2020-2024年高考數(shù)學試題分類匯編：計數(shù)原理、排列組合、二項式定理（解析版）

專題15計檄原理、制I科像金、二項W友理

（總題5小考點精灌秣+精運線樞株）

■

5年考情?探規(guī)律

5年考情

考題示例考點分析

2024年秋考6、10題

二項式系數(shù)和及通項公式；排列、組合及簡單的計數(shù)問題

2024年春考4題

二項式的展開式

2023秋考10題二項式定理的應用

2023春考8題二項式定理及組合數(shù)公式的應用

2022秋考7題二項式定理的應用

2022春考4、9題二項式定理的應用、排列組合的應用

2021年秋考6題二項展開式的通項公式

2021年春考7題二項式定理、二項式系數(shù)的性質

2020年秋考9題組合數(shù)公式

2020年春考8題二項式定理求特定系數(shù)

■——

5年真題?分點精準練

一.分類加法計數(shù)原理（共1小題）

1.（2020?上海）己知A={-3,-2,-1,0,1,2,3},a、b&A,則13<161的情況有18種.

K祥解』先討論。的取值，得到對應6的值，再整體求和即可.

【解答】解：當。=一3,0種，

當a=—2,2種，

當a=—1,4種；

當a=0,6種，

當a=1,4種；

當a=2,2種，

當a=3,0種，

故共有：2+4+6+4+2=18.

故答案為：18.

【點評】本題主要考查分類討論思想在概率中的應用，屬于基礎題目.

二.數(shù)字問題（共1小題）

2.（2022?上海）用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個數(shù)為

17.（用數(shù)字作答）

K祥解》根據(jù)題意，按四位數(shù)的千位數(shù)字分2種情況討論，由加法原理計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，

當其千位數(shù)字為3或4時，有2國=12種情況，即有12個符合題意的四位數(shù)，

當其千位數(shù)字為2時，有6種情況，其中最小的為2134,則有6-1=5個比2134大的四位數(shù)，

故有12+5=17個比2134大的四位數(shù)，

故答案為：17.

【點評】本題考查排列組合的應用，注意分類計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.

三.排列組合的綜合應用（共2小題）

3.（2024?上海）設集合A中的元素皆為無重復數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集

合中元素個數(shù)的最大值329.

（祥解』根據(jù)已知條件，結合組合數(shù)、排列數(shù)公式，并分類討論，即可求解.

【解答】解：由題可知，集合A中每個元素都互異，且元素中最多有一個奇數(shù)，剩余全是偶數(shù)，

先研究集合中無重復數(shù)字的三位偶數(shù)：

（1）若個位為0,這樣的偶數(shù)有石=72種；

（2）若個位不為0,這樣的偶數(shù)有CiC-C；=256種；

所以集合元素個數(shù)最大值為256+72+1=329種.

故答案為：329.

【點評】本題主要考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，屬于中檔題.

4.（2020?上海）從6個人挑選4個人去值班，每人值班一天，第一天安排1個人，第二天安排1個人，第

三天安排2個人，則共有180種安排情況.

K祥解》根據(jù)題意，由組合公式得共有C：C；C：排法，計算即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意，可得排法共有C：GC；=180種.

故答案為：180.

【點評】本題考查組合數(shù)公式，解題關鍵是正確理解題意并熟悉組合數(shù)公式，屬于基礎題.

四.二項式定理（共8小題）

5.（2024?上海）在（x+1）"的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32,則f項的系數(shù)為10.

K祥解》根據(jù)二項式系數(shù)和求得“值，再結合二項式的通項公式即可求得.

【解答】解：由題意，展開式中各項系數(shù)的和是（1+1）"=32,所以〃=5,

則該二項式的通項公式是1M=c卜r,

令5f=2,解得r=3,故V項的系數(shù)為C；=10.

故答案為：10.

【點評】本題考查二項式系數(shù)和及通項公式，屬基礎題.

6.（2024?上海）6-1）6展開式中d的系數(shù)為15.

K祥解》直接利用二項式的展開式求出結果.

【解答】解：根據(jù)二項式展開C：x（7）2=15.

故答案為：15.

【點評】本題考查的知識要點：二項式的展開式，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

4234

7.（2023?上海）（1-2x）=a0+axx+a2x+a3x+a4x,則為+/=17.

K祥解》根據(jù)二項式定理及組合數(shù)公式，即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意及二項式定理可得：

2）4=17.

故答案為：17.

【點評】本題考查二項式定理及組合數(shù)公式的應用，屬基礎題.

