2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：導(dǎo)數(shù)（解析版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編

與敷14等教(其題3個(gè)考點(diǎn)精灌株+精選演秋株)

5年考情?探規(guī)律

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年秋考21題基本不等式、極值、最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

2023春考21題

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

2022秋考18題抽象函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用

2022春考12題極限及其運(yùn)算

5年真題?分點(diǎn)精準(zhǔn)練

一.極限及其運(yùn)算(共1小題)

1.(2022?上海)已知函數(shù)y=/(x)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于x=l對(duì)稱，且當(dāng)xe(0,1]時(shí)，

/(x)=Inx，若將方程/(x)=x+1的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為X],/，/、〃，則Hm(x〃+i-當(dāng))=2-

〃一>8

K祥解》/(X)是周期為4的周期函數(shù)，作出圖像，lim(x用-七)的幾何意義是兩條漸近線之間的距離，由

M—>00

此能求出結(jié)果.

【解答】解：?.■函數(shù)y=/(x)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于,c=1對(duì)稱，且當(dāng)x￡(0,1］時(shí)，f(x)=Inx

是周期為4的周期函數(shù)，圖像如圖：

rijin

?Yiii*

將方程/(%)=x+l的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為M,x2,%3，...9Xn9

則-七)的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2,

lim(x?+1-x?)=2.

n—>oo

1

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故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查極限的求法，考查函數(shù)的周期性、函數(shù)圖像、極限的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力，是中檔題.

二.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(共1小題)

2.(2024?上海)對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)M(a,6),定義s(x)=(x-a)2+(/(x)-6了，若存在尸(%,/(x0)),

使s(x0)是s(x)的最小值，則稱點(diǎn)尸是函數(shù)/(x)到點(diǎn)"的“最近點(diǎn)”.

(1)對(duì)于/(x)=L(x>0),求證：對(duì)于點(diǎn)"(0,0),存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸是〃x)到點(diǎn)M的“最近點(diǎn)”；

(2)對(duì)于/(尤)=",/(1,0),請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)尸，它是〃x)到點(diǎn)〃的“最近點(diǎn)”，且直線與/(x)

在點(diǎn)尸處的切線垂直；

(3)已知/(x)存在導(dǎo)函數(shù)f'(x),函數(shù)g(x)恒大于零,對(duì)于點(diǎn)點(diǎn)監(jiān)(f+1，f(t)+g(t))>

若對(duì)任意twR,存在點(diǎn)P同時(shí)是/(x)到點(diǎn)Mx與點(diǎn)M2的“最近點(diǎn)”，試判斷〃x)的單調(diào)性.

K祥解R(1)代入/(0,0),利用基本不等式即可；

(2)由題得s(無(wú))=(x-l)2+e2，，利用導(dǎo)函數(shù)得到其最小值，則得到P,再證明直線與切線垂直即可；

(3)根據(jù)題意得到.(%)=52，(%)=0,對(duì)兩等式化簡(jiǎn)得/'(%)=-—匚，再利用“最近點(diǎn)”的定義得到不等

g(0

式組，即可證明/=入最后得到函數(shù)單調(diào)性.

【解答】解：(1)當(dāng)M(0,0)時(shí)，5(x)=(x-0)2+(--0)2=X2+-^...2,X2~=2,

XX\X

當(dāng)且僅當(dāng)V=與即X=1時(shí)取等號(hào),

X

故對(duì)于點(diǎn)A/(0,0),存在點(diǎn)P(l,l),

使得該點(diǎn)是Af(0,0)在的“最近點(diǎn)”；

(2)由題設(shè)可得s(x)=(x-以+(/-0)2=(x-以+e2x,

則s'(x)=2(x-l)+2e3因?yàn)閥=2(x-l),y=2/工均為尺上單調(diào)遞增函數(shù),

則s'(x)=2(x-1)+2e2%在R上為嚴(yán)格增函數(shù)，

而s'(0)=0,故當(dāng)x<0時(shí)，s<x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，s[x)>0,

故s(x)加“=s(0)=2,此時(shí)尸(0,1),

Wf'(x)=ex,k=f'(O)~1,故f(x)在點(diǎn)尸處的切線方程為y=x+l,

0-1

\^\k=--=-1,故如.?左=-1，故直線與y=〃x)在點(diǎn)尸處的切線垂直?

