數(shù)學優(yōu)化訓練：角的概念的推廣

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章基本初等函數(shù)（Ⅱ)1.1任意角的概念與弧度制1。1.1角的概念的推廣5分鐘訓練（預習類訓練，可用于課前）1。鐘表的分針在一個半小時轉了(）A.180°B.—180°C.540°D。-540°解析：分針旋轉的角為負角，其值為—（360°+180°）=—540°。答案:D2。四個角—398°,38°，142°，1042°中，終邊相同的角是（)A.—398°，38°B。-398°，142°C.-398°，1042°D.142°，1042°解析：—398°=-1×360°-38°,1042°=3×360°—38°。答案：C3.填空題：（1)角可以看成平面內(nèi)______________________________所成的圖形.（2）按___________________方向旋轉形成的角叫做正角；按___________________方向旋轉形成的角叫做負角；如果___________________，我們稱它形成了一個零角。解析:在角的形成過程中，既要知道旋轉量，又要知道旋轉方向.答案：（1)一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置(2）逆時針順時針一條射線沒有做任何旋轉4.終邊落在射線y=（x＞0)上的角的集合為___________________。解析：直線y=的斜率為，所以傾斜角為60°.射線y=x（x＞0）是x軸上方的部分,所求的角可表示為｛β|β=k·360°+60°，k∈Z}.答案:｛β｜β=k·360°+60°,k∈Z｝10分鐘訓練(強化類訓練,可用于課中)1.下列各命題正確的是（)A.終邊相同的角一定相等B。第一象限的角都是銳角C。銳角都是第一象限的角D.小于90°的角都是銳角解析：對于選項A，如-60°和300°是終邊相同但不相等的角，則應排除A項；對于選項B，390°是第一象限的角但不是銳角，則應排除B項；對于選項D,-60°是小于90°的角，但它不是銳角,則應排除D項。選C。答案：C2.與—457°角終邊相同的角的集合是（）A。｛α｜α=k·360°+457°，k∈Z｝B.{α|α=k·360°+97°，k∈Z}C。{α｜α=k·360°—263°,k∈Z｝D。{α|α=k·360°+263°，k∈Z}解析:—457°=—2×360°+263°,所以D項正確。答案：D3。已知角α是第三象限角，則角—α的終邊在（）A。第一象限B.第二象限C.第三象限D。第四象限解析：因為α是第三象限角，所以k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z，則-k·360°—270°＜—α＜—k·360°-180°，k∈Z,即—α所在范圍與（—270°，—180°）范圍相同,也即與(90°，180°)范圍相同，則—α的終邊在第二象限。答案:B4.下列命題中正確的是（）A。第二象限的角是鈍角B.鈍角的補角是第一象限的角C。小于90°的角是銳角D。第一象限的角小于第二象限的角解析：由一個角與它的外角互補知,鈍角的外角必為銳角，而銳角是第一象限角.答案：B5.角α和β的終邊關于直線y=-x對稱，且α=30°，則β=___________________。解析：如圖，OA為角α的終邊,OB為角β的終邊，由α=30°得∠AOC=75°.根據(jù)對稱性知∠BOC=75°，因此∠BOx=120°，所以β=k·360°—120°，k∈Z。答案：k·360°—120°，k∈Z6.已知α、β是銳角，且α+β的終邊與角—280°的終邊相同,α—β的終邊與角670°的終邊相同，求角α與β的大小.解：由題意得α+β=k1·360°-280°,α—β=k2·360°+670°（k1、k2∈Z）。又∵α、β都是銳角，即0°＜α＜90°,0°＜β＜90°，∴0°＜α+β＜180°.又-90°＜—β＜0°,∴-90°＜α-β＜90°.∴α+β=80°(k1=1），α—β=—50°（k2=—2)。∴α=15°,β=65°。30分鐘訓練(鞏固類訓練，可用于課后）1.A=｛小于90°的角}，B=｛第一象限的角｝，則A∩B等于（）A.{銳角｝B.{小于90°的角}C。{第一象限的角｝D。以上都不對解析：小于90°的角由銳角、零角、負角組成,而第一象限的角指銳角及其他終邊落在第一象限的角,所以A∩B是由銳角和終邊落在第一象限的負角組成。