8.（2023?上海）已知（1+2023x）10°+（2023-彳嚴=旬+q彳+/f+…+%9鏟+?100,00,，若存在無e{。，b2,

…，100}使得《＜0,則k的最大值為49.

（祥解》由二項展開式的通項可得應5（-1力，若為＜0,則人為奇數(shù)，所以

氏=￡*（2023*-20231°°-，，即2023*-20231°°出＜0,從而求出發(fā)的取值范圍，得到%的最大值.

【解答】解：二項式（1+2023x）10°的通項為刀+1=a]。（2023獷=4.0?2023’?小,re{0,1,2,100},

Mo

二項式（2023-方嚴的通項為7；+i=C；002023—（-幻七/）-202”，（-I）'",re{0,1,2,100},

.?.%=62?2023*+%-2023100T.（_ip=*[2023k+202310°-仁（-1）*],k&{0,1,2,…，100},

若為＜0,則左為奇數(shù)，

止匕時處=C制（2023上一2023100^'）,

...2023~一2023HMt＜0,

kv100—k,

二左v50,

又?.?左為奇數(shù)，

人的最大值為49.

故答案為：49.

【點評】本題主要考查了二項式定理的應用，屬于中檔題.

9.（2022?上海）在（丁+J■產(chǎn)的展開式中，則含《項的系數(shù)為66.

XX

（祥解》求出展開式的通項公式，令X的次數(shù)為T,求出上的值即可.

【解答】解：展開式的通項公式為「+1=￡其/產(chǎn)氣與=￡：鏟』，由36—4左=-4,得軟=40,

X

得左=10,

即3=無尸=.,即含5項的系數(shù)為66,

故答案為：66.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，根據(jù)條件求出通項公式，利用x的次數(shù)建立方程是解決本題的關

鍵，是基礎題.

10.（2021?上海）已知二項式（x+a）5展開式中，x2的系數(shù)為80,則a=2.

K祥解X由二項展開式的通項公式可得Y的系數(shù)，再根據(jù)爐的系數(shù)為80,求出a的值.

【解答】解：（x+o）5的展開式的通項公式為&=《產(chǎn)”，

所以f的系數(shù)為。初3=80,解得。=2.

故答案為：2.

【點評】本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，考查運算求解能力，屬于基礎題.

11.（2021?上海）已知（1+x）”的展開式中，唯有Y的系數(shù)最大，貝1（1+x）"的系數(shù)和為64.

K祥解》由已知可得”=6,令x=l,即可求得系數(shù)和.

【解答】解：由題意，c；＞c；,且c；＞c：,

所以〃=6,

所以令x=l,（1+4的系數(shù)和為26=64.

故答案為：64.

【點評】本題主要考查二項式定理.考查二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題.

12.（2020?上海）已知二項式（2x+&）5,則展開式中士的系數(shù)為10.

K祥解X由林（2爐（石）4=10%3,可得到答案.

【解答】解：C；（2x）i（?）4=10x3,所以展開式中V的系數(shù)為10.

故答案為：10.

【點評】本題考查利用二項式定理求特定項的系數(shù)，屬于基礎題.

五.二項展開式的通項與項的系數(shù)（共1小題）

13.（2022?上海）二項式（3+x）"的展開式中，/項的系數(shù)是常數(shù)項的5倍，則〃=10.

（祥解I由題意，利用二項式展開式的通項公式，求得〃的值.

【解答】解：?.?二項式（3+x）”的展開式中，f項的系數(shù)是常數(shù)項的5倍,

即”=5x9,

即C；X3"-2=5C，X3",

〃=10,

故答案為：10.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題.

1年模擬?精選?？碱}

一.選擇題（共2小題）

1.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）如圖，設P為正四面體A-BCD表面（含棱）上與頂點不重合的一點，由點

P到四個頂點的距離組成的集合記為“，如果集合”中有且只有2個元素，那么符合條件的點「有（

）

A.4個B.6個C.10個D.14個

（祥解》根據(jù)分類計數(shù)加法原理可得，由題意符合條件的點只有兩類，一在棱的中點，二在面的中心，問

題得以解決.

【解答】解：符合條件的點尸有兩類：（1）6條棱的中點；（2）4個面的中心.共10個點.

故集合M中有且只有2個元素，那么符合條件的點P有4+6=10.

故選：C.

【點評】本題主要考查了分類計數(shù)原理，關鍵是理解幾何圖形，屬于基礎題.