MP1-0

(3)設(shè)1(x)=(xT+1)2+(/(x)-/(/)+g(f))2,

S2(X)=(尤T-1)2+(/(X)-/(0-g(f))2,

2

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而1(x)=2(x-7+1)+2(/(x)-f(t)+g⑺)/'(x)，

ST(X)=2(X-Z-1)+2(/(X)-,

若對(duì)任意的feR,存在點(diǎn)尸同時(shí)是〃；，A/?在〃x)的''最近點(diǎn)”，

設(shè)P(x(),y0),則/既是S](x)的最小值點(diǎn)，也是S2(x)的最小值點(diǎn),

因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域均為R,則%也是兩函數(shù)的極小值點(diǎn)，

則存在使得Sr(x())=S2，(Xo)=0,

即“(%)=2(%T+1)+2r(x°)[/(x0)-/(0+g⑺]=0，①

“(%)=2(x°—-1)+2r(%)[/(%)-f(t)-g?)]=0,②

由①②相等得4+4g?)./<%)=。即1+/'(%)g(f)=0，

即/(%)=-▲,又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在定義域火上恒正，

g(。

則/Vo)=-一二＜0恒成立，

g(0

接下來(lái)證明/=:,

因?yàn)閄。既是SI(x)的最小值點(diǎn)，也是s?(x)的最小值點(diǎn),

則1(%)?S?)，52(xo)?5(0,

2

即(X0-t+I)+(/(X0)-/(O+g(。)；,1+(g(f)>，③

(X。T一I)?+(/(X0)-/(/)-g(f))2?1+(g(/))2,④

③+④得2(x0-)2+2+2[/(x0)-/■(52+2g2⑺”2+2g2⑺,

即(％-)2+(/(%)-/(OR,0，因?yàn)?%-)2...0,(/(%)1%)咒0

則°，解得X。=/,

/(^o)-/(O=o°

則/0)=——1—＜0恒成立，因?yàn)閞的任意性，則“X)嚴(yán)格單調(diào)遞減.

g(0

【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式，極值、最值的求解，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等，屬于難題.

三.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值(共1小題)

3.(2023?上海)已知函數(shù)/'(%)=+1)/+工，g(x)=kx+m(其中a..O,k,meR),若任意xe[0,

1]均有/(x),g(x),則稱函數(shù)＞=8。)是函數(shù)y=f(x)的“控制函數(shù)”，且對(duì)所有滿足條件的函數(shù)y=g(x)在

x處取得的最小值記為『(x).

(1)若。=2,g(x)=x,試判斷函數(shù)y=g(x)是否為函數(shù)y=〃x)的“控制函數(shù)”，并說(shuō)明理由;

⑵若八°'曲線y=/(x)在處的切線為直線＞=3)’證明：函數(shù)＞=3)為函數(shù)片〃x)的“控

3

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制函數(shù)”，并求了勺)的值；

(3)若曲線y=/(x)在x=%,與e(0,1)處的切線過(guò)點(diǎn)(1,0),且ce[x(),1],證明：當(dāng)且僅當(dāng)c=x0或c=l

時(shí)，f(c)=/(c).

K祥解U(1)設(shè)h(x)=f(x)~g(x)=2x3—3尤2,h'(x)=6x2-6x=6x(x-1),當(dāng)xe[0,1]時(shí)，易知

/i'(x)=6x(x-1)?0,即〃(x)單調(diào)減,求得最值即可判斷；

(2)根據(jù)題意得到/(x)?h(x),即尸根x)為函數(shù)y=/(x)的“控制函數(shù)"，代入即可求解;

(3)f(x)=ax-(a+1)JC2+x,「(x)=Box2-2(.+l)x+1,y=/(x)在x=x。ge(0,1))處的切線為f(x),

求導(dǎo)整理得到函數(shù)/(x)必是函數(shù)>=/(%)的“控制函數(shù)"，又此時(shí)“控制函數(shù)"g(x)必與y=相切于X

點(diǎn)，心)與>=/。)在》='處相切，且過(guò)點(diǎn)(1,0),在之間的點(diǎn)全在使得y=/(x)在切線下方，所

2a2a

以/(。)=/(c)=>c=—=/或c=1,即可得證.

