高等代數(shù)實(shí)踐課不變子空間

高等代數(shù)實(shí)踐課不變子空間引入：回憶：1.子空間：令w是數(shù)域F上向量空間的一個(gè)非空子集。如果W對(duì)于V的加法以及標(biāo)量與向量的乘法都封閉，那么稱W是V的一個(gè)子空間。*這一節(jié)課我們將學(xué)習(xí)不變子空間，大家想一下不變子空間與子空間有什么樣的聯(lián)系呢？下面我們比較著學(xué)習(xí)。不變子空間課程要求：1.了解不變子空間的定義

2.哪些是不變子空間，舉例說明

3.“限制”以及它的應(yīng)用

4.不變子空間的求法

5.不變子空間與一個(gè)線性變換的矩陣的關(guān)系定義V的一個(gè)子空間W說是在線性變換σ之下不變（或穩(wěn)定），如果σ(w)?w.簡(jiǎn)單的說，如果子空間在σ之下不變，那么w就叫做σ的一個(gè)不變子空間下面，我們來看一下不變子空間的例子例1：V本身和零空間{0}顯然在任意線性變換之下不變。所以V本身和零空間{0}都是不變子空間。再看幾個(gè)例子：例2：令σ是V的一個(gè)線性變換，那么σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都在σ之下不變，所以σ的核Ker(σ)和像Im(σ)都是不變子空間。解析：事實(shí)上，對(duì)于任意ξ∈Ker(σ)，都有σ（ξ）=0∈Ker(σ)，所以Ker(σ)在σ之下不變。即：Ker(σ)={σ（ξ）=0}至于Im(σ)在σ之下不變，是顯然的。即：Im(σ)=σ（v）例3：V的任意子空間在任意位似變換之下不變

解析：首先請(qǐng)大家回憶一下“位似”的概念ξ?V,定義σ(ξ)=kξ.容易驗(yàn)證,σ是V到自身的一個(gè)線性映射。這樣的一個(gè)線性映射叫做V的一個(gè)位似。位似變換：ξ?kξ例4：令σ是V?中以某一過原點(diǎn)的直線L為軸，旋轉(zhuǎn)一個(gè)角?的旋轉(zhuǎn)。那么旋轉(zhuǎn)軸L是σ的一個(gè)一維不變子空間，而過原點(diǎn)與L垂直的平面H是σ的一個(gè)二維不變子空間。例5：

令f[x]是數(shù)域F上一切一元多項(xiàng)式所成的向量空間，σ：f(x)→f‘(x)是求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算。對(duì)于每一自然數(shù)n，令Fn[x]表示一切次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式連同零多項(xiàng)式所成的子空間。那么Fn[x]在σ之下不變。限制設(shè)w是線性變換σ的一個(gè)不變子空間。只考慮σ在w上的作用，就得到子空間w本身的一個(gè)線性變換，稱σ在w上的限制，并且記作σ｜w.這樣，對(duì)于任意ξ∈W,σ｜w(ξ)=σ(ξ).然而，如果ξ?W，那么σ｜w(ξ)沒有意義?，F(xiàn)在我們來看一下：不變子空間和簡(jiǎn)化線性變換的矩陣的關(guān)系設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)n維向量空間,σ是V的一個(gè)線性變換。假設(shè)σ有一個(gè)非平凡不變子空間W，那么取W的一個(gè)基α?,α?,…,αγ,再補(bǔ)充成為V的一個(gè)基α?,α?…，αγ,αγ+?,…,αn.由于W在σ之下不變,所以σ(α?),σ(α?),…,σ(αγ)仍在W內(nèi),因而可以有W的基α?,α?,…,αγ線性表示.有：

σ(α?)=a??α?+a??α?+…+aγ?αγ，……………

σ(αγ)=a?γα?+a?γα?+…+aγγαγ，

σ(αγ+?)=a?,γ+?α?+…+aγ,γ+?αγ+aγ+1，γ+1αγ+1+…+an,γ+?

αn

σ(αn)=a?nα?+…+aγnαγ+aγ+1,nαγ+1+…+annαn.因此,σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣有形A=()，這里有A1=()A1A3OA2a11...a1γ..........aγ1…aγγ是σ|w關(guān)于W的基α?,α?,…,αγ的矩陣,而A中左下方的O表示一個(gè)（n-r）*r零矩陣。即：若線性變換σ有一個(gè)非平凡不變子空間,那么只要適當(dāng)取定V的基,就可以使與σ對(duì)應(yīng)的矩陣中有一些元素是零.特別,如果V可以寫成兩個(gè)非平凡子空間W1與W2的直和:V=W1⊕W2,那么選取W1的一個(gè)基α?,α?,…,αγ,和W2的一個(gè)基αγ+?,…,αn，湊成V的一個(gè)基α?,α?,…,αn.當(dāng)W1和W2都在σ之下不變時(shí)，容易看出,σ關(guān)于這樣取定的基的矩陣是A=(),這里A1是r階矩陣，它是σ|w1關(guān)于基α?,α?,…,αγ的矩陣，而A2是一個(gè)n-r階矩陣，它是σ|w2關(guān)于基αγ+?,…,αn的矩陣。A1OOA2例6：令σ是例4所給出的V3的線性變換，顯然V3是一位子空間L與二維子空間H的直和，而L和H都在σ之下不變。取L的一個(gè)非零向量α?，取H的兩個(gè)彼此正交的單位長(zhǎng)度向量α?,α3,那么α?,α?,α3是V3的一個(gè)基，而σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣是