2.（2024?黃浦區(qū)二模）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用分層抽樣的方法作抽樣調查，擬從初中

部和高中部兩層共抽取40名學生，已知該校初中部和高中部分別有500和300名學生，則不同的抽樣結果

的種數(shù)為（）

A「25.015R「25015

C,L500于?3000,^500.口300

JJo。十%00"*%00（300

（祥解》先確定初中部和高中部各抽取的人數(shù)，再利用組合數(shù)即可得.

【解答】解：由題意，初中部和高中部總共有500+300=800人，

按照分層隨機抽樣的原理，應從初中部抽取二2x40=25人，從高中部抽取壬x40=15人.

800800

從初中部抽取25人，有種方法，從高中部抽取15人，有C；*種方法，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有C-c蒜種抽樣結果.

故選：B.

【點評】本題考查分層抽樣，考查組合數(shù)的應用，屬于基礎題.

填空題（共47小題）

3.（2024?閔行區(qū)校級三模）兩本相同的圖畫書和兩本不同的音樂書全部分給三個小朋友，每人至少一本，

且兩本圖畫書不分給同一個小朋友，則不同的分法共有15種.

（祥解力根據(jù)題意，需要先將4本書分為3組，再分配給3個小朋友，按4本書分為3組的不同情況討論，

由加法原理計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，不妨記兩本相同的圖書為元素1,1,兩本不同的音樂書為元素3,4,

需要先將4本書分為3組，再分配給3個小朋友，

分3種情況討論：

若分為（13、1、4）的三組時，分配給三個小朋友的方法有制=6種情況；

若分為（14、1、3）的三組時，分配給三個小朋友的方法有制=6種情況；

若分為（1、1、34）的三組時，分配給三個小朋友的方法有C；=3種情況；

綜上，不同的分法共有6+6+3=15種.

故答案為：15.

【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分類計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.

4.（2024?閔行區(qū)校級二模）如圖，設點P為正四面體BCD表面（含棱）上與頂點不重合的一點，由點

尸到四個頂點的距離組成的集合記為“，如果集合M中有且只有2個元素，那么符合條件的點尸有」

個.

（祥解》根據(jù)分類計數(shù)原理求解即可.

【解答】解：符合條件的點尸有兩類：

一，六條棱的中點；二，四個面的中心；

集合M中有且只有2個元素，符合條件的點P有4+6=10個.

故答案為：10.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分類加法計數(shù)原理，屬基礎題.

5.（2024?松江區(qū)校級模擬）把1、2、3、4、5這五個數(shù)隨機地排成一個數(shù)列，要求該數(shù)列恰好先遞增后遞

減，則這樣的數(shù)列共有14個.

K祥解X根據(jù)已知條件，分從1,2,3,4中選出一個數(shù)排在5的右側，其余排在5的左側，從1,2,3,

4中選出兩個數(shù)排在5的右側，其余排在5的左側，從1,2,3,4中選出三個數(shù)排在5的右側，其余排在

5的左側三種情況討論，并對所求的結果求和，即可求解.

【解答】解：從1,2,3,4中選出一個數(shù)排在5的右側，其余排在5的左側，得到先增后減的數(shù)列有C：,

從1,2,3,4中選出兩個數(shù)排在5的右側，其余排在5的左側，得到先增后減的數(shù)列有C：,

從1,2,3,4中選出三個數(shù)排在5的右側，其余排在5的左側，得到先增后減的數(shù)列有C：,

故滿足條件的數(shù)量總個數(shù)為C：+C：+C：=14個.

故答案為：14.

【點評】本題主要考查組合及簡單計數(shù)問題，考查分類討論的思想，屬于基礎題.

6.（2024?虹口區(qū)模擬）中國古典數(shù)學的代表作有《算數(shù)書》《九章算術》《周髀算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》等.學

校圖書館計劃將這四本書借給3名學生閱讀，要求每人至少讀一本，則不同的借閱方式有36種（用數(shù)

字作答）.

（祥解》根據(jù)題意，分2步進行分析：①在四本書中選出2本，分配給三人中的1人，②剩下的2本安排

給其余2人，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：

①在四本書中選出2本，分配給三人中的1人，有C：C；=18種分法，

②剩下的2本安排給其余2人，有痣=2種分法，

則有18x2=36種借閱方式，

故答案為：36.

【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.

7.（2024?浦東新區(qū)校級四模）在（2尤3一J,展開式中，7項的系數(shù)是60.

X

K祥解》求出展開式的通項公式，令x的指數(shù)為2,進而可以求解.

