3.4.1直線的方向向量與平面的法向量課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

第三章

空間向量與立體幾何

3.4.1直線的方向向量與平面的法向量1.能用向量語言表述直線和平面.2.理解直線的方向向量與平面的法向量.3.會求直線的方向向量與平面的法向量.探究1

在空間中，如何用向量表示一個(gè)點(diǎn)？探究2

在空間中，怎樣可以確定一條直線？提示

兩點(diǎn)可以確定一條直線；直線上的一點(diǎn)及這條直線的方向也可以確定一條直線.知識梳理方向向量方向向量無數(shù)2.直線的向量表示

已知M是直線l上的一點(diǎn)，非零向量a是直線l上的一個(gè)方向向量，那么對于直線l上的任意一點(diǎn)P，一定存在實(shí)數(shù)t，使得__________，反之，由幾何知識不難確定，滿足上式的點(diǎn)P一定在直線l上，因此，我們把這個(gè)式子稱為直線l的向量表示.溫馨提示(1)空間中，一個(gè)向量若是直線l的方向向量，必須滿足兩個(gè)條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合.(2)與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數(shù)個(gè).例1思維升華訓(xùn)練1連接MO(圖略)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O為AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴MO∥PA.∵M(jìn)O?平面BDM，PA?平面BDM，∴PA∥平面BDM.∵PA?平面PAG，平面PAG∩平面BDM＝GH，∴PA∥GH，訓(xùn)練2(2)已知空間三點(diǎn)O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，在直線OA上有一點(diǎn)H滿足BH⊥OA，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為____________.由O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，且點(diǎn)H在直線OA上，可設(shè)H(－λ，λ，0)，探究3

給定一點(diǎn)和一個(gè)方向可以唯一確定一條直線.類似地，給定一點(diǎn)和一條直線后，能否確定過此點(diǎn)和這條直線垂直的平面？提示

能，并且此平面是唯一的.探究4

空間中兩條不同的直線a，b，若a∥b且a⊥α，則b與α的位置關(guān)系是什么？提示

b⊥α，同理a⊥α，b⊥α，則a∥b.知識梳理1.如果一條直線l與一個(gè)平面α垂直，那么就把直線l的方向向量n叫作平面α的________，則________.法向量n⊥αA(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0(1)平面α的法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量.(2)一個(gè)平面的法向量有無限多個(gè)，它們相互平行.例3因?yàn)镻A⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直.思維升華訓(xùn)練3如圖，以A為原點(diǎn)，AD，AB，AS所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，例4設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的平面α的一個(gè)法向量為n＝(6，3，2).(1)求平面α的方程；設(shè)平面內(nèi)任一點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y，z)，則平面α的方程為6x＋3y＋2z＝0.思維升華訓(xùn)練4(鏈接教材P123例5)在長方體ABCD－A′B′C′D′中，已知AB＝1，AD＝2，AA′＝3.(1)在四邊形BCC′B′內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使得AN⊥平面A′BD?以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB，AD，AA′所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，(2)求證：AC′與平面A′BD的交點(diǎn)恰為線段AC′的三等分點(diǎn).代入方程①檢驗(yàn)可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)滿足平面A′BD的方程.①所以AC′的三等分點(diǎn)E在平面A′BD內(nèi)，即AC′與平面A′BD的交點(diǎn)是線段AC′的三等分點(diǎn).1、背誦記憶直線法向量的定義以及找直線法向量的方法。2、背誦掌握求平面法向量的步驟及方法1.若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為A.(2，1，1) B.(－2，2，2)C.(－3，2，1) D.(2，1，－1)√√2.若點(diǎn)A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直線l上，若l⊥平面α，則平面α的一個(gè)法向量為 A.(1，2，3) B.(1，3，2) C.(2，1，3) D.(3，2，1)3.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，ABCD－A1B1C1D1為正方體，棱長為1，則直線DD1的一個(gè)方向向量為__________，直線BC1的一個(gè)方向向量為_______________________.(0，0，1)(0，1，1)(答案不唯一)4.已知平面α經(jīng)過點(diǎn)O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一個(gè)法向量，M(x，y，z)是平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，則平面α的方程是_______________.x＋