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IP屬地：北京 上傳時間：2024-12-09 格式：DOCX 頁數(shù)：73 大?。?.90MB 積分：12 舉報 版權(quán)申訴

專題05六大?？既饶Ｐ鸵?、【知識回顧】①模型一：平移模型②模型二：軸對稱（翻折）模型③模型三：一線三等角模型（K字型）直角一線三等角④模型四：不共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型⑤模型五：共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型（手拉手模型）⑥模型六：半角模型（特殊的旋轉(zhuǎn)模型）二、【考點(diǎn)類型】考點(diǎn)1：平移模型典例1：（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．(1)請?jiān)谏鲜鋈齻€條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號）______（只需選一個條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的結(jié)論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．【答案】(1)①，SSS(2)見解析【分析】(1)根據(jù)SSS即可證明△ABC≌?DEF，即可解決問題；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得可得∠A=∠EDF，再根據(jù)平行線的判定即可解決問題．【詳解】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF，選取的條件為①，判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是SSS．（注意：只需選一個條件，多選不得分）故答案為：①，SSS；（2）證明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，和判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)得到，然后證明，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，在和中，，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：軸對稱（翻折）模型典例2：（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為(1)求證：△ABC≌(2)若AB=4，CD=3，求四邊形【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）由角平分線的定義和垂直的定義求出∠CAB=∠CAD,∠B=∠D，結(jié)合已知條件，利用“AAS”即可求證；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AB=AD=4,BC=CD=3，根據(jù)三角形的面積公式求出S△ABC，S△ACD，再根據(jù)四邊形【詳解】（1）∵AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠CAD,∠B=∠D，∵AC=AC，∴△ABC?△ADC(AAS（2）∵△ABC?△ADC，AB=4,CD=3，∴AB=AD=4,BC=CD=3，∵∠B=∠D=90°，∴S∴四邊形ABCD的面積=S【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022·廣西百色·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于點(diǎn)O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）證明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到結(jié)論；（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：在△ABO與△DCO中，∠A=∠DOA=OD∴△ABO≌△DCO（ASA）∴AB＝DC；（2）證明：∵△ABO≌△DCO，∴OB＝OC，∵OA＝OD，∴OB＋OD＝OC＋OA，∴BD＝AC，在△ABC與△DCB中，AC=BD∠A=∠D∴△ABC≌△DCB（SAS）．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握并靈活選擇全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵考點(diǎn)3：一線三等角模型（K字型）典例3：（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖，中，，且點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線與線段相交于點(diǎn)，射線與射線相交于點(diǎn)，連結(jié)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，①求證：∽；②線段，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(2)當(dāng)為等腰三角形時，求的值．【答案】(1)①見解析，②BE2=BP·CQ(2)1或3【分析】（1）①推導(dǎo)角度關(guān)系可得∠CEQ=∠BPE，結(jié)合∠B=∠C即可得出結(jié)論；②由①中相似可得，結(jié)合BE=CE即可得出結(jié)論；（2）Q點(diǎn)可能在線段CA上或者線段CA的延長線上，分兩種情況討論，結(jié)合（1）中的相似三角形即可得出結(jié)果．（1）解：①∵∠DEF=30°，∠B=30°，∴∠BED+∠CEQ=150°，∠BED+∠BPE=150°∴∠CEQ=∠BPE，∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CEQ；②BE2=BP·CQ，理由如下∶∵△BPE∽△CEQ∴∴BE·CE=BP·CQ∵點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，∴BE2=BP·CQ；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上時，∵∠A=180°-∠B-∠C=120°，為鈍角，∴△APQ為等腰三角形時有AP=AQ，∵∠B=∠C，∴AB=AC，∴BP=CQ，∴②當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長線上時，如圖：連接PQ∵∠BAC=120°，∴∠BAQ=60°，當(dāng)△APQ為等腰三角形時，有△APQ為等邊三角形設(shè)AB=AC=2a，則BC=a，BE=CE=a，設(shè)AQ=AP=x，則CQ=2a+x，BP=2a-x，由（1）得∶BE2=BP·CQ∴(a)2=(2a+x)(2a-x)，解得∶x=a，∴BP=a，CQ=3a，∴綜上的值為1或3．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似綜合問題，熟練掌握一線三等角的相似三角形模型是解題關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·黑龍江綏化·八年級校考期中）在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時．