱，于是得到/'O=AO=b,推出HD=BD,在RtZ\/'DB中，NA'08=90°,A'P=AP,于

是得到D=/B=45°,即可得到結(jié)論.

【完整解答】解：(1)點(diǎn)8的坐標(biāo)為(a,-a-b)；

故答案為：(a,-a-6).

(2)如圖所示，點(diǎn)尸即為所求；

(3)過8作軸于。(0,-a-b),

貝I]BD--a,OD--a-b,

由(2)知/與H關(guān)于x軸對(duì)稱，

：.A'O=AO=b,

：.A'D=BD,

在RtZ\4'中，08=90°,A'P=AP,

：.ZBA'D=ZB=45°,

?../與H關(guān)于x軸對(duì)稱，

：.ZOAP=ZDA'P=45°.

24.(2017春?安溪縣期末)已知點(diǎn)P在NMON內(nèi).

(1)如圖1,點(diǎn)尸關(guān)于射線0M的對(duì)稱點(diǎn)是G,點(diǎn)P關(guān)于射線ON的對(duì)稱點(diǎn)是H,連接OG、OH、OP.

①若/MON=50°,則/GO"=100°；

②若PO=5,連接G8,請(qǐng)說明當(dāng)/MON為多少度時(shí)，G8=10；

(2)如圖2,若NMON=60。，4、2分別是射線(W、ON上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△尸的周長最小時(shí)，求

/APB的度數(shù).

【思路引導(dǎo)】(1)依據(jù)軸對(duì)稱可得OG=OP,OMLGP,即可得到O河平分/POG,ON平分/POH,

進(jìn)而得出NGO/f=2/MON=2義50°=100°；②當(dāng)NMON=90°時(shí)，NGO/f=180°,此時(shí)點(diǎn)G,O,

，在同一直線上，可得G〃=GO+//O=10；

(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于(W、ON對(duì)稱點(diǎn)分別為P、尸〃，當(dāng)點(diǎn)4、8在PP"上時(shí)，△尸周長為P/+/8+AP

=P'P",此時(shí)周長最小.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可求出N/P8的度數(shù).

【完整解答】解：(1)①?.?點(diǎn)尸關(guān)于射線。河的對(duì)稱點(diǎn)是G,點(diǎn)尸關(guān)于射線ON的對(duì)稱點(diǎn)是〃，

AOG=OP,OMLGP,

r平分/尸OG,

同理可得ON平64PoH,

:./GOH=2NMON=2X50°=100°,

故答案為：100°；

②：PO=5,

GO=HO=5,

當(dāng)/MON=90°時(shí)，ZGOH=1SO°,

...點(diǎn)G,O,〃在同一直線上，

：.GH=GO+HO=W；

(2)如圖所示分別作點(diǎn)尸關(guān)于OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)P、P",連接。P、OP"、P'P",P'P"交

OM,CW于點(diǎn)/、B,

連接尸/、PB,則BP=BP"，此時(shí)△尸”周長的最小值等于P'P"的長.

由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，OP'=0P"=0尸，4P'OA=ZPOA,ZP"OB=/POB,

：.AP'OP"=2/MON=2X60°=120°,

：.ZOP'P"=ZOP"P'=(180°-120°)4-2=30°,

同理可得2=30°,

25.(2020秋?雨城區(qū)校級(jí)期中)如圖，C為線段3。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)8,。作N8L8。，EDLBD,

連接/C,EC.已知48=5,DE=1,BD=8,設(shè)CD=x.

(1)用含x的代數(shù)式表示/C+CE的長；

(2)請(qǐng)問：點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，NC+CE的值最