2a

【解答】解：(1)f(x)=2x3-3x2+x,設(shè)/z(x)=/(x)-g(x)=2d一3一,

1(x)=6x?-6x=6x(x-1),當(dāng)工￡[0,1]時(shí),易知〃(%)=6x(x-l)”0,即%(%)單調(diào)減，

h

二?Mmax=%(0)=0,即/(x)-g(x)?0n/(x)?g(x),

.?.g(x)是/(%)的“控制函數(shù)”；

(2)/(x)=-x2+JG)="2x+"(；)=|,

/./z(x)=—(x--)+—=—x+—,f(x)-h(x)=-x2+—x--=-(x--)2<0，

24162162164

/.f(x)?h(x)，即y=h(x)為函數(shù)y=/(x)的“控制函數(shù)”，

證明：(3)f(x)=ay?-(a+l)x2+x,f\x)=3tzx2-2(a+l)x+1,

y=/(x)在x='o(%oe(0,1))處的切線為?x)，

*X)=/'(%0)(%-/)+/(%)，?0)=/(%)，，⑴=0n/⑴=0,

2

f'(x°)=3%2-2(。+l)x0+1n/(%)(1—%)=/(I)-/(%)=(1—+X0+X0)-(6/+1)(1+x0)+l]

22111

3ax。-2(q+l)x0+1—cix^—=>(2tzXg_1)(XQ—1)—0,XQw1ci-----G(-,+co)=>x°——，

2x022a

111

2772

f'(x0)=3ax0-2(a+l)x0+1=3a(—)-2(a+1)(—)+1=——，

2a2a4Q

/(%)=吟…+1)(獷+:=*

4

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*1

f(x)=/'(%)(x-x0)+/(x0)=---(x--!-)+=，(x)=一：(x-1),

4a2a8。4。

f(x)-x(x—l)(ax-1)(f(x)=>ax2—xH-----20,(x------了20恒,

4。2a

函數(shù)￡(x)必是函數(shù)歹=/(x)的“控制函數(shù)

Vg(x)=kx+m>/(x)nV7(x)>/(x),/(x)=/(X),XG(0,1)是函數(shù)>=/(x)的“控制函數(shù)"，

此時(shí)“控制函數(shù)"g(x)必與y=/(x)相切于x點(diǎn)，心)與y=/(%)在、=工處相切，且過(guò)點(diǎn)(1,0)，

2a

在(工,1)之間的點(diǎn)全在使得丁=/(%)在切線的下方，所以『(0)=/(0)=。='=/或。=1,

2a2。

所以曲線〉=/(x)在％=x0(x0G(0,1))處的切線過(guò)點(diǎn)(1,0),且cc[%o,1],

當(dāng)且僅當(dāng)c=x0或。=1時(shí)，/(c)=/(c).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于難題.

1年模擬?精選?？碱}

一.選擇題(共9小題)

1.(2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬)現(xiàn)有一球形氣球，在吹氣球時(shí)，氣球的體積廠(單位：為與直徑d(單位：dm)

JI#

的關(guān)系式為憶="，當(dāng)d=2加1時(shí)，氣球體積的瞬時(shí)變化率為()

6

A.InB.%C.-D.-

24

K祥解X直接根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義求解即可.

7l(2+A6?)27ix22

【解答】解：氣球體積在[2,2+△刈內(nèi)平均變化率為叱=—-------J=2n+兀叢d+土?(4dY,

△d4d6

所以當(dāng)d=2而i時(shí)，氣球體積的瞬時(shí)變化率為lim—=lim[2^+^A^+--(At/)2)]=2^.

△d-o4do6

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了瞬時(shí)變化率，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)/(x)和g(x)在區(qū)間[a,6]上的圖象如圖所示，那么下列說(shuō)法正確

的是()

5

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A./(x)在a到6之間的平均變化率大于g(x)在a到6之間的平均變化率

B./(x)在a到b之間的平均變化率小于g(x)在a到b之間的平均變化率

C.對(duì)于任意/e(a,b),函數(shù)〃x)在x=/處的瞬時(shí)變化率總大于函數(shù)g(x)在x=%處的瞬時(shí)變化率

D.存在x°e(a,b),使得函數(shù)在x=x。處的瞬時(shí)變化率小于函數(shù)g(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率

K祥解X由函數(shù)在某一區(qū)間上的平均變化率的定義，可以判定選項(xiàng)N、8錯(cuò)誤；

由函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)在該點(diǎn)處的切線的斜率，可以判定選項(xiàng)C錯(cuò)

誤，D正確.

【解答】解：對(duì)于/、B,?:/(x)在a到b之間的平均變化率是/⑹-/⑺,

b-a

g(x)在a到b之間的平均變化率是g(b)-g⑷,

b-a

「⑹-/(“)=g(6)-g(“),即二者相等；

b-ab-a

二.選項(xiàng)/、3錯(cuò)誤；

對(duì)于C、■函數(shù)/(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)〃x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，

即函數(shù)“X)在該點(diǎn)處的切線的斜率，

同理函數(shù)g(x)在X=X。處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)g(x)在X=X。處的導(dǎo)數(shù)，

即函數(shù)g(x)在x=x0處的切線的斜率，

由圖形知，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合平均變化率與瞬時(shí)變化率以及導(dǎo)數(shù)的幾何意

義，判定每一個(gè)選項(xiàng)是否正確，是基礎(chǔ)題.