①請說明的理由；②請說明的理由；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，、、具有怎樣的等量關(guān)系?請寫出等量關(guān)系，并予以證明．(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，、、具有怎樣的等量關(guān)系?請直接在橫線上寫出這個等量關(guān)系：________．【答案】(1)①理由見解析；②理由見解析(2)，證明見解析(3)【分析】本題“一線三垂直”模型即可證明全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可分別在三個圖形中證明之間的關(guān)系．【詳解】（1）解：①∵于D，于E，∴，∵，∴，，∴，在和中，∴，②∵，∴，，∵，∴，（2）結(jié)論：，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，（3）結(jié)論：，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判斷和性質(zhì)，靈活運(yùn)用“一線三垂直”模型是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·河北邯鄲·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動（D不與B、C重合），連接，作，交線段于E．(1)當(dāng)時，_______，_______，_______；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時，逐漸變_______（填“大”或“小”）；(2)當(dāng)DC等于多少時，，請說明理由；(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數(shù)，若不可以，請說明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)當(dāng)時，，理由見解析；(3)當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或時，的形狀是等腰三角形．【分析】（1）先求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)，根據(jù)點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時，逐漸增大，而不變化，，即可得到答案；（2）根據(jù)全等三角形的判定條件求解即可；（3）先證明當(dāng)時等腰三角形，只存在或兩種情況，然后分這兩種情況討論求解即可；【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；∵點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時，逐漸增大，而不變化，，∴點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時，逐漸變小，故答案為：25，25，65，?。唬?）解：當(dāng)時，，理由：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴；（3）解：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為110°或80°時，的形狀是等腰三角形，理由：∵，，∴，∴當(dāng)時等腰三角形，只存在或兩種情況，當(dāng)時，∴，∵，∴，∴；當(dāng)時，∴，∴，綜上所述，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或時，的形狀是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，中，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．【答案】（4，1）【分析】如圖，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)C坐標(biāo)可得OA、OC的長，根據(jù)同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可證明△OAC≌△DCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的長，進(jìn)而可得答案．【詳解】如圖，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，∵A（0，3），C（1，0），∴OA=3，OC=1，∵∠ACB=90°，∴∠OCA+∠DCB=90°，∵∠OAC+∠OCA=90°，∴∠OAC=∠DCB，在△OAC和△DCB中，，∴△OAC≌△DCB，∴BD=OC=1，CD=OA=3，∴OD=OC+CD=4，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，1）．故答案為：（4，1）【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)4：不共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型典例4：（2023秋·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在一條直線上，．(1)求證：；(2)若，求的長度．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得根據(jù)證明全等即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得．【詳解】（1）解：證明：在與中（2）解：由(1),即,【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·山東濟(jì)南·九年級校聯(lián)考期中）如圖，，是的對角線上兩點(diǎn)，且，求證：．【答案】證明見解析【分析】借助平行四邊形的性質(zhì)，利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”即可證明．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴，∴；∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)等知識，證明是解題關(guān)鍵．【變式2】（2022·福建泉州·?？既＃┰谄叫兴倪呅沃?，、分別是、上的點(diǎn)，且．求證：．【答案】見解析【分析】依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得到，，，判定，即可得到．【詳解】在平行四邊形中，，，，又，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．考點(diǎn)5：共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型（手拉手模型）典例5：（2022秋·八年級課時練習(xí)）在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線；④∠EAM=∠ABC．其中正確的是_________．