第11章1-5周期非正弦電路

本章介紹周期非正弦電路的計(jì)算。主要內(nèi)容(nèiróng)有：周期非正弦信號(hào)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)，信號(hào)的頻譜，周期信號(hào)的有效值、平均值，周期非正弦電路的平均功率，周期非正弦電路響應(yīng)分析的疊加法，以及三相電路的高次諧波等。第十一章周期非正弦(zhèngxián)電路共四十二頁(yè)主要內(nèi)容§11－1周期(zhōuqī)非正弦信號(hào)§11－2周期非正弦信號(hào)(xìnhào)的傅立葉級(jí)數(shù)§

11－3周期非正弦信號(hào)的頻譜§11－4傅立葉系數(shù)與波形對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系

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11－5周期非正弦信號(hào)的有效值、平均值和電路的功率共四十二頁(yè)

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11－6周期非正弦信號(hào)(xìnhào)激勵(lì)時(shí)電路的響應(yīng)主要內(nèi)容

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11－7不同頻率正弦電源共同(gòngtóng)作用下電路的分析§11－8對(duì)稱(chēng)三相電路中的高次諧波共四十二頁(yè)§11－1周期非正弦(zhèngxián)信號(hào)電工、電子技術(shù)中常遇到周期非正弦信號(hào)，下圖示出了幾種(jǐzhǒnɡ)常見(jiàn)的周期非正弦電壓和電流。共四十二頁(yè)周期非正弦電路的形成：（1）線(xiàn)性電路中激勵(lì)為周期非正弦信號(hào)；（2）線(xiàn)性電路中，激勵(lì)為若干個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)；（3）激勵(lì)為正弦信號(hào)，但電路中有非線(xiàn)性元件（如鐵心線(xiàn)圈、鐵心變壓器等）或時(shí)變?cè)?；?）前兩種激勵(lì)作用(zuòyòng)于非線(xiàn)性元件。本章僅討論第（1）、（2）兩種情況。說(shuō)明：全波整流電壓和單相可控硅整流電壓的周期是按整流電路輸入正弦(zhèngxián)電壓的周期計(jì)，所以T為兩個(gè)半波對(duì)應(yīng)的時(shí)間。共四十二頁(yè)§11－2周期(zhōuqī)非正弦信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)任何周期非正弦函數(shù)當(dāng)滿(mǎn)足(mǎnzú)狄里赫利條件時(shí)，都可展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)。電工、電子技術(shù)中的周期非正弦信號(hào)，通常都滿(mǎn)足(mǎnzú)狄里赫利條件。

一.周期非正弦信號(hào)

f(t)展成傅氏級(jí)數(shù)f(t)周期：T頻率：f＝1/T角頻率：ω＝2π/T共四十二頁(yè)傅氏級(jí)數(shù)(jíshù)形式一：——①傅氏級(jí)數(shù)(jíshù)形式二：式①可寫(xiě)成如下形式——②共四十二頁(yè)

二.傅氏級(jí)數(shù)(jíshù)各參數(shù)之計(jì)算由數(shù)據(jù)分析有對(duì)應(yīng)(duìyìng)式①：共四十二頁(yè)

三.說(shuō)明1.式②中

——f(t)的恒定分量(fènliàng)或直流分量(fènliàng)——f(t)的基波（分量）或1次諧波（分量）——f(t)的2次諧波（分量）——f(t)的3次諧波（分量）

...2次及2次以上的諧波(xiébō)統(tǒng)稱(chēng)為高次諧波(xiébō)；共四十二頁(yè)2.傅氏級(jí)數(shù)具有收斂性，即隨著頻率的增加，諧波幅值總的趨勢(shì)越來(lái)越?。?.f(t)波形越平滑(pínghuá)，越接近正弦，其高次諧波分量越小，級(jí)數(shù)收斂越快；f(t)波形越不平滑或有跳躍其高次諧波(xiébō)分量大，級(jí)數(shù)收斂慢。共四十二頁(yè)例11－1求下圖所示周期(zhōuqī)方波信號(hào)f(t)的傅立葉級(jí)數(shù)。f(t)tωt0－2π2ππ/2－π/2ET/4T－T/4－T解（1）傅立葉系數(shù)a0、ak、bk：由公式得

共四十二頁(yè)共四十二頁(yè)（2）f(t)的傅立葉級(jí)數(shù)(jíshù)展開(kāi)式：將求得的傅立葉系數(shù)帶入式①，得周期非正弦信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)有無(wú)窮多項(xiàng)，由于它具有收斂性，因此，一般可只取前若干項(xiàng)近似表示。項(xiàng)數(shù)取得越多，近似效果(xiàoguǒ)越好。上例方波信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式，若取前四項(xiàng)、即取到5次諧波，其合成波形如下圖（a）所示。若取前7項(xiàng)、即取到11次諧波，則合成波形如圖（b）所示?？梢?jiàn)所取諧波項(xiàng)數(shù)越多。合成的波形越接近原信號(hào)波形。共四十二頁(yè)幾種常見(jiàn)的周期非正弦(zhèngxián)信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)見(jiàn)本章最后一頁(yè)。本節(jié)完共四十二頁(yè)§

