2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計數(shù)原理1.2排列與組合1.2.1第2課時排列二練習(xí)含解析新人教A版選修2-3

PAGE5-第一章1.21.2.1第2課時請同學(xué)們仔細(xì)完成練案[4]A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．5人站成一排，甲、乙兩人之間恰有1人的不同站法的種數(shù)為(C)A．18 B．24C．36 D．48[解析]5人站成一排，甲、乙兩人之間恰有1人的不同站法有3Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝36(種)．2．某單位支配7位員工在10月1日至7日值班，每天支配1人，每人值班1天．若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的支配方案共有(C)A．504種 B．960種C．1008種 D．1108種[解析]甲、乙相鄰的全部方案有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)＝1440種；其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一樣多，各有：Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240種，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48種，故符合題設(shè)要求的不同支配方案有：1440－2×240＋48＝1008種，故選C．3．停車站劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車須要停放，若要求剩余的4個空車位連在一起，則不同的停車方法有(D)A．Aeq\o\al(8,12)種 B．2Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(4,4)種C．8Aeq\o\al(8,8)種 D．9Aeq\o\al(8,8)種[解析]將4個空車位視為一個元素，與8輛車共9個元素進行全排列，共有Aeq\o\al(9,9)＝9Aeq\o\al(8,8)種．4．六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(B)A．192種 B．216種C．240種 D．288種[解析]分兩類：最左端排甲有Aeq\o\al(5,5)＝120種不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有4Aeq\o\al(4,4)＝96種不同的排法，由分類加法原理可得滿意條件的排法共有120＋96＝216種．5．甲、乙、丙3位志愿者支配在周一至周五的5天中參與某項志愿者活動，要求每人參與一天且每天至多支配一人，并要求甲支配在另外兩位前面，不同的支配方法共有(A)A．20種 B．30種C．40種 D．60種[解析]分類完成，甲排周一，乙、丙只能從周二至周五這4天中選2天排，有Aeq\o\al(2,4)種支配方法；甲排周二，乙、丙有Aeq\o\al(2,3)種支配方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有Aeq\o\al(2,2)種支配方法．由分類加法計數(shù)原理可知，共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,2)＝20種不同的支配方法．6．(2024·廣元模擬)在航天員進行一項太空試驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最終一步，程序B和C在實施時必需相鄰，問試驗依次的編排方法共有(C)A．34種 B．48種C．96種 D．144種[解析]依據(jù)題意，程序A只能出現(xiàn)在第一步或最終一步，則從第一個位置和最終一個位置選一個位置把A排列，有Aeq\o\al(1,2)＝2種結(jié)果，又由程序B和C實施時必需相鄰，把B和C看作一個元素，同除A外的3個元素排列，留意B和C之間還有一個排列，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝48種結(jié)果，依據(jù)分步計數(shù)原理知共有2×48＝96種結(jié)果，故選C．二、填空題7．(2024·和平區(qū)高三)現(xiàn)有6個人排成一橫排照相，其中甲不能被排在邊上，則不同排法的總數(shù)為__480__．[解析]假設(shè)6個人分別對應(yīng)6個空位，甲不站在兩端，有4個位置可選，則其他5人對應(yīng)其他5個位置，有Aeq\o\al(5,5)＝120種狀況，故不同排列方法種數(shù)4×120＝480種．故答案為480．8．將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，假如分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是__96__．[解析]先分組后用安排法求解，5張參觀券分為4組，其中2個連號的有4種分法，每一種分法中的排列方法有Aeq\o\al(4,4)種，因此共有不同的分法4Aeq\o\al(4,4)＝4×24＝96(種)．9．2024年某地實行博物展，某單位將展出5件藝術(shù)作品，其中不同書法作品2件、不同繪畫作品2件、標(biāo)記性建筑設(shè)計1件，在展臺上將這5件作品排成一排，要求2件書法作品必需相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，則該單位展出這5件作品不同的方案有__24__種．(用數(shù)字作答)[解析]將2件書法作品排列，方法數(shù)為2種，然后將其作為1件作品與標(biāo)記性建筑設(shè)計作品共同排列有2種排法，對于其每一種排法，在其形成的3個空位中選2個插入2件繪畫作品，故共有不同展出方案：2×2×Aeq\o\al(2,3)＝24種．三、解答題10．一場晚會有5個演唱節(jié)目和3個舞蹈節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單．(1)3個舞蹈節(jié)目不排在起先和結(jié)尾，有多少種排法？(2)前四個節(jié)目要有舞蹈節(jié)目，有多少種排法？[解析](1)先從5個演唱節(jié)目中選兩個排在首尾兩個位置有Aeq\o\al(2,5)種排法，再將剩余的3個演唱節(jié)目，3個舞蹈節(jié)目排在中間6個位置上有Aeq\o\al(6,6)種排法，故共有不同排法Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400種．(2)先不考慮排列要求，有Aeq\o\al(8,8)種排列，其中前四個節(jié)目沒有舞蹈節(jié)目的狀況，可先從5個演唱節(jié)目中選4個節(jié)目排在前四個位置，然后將剩余四個節(jié)目排列在后四個位置，有Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)種排法，所以前四個節(jié)目要有舞蹈節(jié)目的排法有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)＝37440種．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．(2024·濮陽三模)《紅海行動》是一部現(xiàn)代化海軍題材影片，該片講解并描述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事．撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成六項任務(wù)，并對任務(wù)的依次提出了如下要求：重點任務(wù)A必需排在前三位，且任務(wù)E、F必需排在一起，則這六項任務(wù)的不同支配方案共有(D)A．