【答案】①②③④【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明△ABG≌△AEC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，AC、BG相交于點(diǎn)K，如圖1，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判斷②；過點(diǎn)E作EP⊥HA的延長線于P，過點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，如圖2，根據(jù)余角的性質(zhì)即可判斷④；利用AAS即可證明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可證GQ＝AH，從而得到EP＝GQ，再利用AAS可證明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，從而可判斷③，于是可得答案．【詳解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正確；設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，AC、BG相交于點(diǎn)K，如圖1，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥CE，故②正確；過點(diǎn)E作EP⊥HA的延長線于P，過點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，如圖2，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正確；∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，∴△ABH≌△EAP（AAS），∴EP＝AH，同理可得GQ＝AH，∴EP＝GQ，∵在△EPM和△GQM中，，∴△EPM≌△GQM（AAS），∴EM＝GM，∴AM是△AEG的中線，故③正確．綜上所述，①②③④結(jié)論都正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·八年級課時練習(xí)）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE；（2）見解析；（3）=【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解；（2）分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作DH⊥FG于點(diǎn)H，EQ⊥FG于點(diǎn)Q，進(jìn)而可得∠BAF=∠ADH，然后可證△ABF≌△DAH，則有AF=DH，進(jìn)而可得DH=EQ，通過證明△DHG≌△EQG可求解問題；（3）過點(diǎn)D作DO⊥AF交AF于O，過點(diǎn)E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點(diǎn)C作CM⊥OD交OD延長線于M，由題意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，則有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，進(jìn)而可得OD=NE，通過證明△ENP≌△CMP及等積法可進(jìn)行求解問題．【詳解】解：（1）∵，∴；（2）分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作DH⊥FG于點(diǎn)H，EQ⊥FG于點(diǎn)Q，如圖所示：∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴△ABF≌△DAH，∴AF=DH，同理可知AF=EQ，∴DH=EQ，∵DH⊥FG，EQ⊥FG，∴，∵∴△DHG≌△EQG，∴DG=EG，即點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；（3），理由如下：如圖所示，過點(diǎn)D作DO⊥AF交AF于O，過點(diǎn)E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點(diǎn)C作CM⊥OD交OD延長線于M∵四邊形ABCD與四邊形DEGF都是正方形∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE∵DO⊥AF，CM⊥OD，∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，又∵∠ODA+∠CDM=90°，∴∠ADO=∠DCM，∴△AOD≌△DMC，∴，OD=MC，同理可以證明△FOD≌△DNE，∴，OD=NE，∴MC=NE，∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，∴△ENP≌△CMP，∴，∵，∴,∴即．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的兩個銳角互余及等積法，熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2020·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，．，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）90°【分析】（1）根據(jù)題意證明△ACE≌△BCD即可求解；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和及全等三角形的性質(zhì)即可得到的度數(shù)．【詳解】（1）∵，，∴∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE即∠ACE=∠BCD又．∴△ACE≌△BCD∴（2）∵△ACE≌△BCD∴∠A=∠B設(shè)AE與BC交于O點(diǎn),∴∠AOC=∠BOF∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°∴∠BFO=∠ACO=90°故=180°-∠BFO=90°．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．【變式3】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在、中，，，設(shè)．連接，以、為鄰邊作，連接．(1)若，當(dāng)、分別與、重合時（圖1），易得．當(dāng)繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到（圖2）位置時，請直接寫出線段、的數(shù)量關(guān)系________；(2)若，當(dāng)繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到（圖3）位置時，試判斷線段、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若為任意角度，，，，繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一周（圖4），當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，請直接寫出的長度．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)全等模型可證，（SAS），結(jié)合已知平行四邊形性質(zhì)可證：，，根據(jù)，可得是等邊三角形即可解題；（2）同理第一問，根據(jù)，可得是等腰直角三角形即可解題；（3）根據(jù)第一問可證：，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，、、三點(diǎn)共線，繼而解三角形，求出BD長，由相似三角形性質(zhì)求出EF，由分兩種情況，分別畫圖求解即可．