()

1

0

00cos?-sin?0Sin?

cos?一般地，如果向量空間V可以寫成s個(gè)子空間W1，W2,...,WS的直和，并且每一個(gè)子空間都在線性變換σ之下不變，那么在每一個(gè)空間中取一個(gè)基，湊成V的一個(gè)基,σ關(guān)于這個(gè)急的矩陣就有形狀(),這里Ai是σ|wi關(guān)于所取的wi的基的矩陣。A10A1?0AS因此，給了n維向量空間V的一個(gè)線性變換，只要能夠?qū)分解成一些在σ之下不變的子空間的直和，那么就可以適當(dāng)?shù)倪x取V的基，使得σ關(guān)于這個(gè)基的矩陣具有比較簡(jiǎn)單的形狀。顯然，這些不變子空間的維數(shù)越小，相應(yīng)的矩陣的形狀就越簡(jiǎn)單。特別，如果能夠?qū)分解成n個(gè)在σ之下不變的一維子空間的直和，那么與σ相當(dāng)?shù)木仃嚲陀袑?duì)角形式。謝謝每年進(jìn)入夏季，由于氣溫高、濕度大，對(duì)幼兒的照顧要特別注意，以下是出國(guó)留學(xué)網(wǎng)為您搜集整理的育兒健康小常識(shí)1.不是所有寶寶都需額外補(bǔ)充維生素很多家長(zhǎng)會(huì)問，孩子多大需要開始補(bǔ)充維生素?小嬰兒是否需要補(bǔ)充維生素?劉主任表示，孩子多大補(bǔ)充維生素沒有明確的界定，如果寶寶是吃母乳或奶粉，一般營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)都足夠、全面，不需要額外補(bǔ)充維生素，如果出現(xiàn)了某些癥狀，如缺乏維生素B或維生素C等，再有針對(duì)性的補(bǔ)充會(huì)更好。維生素D可以促進(jìn)鈣的吸收，小嬰兒也應(yīng)該補(bǔ)充，特別是純母乳喂養(yǎng)的寶寶，如果沒有補(bǔ)充維生素D，常帶寶寶曬太陽，也可以轉(zhuǎn)化為維生素D，從而促進(jìn)鈣的吸收。給寶寶曬太陽，一般每天半小時(shí)到1小時(shí)，注意不要遮擋著曬太陽，如果是戴太陽帽、打傘或擦防曬霜等，起不到曬太陽的效果。2.不能用維生素補(bǔ)充劑代替蔬菜水果有的家長(zhǎng)認(rèn)為，都是補(bǔ)充維生素，用維生素補(bǔ)充劑方便多了，因此就用維生素補(bǔ)充劑代替水果和蔬菜。劉主任表示，只要條件允許，應(yīng)盡量從食物中攝取維生素，如果是因?yàn)槟承┨厥馇闆r導(dǎo)致不能全面有效獲得維生素，則可以考慮食用維生素補(bǔ)充劑。而且維生素補(bǔ)充劑是不能代替蔬菜和水果的。因?yàn)槭卟?、水果中的各種維生素是按一定比例存在的天然成份，是多種維生素的集合體;而維生素制劑多數(shù)是人工合成的，兩者在性質(zhì)上會(huì)有所差別。蔬菜、水果除了含有維生素外，還含有一些雖然對(duì)人體的作用與維生素類似的天然物質(zhì)，如葉綠素、胡蘿卜素等。此外蔬菜中含有礦物質(zhì)、微量元素、碳水化合物、纖維素等非維生素類營(yíng)養(yǎng)成份。3.維生素補(bǔ)充劑含有的維生素種類不是越多越好有的家長(zhǎng)容易陷入一個(gè)誤區(qū)，認(rèn)為既然要補(bǔ)，那就補(bǔ)得全面一點(diǎn)，總給寶寶吃綜合性維生素。劉主任表示，維生素補(bǔ)充劑并不是所含種類越多越好。劉主任建議，對(duì)于挑食特別厲害的寶寶，吃東西的品種少，可以選擇補(bǔ)充綜合性維生素劑;如果是缺乏某些維生素，建議有針對(duì)性地補(bǔ)充更合適;如果只是缺乏某一種維生素，沒必要補(bǔ)充綜合維生素制劑，因?yàn)橛械木S生素會(huì)產(chǎn)生蓄積中毒的情況。4.維生素應(yīng)從正規(guī)渠道購(gòu)買如果是身體缺乏維生素的話，還是要在醫(yī)生的指導(dǎo)下服用維生素藥品，如果是出于保健的需求，可以服用保健品5.維生素補(bǔ)多久補(bǔ)多少最好由醫(yī)生判斷給寶寶補(bǔ)充維生素一定要注意用量，特別是維生素缺乏者，最好由醫(yī)生判斷該如