3.(2024?閔行區(qū)校級(jí)三模)計(jì)算：limSin2(X+/z)~sin(2x)=()

2。h

A.0B.cos2xC.2cosxD.2cos2x

K祥解》根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答】解:1皿.2人〃)-$山(2外=⑸9疔=2cos2x.

△->0h

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

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2020-2024年五年高考真題分類匯編

4.(2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模)下列各式中正確的是()

A.(3)=3'加3B.(logax)'=—

C.(3，y=3，TD.(5=3』

K祥解力逐一求導(dǎo)驗(yàn)證可得結(jié)果.

【解答】解：(39=3%3,N正確，C錯(cuò)誤；

(/og“x)'=」一，2錯(cuò)誤；

xlna

(4/=-4-。錯(cuò)誤.

XX

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，是基礎(chǔ)題.

5.(2024?青浦區(qū)二模)如圖，已知直線>=履+機(jī)與函數(shù)y=/(x),xe(a,6)的圖像相切于兩點(diǎn)，則函數(shù)

歹=/可-履有()

A.2個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn)B.3個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)

C.2個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)D.3個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)

K祥解》由圖象可得函數(shù)/(X)在極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，得到尸(X)的符號(hào)，判斷"X)的極值點(diǎn)的情

況，從而判斷N8C。的正誤.

【解答】解：?.?直線y=履+〃?與曲線y=/(x)相切于兩點(diǎn),

:.kx+m=/(x)有兩個(gè)根，且/(x),kx+m,

由圖象知m<0,令F{x)=f(x)-kx,

由圖可知，函數(shù)/(x)有3個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn),

而F'(x)=f'(x)-k,

設(shè)/(x)的三個(gè)極大值點(diǎn)分別為c,d,e,兩個(gè)極小值點(diǎn)分別為g.

則在c,d,e的左側(cè)，f\x\..k,在c,d,e的右側(cè)，/f(x)<k,此時(shí)函數(shù)尸(x)=/(x)-fee有3個(gè)極大

值，

在7,g的左側(cè)，f\x)<k,在/,g的右側(cè)，f'{x\.k,此時(shí)函數(shù)F(x)=/(x)-質(zhì)有2個(gè)極小值，

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2020-2024年五年高考真題分類匯編

故函數(shù)/(x)=/(x)-履有5個(gè)極值點(diǎn)，3個(gè)極大值，2個(gè)極小值.

故3正確，/錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷以及極值的判斷，考查導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，考查數(shù)

形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.

6.(2024?金山區(qū)二模)設(shè)/(X)=X3-3X,有如下兩個(gè)命題：

①函數(shù)y=的圖像與圓尤2+必=1有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)；

②存在唯一的正方形月BCD,其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)y=/(x)的圖像上.

則下列說(shuō)法正確的是()

A.①正確，②正確B.①正確，②不正確

C.①不正確，②正確D.①不正確，②不正確

K祥解》對(duì)于①：根據(jù)題意可得/(x)為奇函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，又/(-1)=2,/(1)=-2,即可判斷

①是否正確；

對(duì)于②:根據(jù)對(duì)稱性,假設(shè)正方形的中心在原點(diǎn)，設(shè)OA直線方程為y=丘，直線的方程y=，設(shè)NG,

k

必)，B(X2,%),分別聯(lián)立V=d-3x,解得X],%2，由解得左，即可得出答案.

【解答】解：對(duì)于①：/(X)為奇函數(shù)，八尤)=3尤2-3,

當(dāng)xe(-1,1)時(shí)，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，且〃-1)=2,f(1)=-2,

則函數(shù)/(x)的圖像與圓x?+/=1有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，故①正確；

對(duì)于②：根據(jù)對(duì)稱性，假設(shè)正方形的中心在原點(diǎn)，

設(shè)直線方程為y=依，直線08的方程>=

k

設(shè)4(%，乂)，B(X2，%),

聯(lián)立廠=丫，則無(wú)：=k+3,同理可得君=3-L,

=x-3xk

由得，+=+,即/+343—3左+1=0,

所以(/+2左一1)(r+左一1)=。,

角牟得k=-1-G或后=一1土-41,

2

所以不止一個(gè)正方形/8C。，其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)y=/(x)的圖像上，故②不正確.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