【詳解】（1）解：如圖2，連接EC，∵，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵，，∴（SAS），∴，，∴，∵四邊形BDFC是平行四邊形，∴BC∥DF，BD=CF∴，，∴，又∵，∴，當(dāng)時，，∴是等邊三角形，∴EF=CF；（2）解：同理（1）可得：，，當(dāng)時，，∴是等腰直角三角形，；（3）解：分兩種情況進(jìn)行討論：如圖3-1：AF=AE+EF，同理1可得：，，又∵，，．∴，∴，∴，，∵，，，∴，，由（1）得：（SAS），∴，∴∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，、、三點(diǎn)共線，如圖4-1，過A點(diǎn)作AH⊥DE，∵AD=AE，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，如圖4-2，AF=EF-AE，同理可得：，，∴∵，∴，∴，綜上所述：AF長為或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何壓軸題，綜合性比較強(qiáng)，體會其中蘊(yùn)含的從特殊到一般的思想是解題的關(guān)鍵．解題關(guān)鍵是關(guān)鍵旋轉(zhuǎn)全等模型證明是等腰三角形，，從而可得，再結(jié)合解三角形求線段長．考點(diǎn)6：半角模型典例6：（2019·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，是邊長為1的等邊三角形，是頂角的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個的角，角的兩邊交、于、，連結(jié)，求周長.【答案】△AMN的周長為2．【分析】根據(jù)已知條件得△CDE≌△BDM，再利用DE=DM，證明△DMN≌△DEN，得到對應(yīng)邊相等即可解題.【詳解】如圖，延長NC到E，使CE=BM，連接DE，

∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，，∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，∴△AMN的周長=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周長為2．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與應(yīng)用,截長補(bǔ)短的數(shù)學(xué)方法,中等難度,作輔助線證明全等是解題關(guān)鍵.【變式1】（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，分別是，上的點(diǎn)，連接，，．（1）如圖①，，，．求證：；

（2）如圖②，，當(dāng)周長最小時，求的度數(shù)；（3）如圖③，若四邊形為正方形，點(diǎn)、分別在邊、上，且，若，，請求出線段的長度．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）延長到點(diǎn)G,使，連接，首先證明，則有，，然后利用角度之間的關(guān)系得出，進(jìn)而可證明，則，則結(jié)論可證；（2）分別作點(diǎn)A關(guān)于和的對稱點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)有，，當(dāng)點(diǎn)、、、在同一條直線上時，即為周長的最小值，然后利用求解即可；（3）旋轉(zhuǎn)至的位置，首先證明，則有，最后利用求解即可．【詳解】（1）證明：如解圖①，延長到點(diǎn)，使，連接，在和中，．，，，，．，在和中，．，；（2）解：如解圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于和的對稱點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．由對稱的性質(zhì)可得，，此時的周長為．當(dāng)點(diǎn)、、、在同一條直線上時，即為周長的最小值．，．，，；（3）解：如解圖，旋轉(zhuǎn)至的位置，，，．在和中，．．．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為_____．【答案】2+2【分析】將△ACN繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，由旋轉(zhuǎn)得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根據(jù)SAS推出△AEM≌△ANM，根據(jù)全等得出MN＝ME，求出MN＝CN＋BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周長＝BD＋DC，代入求出答案即可．【詳解】將△ACN繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：

由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三點(diǎn)共線，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，，

∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，∴CD＝BC＝2，BD＝＝2，∴△DMN的周長為DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2+2，故答案為：2+2．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．【變式3】．（2020·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形中，，為上一點(diǎn)，連接，，，若，則線段的長為_______．【答案】【分析】如下圖，先構(gòu)造并證明，從而得出，再根據(jù)可推導(dǎo)出，最后在Rt△ACM中求解．【詳解】解析：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，，，，．設(shè)，則，．．設(shè)，則，，，在中，由勾股定理得解得．．【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造并證明全等三角形、勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是利用進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化，得到邊．鞏固訓(xùn)練一、單選題1．（2022秋·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，下列條件中不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理即可一判定．【詳解】解：，，當(dāng)時，根據(jù)ASA可判定，故該選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)時，根據(jù)SAS可判定，故該選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)時，不能判定，故該選項(xiàng)符合題意；當(dāng)時，可得，根據(jù)AAS可判定，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握和運(yùn)用全等三角形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示的是重疊的兩個直角三角形，將其中一個直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若cm，cm，cm，則圖中陰影部分面積為（

