2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)文檔 學(xué)生用書 第2章

第一節(jié)函數(shù)及其表示

最新考綱?

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念.

2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表

示函數(shù).

3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).

考向預(yù)測(cè)?

考情分析：以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的表示法、定義域，分段函數(shù)以及函數(shù)與

其他知識(shí)的綜合仍是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇、填空題，又有解答題，中等偏上難度.

學(xué)科素養(yǎng)：通過函數(shù)概念考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通常通過函數(shù)定義域、函數(shù)解析式

及分段函數(shù)問題考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及直觀想象的核心素養(yǎng).

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端

一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

兩個(gè)集

集合A,8是兩個(gè)非空的________集合A,B是兩個(gè)非空的________

合A,B

按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系力使對(duì)按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系力使對(duì)

對(duì)應(yīng)于集合A中的________一個(gè)數(shù)x,于集合A中的_______一個(gè)元素

關(guān)系在集合B中都有________的數(shù)八x)a,在集合B中都有________的元

和它對(duì)應(yīng).素b與之對(duì)應(yīng)

稱力A^B為從集合A到集合B的稱/：A^B為從集合A到集合B的

名稱

一個(gè)函數(shù).一個(gè)映射.

記法y=f<x),XGA/：A-B

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)y=/(x),xGA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的；與x的

值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合伏x)|xGA｝叫做函數(shù)的.顯然，值域是

集合B的子集.

(2)函數(shù)的三要素：、和.

(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的和完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這

是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).

(4)函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有：、、.

［提醒］函數(shù)圖象的特征：與x軸垂直的直線與其最多有一個(gè)公共點(diǎn).利用這個(gè)特征可

以判斷一個(gè)圖形能否作為一個(gè)函數(shù)的圖象.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的,這樣的函

數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

［提醒J分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并

集，值域是各段值域的并集.

二、必明3個(gè)常用結(jié)論

1.函數(shù)是特殊的映射，是定義在非空數(shù)集上的映射.

2.直線x=a（。是常數(shù)）與函數(shù)yfx）的圖象有0個(gè)或1個(gè)交點(diǎn).

3.判斷兩個(gè)函數(shù)相等的依據(jù)是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致.

三、必練4類基礎(chǔ)題

（一）判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）.

（1）對(duì)于函數(shù)/：A^B,其值域是8.（）

（2）函數(shù)與映射是相同的概念，函數(shù)是映射，映射也是函數(shù).（）

（3）只要集合A中的任意元素在集合B中有元素對(duì)應(yīng)，那么這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系就是函

數(shù).（）

（4）若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域都相同，則這兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù).（）

（5）分段函數(shù)不是一個(gè)函數(shù)而是多個(gè)函數(shù).（）

（二）教材改編

2.［必修l-Pi8例2改編］下列函數(shù)中，與函數(shù)＞=尤+1是相等函數(shù)的是（）

A.y=（6+1）2B.y=

C.y=B+1D.y=日+1

Vx+3

3」必修LPi7例1改編］已知人x）=若五一2）=0,則a的值為

（三）易錯(cuò)易混

(x+l)2,r<l

4.（忽視自變量范圍）設(shè)函數(shù)兀0=,4-Vr-1.r>1，則使得的自變量x

的取值范圍為.

5.（忽視新元范圍）已知丑行）=x—1,則於）=.

（四）走進(jìn)高考

x2—4,x>2,

|x-3|+a,x<2.f-

6.［2021?浙江卷］已知aGR,函數(shù)段）=若心胸)=3,則

提升關(guān)鍵能力一考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一函數(shù)的定義域［基礎(chǔ)性］

電QF

際？（）。的定義域是（）

1.函數(shù)y=+x—1

A.{x\—3<x<1}

B.{x|—3<x<2且xWl}

C.{x|0<x<2}

D.{x|l<x<2}

2.如果函數(shù)1x）=ln（—2x+a）的定義域?yàn)椋ㄒ?,1）,那么實(shí)數(shù)a的值為（）

A.l2B.—1

C.1D.2

?同

3.[2022?江西撫州模擬]若函數(shù)加）的定義域?yàn)閇0,6],則函數(shù)卜3的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（0.3）B.[1,3）U（3,81

C.[1,3）D.[0,3）

的定義域?yàn)閯t實(shí)數(shù)的取值

4.[2022?陜西渭南高三檢測(cè)]若函數(shù)y=3-HR,a

范圍是（）

A（。/B&九

一題多變_____________________________

6

1.（變問題）將題3中的“函數(shù)的定義域”改為“函數(shù)式無一5）的定義域?yàn)?/p>

2.（變條件，變問題）將題3改為“已知函數(shù)人x—5）的定義域?yàn)閇0,6],則函數(shù)人x）的定

義域?yàn)?”