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2020-2024年五年高考真題分類匯編

7.(2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)》=/(x)的定義域?yàn)?0,2),則下列條件中，能推出1一定不是>=/(x)

的極小值點(diǎn)的為()

A.存在無(wú)窮多個(gè)/e(0,2),滿足/(工0)</(1)

B.對(duì)任意有理數(shù)x°e(0,1)0(1,2),均有(1)

C.函數(shù)y=在區(qū)間(0,1)上為嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間(1,2)上為嚴(yán)格增函數(shù)

D.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,1)上為嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間(1,2)上為嚴(yán)格減函數(shù)

K祥解X根據(jù)極值的定義，結(jié)合選項(xiàng)，即可得出結(jié)果.

【解答】解：由極值的定義可知，當(dāng)函數(shù)y=/(x)在x=l處取得極小值時(shí)，

在X=1左側(cè)的函數(shù)圖象存在點(diǎn)比X=1處的函數(shù)值小，

在x=l右側(cè)的函數(shù)圖象存在點(diǎn)比x=l處的函數(shù)值小，故排除N,B；

對(duì)于C,函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,1)上為嚴(yán)格減函數(shù)，

在區(qū)間(1,2)上為嚴(yán)格增函數(shù)，則x=1是函數(shù)的極小值點(diǎn)；

對(duì)于D,函數(shù)y=在區(qū)間(0,1)上為嚴(yán)格增函數(shù)，

在區(qū)間(1,2)上為嚴(yán)格減函數(shù)，則x=1不是函數(shù)的極小值點(diǎn).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬于中檔題.

8.(2024?閔行區(qū)校級(jí)三模)已知函數(shù)〃x)=x2+2歷x的圖像在/(乃，〃xj),B(x2,/(%))兩個(gè)不同點(diǎn)處

的切線相互平行，則下面等式可能成立的是()

A.%]+%=2B.X]+12=C.再入2=2D.X]%=

(祥解力求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得2再+e=2%+上，再由西〉0、%>。、玉工、2，即可得至曦涇=1，

石x2

最后由基本不等式求出玉+々的范圍，即可判斷.

【解答】解：由/(X)=X2+2/〃X,得r(x)=2x+4,

X

22

r

則/'(再)=2再+—，f(x2)=2x2+—，

石x2

上,22

依題意可得2%id—=2X2H,且演〉0、x2>0>演"工2，

演x2

x{x2=1,貝！J再+%>2dxix2=2,

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)X]、々分別取3、；時(shí)，再+'2=]滿足題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，是中檔題.

9

2020-2024年五年高考真題分類匯編

9.（2024?閔行區(qū)校級(jí)二模）已知/（%）是尺上的單調(diào)遞增函數(shù)，Vxe（0,+oo）,不等式

/（—冽）+/（如）,,/（1+冽）+/（1—如）恒成立，則冽的取值范圍是（）

xx

A.(-oo,eB.[-,+■?)C.(-00,1+-]D.[--l,+oo)

eee

K祥解》令g（x）=-/（1-X）在R上是增函數(shù)，不等式/（-m）+/（—）?/（1+m）+“1-螭）恒成立等價(jià)

XX

于g(—)?g(l+⑼，所以1+冽…—,h(x)=—(x>0),轉(zhuǎn)化為I+.鳳琦皿.

xXX

【解答】解：依題意，g（x）=/（x）-/（I-%）在A上是增函數(shù),

Vxe(0,+?)),不等式/(-m)+/(—)?/(I+m)+/(I-也)恒成立,

XX

即/（蛆）-/（1-蛆/（1+加）-/（-加）恒成立，

XX

等價(jià)于g（媽）,,g（/+"）恒成立,

X

1Inx

]+加...—

x

令h(x)=的>0)，

x

貝！I〃(x)=—"(x>0),

x

易得"（x）加工="（e）=-

e

ee

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.

二.填空題（共22小題）

10.（2024?嘉定區(qū)二模）已知曲線＞=；/上有一點(diǎn)尸q,|）,則過(guò)尸點(diǎn)的切線的斜率為4或I

K祥解》根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將x=2代入計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①尸為切點(diǎn)，曲線了=其導(dǎo)數(shù)了，=苫2,則均7=4,

即過(guò)尸點(diǎn)的切線的斜率后=4；

3

②尸不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（見(jiàn)?），

10

2020-2024年五年高考真題分類匯編

曲線＞其導(dǎo)數(shù)V=f,則川,二產(chǎn)療，

則有冽2=/,解可得加=-1或2（舍），

m—2

此時(shí)切線的斜率左=m12=1.

