數(shù)學知識導航：4三角函數(shù)的圖象與性質

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.4三角函數(shù)的圖象與性質知識梳理1.正弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象都可借助單位圓中的三角函數(shù)線作出.2.正弦曲線與余弦曲線的關系我們知道y=cosx=sin（+x)（x∈R)，由此可知，余弦函數(shù)y=cosx的圖象與正弦函數(shù)y=sin(+x)（x∈R)的圖象相同，于是把正弦曲線向左平移個單位就可得到余弦函數(shù)的圖象.3.一般地，對于函數(shù)y=f(x）,如果存在一個不為零的常數(shù)T,使得當x取定義域內的每一個值時，f（x+T)=f（x）都成立，那么就把函數(shù)y=f(x）叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。4。正弦、余弦、正切函數(shù)的主要性質函數(shù)性質y=sinxy=cosxy=tanx定義域RR｛x|x≠+kπ,k∈Z｝值域［—1，1]［-1，1］R周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調性增區(qū)間［+2kπ,+2kπ］（k∈Z)［—π+2kπ，2kπ］（k∈Z）(+2kπ，+2kπ)（k∈Z）減區(qū)間[+2kπ,+2kπ］（k∈Z）［2kπ，2kπ+π]（k∈Z)無對稱性對稱中心(kπ，0)(k∈Z)(kπ+，0）（k∈Z）（k，0）(k∈Z）對稱軸x=kπ+(k∈Z）x=kπ(k∈Z）無知識導學要學好本節(jié)內容,可借助一定的實例展現(xiàn)正弦函數(shù)的圖象，對這類函數(shù)圖象有一個直觀的了解。利用單位圓中的正弦線畫出y=sinx在一個周期內的圖象,再經(jīng)平移得出y=sinx(x∈R)的圖象,然后利用誘導公式經(jīng)過平移變換得出y=cosx的圖象.從觀察圖象上的關鍵點，體會“五點法”畫簡圖的方法。借助圖象的支持來學習正、余弦函數(shù)性質。通過展示三角函數(shù)具有f(x+T）=f（x)的特征，由此引入函數(shù)周期性，體會周期性是三角函數(shù)的重要性質.對于正切函數(shù)，可以先認識其性質,再畫圖象,為此在圖象產(chǎn)生后，可以反過過來利用圖象觀察性質。疑難突破1。為什么y=sinx不在［0，2π］上考查單調性,而選用［，］？剖析：因為在［0，2π］上y=sinx的增區(qū)間有兩部分，表達起來不集中，而在一個周期［，］上,單調增減區(qū)間都分別只有一個,所以表達正弦函數(shù)所有單調區(qū)間時相對簡單些。2。除原點外正弦函數(shù)y=sinx圖象還有沒有其他的對稱中心？剖析:將ｙ軸左移或右移π個單位，2π個單位,3π個單位，…即ｋπ（k∈Z)個單位，正弦函數(shù)圖象的對稱中心也可以是點（π，０），點（2π，０)，…，點（ｋπ，０）(k∈Z）.由此可知正弦函數(shù)圖象有無數(shù)個對稱中心(ｋπ，０）（k∈Z)。它們是圖象與x軸的交點，亦即圖象和其平衡位置的交點，可以看出正弦函數(shù)圖象也具有軸對稱性.所有的對稱軸為x=ｋπ＋(k∈Z），它們是過圖象的最高或最低點而與x軸垂直的直線。3.如何理解三角函數(shù)圖象的五點法作圖？剖析:y=sinx，x∈［0，2π]的圖象上有五點起決定作用，它們是（0，0）(，1）,（π，0）,（,—1），(2π，0）描出這五點后,其圖象的形狀基本上就確定了.(0，1）（,0），（π,-1),（，0)，（2π，1）這五點描出后，余弦函數(shù)y=cosx，x∈［0，2π］的圖象的形狀也就基本上確定了，因此可以用五點法作余弦函數(shù)y=cosx圖象,如圖1—4—1：圖1-4-1所以，在精確度要求不太高時,我們常常先找出這五個點，然后再用平滑的曲線將它們連接起來，就得到在相應區(qū)間內正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖，這種方法叫五點法。注意：（1）五點法是我們畫三角函數(shù)圖象的基本方法,要切實掌握好，與五點法作圖有關的問題曾出現(xiàn)在歷屆高考試題中.（2）作圖象時，函數(shù)自變量要用弧度制,這樣自變量與函數(shù)值均為實數(shù)，因此,在x軸、y軸上可以統(tǒng)一單位，作出的圖象正規(guī),利于應用.4.如何理解正弦、余弦、正切函數(shù)的性質？剖析：（1）正弦、余弦、正切函數(shù)的性質都能從其圖象上得到體現(xiàn),所以熟練掌握函數(shù)圖象是理解性質的關鍵，而性質反過來又可幫助我們正確地作出函數(shù)的圖象，因此圖象與性質相輔相承，圖象是性質的載體，性質又決定了圖象的特征.（2)正切函數(shù)y=tanx，x∈（kπ,kπ+）(k∈Z）是單調增函數(shù)，但不能說函數(shù)在其定義域內是單調函數(shù)。（3）正弦曲線、余弦曲線的對稱軸一定分別過正弦曲線、余弦曲線的最高或最低點,即此時的正弦值、余弦值為最大值或最小值.(4)正弦曲線、余弦曲線、正切曲線的對稱中心一定分別過正弦曲線、余弦曲線、正切曲線與x軸的交點，即此時的正弦值、余弦值為0。正切曲線的對稱中心有兩類：一類是曲線與x軸的交點，此時正切值為0；另一類是對稱軸與x軸的交點,此時正切函數(shù)無意義。5.如何理解周期函數(shù)？剖析：（1）周期函數(shù)的定義應對定義域中的每一個x值來說，只有個別的x值或只差個別的x值滿足f（x+T）=f(x)或不滿足都不能說T是y=f（x)的周期；例如：sin(+）=sin,但是sin(+)≠sin。就是說不能對x在定義域內的每一個值都有sin(x+）=sinx，因此不是y=sinx的周期.(2)從等式f（x+T)=f（x）來看，應強調的是自變量x本身加的常數(shù)才是周期，如f(2x+T)=f（2x)，T不是周期，而應寫成f(2x+T）=f[2（x+）］=f（2x)，則是y=f(x)的周期.（3）對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，今后提到的三角函數(shù)的周期，如未特別指明,一般都是指它的最小正周期.（4)并不是所有周期函數(shù)都存在最小正周期，例如,常數(shù)函數(shù)f（x)=C（C為常數(shù))(x∈R)，當x為定義域內的任何值時，函數(shù)值都是C，即對于函數(shù)f（x）的定義域內的每一個值x都有f(x+T)=C，因此f(x）是周期函數(shù)，由于T可以是任意不為零的常數(shù)，而正數(shù)集合中沒有最小者，所以f(x)沒有最小正周期。再如函數(shù)D（x)=設r是任意一個有理數(shù),那么當x是有理數(shù)時，x+r也是有理數(shù),當x是無理數(shù)時，x+r也是無理數(shù)，D（x)與D(x+r）或者等于1或者等于0,因此在兩種情況下，都有D（x+r)=D(x），所以D(x)是周期函數(shù)，r是D(x）的周期,由于r可以是任一有理數(shù)而正有理數(shù)集合中沒有最小者，所以D（x）沒有最小正周期.（5)“f(x+T）=f（x)”是定義域內的恒等式,即對定義域內的每一個值都成立,T是非零常數(shù)，周