反思感悟

1.給定函數(shù)的解析式，求函數(shù)的定義域

分式分母不等于0________________________

-7~~‘開偶次方根，被開方數(shù)大于等于o

根號(hào),

對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)部分大于0

M體對(duì)數(shù)---------------------------------------

數(shù)

函---------底數(shù)大于。且不等于1_______________

解

有

式

析———I指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1

、正切-----y=tanx,x^^-+kIT（ZEZ）

0次方ix°=1,xX0

實(shí)際應(yīng)用題考慮解析式有意義且考慮實(shí)際問題有意義

2.求抽象函數(shù)定義域的方法

已知函數(shù)./U)的定義域?yàn)橐阎獜?fù)合函數(shù)/[g(x)]的

[a,b],求復(fù)合函數(shù)力g(x)]定義域?yàn)閈a,b\,求函數(shù)

的定義域?r)的定義域

7

由不等式aWg(x)Wb解求出y=g(x)(xW[a,b])

得X,則x的取值范圍的值域，即為y/x)的

即為所求定義域定義域

考點(diǎn)二函數(shù)的解析式[綜合性]

[例1](1)已知/G、+i)，=坨尤，則兀V)的解析式為_______.

(2)(一題多解)已知二次函數(shù)兀0滿足五2x+l)=4N—6x+5,則八無)的解析式為.

(3)[2022?佛山一中月考]已知函數(shù)八x)滿足^x)+2A-x)=e\則函數(shù)八x)的解析式為

聽課筆記：

反思感悟求函數(shù)解析式常用的方法

由已知條件優(yōu)。))=尸(*),可將F(.r)改寫成關(guān)

法一于g(x)的表金太，然后以x替代g(x),便得

配湊法

fix)的表達(dá)式

0何宇形如；二晨GB而法藪癡訐

法二It=g(x),從中求出了=<f>。)，然后代入表達(dá)

換元法一；式求出/(。，再將，換成X,得到f(x)的

[解析式，要注意新元的取值范圍

:免役由杳看得兔薪血癱薪及，容利甬桓，

法三

待定系薪法4等式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程：

1(組)，通過解方程(組)求出相應(yīng)的待定系數(shù);

?巨如買了76寫?④礪工芮袤冠益

法四i可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式

解方程組法

;組成方程組，通過解方程求出/(X)

[提醒]由于函數(shù)的解析式相同，定義域不同，則為不相同的函數(shù)，因此求函數(shù)的解析

式時(shí)，如果定義域不是R,一定要注明函數(shù)的定義域.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.若函數(shù)式1—2x)=

C.15D.30

2.已知/'卬=彳+則函數(shù)人x)的解析式為

3.已知於)是一次函數(shù)，且滿足職x+l)—況x—1)=2尤+17,則於)=

?

4.已知八尤)滿足紈x)+/3=3尤，則危)=______.

考點(diǎn)三分段函數(shù)［基礎(chǔ)性、綜合性］

角度1求分段函數(shù)的函數(shù)值

［例2］⑴［2022?安徽合肥檢測(cè)］已知函數(shù)

卜+白，x>2,

H+2,x?2,n.

?=則用⑴)=()

1

A.-3B.2

C.4D.11

CD5WX,X<1,

(2)［2022?鄭州模擬］已知危)=則/W+/'”的值

為()

A.2B.一

C.-1D.1

聽課筆記：

反思感悟分段函數(shù)的求值問題的解題思路

(1)求函數(shù)值：先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，

當(dāng)出現(xiàn)肥°))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變

量的值，切記要代入檢驗(yàn).

角度2分段函數(shù)與方程

仔x>0,

（x+1,x<0.