）A．47cm2 B．48cm2 C．49cm2 D．50cm2【答案】B【分析】先根據(jù)平移的性質(zhì)得到cm，≌，則，cm，求出，然后根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：沿方向平移得到，cm，≌，，（cm），∴，（cm2），故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平移的基本性質(zhì)：平移不改變圖形的形狀和大?。唤?jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行或共線且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．3．（2023秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，要使，再添加一個條件（）A． B． C．D．【答案】A【分析】利用全等三角形的判定方法，即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴若添加條件，無法判定；若添加，則；若添加，則；若添加，則；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法；判定三角形全等的一般方法有：，，，，，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東深圳·七年級校考階段練習(xí)）如圖，，，，下列條件中不能證明的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，，，求出，，再根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．【詳解】解：延長交于，∵，，，，，A．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項(xiàng)不符合題意；B．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本選項(xiàng)符合題意；C．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項(xiàng)不符合題意；D．，，，，，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，兩直角三角形全等還有等．5．（2023春·四川成都·九年級成都嘉祥外國語學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，四邊形是菱形，M，N分別是，兩邊上的點(diǎn)，不能保證和一定全等的條件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理即可得．【詳解】解：四邊形是菱形，．A、，根據(jù)定理可以判定，則此項(xiàng)不符合題意；B、，根據(jù)定理可以判定，則此項(xiàng)不符合題意；C、，，即，根據(jù)定理可以判定，則此項(xiàng)不符合題意；D、，根據(jù)定理不能判定，則此項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形全等的判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2023秋·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，分別在線段，上，已知，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定（

）A． B．C．， D．【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定條件逐一判斷即可【詳解】解：A、添加，可用判定，故A不符合題意；B、添加，可用判定，故B不符合題意；C、添加，，可得，即可用判定，故C不符合題意；D、添加，不能判定，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．三角形全等的判定定理有．7．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】將關(guān)于對稱得到，從而可得的面積為15，再根據(jù)對稱的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出，從而可得，最后根據(jù)與的面積之和等于與的面積之和即可得．【詳解】解：如圖，將關(guān)于AE對稱得到，則，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即與的面積之和為21，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．9.（2022春·湖北宜昌·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分別為BC、CD上一點(diǎn)，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．則BE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】延長CB到H，使BH=DF=1，連接AH，則可證得△ABH≌△ADF，從而AH=AF，∠BAH=∠DAF，易證△AHE≌△AFE，可得HE=EF=3，則可求得BE的長．【詳解】延長CB到H，使BH=DF=1，連接AH，如圖∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O∴∠ABC+∠ADC=180゜∵∠ABH+∠ABC=180゜∴∠ABH=∠ADF在△ABH和△ADF中∴△ABH≌△ADF∴AH=AF，∠BAH=∠DAF∵∠BAD+∠BCD=180゜，∠BCD=120゜∴∠BAD=180゜-∠BCD=60゜∵∠EAF=30゜∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=30゜∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=30゜在△AHE和△AFE中∴△AHE≌△AFE∴HE=EF=3∴BE=HE-BH=3-1=2故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造輔助線得到全等三角形的問題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．10．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，C為線段AE上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯誤的是（

