湖南省益陽市六校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試卷（含答案）

湖南省益陽市六校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題1．已知向量a=(1A．a(chǎn)∥b，a∥c B．a(chǎn)⊥bC．a(chǎn)⊥b，b∥c D．a(chǎn)∥b2．在三棱錐P?ABC中，CP、CA、CB兩兩垂直，AC=CB=1，PC=2，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則下列向量中是平面PAB的法向量的是（）A．(1，1，12) B．(13．已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若q=2，A．8 B．10 C．12 D．144．如圖，將一個(gè)邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3）…，設(shè)第n個(gè)圖形的邊長為an，則數(shù)列{A．13n B．13n?1 C．15．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知ΔABC的頂點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，若其歐拉線的方程為x?y+2=0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．(?4，0) B．(?3，?1) C．(?5，0) D．(?4，?2)6．已知定點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4A．(x+1)2+yC．(x?1)2+y7．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2A．2 B．3 C．2 D．58．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x22?y26=1的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限）．設(shè)點(diǎn)H，G分別為△AF1A．[22，4) B．[2，9．已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，如果AB=(2，?1，?4)A．AP⊥AB C．AP是平面ABCD的法向量 D．AP二、多選題10．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1A．Sn＝3n－1 B．{Sn}為等比數(shù)列C．a(chǎn)n＝2·3n－1 D．a(chǎn)11．已知雙曲線C過點(diǎn)(3，2)A．C的方程為xB．C的離心率為3C．曲線y=ex?2?1D．直線x?2y?1=0與12．定義點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：ax+by+c=0(a2+A．若d1=d2=1B．若d1=1，d2=?1，則直線C．若d1+d2=0D．若d1?d2≤0三、填空題13．如下圖，以長方體ABCD?A1B1C1D1的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若14．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為．15．已知等差數(shù)列{an}中，a2=4，a6=1616．設(shè)拋物線x2=4y，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M(0，m)在y軸正半軸上（異于F點(diǎn)），動(dòng)點(diǎn)N在拋物線上，若∠FNM是銳角，則m的范圍為四、解答題17．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠CAB=90°，AB=AC=2（1）求證：平面APM⊥平面BB（2）試判斷直線BC1與AP是否能夠垂直．若能垂直，求18．設(shè)數(shù)列{an}（1）求a2和a（2）求數(shù)列{a（3）令bn=nan，求數(shù)列19．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=（1）求數(shù)列{a（2）求數(shù)列{an?bn20．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）證明：直線l過定點(diǎn)；（2）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程．21．已知圓C過點(diǎn)M(0，?2)（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)直線ax?y+1=0與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P(22．已知橢圓C的離心率為32，長軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(?2，0)（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)(1，0)的直線與橢圓C交于M，N（不與A，B重合）兩點(diǎn)，直線AM與直線x=4交于點(diǎn)Q，求證：

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】由題可知：b=?3a得ab故答案為：D.

【分析】由b=?3a，a→2．【答案】A【解析】【解答】∵PA=(1，0，?2)，由n?PA=0n?AB=0又(1，1，12故答案為：A.

【分析】設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=(x，y，1)，利用n3．【答案】D【解析】【解答】由題意S2=a所以a3=2×2故答案為：D．

【分析】由等比數(shù)列的基本量運(yùn)算求出a1后，求出a3，由此求出S3.4．【答案】D【解析】【解答】解：由題得，從第二個(gè)圖形起，每一個(gè)三角形的邊長組成了以1為首項(xiàng)，以13為公比的等比數(shù)列，所以第n個(gè)圖形的邊長為an=故答案為：D.【分析】由前三個(gè)圖形歸納出邊長構(gòu)成等比數(shù)列。5．【答案】A【解析】【解答】設(shè)C（m，n），由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為(2+m3，4+nAB的中點(diǎn)為（1，2），kAB=4?0即x-2y+3=0．聯(lián)立x?2y+3=0x?y+2=0解得x=?1y=1