[例3][2022?長春模擬]已知函數(shù)五尤）=若八.）+AD=o,則實(shí)數(shù)。的

值等于（）

A.l3B.—1

C.1D.3

聽課筆記：

反思感悟

根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值時(shí)，應(yīng)根據(jù)自變量與分段函數(shù)各段的定義域分類討

論，結(jié)合各段的函數(shù)解析式求解，要注意求出的自變量的值應(yīng)滿足解析式對(duì)應(yīng)的自變量的范

圍.

角度3分段函數(shù)與不等式

[1,XMO,

[不，x>0,

[例4][2022?湘贛皖長郡十五校一聯(lián)]設(shè)函數(shù)y（x）=則滿足五x+

2）43x）的x的取值范圍是（）

A.x<lB.尤21

C.—2<x<lD.0Vx<1

聽課筆記：

反思感悟

與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題主要表現(xiàn)為解不等式（有時(shí)還需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)

性）.若自變量取值不確定，往往要分類討論求解；若自變量取值確定，但分段函數(shù)中含有

參數(shù)，則只需依據(jù)自變量的情況，直接代入相應(yīng)解析式求解即可.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

f2x+1>x>0,

13yz,X0,

1.[2022?長沙長郡中學(xué)月考]已知函數(shù)/（x）=''且八項(xiàng)）=3,則實(shí)數(shù)

xo的值為（）

A.-1B.1

1

C.-1或1D.-1或一

fx,xVO,

x>0,

2.［2022?福州市高三質(zhì)量檢測(cè)］函數(shù)式x)=則<2)+八-1)=

［1+，，x<0

I1,x>0

3.［2021?深圳模擬］已知函數(shù)危)=,若加—4)次2%—3),則實(shí)數(shù)x

的取值范圍是.

微專題?學(xué)通學(xué)活巧遷移新定義函數(shù)

交匯創(chuàng)新

所謂“新定義”函數(shù)，是相對(duì)于高中教材而言，指在高中教材中不曾出現(xiàn)或尚未介紹的

一類函數(shù).函數(shù)新定義問題的一般形式是：由命題者先給出一個(gè)新的概念、新的運(yùn)算法則，

或者給出一個(gè)抽象函數(shù)的性質(zhì)等，然后讓學(xué)生按照這種“新定義”去解決相關(guān)的問題.

［例］［2022?廣東深圳模擬］在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整

點(diǎn)，若函數(shù)兀0的圖象恰好經(jīng)過w(wGN*)個(gè)整點(diǎn)，則稱函數(shù)兀0為九階整點(diǎn)函數(shù).給出下列

函數(shù)：

①Xx)=sin2x；②gCOn%3；③7i(x)=W窗;④0(x)=lnx.其中是一階整點(diǎn)函數(shù)的是

()

A.①②③④B.①③④

C.①④D.④

解析：對(duì)于函數(shù)Kx)=sin2x,它的圖象(圖略)只經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)(0,0),所以它是一階整

點(diǎn)函數(shù)，排除D項(xiàng)；對(duì)于函數(shù)g(x)=R,它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(diǎn)(0,0),(1,1),-??,所以

1

它不是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除A項(xiàng)；對(duì)于函數(shù)〃(x)=(V，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(diǎn)(0,1),

(-1,3),所以它不是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除B項(xiàng).故選C項(xiàng).

答案：C

名師點(diǎn)評(píng)

本題意在考查考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).破解新定

義函數(shù)題的關(guān)鍵是緊扣新定義的函數(shù)的含義，學(xué)會(huì)語言的翻譯、新舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，便可使問

題順利獲解.如本例，若能把新定義的一階整點(diǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)穴x)的圖象恰好經(jīng)過1個(gè)整

點(diǎn)，問題便迎刃而解.

［變式訓(xùn)練］

1.［2022?山東濱州月考］具有性質(zhì)/3=一次龍)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換

x(0<x<1),

'0件=1%

111

的函數(shù).下列函數(shù)：①)^.》一-②丁二彳十。③了=\--"6>1)中滿足"倒

負(fù)”變換的函數(shù)是()

A.①②B.②③

C.①③D.只有①

2.若函數(shù)4x)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱該函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”：

(l)VxER,都有|一x)+八x)=0；

(2)Vxi,X2eR,且X1WX2,都有一r*<0.

在①/(尤)=sinx,@fix)=—2s3,③f(x)=i—x這三個(gè)函數(shù)中，是"優(yōu)

美函數(shù)”.