綜合可得：切線的斜率為4或1.

故答案為：4或1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，涉及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2024?靜安區(qū)二模）已知物體的位移d（單位："）與時(shí)間/（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系1=2sinf,則在

時(shí)間段，￡（2,6）內(nèi)，物體的瞬時(shí)速度為1加/s的時(shí)刻芋—（單位：s）.

K祥解》可求出導(dǎo)函數(shù)d=2cos，然后求出d=l時(shí)的導(dǎo)數(shù)即可.

【解答】解：由題可得：d'=2cosZ=1,

可得cost=—，

2

又f￡（2,6）,

可得”至.

3

故答案為：—.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的物理意義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）某酒杯上半部分的形狀為倒立的圓錐，杯深8c機(jī)，上口寬6c加，若以為療於

的勻速往杯中注水，當(dāng)時(shí)間為3s時(shí)，酒杯中水升高的瞬時(shí)變化率是加/s.

9\71

K祥解力設(shè)I時(shí)刻水面高為/?,水面圓半徑為r,用〃表示r,求出圓錐中水的體積，根據(jù)杯中水的體積列

方程求出〃關(guān)于Z的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求瞬時(shí)變化率即可.

【解答】解：由題意，設(shè)f時(shí)刻水面高為〃，水面圓半徑為r,貝口=3,即廠=3人，

h88

則此時(shí)水的體積為工4%=—h3，

364

又以3c疝/s的勻速往杯中注水，則此時(shí)水的體積為比，即3/=包/7，

64

則〃=（一64/）-3,所以〃，⑺=1—x（6—4戶---3,

71371

當(dāng)E=3s時(shí)，/（3）=-1x（—64）-3x3--3=4-（-）-3=~4^~.

3719719\71

11

2020-2024年五年高考真題分類匯編

故答案為：.

9\7t

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

13.(2024?青浦區(qū)二模)如圖，某酒杯上半部分的形狀為倒立的圓錐，杯深8c加，上口寬6c加，若以30c疝/$

40

的勻速往杯中注水，當(dāng)水深為4cm時(shí)，酒杯中水升高的瞬時(shí)變化率v=_—_cm/s.

37r

K祥解』由導(dǎo)數(shù)物理意義，結(jié)合變化的快慢與變化率及求導(dǎo)公式求解即可.

【解答】解：由題意，設(shè)i時(shí)刻水面高為“，水面圓半徑為廠，

則二,

h8

即r=—〃,

8

則此時(shí)水的體積為L(zhǎng)x〃X尸2X〃=^-h3,

364

又以30c冽3/s的勻速往杯中注水，

則此時(shí)水的體積為30，

即30%=%3,

64

日口7640r1

即〃=(z---＞，

71

日口7,/、1,6401

即〃⑺=_x(——)3/3,

371

又當(dāng)水深為4c加時(shí)，

即為=4時(shí)，t=—

10

40

即酒杯中水升高的瞬時(shí)變化率？=絲0加/5,

3萬(wàn)

40

故答案為:

3K

12

2020-2024年五年高考真題分類匯編

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)物理意義，重點(diǎn)考查了變化的快慢與變化率，屬基礎(chǔ)題.

14.(2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬)已知函數(shù)f(x)=2r(3)-x-■|/+加，則/(1)=_y_.

K祥解X對(duì)〃x)求導(dǎo)，再代入x=3,從而求得(3)=1,進(jìn)而得到〃X)=2X-$2+/“X,由此計(jì)算可

得了(1).

941

【解答】解：因?yàn)?x)=2r(3)-x—x2+lnx,所以廣。)=2/(3)——x+—,

99x

41

貝|」((3)=2/(3)-1+§,解得：f(3)=1,

001A

所以/(x)=2x--x2+Inx,貝!J/(I)=2—/9=互.

故答案為：

9

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)求導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.(2024?寶山區(qū)三模)若直線X+〉+Q=0與曲線y=x—2方x相切，則實(shí)數(shù)a的值為_一2_.

K祥解X根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.

【解答】解：設(shè)切點(diǎn)尸為。"-2/加)，

7

又1/=ff(x)=1，根據(jù)題意可得:

=1——=—1Jt=\J

.?.切點(diǎn)尸為(1,1),又尸在直線X+》+Q=0上，

2+a=0,

a=-2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題.

16.(2024?普陀區(qū)校級(jí)三模)曲線/(x)=/(x2一x—l)在點(diǎn)(0,〃0))處的切線方程是_y=-2x-l_.

K祥解》求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再由斜截式求出切線方程.