則（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8②聯(lián)立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．當(dāng)m=0，n=4時(shí)B，C重合，舍去．∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-4，0）．故答案為：A【分析】結(jié)合重心坐標(biāo)計(jì)算公式，代入直線方程，得出m，n的值，計(jì)算三角形ABC的外心坐標(biāo)，即可得出答案。6．【答案】C【解析】【解答】設(shè)M(x,y),則A(xA,yA)滿足又點(diǎn)A在圓(x+1)2+y故選：C【分析】設(shè)M(x,y)再表達(dá)出A的坐標(biāo)代入圓方程(x+1)27．【答案】B【解析】【解答】設(shè)|MF2|=m，則|NF2|=m，|MN|=2m，|NF在△NF1F2中，由余弦定理可知4c2=故答案為：B

【分析】設(shè)|MF2|=m，易得|NF2|=m，|MN|=2m，8．【答案】D【解析】【解答】ΔAF1F有H，M的橫坐標(biāo)相等，|AP|=|AQ|，||AF∴M在雙曲線上，即M是雙曲線的頂點(diǎn)，∴HG與雙曲線相切于頂點(diǎn)（如圖）∴H，G的橫坐標(biāo)都是設(shè)直線AB的傾斜角為θ，那么∠OF2ΔHF2=(c?a)雙曲線C：x2可得|HG|=22∴3|HG|的范圍是[2故答案為：D.

【分析】利用平面幾何圖形的性質(zhì)可得H、G的橫坐標(biāo)相等為a，得到HG⊥x軸且過雙曲線右頂點(diǎn)E，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，求解三角形可得HG=(c?a)?2sin9．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)锳B?AP=?2?2+4=0因?yàn)锳P?AD=?4+4+0=0由A，B知，C正確，不符合題意；BD=AD?故答案為：D.

【分析】由數(shù)量積是否為0判斷A與B；由A，B可判斷C；求出BD→的坐標(biāo)，結(jié)合不存在實(shí)數(shù)λ，使得BD10．【答案】A,B,D【解析】【解答】依題意a1當(dāng)n=1時(shí)，a2當(dāng)n≥2時(shí)，anan+1?a所以an所以an當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=an+12=3Sn+1Sn=3，所以數(shù)列{S所以ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故答案為：ABD

【分析】根據(jù)an=S1，n=1S11．【答案】A,C【解析】【解答】解：由雙曲線的漸近線方程為y=±33x把點(diǎn)(3，2)代入，得∴雙曲線C的方程為x23?由a2=3，b2∴雙曲線C的離心率為23=2取x?2=0，得x=2，y=0，曲線y=ex?2?1過定點(diǎn)(聯(lián)立x?2y?1=0x所以直線x?2y?1=0與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故故答案為：AC．

【分析】由雙曲線的漸近線為y=±312．【答案】B,C,D【解析】【解答】設(shè)P1(xA，若d1=d2=1，則ax1B，點(diǎn)P1，P2在直線l的兩側(cè)且到直線l的距離相等，直線C，若d1=d2=0則點(diǎn)P1，P2都在直線l上，所以此時(shí)直線D，若d1?d所以點(diǎn)P1，P2分別位于直線所以直線P1P2故答案為：BCD

【分析】根據(jù)有向距離的定義，及點(diǎn)P(x0，y0)與13．【答案】(【解析】【解答】因?yàn)镈B1的坐標(biāo)為(4，3，2)，所以B(因此BD故答案為：(?4

【分析】由DB1的坐標(biāo)得點(diǎn)B，D14．【答案】x【解析】【解答】解：設(shè)圓的方程為x∴F=0D+E+F+2=04+2D+F=0∴圓的方程為x【分析】設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組.15．【答案】31【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d在數(shù)列{an}每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，則新的等差數(shù)列{故新數(shù)列的首項(xiàng)為4?3=1，故通項(xiàng)公式為bn故b41故答案為：31