11－3周期非正弦(zhèngxián)信號(hào)的頻譜為了直觀、清晰地看出各諧波幅值A(chǔ)km、初相位ψk與頻率kω之關(guān)系，可以畫(huà)出Akm～kω1和ψk～kω1的譜線(xiàn)圖，它們分別稱(chēng)為幅度(fúdù)頻譜圖和相位頻譜圖（見(jiàn)下面的例）例共四十二頁(yè)其對(duì)應(yīng)(duìyìng)的頻譜圖如下：Akmω13ω15ω17ω19ω10kω1（a）幅度頻譜03ω15ω17ω19ω111ω1kω1ψkπ（b）相位頻譜共四十二頁(yè)頻譜圖中的豎線(xiàn)稱(chēng)為譜線(xiàn)，譜線(xiàn)只可能在離散點(diǎn)kω1的位置上出現(xiàn)，因此是離散頻譜。譜線(xiàn)的間距(jiānjù)取決于信號(hào)f(t)的周期T，T越大，ω1越小，譜線(xiàn)間距越窄，譜線(xiàn)越密。信號(hào)的幅度(fúdù)頻譜和相位頻譜的重要性在不同場(chǎng)合有所不同，如傳送語(yǔ)音信號(hào)時(shí)，重要的是使各頻率分量的幅值相對(duì)不變，以保持原來(lái)的音調(diào)，即不失真，因此幅度(fúdù)頻譜很重要，而相位頻譜并不重要，因?yàn)槿说穆?tīng)覺(jué)對(duì)各頻率分量的相位關(guān)系不敏感。但是在傳送圖像信號(hào)時(shí)，保持各頻率分量間的相位關(guān)系則對(duì)圖像的不失真具有重要意義。共四十二頁(yè)§11－4傅立葉系數(shù)與波形(bōxínɡ)對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系對(duì)一個(gè)周期非正弦(zhèngxián)函數(shù)進(jìn)行分解時(shí)，應(yīng)先分析它是否具有對(duì)稱(chēng)性。如果波形具有對(duì)稱(chēng)性，則它的某些傅立葉系數(shù)將為零，利用這一特點(diǎn)，計(jì)算將大為簡(jiǎn)化。下面分析傅立葉系數(shù)波形對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系。共四十二頁(yè)一.f(t)波形(bōxínɡ)在一個(gè)周期內(nèi)，在t軸上、下的面積相等下面所示波形屬于此情況(qíngkuàng)，此時(shí)有f(t)t0ET/2T－E（a）f(t)t0T/2T（b）共四十二頁(yè)二.f(t)為偶函數(shù)——f(t)＝f(－t)

波形特點(diǎn)(tèdiǎn)：對(duì)稱(chēng)于縱軸，例如上圖（a）。

傅氏級(jí)數(shù)(jíshù)特點(diǎn)：不含奇函數(shù)，即傅氏級(jí)數(shù)形式一中無(wú)正弦分量，式中a0可能為零，也可能不為零。上圖（a）的a0＝0，若圖（a）的t軸下移，則。共四十二頁(yè)三.f(t)為奇函數(shù)——f(t)＝－

f(－t)

波形(bōxínɡ)特點(diǎn)：對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)，例如上圖（b）。

傅氏級(jí)數(shù)(jíshù)特點(diǎn)：不含偶函數(shù)和直流分量，即四.奇諧波函數(shù)——

波形特點(diǎn)：前半周波形平移半個(gè)周期后與后半周波形對(duì)t軸呈鏡像對(duì)稱(chēng)，例如下圖：共四十二頁(yè)f(t)t0T/2T-T/2

傅氏級(jí)數(shù)特點(diǎn)(tèdiǎn)：不含恒定分量和偶次諧波分量，即共四十二頁(yè)或五.偶諧波(xiébō)函數(shù)——

波形(bōxínɡ)特點(diǎn)：后半周為前半周的重復(fù)。f(t)T/2T0t

傅氏級(jí)數(shù)特點(diǎn)：不含奇次諧波分量，即或共四十二頁(yè)六.說(shuō)明(shuōmíng)1.周期信號(hào)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，除與波形(bōxínɡ)有關(guān)外，還與計(jì)時(shí)起點(diǎn)有關(guān)，例如下圖所示f(t)，當(dāng)f(t)to1o2坐標(biāo)原點(diǎn)為o1——f(t)是奇函數(shù)坐標(biāo)原點(diǎn)為o2——f(t)是偶函數(shù)共四十二頁(yè)2.周期信號(hào)(xìnhào)是奇諧波函數(shù)還是偶諧波函數(shù)，僅與波形有關(guān)，而與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無(wú)關(guān)。本節(jié)完共四十二頁(yè)