第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)I

第一節(jié)函數(shù)及其表示

積累必備知識(shí)

1.數(shù)集集合任意唯一確定任意唯一確定

2.⑴定義域值域(2)定義域值域?qū)?yīng)關(guān)系(3)定義域?qū)?yīng)關(guān)系解析法

圖象法列表法

3.對(duì)應(yīng)關(guān)系

--、

1.答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X

2.解析：對(duì)于A,函數(shù)y=(立+1)2的定義域?yàn)閧x|xN—1},與函數(shù)y=x+l的定

義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于B,定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；

三

對(duì)于C,函數(shù)y='+1的定義域?yàn)閧x|xW0},與函數(shù)y=x+l的定義域不同，不是

相等函數(shù)；

對(duì)于D,定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù).故選B.

答案：B

V5TT+2

3.解析：因?yàn)槲?=

V-2+3+—

所以7(—2)="*=0,解得“=1.

答案：1

4.解析：因?yàn)閥(x)是分段函數(shù)，所以八x)》l應(yīng)分段求解.當(dāng)x<l時(shí)，1x)》l,即(x+

1)221.

解得xW—2或x20,所以xW—2或OWx<l；當(dāng)x2l時(shí),危)，1,即4—也一121,

解得IWXWIO.

綜上所述，—2或OWxWlO.

答案：(-OO,-2]tl(o,10)

5.解析：令kG,則x—fi,所以加)=f一1QN0).即1(x20).

答案：X2—1(x^0)

6.解析：因?yàn)閃=2,所以火&)=(蝎2_4=2,

所以歡遍))={2)=|2—3|+。=1+。=3,解得a=2.

答案：2

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

'2—x>0.

，12+x—x2>0.

1.解析：要使函數(shù)解析式有意義，須有‘

JXV2.

--3<x<4,

解得'’1.所以一3<x<2且xWl.故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|—3<x<2且尤W1}.

答案：B

aa

2.解析：因?yàn)橐?x+a>0,所以x<又因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?一8,1),所以2=

1,所以a=2.

答案：D

3.解析：因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的定義域?yàn)閇0,6],所以0W2xW6,解得0WxW3.又因?yàn)閤—3W0,

e

所以xW3,函數(shù)L3的定義域?yàn)椋?,3）,故選D項(xiàng).

答案：D

4.解析：要使函數(shù)的定義域?yàn)镽,則以2—4依+2>0恒成立.①當(dāng)。=0時(shí)，不等式為

（a>0.

tA=（-4a）J-4a-2<0.

2>0,恒成立；②當(dāng)aWO時(shí)，要使不等式恒成立，則即

fa>0.

la（2a—1）<0,；-

解得0<。<2.由①②得OWa<：故選D.

答案：D

一題多變

1.解析：因?yàn)楹瘮?shù)式x）的定義域?yàn)椋?,6］,則OWx—5W6,即5WxWll,所以函數(shù)4x

一5）的定義域?yàn)椋?,11］.

答案：［5,11］

2.解析：因?yàn)楹瘮?shù)式x—5）的定義域是［0,6］,則0WxW6,有一5Wx—5W1,所以函數(shù)

八x）的定義域?yàn)椋邸?,1］.

答案：［一5,1］

考點(diǎn)二

23

例1解析：（1）（換元法）令*+l=f,則X=I.因?yàn)閄>0,所以/>1,所以人。=

ig育，即為0的解析式是八x）=ig三（x>i）.

I

(2)方法1：(換元法)令2x+1=/?￡R),則x=，所以即=4-6X

+5=F—5r+9?￡R),所以人X)=X2—5X+9(X￡R).

方法2：(配湊法)因?yàn)?(2x+1)—4x2—6x+5=(2x+1)2—10x+4—(2x+1)2—5(2x+1)+9,

所以7(%)=x1—5x+9.

方法3：(待定系數(shù)法)因?yàn)榧?是二次函數(shù)，所以設(shè)氏0=以2+汝+。(〃/0),則五2x+D

=〃(2x+1)2+0(2X+1)+C=4QX2+(4〃+2Z?)X+Q+/?+C.因?yàn)閒i2x~\-1)—4x2—6x+5,所以

4a=4.

s4a+2b=-6.a=1.

b=-5?

b+c=S?

解得.c=9.

所以火x）=12—5x+9.

解析：（3）（消去法/期+紈一x）=-,①

八一x）+〃》=er,②

①②聯(lián)立消去八-x)得3Ax)=2e-JC-e\

21

所以加)=V.