【解答】解：二項式的展開式的通項公式為4+1=瑪（2尤3）6-，（_工）'=瑪-26"（_1）"回4"廠=0,1,_,6,

x

令18—4廠=2,解得r=4,

所以V的系數(shù)為C：X22X（-Ip=60,

故答案為：60.

【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.

8.（2024?閔行區(qū)三模）二項式（1-工）（1+x）6展開式中/的系數(shù)為5.

（祥解》將（1-3（1+X）6化為（1+尤）6-!（1+尤）6,利用二項式系數(shù)結合組合數(shù)的計算，求得答案.

XX

【解答】解：因為（1—工）（1+幻6=（1+尤）6-!（1+尤）6,

XX

故展開式中X3的系數(shù)為C；-C：=20-15=5.

故答案為：5.

【點評】本題主要考查二項式定理，屬于基礎題.

9.（2024?黃浦區(qū)二模）若（依2+工）5的展開式中/的系數(shù)是一80,則實數(shù)〃=_-2_.

K祥解》根據(jù)已知條件，結合二項式定理，即可求解.

2

【解答】解：若（OX+5的展開式的通項公式為：Tr+l=C（62尸（與=Cra5-rx10-3r；

XX

令10—3廠=4,解得廠=2,

（ox2+-）5的展開式中X4的系數(shù)是-80，

X

貝”《。3=一80,解得a=-2.

故答案為：—2.

【點評】本題主要考查二項式定理，屬于基礎題.

10.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）在（1+X+*尸的展開式中，f項的系數(shù)為45.（結果用數(shù)值表示）

X

K祥解?根據(jù)已知條件，結合二項式定理，即可求解.

［解答］解：：（1+尤+鏟23升=《1+%）+針23嚴=（1+*嚴+Co（1+4鏟23T--，

??./項只能在（1+尤嚴展開式中，即為C；/,系數(shù)為C：0=45.

故答案為：45.

【點評】本題主要考查二項式定理的應，屬于基礎題.

11.（2024?閔行區(qū)二模）五個工程隊承建某項工程的五個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工

程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案共有96.

K祥解》依題意，優(yōu)先分析甲甲工程隊，除1號子項目外有4種方法，其他4個工程隊分別對應4個子項

目，由排列公式可得其情況數(shù)目，根據(jù)乘法原理，分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，甲工程隊不能承建1號子項目，則有4種方法，

其他4個工程隊分別對應4個子項目，有種情況，

根據(jù)乘法原理，分析可得有CX=96種情況；

故答案為：96.

【點評】本題考查排列、組合的應用，注意優(yōu)先分析受到限制的元素.

12.（2024?楊浦區(qū)校級三模）若排列數(shù)式"=6x5x4,則〃?=3.

K祥解》由排列數(shù)的運算公式式'=〃《-1）...伽-帆+1）計算即可得解.

【解答】解：由4"=〃6-1）...（〃-租+1）得：

因&"=6x5x4,

則6—m+l=4，

解得m=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了排列數(shù)的運算，屬基礎題.

13.（2024?閔行區(qū)校級模擬）已知weN,關于"的方程C：-左=0有且僅有一個解，則實數(shù)。=252.

K祥解》由題意可知，=5,由組合數(shù)公式計算即可得后的值.

【解答】解：因為關于〃的方程61-k=0有且僅有一個解，

所以〃=5,

所以％=%=252.

故答案為：252.

【點評】本題主要考查了組合數(shù)的計算，屬于基礎題.

14.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）若6?一5=6？+小，則正整數(shù)尤的值為5或7.

（祥解》由組合數(shù)的性質得到4?-5=啖，列出方程，求出答案.

【解答】解：由組合數(shù)性質：G=c;r'+C：,可得G?+墨=或，則4T5=或，

所以2%-5=%或2工-5+才=16,解得x=5或x=7.

故答案為：5或7.

【點評】本題主要考查組合數(shù)公式，屬于基礎題.

15.（2024?閔行區(qū)二模）已知空間中有2個相異的點，現(xiàn)每增加一個點使得其與原有的點連接成盡可能多

的等邊三角形.例如，空間中3個點最多可連接成1個等邊三角形，空間中4個點最多可連接成4個等邊

三角形.當增加到8個點時，空間中這8個點最多可連接成個等邊三角形.

K祥解》利用已知條件，判斷求解空間中這8個點最多可連接成等邊三角形的個數(shù).

【解答】解：正四面體的每一個面向外作一個正四面體，此時是增加一個點，增加正三角形3個，新增加

的4個點，又是1個正四面體，

所以當增加到8個點時，空間中這8個點最多可連接成4+3x4+4=20.

故答案為：20.