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11－5周期非正弦信號(hào)的有效值、平均值和電路(diànlù)的功率一.周期非正弦(zhèngxián)信號(hào)的有效值和平均值1.有效值任何周期信號(hào)的有效值等于其瞬時(shí)量的方均根值（見(jiàn)第六章第一節(jié)）。周期電流i(t)的有效值為——①共四十二頁(yè)將i(t)分解(fēnjiě)為傅氏級(jí)數(shù)——②式②代入式①，經(jīng)計(jì)算(jìsuàn)（見(jiàn)參考書(shū)）得式中I0——i(t)的直流分量式中Ik——i(t)的k次諧波有效值，。共四十二頁(yè)周期非正弦(zhèngxián)信號(hào)的有效值，等于不同頻率的各諧波有效值平方和的開(kāi)方（直流分量可視為信號(hào)的零次諧波），即結(jié)論(jiélùn)：同理，周期非正弦電壓u(t)的有效值為共四十二頁(yè)例11－2試求的有效值U。解思考(sīkǎo)（答案(dáàn)見(jiàn)例11－3后）：上例（1）若，有效值U變否？（2）若，U變否？u(t)的波形變否？共四十二頁(yè)例11－3求下圖所示鋸齒(jùchǐ)波電壓u的有效值。ut0T解圖示鋸齒(jùchǐ)波電壓可寫(xiě)成Um用方均根求有效值有共四十二頁(yè)此題若用鋸齒波的各諧波分量(fènliàng)有效值平方和的平方根計(jì)算，只能取有限項(xiàng)，顯然會(huì)出現(xiàn)誤差，項(xiàng)數(shù)取得越多，誤差越小。周期信號(hào)可用解析式表達(dá)時(shí)，有效值應(yīng)直接用方均根值計(jì)算。思考題答案(dáàn)（1）U變。中，第二、三項(xiàng)是同次諧波（基波），而有效值是等于不同頻率的各諧波有效值平方和開(kāi)方，因此要先求出同次諧波合成后的有效值（用相量法），然后再進(jìn)行計(jì)算。共四十二頁(yè)對(duì)應(yīng)(duìyìng)

（2）U不變，波形(bōxínɡ)要變。共四十二頁(yè)結(jié)論(jiélùn)：①有效值與不同頻率的各諧波(xiébō)的相位無(wú)關(guān)；②有效值相等的非正弦信號(hào)的波形一般都不相同。2.平均值電工、電子技術(shù)中，有時(shí)要用到電壓、電流的平均值。平均值的定義是：信號(hào)的絕對(duì)值在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。以電流i為例，其平均值為共四十二頁(yè)正弦電流(diànliú)的絕對(duì)值i的波形是全波整流波形，根據(jù)上式，正弦電流的平均值為此式表明(biǎomíng)，正弦信號(hào)的平均值約為有效值的0.9倍，或有效值約為平均值的1.11倍。共四十二頁(yè)二.周期非正弦電流電路(diànlù)的平均功率（有功功率）P右圖所示二端網(wǎng)絡(luò)N的u

、i為。。＋－uiN——①——②網(wǎng)絡(luò)(wǎngluò)N吸收的平均功率為將式①、②代入上式，經(jīng)計(jì)算（見(jiàn)參考書(shū)）后得共四十二頁(yè)式中Uk、Ik為k次諧波(xiébō)電壓、電流的有效值，為k諧波電壓與k次諧波電流的相位差角，即上式亦可寫(xiě)成——③共四十二頁(yè)結(jié)論(jiélùn)：周期非正弦電流電路的平均功率(gōnglǜ)等于直流分量產(chǎn)生的功率(gōnglǜ)和各次諧波產(chǎn)生的平均功率(gōnglǜ)之和，即這稱(chēng)為功率疊加。共四十二頁(yè)注意及說(shuō)明（1）不同頻率的電壓、電流不構(gòu)成平均功率，只有相同頻率的電壓、電流才構(gòu)成平均功率；（2）功率疊加只對(duì)不同頻率的諧波(xiébō)功率有效；（3）電路中，只有電阻元件消耗有功功率。周期非正弦電路中，電阻吸收的有功功率仍為或。

共四十二頁(yè)，，求二端網(wǎng)絡(luò)N吸收(xīshōu)的平均功率P。。。＋－uiN例11－4右圖中設(shè)解將u

改寫(xiě)(gǎixiě)成根據(jù)式③，于是共四十二頁(yè)例電阻R＝2Ω，流過(guò)R的電流為i，求R吸收(xīshōu)