2

答案：⑴y(x)=igL%>I)

(2)/U)=x2-5x+9

11

(3次r)=電

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：(1)方法1：由于八1—2x)=丁(尤WO),

11T

當(dāng)x=’時(shí)，X')=u=15.故選C.

1T

方法2：設(shè)1—2x=/,貝！Ix=2,

I

結(jié)合式1—2x)=?"awo)可知，

刖=衿-1=萬歹

1

所以八2)=

答案：C

2.解析：令/=

4+工

因?yàn)槊盍?,則》=x+*+2(f22),得到x+x=t2-2,Q22).

日十去2

所以由人*)=x+得：

犬。=祥一2(/22),即兀x)=x2—2(x22).

答案：f(x)=x2-2(x^2)

3.解析：(待定系數(shù)法)設(shè)五x)=or+b(aWO),

則》(x+1)—2及x—1)=ax~\~5a~\~b,

所以ax~\~5a~\~b=2x~\~17對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,

fa=2>

l5a+b=17,ja—2.

所以解得lb=7.所以/(x)=2x+7.

答案：2x+7

4.解析：(解方程組法)因?yàn)?氏0+/3=3X,①

所以將X用.替換，得2yW+/X)=X,②

1

由①②解得/(x)=2x—,(xWO),

1

即人幻的解析式是1x)=2x—,(xWO).

答案：lx-=(x#0)

考點(diǎn)三

例2解析：(1)因?yàn)槿甽)=P+2=3,所以膽1))=<3)=3+3T=4.故選c項(xiàng).

(2)/?=/GT)+I=/i

答案：(1)C(2)D

例3解析：?//1)=21=2,.,.^)+2=0,：.J(a)=-2,

當(dāng)aWO時(shí)，y(a)=a+l=—2,；.a=—3,

當(dāng)a>0時(shí)，/(a)=2"=-2,方程無解，

綜上有a=-3.

答案：A

例4解析：

{1.x<0,

因?yàn)楹瘮?shù)兀r）=?作出函數(shù)加）的圖象，如圖所示.則由函數(shù)的圖象可得

當(dāng)x+2W0時(shí),於+2）=1,43彳）=1,不滿足於+2）次3。當(dāng)x+2>0時(shí)，要滿足於+2）次3x）,

（x+2>0.

則需t3x<0或x+2>3x>0,解得一2aW0或0<x<l.綜上可得一2<無<1,故選C.

答案：C

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：由條件可知，當(dāng)沏》0時(shí)，式無0）=2須+1=3,所以XO=1;當(dāng)%0<0時(shí)，A.XO）

=3彳=3,所以xo=-1,所以實(shí)數(shù)xo的值為-1或1.

答案：C

fx.x<0

［臚-1.x>0>

2.解析：因?yàn)橐詘）=所以人2）+式一l）=e2—1—l=e2—2.

答案：e2-2

fl+x<0

tLx>0

3.解析：函數(shù)火工）=在（-8,0］上是減函數(shù)，在（0,+8）上函數(shù)值

IX—4<0

保持不變，若八X—4）/2X-3）,則匕3々°或x—4<2x—3W0,解得xe（—l,4）.

答案：（一1,4）

微專題?學(xué)通學(xué)活巧遷移新定義函數(shù)

變式訓(xùn)練

1.解析：（逐項(xiàng)驗(yàn)證法）對(duì)于①，f3=x=—無）滿足"倒負(fù)”變換；對(duì)于

②，/3=式x）,不滿足“倒負(fù)”變換；對(duì)于③，了3=

—x(O<x<1).

嶺=1).

?=?,故③滿足“倒負(fù)”變換，故選c.

滿足了

答案：C

2.解析：由條件（1）得負(fù)x）是R上的奇函數(shù)，由條件（2）得人x）是R上的減函數(shù).對(duì)于①,

7（x）=sinx在R上不單調(diào)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對(duì)于②，八x）=—29既是奇函數(shù)，又在R

上單調(diào)遞減，故是“優(yōu)美函數(shù)”；對(duì)于③，於）=1—x不是奇函數(shù)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”.

答案：②

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

?最新考綱?

1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值及其幾何意義.

2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)圖象分析函數(shù)的單調(diào)性.

考向預(yù)測(cè)?