【點評】本題考查空間想象能力，發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是基礎題.

s

16.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知（尤+a）（x-iy=%+%%+%尤2—+agx,且％=13,則a=2.

（祥解》利用二項展開式的通項公式，分析含尤項的構成，求出

【解答】解：由題意，q為(x+a)(x-l)7=/+<7［彳+出*2+…+小無8中尤的系數(shù).

因為(*-1)7的二項展開式的通項公式為4+1=G/T(_iy,藤+7,

所以(x+a)(x-1)'的展開式中含x項的系數(shù)為：C\(―I)7+aCy(—I)6=—l+7a=13,

解得：a=2.

故答案為:2.

【點評】本題考查二項式定理，屬于基礎題.

26

17.(2024?浦東新區(qū)二模)若(1-尤)6=g+ciyX+a2x+…+a6x,則q+a,+…+4的值為_-1

K祥解工直接利用賦值法求出結果.

【解答】解：令x=0,故%=1,

令x=l,故4+4+...+4=0，

4+672+…+%=—1?

故答案為：-1.

【點評】本題考查的知識點：賦值法，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題.

18.(2024?青浦區(qū)校級模擬)已知(如-1)5的展開式中/項的系數(shù)為-10,貝卜〃=_±1_.

(祥解》直接利用二項展開式的通項公式求解.

【解答】解：由題意得以(加)2(-1)3=-10,

解得m=±1,

故答案為：±1.

【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題.

19.(2024?閔行區(qū)校級模擬)(尤+4)4的展開式中x的系數(shù)是8.

x

K祥解》寫出二項式展開式的通項公式，令X的指數(shù)為1,解出女,可得展開式中X的系數(shù).

【解答】解：(x+守的通項公式為M=cU：)*=C：.2*-x3,k=o,b2,3,4,

令4-3左=1,解得左=1,即二項式展開式中x的系數(shù)是C；-2=8.

故答案為：8.

【點評】本題考查二項式展開式的應用，屬于基礎題.

20.(2024?楊浦區(qū)二模)已知二項式(1+x),其展開式中含V項的系數(shù)為45.

K祥解》利用二項式定理求出含V的項，由此即可求解.

【解答】解：展開式中含V的項為C"2=45/,

所以f的系數(shù)為45.

故答案為：45.

【點評】本題考查了二項式定理的應用，屬于基礎題.

21.（2024?松江區(qū)二模）已知龍7=%+4（彳-1）+2（元-I）?+…+%（X-1）7，則y=21

K祥解X直接利用二項式的展開式和組合數(shù)求出結果.

【解答】解:根據(jù)-/=［（元一1）+1］，=。（）+。］（無一1）+。2（彳一D~+…+。7（》一I）,，

根據(jù)二項式口-1）+1］7的展開式&1=&?-1尸,（r=0,1,2,3,4,5,6,7）；

令r=2,故。5=C；=21.

故答案為：21.

【點評】本題考查的知識要點：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬

于基礎題.

22.（2024?崇明區(qū)二模）若（x-a）5的二項式展開式中V的系數(shù)為10,貝=

K祥解X直接利用二項式的展開式以及組合數(shù)的運算求出結果.

【解答】解：根據(jù)（X-4）5的二項式展開式（+1=G=0,1,2,3,4,5）；

當r=3時，尤?的系數(shù)為C；-（-a）3=10,解得a=-l.

故答案為：-1.

【點評】本題考查的知識要點：二項式的展開式，組合數(shù)的運算，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題.

23.（2024?長寧區(qū)二模）在（》+工）4的二項展開式中，V的系數(shù)是^（結果用數(shù)字作答）.

X

（祥解』由其二項展開式的通項公式4+1=禺女一.無f即可求得/的系數(shù).

【解答】解：V（x+-）4的二項展開式的通項公式=6.尤4-.獷，=禺.尤4%，

二令4-2r=2得r=l.

.?.f的系數(shù)為：C：=4.

故答案為：4.

【點評】本題考查二項式定理，熟練應用其通項公式是關鍵，屬于基礎題.

24.（2024?嘉定區(qū)校級模擬）已知x6=%+4（無+1）+。2（尤+1）2+…+4（x+l）6，則幺+為+—?■生=一-生_

K祥解X采用賦值法求解即可.

【解答】解：令x=—l,則4=1,

令尤=一』，貝|（1）6=%+幺+與+-+*=1+幺+喜+...+恪,

222222s22226

故爭會+一號4-163

64

故答案為：-二.

【點評】本題考查二項式定理的應用，屬于基礎題.