240種 B．188種C．156種 D．120種[解析]依據(jù)題意，由于任務(wù)A必需排在前三位，分3種狀況探討：①A排在第一位，任務(wù)E、F必需排在一起，則任務(wù)E、F相鄰的位置有4個，考慮兩者的依次，有2種狀況，將剩下的3個任務(wù)全排列，支配在其他三個位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6種支配方法，則此時有4×2×6＝48種支配方案；②A排在其次位，任務(wù)E、F必需排在一起，則任務(wù)E、F相鄰的位置有3個，考慮兩者的依次，有2種狀況，將剩下的3個任務(wù)全排列，支配在其他三個位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6種支配方法，則此時有3×2×6＝36種支配方案；③A排在第三位，任務(wù)E、F必需排在一起，則任務(wù)E、F相鄰的位置有3個，考慮兩者的依次，有2種狀況，將剩下的3個任務(wù)全排列，支配在其他三個位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6種支配方法，則此時有3×2×6＝36種支配方案；則符合題意要求的支配方案有36＋36＋48＝120種．故選D．2．(多選題)某地為了迎接2024年城運會，某大樓安裝了5個彩燈，它們閃亮的依次不固定．每個彩燈只能閃亮紅、橙、黃、綠、藍(lán)中的一種顏色，且這5個彩燈所閃亮的顏色各不相同，記這5個彩燈有序地各閃亮一次為一個閃耀．在每個閃耀中，每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃耀的時間間隔均為5秒．假如要實現(xiàn)全部不同的閃耀，那么須要的時間可以是(ABC)A．1205秒 B．1200秒C．1195秒 D．1190秒[解析]由題意每次閃耀共5秒，全部不同的閃耀為Aeq\o\al(5,5)個，相鄰兩個閃耀的時間間隔為5秒，因此須要的時間至少是5Aeq\o\al(5,5)＋(Aeq\o\al(5,5)－1)×5＝1195秒，故選ABC．二、填空題3．6人站成一排，甲、乙、丙3個人不能都站在一起的排法種數(shù)為__576__．[解析]“不能都站在一起”與“都站在一起”是對立事務(wù)，由間接法可得Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝576．4．有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程，從中選4門支配在上午的4節(jié)課中，其中化學(xué)不排在第四節(jié)，共有__300__種不同的支配方法．(用數(shù)字回答)[解析]法一：(分類法)分兩類．第1類，化學(xué)被選上，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,5)種不同的支配方法；第2類，化學(xué)不被選上，有Aeq\o\al(4,5)種不同的支配方法．故共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(4,5)＝300種不同的支配方法．法二：(分步法)第1步，第四節(jié)有Aeq\o\al(1,5)種排法；第2步，其余三節(jié)有Aeq\o\al(3,5)種排法，故共有Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(3,5)＝300種不同的支配方法．法三：(間接法)從6門課程中選4門支配在上午，有Aeq\o\al(4,6)種排法，而化學(xué)排第四節(jié)，有Aeq\o\al(3,5)種排法，故共有Aeq\o\al(4,6)－Aeq\o\al(3,5)＝300種不同的支配方法．三、解答題5．用0、1、2、3、4五個數(shù)字：(1)可組成多少個五位數(shù)；(2)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；(3)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)；(4)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)．[解析](1)各個數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，故由分步乘法計數(shù)原理知，共有4×5×5×5×5＝2500(個)．(2)解法一：先排萬位，從1,2,3,4中任取一個有Aeq\o\al(1,4)種填法，其余四個位置四個數(shù)字共有Aeq\o\al(4,4)種，故共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(個)．解法二：先排0，從個、十、百、千位中任選一個位置將0填入有Aeq\o\al(1,4)種方法，其余四個數(shù)字全排有Aeq\o\al(4,4)種方法，故共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(個)．(3)構(gòu)成3的倍數(shù)的三位數(shù)，各個位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，按取0和不取0分類：①取0，從1和4中取一個數(shù)，再取2進行排，先填百位Aeq\o\al(1,2)，其余任排有Aeq\o\al(2,2)，故有2Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)種．②不取0，則只能取3，從1或4中再任取一個，再取2然后進行全排為2Aeq\o\al(3,3)，所以共有2Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(3,3)＝8＋12＝20(個)．(4)考慮特別位置個位和萬位，先填個位，從1、3中選一個填入個位有Aeq\o\al(1,2)種填法，然后從剩余3個非0數(shù)中選一個填入萬位，有Aeq\o\al(1,3)種填法，包含0在內(nèi)還有3個數(shù)在中間三位置上全排列，排列數(shù)為Aeq\o\al(3,3)，故共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(個)．6．4個男同學(xué)，3個女同學(xué)站成一排．(1)3個女同學(xué)必需相鄰，有多少種不同的排法？(2)任何兩個女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？(3)三位女同學(xué)站在中間三個位置上的不同排法有多少種？(4)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？(5)若3個女生身高互不相等，女同學(xué)從左到右按高矮依次排，有多少種不同的排法？[解析](1)3個女同學(xué)是特別元素，她們排在一起，共有Aeq\o\al(3,3)種排法；我們可視排好的女同學(xué)為一整體，再與男同學(xué)排隊，這時是5個元素的全排列，應(yīng)有Aeq\o\al(5,5)種排法，由分步乘法計數(shù)乘法原理，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝720種不同排法．(2)先將男生排好，共有Aeq\o\al(4,4)種排法，再在這4個男生之間及兩頭的5個空檔中插入3個女生有Aeq\o\al(3,5)種方案，故符合條件的排法共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440種不同排法．(3)三位女同學(xué)站在中間三個位置上的不同排法有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144種．(4)先排甲、乙和丙3