考情分析：以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與

應(yīng)用，其中函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型多以選擇題為主，屬中檔題.

學(xué)科素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端

一、必記2個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)火工）的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意

兩個(gè)自變量值Xl，X2

定義當(dāng)X1<X2時(shí)，都有加1）習(xí)@2），那

當(dāng)制<%2時(shí)，都有汽修）勺（X2）,那么就說函數(shù)

么就說函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是

/（X）在區(qū)間D上是________

F產(chǎn)段）.V

央1）小電）

圖象描述0巧Z~~x

0%1X2X

自左向右看圖象是自左向右看圖象是

（2）單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=Ax）在區(qū)間D上是或，則稱函數(shù)y=/（x）在這一區(qū)間具有

（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間。叫做函數(shù)y中㈤的.

⑶若函數(shù)y=/（x）在區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo),當(dāng)________時(shí)/x）在區(qū)間D上為增函數(shù);當(dāng)________

時(shí)，4X)在區(qū)間。上為減函數(shù).

(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.若構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)為增

函數(shù)，否則為減函數(shù).簡稱“同增異減”.

［提醒］有多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)應(yīng)分開寫，不能用符號(hào)“U”連接，也不能用“或”連接，

只能用“，”或“和”連接.

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=Ax)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

(1)對(duì)于任意xd/,都有________；(1)對(duì)于任意xG/,都有________;

條件

(2)存在xo￡I,使得________(2)存在xo￡I,使得________

結(jié)論M是y=/(x)的最大值M是y=Ax)的最小值

［提醒］(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最

值一定在端點(diǎn)取到.

(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值(或最小值).

二、必明3個(gè)常用結(jié)論

1.函數(shù)y=Ax)(/(x)>0或/U)<0)在公共定義域內(nèi)與y=—/(x),y=0的單調(diào)性相反.

2.“對(duì)勾函數(shù)"y=x+”(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,-0),(5，+

8)；單調(diào)遞減區(qū)間是［—5，0),(0,洞.

3.增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價(jià)變形：Vxi,X2e［<7,b］且X1WX2,貝U(X1—X2)［/(X1)一

>2)］>0?>0=/)在［。，切上是增函數(shù)；(尤1—X2)IXxi)-

加2)］<0=<0=?在［a,切上是減函數(shù).

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或"X”).

(1)函數(shù)y=|x|是R上的增函數(shù).()

1

(2)函數(shù)y=*的單調(diào)減區(qū)間是(一8,0)U(0,+6).()

(3)若函數(shù)y=?x)在［1,+8)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+°°).()

(4)對(duì)于函數(shù)火x),x^D,若對(duì)任意xi，xi^D,xi^X2J!L(xi—X2)［/(xi)—X^2)］>0,則函數(shù)

犬x)在區(qū)間O上是增函數(shù).()

(5)已知函數(shù)y=/(x)在R上是增函數(shù)，則函數(shù)y=八一x)在R上是減函數(shù).()

(二)教材改編

2.［必修1-P39習(xí)題A組T3改編］下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()

A.y^2|x|B.x

C.y='D.y=~x2+6

3.［必修LP31例4改編］函數(shù)產(chǎn)I在［2,3］上的最小值為()

A.2B.'C."D

(三)易錯(cuò)易混

4.(忽視西教的定義域出錯(cuò))函數(shù)八x)=ln(4+3x—N)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

5.(忘記名數(shù)的單調(diào)區(qū)間出錯(cuò))已知函數(shù)y=/(x)是定義在［-2,2］上的減函數(shù)，且八。十

1)勺(2a),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

(四)走進(jìn)高考

6.［2021?全國甲卷］下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

百

A.Ax)=~xB.?=R

C.?=x2D.?=拔

提升關(guān)鍵能力一考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間［基礎(chǔ)性］

角度1判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

1.(一題多解)試討論函數(shù)於)=I(aWO)在(T,1)上的單調(diào)性.

聽課筆記：

反思感悟利用定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

(1)取值：設(shè)Xl,X2是定義域內(nèi)的任意兩個(gè)值，且Xl<%2.

(2)作差、變形：作差犬X2)-#X1),并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判

斷差的符號(hào)的方向變形.

(3)定號(hào)：確定差的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以進(jìn)行分類討論.

(4)判斷：根據(jù)定義作出結(jié)論.