25.（2024?浦東新區(qū)校級四模）在（x+后>）2。的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有6項.

K祥解》利用二項展開式的通項公式求出展開式的第r+1項，系數(shù)為有理數(shù)，r必為4的倍數(shù).

【解答】解：二項式展開式的通項公式為小二,鏟?（昭方=&。（昭）”2°一丁◎涉20）

要使系數(shù)為有理數(shù)，貝什必為4的倍數(shù)，

所以廠可為0，4,8,12,16,20共6種，

故系數(shù)為有理數(shù)的項共有6項.

故答案為6

【點評】本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題.

26.（2024?青浦區(qū)二模）（￡+馬y的二項展開式中的常數(shù)項為160.

y/x

（祥解》直接利用二項式的展開式和組合數(shù)求出結果.

r3

【解答】解：根據(jù)二項式的展開式：Tr+l=Q-2-x-\r=0,1,2,3,4,5,6）,

當廠=3時，常數(shù)項為C："二胎。.

故答案為：160.

【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題.

27.（2024?徐匯區(qū)校級模擬）（尤+」）"的二項展開式的各項系數(shù)之和為256,則該二項展開式中的常數(shù)項為

x

54.

（祥解》先利用賦值法求出〃的值，然后利用展開式通項求常數(shù)項.

【解答］解:令x=l,則4"=256,

解得77=4,

k2k

所以展開式通項為：Tk+l=3C^~,k,,4旦keN,

令4-2左=0得，k=2,

故常數(shù)項為：C>32=54.

故答案為：54.

【點評】本題主要考查了二項式定理的應用，考查了賦值法的應用，屬于基礎題.

28.（2024?浦東新區(qū)校級三模）（1-2幻6的展開式的第四項為

X

（祥解』利用二項式的通項公式可求得答案.

【解答】解：P-2x）6的展開式的第四項為4=C；d）3.（-2x）3=-23*20=-160.

XX

故答案為：-160.

【點評】本題主要考查二項式定理，考查二項展開式的通項公式及特定項的求法，屬于基礎題.

29.（2024?閔行區(qū)三模）4名志愿者全部分到3所學校支教，要求每所學校至少有1名志愿者，則不同的分

法共有36種.

（祥解》先把4名志愿者分成3組，再將三組分到三所學校即可.

【解答】解：根據(jù)題意，4名志愿者分為1,1,2三組有C：=6種分法，

再將三組分到三個學校有苗=6種方法，

故不同的分法有6x6=36種.

故答案為：36.

【點評】本題考查接排列組合問題，屬于中檔題.

30.（2024?閔行區(qū)校級三模）某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽（一場為男雙，

一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所有不同的安排方法有4050種.

K祥解R先考慮兩對混雙的組合的方法，余下4名男選手和4名女選手各有3種不同的配對方法組成兩對

男雙組合，兩對女雙組合，推出結果.

【解答】解：先考慮兩對混雙的組合有種不同的方法，

余下4名男選手和4名女選手各有3種不同的配對方法組成兩對男雙組合，兩對女雙組合，

故共有2C；?3x3=4050.

故答案為：4050.

【點評】本題考查計數(shù)原理，以及排列、組合的簡單應用，是中檔題.

31.（2024?楊浦區(qū)二模）有5名志愿者報名參加周六、周日的公益活動，若每天從這5人中安排2人參加，

則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有60種.

（祥解』先選出1人在這兩天都參加的分法，然后安排其它志愿者即可.

【解答】解：有5名志愿者報名參加周六、周日的公益活動，若每天從這5人中安排2人參加，

則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有：C；?以=60（種）.

故答案為：60.

【點評】本題考查了排列組合的綜合應用，計數(shù)原理的應用，屬于中檔題.

32.（2024?楊浦區(qū)校級三模）在。+工）5的展開式中，尸項的系數(shù)是10.

X

K祥解I利用二項展開式的通項公式可求得答案.

【解答】解：在（X+』）5的展開式中，通項&]=《（3”5-r=《*5-2，&=0,1,2,5）,

XX

令5—2廠=-1,得r=3,

故一項的系數(shù)為C；=10.

故答案為：10.

【點評】本題考查二項式定理的應用，屬于基礎題.

33.（2024?黃浦區(qū)校級三模）用1~9這九個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位數(shù)中，各個數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)

的奇數(shù)共有840個.

（祥解》由排列、組合及簡單計數(shù)問題，結合分步乘法計數(shù)原理及分類加法計數(shù)原理求解.