【解答】解：因?yàn)?(x)=e%x2-x-1),所以/(0)=-1,f'(x)=ex(x2+x-2),

則/(0)=-2,即切點(diǎn)為(0,-1),切線的斜率為廣(0)=-2,

所以切線方程為了=-2》-1.

故答案為：y=—2x-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.(2024?浦東新區(qū)校級(jí)三模)設(shè)曲線〃x)=ae'+6和曲線g(x)=cosm+c在它們的公共點(diǎn)尸(0,2)處有相

13

2020-2024年五年高考真題分類匯編

同的切線，則供+c的值為2.

K祥解》根據(jù)兩曲線在點(diǎn)(0,2)處有相同的切線，可得.，b,c的值，進(jìn)而得解.

【解答】解：依題意，ae°+b=a+b=2,cosO+c=l+c=2,

則c=1,

又f'(x)=ae*,g，(x)=-(sin(x，

則r(0)=a,g，(0)=0,

故函數(shù)/(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y-2=ax,即y=ax+2,

函數(shù)g(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y=2,

依題意，a=0>b—2,

貝/+c=2°+l=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.(2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模)(文)曲線了=d-4x在點(diǎn)(1,3)處的切線傾斜角為

K祥解》求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論.

【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為/")=3/-4,

則函數(shù)在點(diǎn)(1,3)處的切線斜率左=/，(1)=3-4=-1,

tan包=7

4

曲線了=Y-4x在點(diǎn)(1,3)處的切線傾斜角為今,

故答案為：—

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

19.(2024?金山區(qū)二模)設(shè)/(x)=x3+ox2+x(aeR),若y=/(x)為奇函數(shù)，則曲線y=〃x)在點(diǎn)(0,0)處

的切線方程為—y=x—.

k祥解》由函數(shù)奇偶性的定義求解。值，可得函數(shù)解析式，再求其導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)值，

求出/(0)的值，然后利用直線方程的斜截式得答案.

【解答】解：,."(x)=x3+&+x(acR)為奇函數(shù),

：.f(—x)+f(x)=—x3+ax2—x+x3+ax2+x—lax1—0恒成立，

貝!Ja=0,f(x)-x3+x,

/,(X)=3X2+1,得/(0)=1,

又40)=0,.?.曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x.

14

2020-2024年五年高考真題分類匯編

故答案為：y=x.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性性質(zhì)的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是基礎(chǔ)題.

20.(2024?虹口區(qū)二模)已知關(guān)于x的不等式(上工-紅)[工2一(左+3)x+4],0對(duì)任意x￡(0,+co)均成立，則實(shí)數(shù)

上的取值范圍為1]_.

e

K祥解》分兩個(gè)情況：當(dāng)人,0時(shí)，當(dāng)左>0,分析方程左端是否符合題意，令f(x)=lnx-kx,

g(x)=x2-(A:+3)x+4,分析單調(diào)性，極值，當(dāng)/(x)在x軸下方，g(x)在x軸上方時(shí),

50/(-)>0

k,當(dāng)〃x)與g(x)有相同的零點(diǎn)時(shí)，<k，可得左的取值范圍.

,k+3

g(虧)>。g(^-)<0

【解答】解：當(dāng)上,0時(shí)，xf+oo時(shí)，lnx-kx>0,/_(后+3)%+4>0,左邊必然大于0,不滿足題意,

所以左>0,

令f(x)=Inx-kx,=--k,

x

ck

g(x)=x2_/+3)x+4,對(duì)稱軸為％=±^2>(),開口向上，有最小值,

令r(x)=0,解得％=，為/(x)極大值點(diǎn)，

k

情況一：/(X)在X軸下方，g(x)在X軸上方，

/(7>,0.

即《，得不等式組的解集為士，左,1,

>+3e

g(—^)>0

情況二：/(X)與g(x)有相同的零點(diǎn)，

/(-)>0

此時(shí)左，得不等式組的解集為左無(wú)解,

/左+3、

g(——)<0

綜上所述，^e[-,1].

e

故答案為：d,1].

e

15

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【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.(2024?閔行區(qū)校級(jí)三模)中國(guó)古代建筑的主要受力構(gòu)件是梁，其截面的基本形式是矩形.如圖，將一

根截面為圓形的木材加工制成截面為矩形的梁，設(shè)與承載重力的方向垂直的寬度為x,與承載重力的方向平

行的高度為y,記矩形截面抵抗矩沙=根據(jù)力學(xué)原理，截面抵抗矩越大，梁的抗彎曲能力越強(qiáng)，則

寬x與高y的最佳之比應(yīng)為—年一

k祥解》根據(jù)已知條件，先求出w(x)的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【解答】解：設(shè)圓的直徑為d,