［提醒］判斷函數(shù)的單調(diào)性還有圖象法、導(dǎo)數(shù)法、性質(zhì)法等.

角度2利用函數(shù)圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2.求函數(shù)人勸=一好+2僅|+1的單調(diào)區(qū)間.

聽課筆記：

一題多變

(變條件)若題2中函數(shù)變?yōu)閥(x)=|—/+2x+l|,如何求解?

反思感悟由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點(diǎn)

(1)單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；

(2)圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“U”連接.

角度3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

3.函數(shù)八x)=ln(N—2x—8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—8,-2)B.(—8,1)

C.(1,+8)D.(4,+°0)

聽課筆記：

反思感悟復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的確定方法

若兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個(gè)簡單函數(shù)的

單調(diào)性相反，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，簡稱“同增異減”.

考點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用［綜合性］

角度1比較函數(shù)值的大小

1_1

2

［例1］(1)［2022?武漢模擬］已知函數(shù)1x)=口1,若a=#2L3),6=44。7),c=

Xlog38),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<a<cD.a<b<c

(2)已知函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長度后關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)檢>即>1時(shí)，依松)一

黃尤i)］(X2—的)<0恒成立，設(shè)8=犬2),c=/(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

聽課筆記：

反思感悟利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法

比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)性質(zhì)，將自

變量的值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較，對(duì)于選擇題、填空題通常選用數(shù)形結(jié)合的方法

進(jìn)行求解.

角度2求函數(shù)的最值(值域)

4一；

［例2］(1)［2022?河南鄭州調(diào)研］函數(shù)八》)=工在4］上最大值為最小

值為m,則M~m的值是()

31311

A.16B.2C..D.*

(2)函數(shù)>=■■的最大值為.

聽課筆記：

反思感悟利用函數(shù)單調(diào)性求最值應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(可結(jié)

合本節(jié)微專題理解)

［提醒］(1)求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域.

(2)求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數(shù)

的最大值，最小的作為分段函數(shù)的最小值.

角度3解函數(shù)不等式

［例3］已知R上的函數(shù)段)滿足：①/U+y)=Ax)+%)+l；②當(dāng)x>0時(shí)，兀c)>一1.

(1)求式0)的值，并證明1x)在R上是單調(diào)增函數(shù)；

(2)若人1)=1,解關(guān)于尤的不等式式x2+2x)+y(l—x)>4.

聽課筆記：

一題多變

(變條件，變問題)例3中，函數(shù)八x)滿足的條件改為“定義域?yàn)?0,+°°),f叟

>1)->2).當(dāng)X>］時(shí)，?<0".

⑴求加)的值;

(2)證明：人功為單調(diào)遞減函數(shù)；

(3)求不等式五2x+1)習(xí)(2—尤)的解集.

反思感悟

求解含，了的不等式，應(yīng)先將不等式轉(zhuǎn)化為角")勺(九)的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉

“f，,應(yīng)注意7",〃應(yīng)在定義域內(nèi)取值.

角度4求參數(shù)的值或取值范圍

2,0<x<1,

I10glX,x>1,

[15'J4](1)[2022?哈爾濱模擬]已知函數(shù)危)=在(0,十8)上

為單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍為()

A.(1,+8)B.(1,2)

C.(1,2]D.(0,2]

x—5

(2)[2022?貴陽市高三摸底]函數(shù)y=在(-1,+8)上單調(diào)遞增，則〃的取值范

圍是()

A.a=-3B.〃<3

C.—3D.“2—3

聽課筆記：

反思感悟利用單調(diào)性求參數(shù)的方法

(1)依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與已知單調(diào)區(qū)間比較.

(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a,切上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也單調(diào).

(3)分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.[2022?西安模擬]已知函數(shù)兀T)的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱，當(dāng)X1#X2且XI，X2d(l,

+8)時(shí)，［/(%2)—)］?(X2—xi)<0恒成立，設(shè)a=f'”,c=/(e),貝！Ja,b,c

的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

h里

2.設(shè)函數(shù)加)=I在區(qū)間［3,4］上的最大值和最小值分別為m，則"■=()

2338

A.3B.8C.2D.3

t(2-a>+1,x<1,frd-fa)

3.如果函數(shù)7(x)=I0T?工h1滿足對(duì)任意X1W尤2,都有*r*>0

成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,2)B.(1,2)