【解答】解：用1~9這九個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位數(shù)中，各個數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)可分為2

類：

①當數(shù)位上數(shù)字為奇數(shù)且個數(shù)為2時，

則有C；CjC；M=720個；

②當數(shù)位上數(shù)字為奇數(shù)且個數(shù)為4時，

則有4=120個，

則各個數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)共有720+120=840個.

故答案為：840.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分步乘法計數(shù)原理及分類加法計數(shù)原理，屬

中檔題.

34.（2024?徐匯區(qū)模擬）將四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果

只有四種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為72.

（祥解』首先給頂點S選色，有4種結果，再給A選色有3種結果，再給3選色有2種結果，最后分兩種

情況即C與A同色與C與A不同色來討論，根據(jù)分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理得到結果.

【解答】解：設四棱錐為S-ABCD.

下面分兩種情況即C與A同色與C與A不同色來討論，

（1）S的著色方法種數(shù)為C：,A的著色方法種數(shù)為C；,3的著色方法種數(shù)為C；,

C與A同色時C的著色方法種數(shù)為1,。的著色方法種數(shù)為C；,

（2）S的著色方法種數(shù)為C：,A的著色方法種數(shù)為C；,3的著色方法種數(shù)為C；,

C與A不同色時C的著色方法種數(shù)為C：,D的著色方法種數(shù)為C；.

綜上兩類共有C：?G?C；?C；+=48+24=72種結果.

故答案為：72.

【點評】本題主要排列與組合及兩個基本原理，總體需分類，每類再分步，綜合利用兩個原理解決，屬中

檔題.

35.（2024?虹口區(qū)二模）3個男孩和3個女孩站成一排做游戲，3個女孩不相鄰的站法種數(shù)為144.

（祥解》由排列、組合及簡單計數(shù)問題，結合插空法求解.

【解答】解：3個男孩和3個女孩站成一排做游戲，3個女孩不相鄰，

先將3個男孩全排，然后在男孩之間的4個空中選3個空排3個女孩即可，

即不同的站法種數(shù)為國禺=6x24=144.

故答案為：144.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了插空法，屬中檔題.

36.（2024?浦東新區(qū)校級三模）2024年重慶市高考數(shù)學科目采用新試卷結構，我校高三年級將對來自三個

班級的9名學生(每個班級3名學生)做一項圍繞適應新試卷結構的調研，并再抽選其中的若干名學生做

訪談，要求每個班級至少有一名學生被抽中，且任意兩個班級被抽中的學生人數(shù)之和至多為3,則不同的抽

選方法數(shù)為108.

K祥解》由排列、組合及簡單計數(shù)問題，結合分類加法及分步乘法計數(shù)原理求解.

【解答】解：當三個班級的人數(shù)為”1,1,1“時，

則不同的抽選方法數(shù)為C；C；C；=27；

當三個班級的人數(shù)為”1,2,1”時，

則不同的抽選方法數(shù)為C；C；C；C；=81,

即不同的抽選方法數(shù)共有27+81=108.

故答案為：108.

【點評】本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，重點考查了分類加法及分步乘法計數(shù)原理，屬中檔題.

37.(2024?松江區(qū)二模)某校高一數(shù)學興趣小組一共有30名學生，學號分別為1,2,3,30,老師要

隨機挑選三名學生參加某項活動，要求任意兩人的學號之差絕對值大于等于5,則有1540種不同的選

擇方法.

K祥解》設挑選出的三名學生的學號分別為x,y,z,不妨設x<y<z,根據(jù)任意兩人的學號之差絕對

值大于等于5列方程，運用隔板法求解.

【解答】解：設挑選出的三名學生的學號分別為x,y,z,不妨設x<y<z,

則有恒等式x+(y-x)+(z-y)+(30—z)=30(*)，其中x..1,y-x..5,z-y..5,30—z..0,即尤..1,y-x-1..4,

z—y—4..1,31一z..1,

故(*)式為x+(y-x-4)+(z-y-4)+(31-z)=23,

上式四個正整數(shù)的和為23,相當于23個1分成四組，運用隔板法，在22個空中放3塊板，故有。以=1540

種方法.

故答案為：1540.

【點評】本題考查隔板法的應用，屬于中檔題.

10

38.(2024?普陀區(qū)校級模擬)若(f-2x+2)s=g+〃］尤+°2*2H-----Fr710x,則生=一-592_.

K祥解》由組合數(shù)以及分類加法和分步乘法計數(shù)原理即可得解.