貝1Jx1+y2=d2,即y2=d2-x2,

W--xy2=-x(-3x2+d2)--(-x3+t/2x)(0<x<d),

666

ic

令/(x)=—(-3x2+/)=0,解得x=L",

63

令jr(x)>0,解得0<x<，4,故w(x)在(0,浮)上單調(diào)遞增，

令人(x)<0,解得故w(x)在(浮，d)上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=時(shí)，少(x)取得最大值，

此時(shí)了

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2020-2024年五年高考真題分類匯編

故答案為：》

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

22.（2024?徐匯區(qū)模擬）如圖，兩條足夠長(zhǎng)且互相垂直的軌道'、4相交于點(diǎn)。，一根長(zhǎng)度為8的直桿N3

的兩端點(diǎn)/、3分別在乙、乙上滑動(dòng)（，、3兩點(diǎn)不與。點(diǎn)重合，軌道與直桿的寬度等因素均可忽略不計(jì)）,

直桿上的點(diǎn)尸滿足。則AO4P面積的取值范圍是

K祥解工根據(jù)已知條件，先求出公。4尸的面積，再結(jié)合三角函數(shù)的有界性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

性，即可求解.

【解答】解：設(shè)NCU尸=6e(0,9),

貝1CU=8cose,。尸=ONsine=4sin26,N尸=8cos?6=4(1+cos2。)，

故AOAP的面積S=；NP-OP=8sin20(1+cos20)=32sin9cos36,

令％=2?！?0"),

則S=/(x)=8sinx(l+cosx),

f'(x)=8[cosx(l+cosx)-sin2x]=8(cosx+1)(2cosx-1),

當(dāng)xe嗚）時(shí)，仆）＞0,/（x）在%）上單調(diào)遞增，

當(dāng)尤嗎㈤時(shí),f'（x）＜0,/（x）在g㈤上單調(diào)遞減,

故/⑴…=/g）=6g，

/（0）=/（萬(wàn)）=0,

故ACM尸面積的取值范圍是（0,673].

故答案為：（0,6向.

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【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

23.(2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模)函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式為〃X)=2X3-5X2-4X,如果/(a)=/(b)=/(c)

,,.1o

S.a<b<c,貝!labc的取值范圍為—(-6,—)—.

K祥解》利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出函數(shù)的大致圖象，令/(a)=/(b)=/(c)=k,

可得后的范圍，貝!l/(x)-左=0的三個(gè)根為a,b,c,從而可得2d-5x,-4x-4=2(x-a)(x-b)(x-c),右

邊去括號(hào)即可得解.

【解答】解：/'(無(wú))=6尤2_10x-4=2(3無(wú)+l)(x-2),

當(dāng)x>2或x<-；時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)-g<x<2時(shí)，f'(x)>0,

所以函數(shù)的增區(qū)間為(-8,—),(2,+8),減區(qū)間為(-；,2),

則函數(shù)“X)的極大值為極小值為/(2)=-12,

作出函數(shù)/(x)的大致圖象，若/(a)=/(b)=/(c)S.a<b<c,

令/(a)=f(b)=f(c)=k,貝I」左￡(—12,苗)，

即/(x)—左=0的三個(gè)根為〃，b,c,

即2x3-5x2-4x-k=2(x-〃)(x-Z))(x-c),

又2(x-a)(x-b){x一c)=2x3-2(a+6+c)x2+2(ab+ac+bc)x-2abc,

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

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2020-2024年五年高考真題分類匯編

24.(2024?徐匯區(qū)模擬)已知函數(shù)/(工)=X3+2加/一〃%+加在％=1處有極值0,貝I」冽+〃=_

，⑴=°,解方程，即可求解.

k祥解》由題可得

/'⑴=0

【解答】解：因?yàn)?(x)=X3+2加￥一+加，

所以/'（X）=3—+4mx-n，

根據(jù)題意可得:

1+2m-w+m=0

3+4m-n=0

m=-2

解得

n=-5

經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，

所以加+〃=一7.

故答案為：-7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，方程思想，屬中檔題.

25.(2024?閔行區(qū)校級(jí)二模)已知函數(shù)〃x)=2x+a,g{x}=lnx-1x,如果對(duì)任意的士,馬eg,2],都有

/(%,)?go?)成立，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是_(-8-勿2-8]_.

K祥解工求導(dǎo)函數(shù)，分