）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP【答案】D【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正確；根據(jù)△CQB≌△CPA（ASA），得出B正確；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得出C正確；根據(jù)∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D錯誤．【詳解】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD與△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，在△CQB與△CPA中，，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故C正確，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故B正確，∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故D錯誤；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等邊△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故A正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性，解題的關(guān)鍵是找到不變量．11.（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，為上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B． C．D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到，且為的中點(diǎn)，所以,由此可判斷選項(xiàng)；再結(jié)合平行線的性質(zhì)可以得到，由此可判斷選項(xiàng)；同時延長和交于點(diǎn)，可以證得，所以,由此可以判斷選項(xiàng)；由于，所以，由此可以判斷選項(xiàng)；【詳解】四邊形是平行四邊形由于條件不足，所以無法證明,故選項(xiàng)錯誤；故選項(xiàng)錯誤；同時延長和交于點(diǎn)在和中：由于條件不足，并不能證明，故選項(xiàng)錯誤；為的中點(diǎn)故選項(xiàng)正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定，根據(jù)題意作出相應(yīng)的輔助線是求解本題的關(guān)鍵.12．（2019·浙江杭州·統(tǒng)考三模）如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為（

）A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2【答案】C【分析】證△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出，代入求出即可．【詳解】∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，∠ABP＝∠EBPBP＝BP∠APB＝∠EPB，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴，故答案選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，注意：等底等高的三角形的面積相等．13．（2022秋·福建寧德·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O為對角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OG、ON分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于點(diǎn)P．則下列結(jié)論中：（1）圖形中全等的三角形只有兩對；（2）正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；（3）BE+BF＝OA；（4）AE2+CF2＝2OP?OB．正確的結(jié)論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由正方形的性質(zhì)和已知條件得出圖形中全等的三角形有四對，得出（1）錯誤；由，得出四邊形OEBF的面積的面積正方形ABCD的面積，得出（2）正確；由，得出，得出，得出（3）正確；由得出，進(jìn)而，再證明∽，得出，得出（4）正確．【詳解】解：（1）不正確；圖形中全等的三角形有四對：，，，；理由如下：四邊形是正方形，，，，在和中，，；點(diǎn)為對角線的中點(diǎn)，，在和中，，；，，，，，又，，在和中，，；同理：；（2）正確．理由如下：，四邊形的面積的面積正方形的面積；（3）正確．理由如下：，，；（4）正確．AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2＝（OF）2＝2OF2，在△OPF與△OFB中，∠OBF＝∠OFP＝45°，∠POF＝∠FOB，∴△OPF∽△OFB，OP：OF＝OF：OB，OF2＝OP?OB，AE2+CF2＝2OP?OB．正確結(jié)論的個數(shù)有3個；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)等．解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形、相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．14.（2022春·廣東江門·九年級江門市怡福中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形和正方形的頂點(diǎn)，，在同一條直線上，頂點(diǎn)，，在同一條直線上，是的中點(diǎn)，的平分線過點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．以下四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①先利用正方形的性質(zhì)證明，然后有，通過等量代換可得，則，即可判斷①的正誤；②通過直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出點(diǎn)H在正方形CGFE的外接圓上，然后根據(jù)圓周角定理的推論得出，即可判斷②的正誤；③首先證明，則有，進(jìn)而可得，由此可判斷③的正誤；④先得出是的中位線，則，然后根據(jù)平行線分線段成比例得出，則有，進(jìn)而可求出，又因?yàn)?，則可判斷④的正誤．【詳解】解：∵四邊形和四邊形是正方形，∴．在和中，，．，，，，故①錯誤；是直角三角形，是的中點(diǎn)，，點(diǎn)H在正方形的外接圓上．，，，∵，∴，∴，∴，，故②正確；∵平分，．，．在和中，，．，，，故③正確；∵四邊形CGFE是正方形，∴．，．，是的中位線，，，，，．與高相同，．，，，故④錯誤．故正確的有②③，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例，圓周角定理等知識，掌握正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．15.