答案：D2.終邊與兩坐標軸重合的角α的集合是()A。{α｜α=k·360°，k∈Z}B.{α|α=k·180°，k∈Z｝C.｛α|α=k·90°，k∈Z}D.{α｜α=k·180°+90°，k∈Z}解析：終邊為x軸的角的集合為M={α|α=k·180°,k∈Z｝，終邊為y軸的角的集合為N={α｜α=k·180°+90°，k∈Z｝,則終邊為坐標軸的角的集合為S=M∪N=｛α｜α=k·180°，k∈Z}∪{α|α=k·180°+90°，k∈Z｝=｛α｜α=2k·90°，k∈Z}∪{α｜α=（2k+1)·90°,k∈Z｝={α｜α=n·90°，n∈Z｝。答案：C3。已知角α、β的終邊相同，那么α—β的終邊在（)A。x軸的正半軸上B.y軸的正半軸上C。x軸的負半軸上D.y軸的負半軸上解析：∵角α、β終邊相同,∴α=k·360°+β，k∈Z.作差α-β=k·360°+β-β=k·360°，k∈Z，∴α—β的終邊在x軸的正半軸上。答案：A4。如果θ=k·360°+α，φ=n·360°-α，k、n∈Z，則角θ和φ的終邊的位置關系是(）A.重合B。關于原點中心對稱C.關于x軸對稱D.關于y軸對稱解析：θ與α終邊相同，φ與-α終邊相同,由α與—α角的終邊關于x軸對稱知θ和φ的終邊關于x軸對稱。答案：C5.集合A=｛α｜α=k·90°-36°，k∈Z｝，B=｛β｜—180°＜β＜180°},則A∩B等于()A。｛-36°，54°}B.｛—126°，144°}C.｛-126°，-36°，54°，144°｝D.｛—126°，54°}解析:根據(jù)集合B的范圍，確定集合A中的k的值.k=-1，0，1，2時求得相應α的值為—126°，-36°，54°，144°.答案：C6。(2005全國高考卷Ⅲ，1)已知α為第三象限的角,則所在的象限是（)A。第一或第二象限B.第二或第三象限C。第一或第三象限D。第二或第四象限解析：由k·360°+180°＜α＜k·360°+270°（k∈Z）,得k·180°+90°＜＜k·180°+135°（k∈Z).k為偶數(shù)時，為第二象限角；k為奇數(shù)時,為第四象限角.答案:D7.若α是第四象限角，則180°-α是（)A。第一象限角B。第二象限角C。第三象限角D。第四象限角解析：∵α為第四象限角，∴k·360°—90°＜α＜k·360°(k∈Z).∴—k·360°＜-α＜-k·360°+90°(k∈Z）?！唷猭·360°+180°＜180°-α＜—k·360°+270°（k∈Z).∴180°—α是第三象限角.答案：C8。終邊在第一、第三象限角平分線上角的集合為______________。解析：在0°—360°范圍內(nèi)滿足條件的角為45°和225°,所以，所求集合為{α|α=k·360°+45°，k∈Z}∪｛α｜α=k·360°+225°，k∈Z｝={α|α=2k·180°+45°，k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+45°，k∈Z｝={α｜α=n·180°+45°,n∈Z｝。答案：｛α｜α=n·180°+45°，n∈Z}9.時針走過2小時40分，則分針轉過的角度是______________.解析：分針按順時針方向轉動,則轉過的角度是負角為—360°×=—960°。答案:-960°10。表示出頂點在原點，始邊重合于x軸的正半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合（如圖1—1—1)。圖1—1—1解：(1）｛α|k·360°—15°＜α＜k·360°+75°,k∈Z｝;(2)｛β|k·360°-135°＜β＜k·360°+135°,k∈Z}；（3）{γ1|k·360°+30°＜γ1＜k·360°+90°,k∈Z}∪{γ2｜k·360°+210°＜γ2＜k·360°+270°，k∈Z}=｛γ1|2k·180°+30°＜γ1＜2k·180°+90°，k∈Z｝∪｛γ2|（2k+1）·180°+30°＜γ2＜（2k+1)·180°+90°，k∈Z｝={γ|k·180°+30°＜γ＜k·180°+90°,k∈Z}。11.寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式—360°≤β＜720°的元素寫出來.解：如圖所示,在直角坐標系中畫出直線y=x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的交