【分析】先計(jì)算出等差數(shù)列{an}的公差，進(jìn)而得到新的等差數(shù)列{16．【答案】(0，1)∪(1，9)【解析】【解答】設(shè)N(4t，4t2)，可知F(0，1)，m>0所以NF=(?4t，1?4t2因?yàn)椤螰NM是銳角，所以NF?即16t整理得16t等價(jià)于8t4+(6?2m)令x=t2≥0，則f(x)=8因?yàn)閒(x)的對(duì)稱軸為x=?3?m⑴?3?m8≤0f(x)所以0<m≤3；⑵?3?m8>0應(yīng)有Δ=(6?2m)得3<m<9；綜上所述：m∈(0，1)∪(1，9).【分析】設(shè)N(4t，4t2)，由∠FNM是銳角得到8t4+(6?2m)t2+17．【答案】（1）證明：因?yàn)樵谌庵鵄BC?A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，∠CAB=90°，AB=AC=2所以AM⊥BC，AM⊥BB因?yàn)锽C∩BB1=B，所以AM⊥平面BB因?yàn)锳M?平面APM，所以平面APM⊥平面BB（2）解：以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，AA1為B(0，2，0)，C1(2，設(shè)BP=t(0≤t≤3則P(0，若直線BC1與AP能垂直，則解得t=4因?yàn)閠=4所以直線BC1與【解析】【分析】(1)推導(dǎo)出AM⊥BC，AM⊥BB1，由此證明平面APM⊥平面BB1C1C；

(2)以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，A18．【答案】（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a2=a1+3?所以a2（2）解：由數(shù)列{an}可得a2?a1=3?21，a相加可得an所以an所以數(shù)列{an}（3）解：由bn可得Sn則4S兩式相減，可得?3S=2×(1?所以Sn【解析】【分析】(1)根據(jù)遞推公式，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解出a2和a3的值；

(2)由an+1=an+3?22n?1，結(jié)合累加法，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求解出數(shù)列{19．【答案】（1）解：∵數(shù)列{bn}∴b5設(shè)各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q∵S3=b5+1=7∵b4是a2和a4的等比中項(xiàng)，∴a3由①②得3q2?4q?4=0，解得q=2∴a1（2）解：a當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T=(2設(shè)Hn=則2Hn③減④，得?H∴Hn=(n?1)×2n當(dāng)n為奇數(shù)，且n≥3時(shí)，Tn經(jīng)檢驗(yàn)，T1∴T【解析】【分析】(1)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，由S3=b5+1，a32=a2a20．【答案】（1）證明：直線l的方程可化為y＝k（x＋2）＋1，故無論k取何值，直線l總過定點(diǎn)（－2，1）．（2）解：直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則k≥01+2k≥0解得k≥0，故k的取值范圍是[（3）解：依題意，直線l在x軸上的截距為?1+2k∴A(?1+2k又?1+2k∴k＞0．故S＝12|OA||OB|＝12×1+2kk×（1＋2k）＝12(當(dāng)且僅當(dāng)4k＝1k，即k＝1故S的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x－2y＋4＝0．【解析】【分析】(1)把已知方程變形，利用線性方程求出直線所過定點(diǎn)即可；

(2)化直線方程為斜截式，由斜率大于等于0且在y軸上的截距大于等于0聯(lián)立不等式組，求解可得k的取值范圍；

(3)由題意畫出圖形，求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形面積公式，利用基本不等式求出S的最小值及此時(shí)直線l的方程．21．【答案】（1）解：設(shè)圓C的方程為x2則有?D2?E+1=0所以圓C的方程為x2化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x?3)2（2）解：假設(shè)存在符合條件的實(shí)數(shù)a，由于直線l垂直平分弦AB，故圓心C(3，?2)又kAB=a=?1將ax?y+1=0與圓C的方程聯(lián)立，整理得(a2+1)故Δ=36(a?1)2?36(a2故不存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P（2，0）的直線l垂直平分弦AB．【解析】【分析】(1)設(shè)出圓的一般式方程，利用待定系數(shù)法可求出圓C的一般方程，進(jìn)而整理成圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)利用反證法，先假設(shè)存在符合條件的實(shí)數(shù)a，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到圓心C必然在直線l上，由點(diǎn)C與點(diǎn)P的坐標(biāo)求出直線PC的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，求出直線AB的斜率，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的值，然后將ax?y+1=0與圓C的方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，得到根的判別式大于0，即可求出a的取值范圍，發(fā)現(xiàn)求出的a的