（2022秋·廣東深圳·九年級校考期中）如圖，點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的兩個動點(diǎn)，在運(yùn)動過程中保持∠MAN＝45°，連接EN、FM相交于點(diǎn)O，以下結(jié)論：①M(fèi)N＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF?DE；④OM＝OF（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，由“SAS”可證△AMN≌△AM′N，可得MN=NM′，可得MN=BM+DN，故①正確；由“SAS”可證△AEF≌△AED'，可得EF=D'E，由勾股定理可得BE2+DF2=EF2；故②正確；通過證明△DAE∽△BFA，可得，可證BC2=DE?BF，故③正確；通過證明點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)M，點(diǎn)F四點(diǎn)共圓，∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，可證MO=EO，由∠BAM≠∠DAN，可得OE≠OF，故④錯誤，即可求解．【詳解】解：將△ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADM′，將△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABD'，∴AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，∴∠ADM'+∠ADC=180°，∴點(diǎn)M'在直線CD上，∵∠MAN=45°，∴∠DAN+∠MAB=45°=∠DAN+∠DAM'=∠M'AN，∴∠M′AN=∠MAN=45°，又∵AN=AN，AM=AM'，∴△AMN≌△AM′N（SAS），∴MN=NM′，∴M′N=M′D+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；故①正確；∵將△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABD'，∴AF=AD'，DF=D'B，∠ADF=∠ABD'=45°，∠DAF=∠BAD'，∴∠D'BE=90°，∵∠MAN=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°=∠BAD'+∠BAE=∠D'AE，∴∠D'AE=∠EAF=45°，又∵AE=AE，AF=AD'，∴△AEF≌△AED'（SAS），∴EF=D'E，∵D'E2=BE2+D'B2，∴BE2+DF2=EF2；故②正確；∵∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+45°，∠AEF=∠BAE+∠ABE=45°+∠BAE，∴∠BAF=∠AEF，又∵∠ABF=∠ADE=45°，∴△DAE∽△BFA，∴，又∵AB=AD=BC，∴BC2=DE?BF，故③正確；∵∠FBM=∠FAM=45°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)M，點(diǎn)F四點(diǎn)共圓，∴∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，同理可求∠AEN=90°，∠DAN=∠DEN，∴∠EOM=45°=∠EMO，∴EO=EM，∴MO=EO，∵∠BAM≠∠DAN，∴∠BFM≠∠DEN，∴EO≠FO，∴OM≠FO，故④錯誤，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題16．（2022秋·江蘇南京·八年級南京市第二十九中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，，且，，且，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算的長為______．【答案】【分析】根據(jù)題意證明，，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，同理可得：，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．17.（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，D，E，F(xiàn)分別為邊，，上的點(diǎn)，.若，則______.【答案】【分析】根據(jù)已知條件可推出，從而可知，再根據(jù)平角的定義及三角形內(nèi)角和推出，即可得解．【詳解】解：，，在和中，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平角的定義推出是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等腰中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的面積為________．【答案】8【分析】由線段CD的長求的面積，故過B作CD的垂線，則由三角形面積公式可知：，再由題中的和等腰直角三角形ABC，即可求證，最后由即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)B作CD的垂線，交CD的延長線于點(diǎn)E故答案是：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的證明、輔助線的畫法、等腰三角形的性質(zhì)和三角形面積公式，屬于中檔難度的幾何證明題．解題的關(guān)鍵是由三角形面積公式畫出合適的輔助線．19.（2021·全國·九年級專題練習(xí)）在中，，點(diǎn)在邊上，．若，則的長為__________．【答案】【分析】將CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，可得△ACE≌△BCG，從而得FG2＝AE2＋BF2，再證明△ECF≌△GCF，從而得EF2＝AE2＋BF2，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：將CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，∵∠BCE＋∠ECA＝∠BCG＋∠BCE＝90°∴∠ACE＝∠BCG．∵在△ACE與△BCG中，∵，∴△ACE≌△BCG（SAS），∴∠A＝∠CBG＝45°，AE＝BG，∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°．在Rt△FBG中，∠FBG＝90°，∴FG2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2．又∵∠ECF＝45°，∴∠FCG＝∠ECG?∠ECF＝45°＝∠ECF．∵在△ECF與△GCF中，，∴△ECF≌△GCF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF2＝AE2＋BF2，∵，∴BF=，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換，二次根式的化簡，通過旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．20.（2022秋·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形的邊長為5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在y軸上，若反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)C，則k的值為_______．