數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：直接證明

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2直接證明與間接證明2.2。1直接證明5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1。已知f（x）=是奇函數(shù),那么實(shí)數(shù)a的值等于（）A.1B.-1C。0答案：A解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)為奇函數(shù)且x=0時(shí)f（0）=0,即=0，∴a=1，從而求出較為簡單.也可根據(jù)奇函數(shù)的定義f(-x)=-f(x）恒成立,即=，即=恒成立，即2a+a·2x+1=2x+1+2∴a=1成立，較煩瑣.2。已知a、b是不相等的正數(shù)，x=,y=,則x、y的關(guān)系是（）A.x〉yB.y>xC。x〉yD.不確定答案：B解析：要比較x、y的大小，∵x>0,y〉0,只需比較x2、y2的大小,即與a+b的大小.∵a、b為不相等的正數(shù),∴2<a+b?！唷碼+b，即x2<y2.∴x〈y.3.已知p=a+(a〉2),q=,則…（）A.p〉qB。p<qC。p≥qD.p≤q答案：A解析：p與q不能直接進(jìn)行比較，只能先判斷p和q的取值范圍。∵a〉2，∴p=a+=a-2++2≥2+2=4。而q==.∵a〉2,∴—（a—2）2+2〈2.∴<22=4?！鄎<4，從而作出比較.4。若sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0，則cos（α-β)=____________。解析：觀察已知條件中有三個(gè)角α、β、γ,而所求結(jié)論中只有兩個(gè)角α、β，所以我們只需將已知條件中的角γ消去即可，依據(jù)sin2γ+cos2γ=1消去γ.即sinγ=-（sinα+sinβ）,cosγ=-(cosα+cosβ）,∴（sinα+sinβ）2+（cosα+cosβ)2=sin2γ+cos2γ=1，整理得出cos(α+β）的值即可.答案：10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練,可用于課中）1。下面敘述正確的是（）A。綜合法、分析法是直接證明的方法B.綜合法是直接證法,分析法是間接證法C.綜合法、分析法所用語氣都是肯定的D.綜合法、分析法所用語氣都是假定的答案：A2.A、B為△ABC的內(nèi)角，A>B是sinA〉sinB的()A.充分不必要條件B。必要不充分條件C.充要條件D。既不充分也不必要條件答案:C解析:A〉Ba>b2RsinA>2RsinBsinA>sinB。3。已知|x|<1,|y|〈1,下列各式成立的是（)A。｜x+y|+｜x-y｜≥2B.x=yC。xy+1〉x+yD.|x|=|y|答案：C解析:取x=y=0時(shí),｜x+y｜+|x-y｜〈2,知A假,取x=0,y=時(shí),知B、D假，C作差可證明.4。已知α、β為實(shí)數(shù),給出下列三個(gè)論斷：①αβ>0;②｜α+β|〉5；③|α|〉2,｜β｜>2.以其中的兩個(gè)論斷為條件,另一個(gè)論斷為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的命題是______________。解析：∵αβ〉0,|α｜>2,|β｜〉2,∴｜α+β｜2=α2+β2+2αβ>8+8+2×8=32〉25?！鄚α+β｜>5。答案:①③②5。設(shè)a=,b=,c=-,則a、b、c的大小關(guān)系為______________。解析：可通過作差進(jìn)行比較，a-b=+，可進(jìn)一步比較+與的大小,即比較（+）2與7的大小,即5+2與7的大小，∵>2,∴5+2>7,∴a>b,同理可比較a、c，b、c的大小。答案：a〉c〉b6.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c,且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列.求證：△ABC為等邊三角形。證明:∵A、B、C成等差數(shù)列，∴B=60°.∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac。由余弦定理得b2=a2+c2-2accos60°=a2+c2—ac?！郺=c?！唷鰽BC為正三角形.30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練,可用于課后）1.下列條件:①ab>0；②ab〈0;③a>0，b〈0。其中能使不等式+≥2成立的條件個(gè)數(shù)為(）A。1B。2C.3答案：A解析：≥2≥0.2。要使〈成立,a、b應(yīng)滿足的條件是（）A。ab<0且a〉bB.ab〉0且a>bC。ab<0且a<bD。ab〉0且a〉b，或ab〈0且a〈b答案：D解析:3〈a—b+3—3<a—b，∴〈.∴當(dāng)ab>0時(shí)，有<，即b〈a;當(dāng)ab<0時(shí)，有>，即b〉a。3.命題“如果數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和Sn=2n2—3n,那么數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列”是否成立（)A。不成立B。成立C.不能斷定D.以上說法都錯(cuò)誤答案：B解析：a1=S1=-1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn—Sn-1=(2n2-3n)—［2(n—1）2-3(n-1)］=4n-5.由于a1也適合上式,∴an=4n—5（n∈N*）。4。在不等邊三角形中,a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a、b、c應(yīng)滿足什么條件()A.a2<b2+c2B.a2=b2+c2C.a2〉b2+c2D.a2≤b2答案：C解析:由cosA=〈0知b2+c2-a2<0，∴a2〉b2+c2.5.命題“若sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,則cos（α-β）=________”的結(jié)論中的橫線上應(yīng)填（）A.1B。—1C。D.答案：D6.分析法中常采用假定的語氣，即常用____________一類的語句。解析:因從結(jié)論開始，要追溯每步中間結(jié)論成立的條件，采用假定語氣是數(shù)學(xué)論證的需要。答案:要證……只需證……只需證……7.(2007江蘇南京模擬，13）已知f(x）=ax2+bx+c（a〉0），且x1≠x2，則f（）與的大小關(guān)系是f(）______________.解析:—f（）=-［a·()2+b·］=（x1—x2）2〉0。f(）<。答案：〈8。已知α∈(0，π），求證：2sin2α≤.證法一:(分析法）要證明2sin2α≤成立，只要證明4sinαcosα≤∵α∈(0,π),∴sinα〉0。只要證明4cosα≤。上式可變形為4≤1+4（1-cosα).∵1-cosα〉0，∴1+4（1—cosα)≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)cosα=,即α=時(shí)取等號?！?≤1+4(1—cosα）成立?！嗖坏仁?sin2α≤成立.證法二：（綜合法）∵+4（1—cosα）≥4，（1-cosα>0,當(dāng)且僅當(dāng)cosα=即α=時(shí)取等號）∴4cosα≤1.∵α∈（0，π）,∴sinα〉0?！?sinαcosα≤?！?sin2α≤。9。求證:≥｜a｜—｜b｜。證明:（1）當(dāng)b=0時(shí),不等式顯然成立。(2)當(dāng)b≠0時(shí)，∵｜a|>0，只需證明｜a2—b2｜≥｜a|2—|a|｜b|，兩邊同除以|b|2，即只需證明≥，即｜(）2-1|≥|（)2|-||。當(dāng)｜｜≥1時(shí),|(）2-1|=｜（)2|-1≥|｜2—｜|,原不等式成立。當(dāng)||〈1時(shí),|a|-｜b|<0,原不等式成立。綜上所述，原不等式成立.10。已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0＜x＜1.求證:logx+logx+logx＜logxa+logxb+l