【解答】解：(*-2x+2)5表示5個因數(shù)(無2_2x+2)的乘積.而出為展開式中的系數(shù)，

設這5個因數(shù)，_2x+2)中分別取V、-2x、2這三項分別取i,j,k個,

所以i+/+左=5,若要得到含丁的項，則由計數(shù)原理知i,j,%的取值情況如下表：

X2—2x2

i個j個上個

050

131

212

由上表可知為=Cl(-2)5+C?C：(-2)3.24-3+C；?C；(-2)1-23-1=-32+(-320)+(-240)=-592.

故答案為：-592.

【點評】本題考查的知識要點：二項式的展開式，組合數(shù)的應用，主要考查學生的理解能力和計算能力，

屬于中檔題.

39.(2024?閔行區(qū)校級三模)若(x+g,的二項展開式中第3項與第5項的系數(shù)相等，則該展開式中二的系

XX

數(shù)為6.

(祥解1直接利用二項式的展開式以及組合數(shù)的應用求出結果.

【解答】解：根據(jù)二項式的展開式該題的展開式的系數(shù)和二項式的系數(shù)相等；

即C；=C：,故〃=6；

所以(尤+1)6的二項式的展開式為=瑪.尤6-2,&=0,1,2,3,4,5,6),

X

當廠=5時，該展開式中二的系數(shù)為C；=6.

X

故答案為：6.

【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數(shù)，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題.

40.(2024?普陀區(qū)模擬)設(1+1)"=%+%%+〃2l2+3+。/”(〃..1,〃￡雙)，若見＞。4，且%＞4，則=

z=l

1023.

K祥解力根據(jù)%＞。4，且%＞4，以及二項式定理的性質可得〃=10，再令％=1可解.

【解答】解：因為(1+%)"=%+…+,若%＞。4，且。5＞。6，

則〃=10,

令x—1時，/+q+%+...+?！?210,

3^4=1,

當〃..1時，才4=210—1=1023.

i=l

故答案為：1023.

【點評】本題考查二項式定理相關知識，屬于中檔題.

12

41.(2024?嘉定區(qū)校級模擬)設(％+4產(chǎn)+q(%+3)d--F?12(x+3),則a0+4+a2-\----卜％?=4096.

(祥解』采用賦值法，令x=-2即可求出結果.

【解答】解：令％=—2,則(一2+4產(chǎn)=4+q(—2+3)+=(—2+3＞+…+/2(—2+3產(chǎn),

即a。+q+a?+???+卬2=2口—4096,

故答案為：4096.

【點評】本題考查的知識點：二項式的展開式，賦值法，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題.

42.（2024?閔行區(qū)校級三模）已知（工一1）5=%+4]了+.2尤2+/尤3+%尤4+%*5,則%的值為10.

K祥解》直接利用二項展開式和組合數(shù)求出結果.

【解答】解：已知（尤-1）5=%+q尤+°2/+/X3+。4尤4+。5元5，

根據(jù)二項展開式4+1=cr（-I）―—，，當廠=2時，a3=C；=10.

故答案為：10.

【點評】本題考查的知識要點：二項展開式，組合數(shù)，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于基礎題.

43.（2024?松江區(qū)校級模擬）若/（無）=（1+》）"'+（1+無）"（加、〃為正整數(shù)）的二項展開式中關于x的一次項系

數(shù)之和為11,則之項系數(shù)的最小值為25.

K祥解』利用二項展開式的通項公式求出展開式中含x的一次項系數(shù)和，列出方程求出機，〃的關系；利

用二項展開式的通項公式求出含f項的系數(shù)，通過等量代換轉化成二次函數(shù)的最值，求出二次函數(shù)的最值.

【解答】解：由題意/（幻=（1+無產(chǎn)+（1+幻"（根、〃為正整數(shù)）的二項展開式中關于尤的一次項系數(shù)之和為

11,知C；+C：=ll,

即7〃+〃=11,

又展開式中含f項的系數(shù)為C：+C；=g[m（m-1）+〃（〃-1）]="-11〃+55=（〃一T）2+半，

.,.當"=5或"=6時，含/項的系數(shù)最小，最小值為25.

故答案為：25.

【點評】本題考查二項展開式的通項公式的應用，等量代換，二次函數(shù)的最值的求法，是中檔題.

2424

44.（2024?黃浦區(qū)校級三模）若（2尤-1）2°=/+。/+g/+―+%（）24尤2°（尤€氏），則

],,02024=]

22^西22024O]4048--

K祥解》直接利用賦值法和二項式的展開式求出結果.

222024

[解答1解：（2元一1嚴4=/+qx+a2x+...+a2024%（xeR）