【答案】【分析】過點(diǎn)作軸于，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)同角的余角相等求出，然后利用“角角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，，再求出，然后寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式計(jì)算即可求出的值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于，在正方形中，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，在和中，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及到正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出點(diǎn)的坐標(biāo)．21．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，為AD上的中點(diǎn)，則BE＝______．【答案】【分析】延長BE交CD于點(diǎn)F，證，則BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中運(yùn)用勾股定理求出BF長即可.【詳解】解：延長BE交CD于點(diǎn)F,∵AB平行CD，則∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE，又E為AD上的中點(diǎn)，∴BE=EF,所以.∴∴在直角三角形BCF中，BF==.∴.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形全等，找到線段的關(guān)系，然后運(yùn)用勾股定理求解.22.（2022秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)P是在等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，，將線段繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．下列結(jié)論：①可以看作由繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到；②線段；③四邊形的面積為；④．正確的是______（只填序號）．【答案】①②④【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，即可證明為等邊三角形．由為等邊三角形，可得出，，進(jìn)而可證，從而可證，即可以看作由繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，故①正確；由等邊三角形的性質(zhì)可直接得出，故②正確；由全等三角形的性質(zhì)可知．再根據(jù)勾股定理逆定理可得出為直角三角形，且．過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)H，易求出，進(jìn)而可求出，由三角形的面積公式求出和，進(jìn)而即可求出，故可判斷③；易求出．再根據(jù)全等的性質(zhì)即得出，故④正確．【詳解】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∴為等邊三角形．∵為等邊三角形，∴，，∴，即，∴，∴可以看作由繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，故①正確；∵為等邊三角形，∴，故②正確；∵，∴．∵，即，∴為直角三角形，且．如圖，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)H，∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴．∵，∴，故③錯誤；∵，，∴．∵，∴，故④正確．綜上可知正確的是①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識．正確的作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵三、解答題23．（2022·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，B是線段AC的中點(diǎn)，，求證：．【答案】證明過程見詳解【分析】運(yùn)行平行線的性質(zhì)可證∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，結(jié)論即可得證．【詳解】證明∵B是AC中點(diǎn)，∴AB=BC，∵，∴∠A=∠EBC，∵，∴∠DBA=∠C，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE(ASA)．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行同位角相等的知識是解答本題的關(guān)鍵．24．（2023秋·云南楚雄·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在四邊形中，，，連接．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，又∵，∴，即，∵在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋·陜西安康·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，連接DE、DF、EF，且，．(1)求證：是等腰三角形；(2)當(dāng)時，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)65°【分析】（1）由條件可以得出，就可以得出，就可得出結(jié)論；（2）由推出，然后求出，由三角形內(nèi)角和定理和平角的定義就可以得出，進(jìn)而求出的度數(shù)即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∵，∴【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，平角的定義的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．．26．（2023秋·四川廣安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，D是邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），連接，作，與相交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)時，求證：；(2)當(dāng)是等腰三角形時，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，得出，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，，進(jìn)而得出，再根據(jù)“角角邊”，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，分三種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，，∴．在和中，，∴．（2）解：由（1）知，，∴．當(dāng)是等腰三角形時，分以下三種情況討論：①當(dāng)時，，此時；②當(dāng)時，，此時；③當(dāng)時，則，此時點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，不符合題意，故舍去．綜上所述，的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，解本題的關(guān)鍵在分類討論．27.（2022秋·