2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)3.1習(xí)題課1習(xí)題含解析北師大版選修2-1

習(xí)題課(1)限時：45分鐘總分：100分一、選擇題(每小題5分，共40分)1．若曲線ax2＋by2＝1為焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a，b滿意(C)A．a(chǎn)2>b2 B.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．0<a<b D．0<b<a解析：由ax2＋by2＝1，得eq\f(x2,\f(1,a))＋eq\f(y2,\f(1,b))＝1，因為焦點在x軸上，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>0，所以0<a<b.2．已知方程eq\f(x2,|m|－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是(D)A．m<2 B．1<m<2C．m<－1或1<m<2 D．m<－1或1<m<eq\f(3,2)解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|m|－1>0，,2－m>0，,2－m>|m|－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1或m<－1，,m<2，,m<\f(3,2)，))∴1<m<eq\f(3,2)或m<－1，選D.3．焦點在x軸上，短軸長為8，離心率為eq\f(3,5)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(C)A.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1解析：由題意，知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，解得c＝3，a＝5.又焦點在x軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，故選C.4．已知橢圓eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1的上焦點為F，直線x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0與橢圓分別相交于點A，B和C，D，則|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝(D)A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．4 D．8解析：由題可得a＝2.如圖，設(shè)F1為橢圓的下焦點，兩條平行直線分別經(jīng)過橢圓的兩個焦點，連接AF1，BF1.由橢圓的對稱性，可知四邊形AFDF1為平行四邊形，∴|AF1|＝|DF|.同理可得|BF1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF1|＋|AF1|＝4a＝8，故選D.5．橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1的一個焦點為F1，點P在橢圓上．假如線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標(biāo)是(A)A．－eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),4)B．－eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(\r(2),2)或eq\f(\r(2),2)D．－eq\f(3,4)或eq\f(3,4)解析：由題可得c＝eq\r(a2－b2)＝3，不妨令F1(－3,0)，∵PF1的中點在y軸上，∴設(shè)P(3，y0)，由點P在橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1上，得y0＝±eq\f(\r(3),2)，∴點M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(3),4)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),4)))，故選A.6．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上有一點P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，若△F1PF2為直角三角形，則這樣的點P有(C)A．3個B．4個C．6個D．8個解析：當(dāng)∠PF1F2為直角時，依據(jù)橢圓的對稱性知，這樣的點P有2個；同理當(dāng)∠PF2F1為直角時，這樣的點P有2個；當(dāng)P點為橢圓的短軸端點時，∠F1PF2最大，且為直角，此時這樣的點P有2個．故符合要求的點P有6個．7．從橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點)，則該橢圓的離心率是(C)A.eq\f(\r(2),4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)解析：由題意可設(shè)P(－c，y0)(c為半焦距)，kOP＝－eq\f(y0,c)，kAB＝－eq\f(b,a)，由于OP∥AB，∴－eq\f(y0,c)＝－eq\f(b,a)，y0＝eq\f(bc,a)，把P(－c，eq\f(bc,a))代入橢圓方程得eq\f(－c2,a2)＋eq\f(\f(bc,a)2,b2)＝1，∴(eq\f(c,a))2＝eq\f(1,2)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).選C.8．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得△F1F2P為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是(D)A．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))B．(eq\f(1,2)，1)C．(eq\f(2,3)，1)D．(eq\f(1,3)，eq\f(1,2))∪(eq\f(1,2)，1)解析：6個不同的點有2個為短軸的兩個端點，另外4個分別在第一、二、三、四象限，且上下對稱，左右對稱．不妨設(shè)P在第一象限，|PF1|>|PF2|，當(dāng)|PF1|＝|F1F2|＝2c時，|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2c，即2c>2a－2c，解得e＝eq\f(c,a)>eq\f(1,2).因為e<1，所以eq\f(1,2)<e<1.當(dāng)|PF2|＝|F1F2|＝2c時，|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c，即2a－2c>2c，且2c＋2c>2a－2c，解得eq\f(1,3)<e<eq\f(1,2).綜上可得eq\f(1,3)<e<eq\f(1,2)或eq\f(1,2)<e<1，故選D.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)9．已知橢圓的焦點在y軸上，橢圓上隨意一點到兩焦點的距離之和為8，焦距為2eq\r(15)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)＋x2＝1.解析：由題意，2a＝8,2c＝2eq\r(15)，∴a＝4，c＝eq\r(15)，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1.又橢圓的焦點在y軸上，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,16)＋x2＝1.10．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且eq\o(PF1,\s\up10(→))⊥eq\o(PF2,\s\up10(→)).若△PF1F2的面積為9，則b＝3.解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|PF1||PF2|＝9，,|PF1|2＋|PF2|2＝2c2，,|PF1|＋|PF2|＝2a，))解得a2－c2＝9，即b2＝9，所以b＝3.11．已知F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A，B兩點．若|AF2|＋|BF2|＝12，則|AB|＝8.解析：由題意，知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a.又由a＝5，可得|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，即|AB|＝8.12．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右頂點是A(a,0)，其上存在一點P，使∠APO＝90°，則橢圓的離心率的取值范圍是(eq\f(\r(2),2)，1)．解析：設(shè)P(x，y)，由∠APO＝90°知P點在以O(shè)A為直徑的圓上．圓的方程是(x－eq\f(a,2))2＋y2＝(eq\f(a,2))2，∴y2＝ax－x2.①又P點在橢圓上，故eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1.②把①代入②得eq\f(x2,a2)＋eq\f(ax－x2,b2)＝1，∴(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0.故(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0.又x≠a，x≠0，∴x＝eq\f(ab2,a2－b2).又0<x<a，∴0<eq\f(ab2,a2－b2)<a，∴2b2<a2，∴a2<2c2.∴e>eq\f(\r(2),2).又∵0<e<1，故所求的橢圓離心率的取值范圍是(eq\f(\r(2),2)，1)．三、解答題(共40分，寫出必要的文字說明、計算過程或演算步驟)13．(12分)已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的離心率e＝eq\f(\r(3),2)，求實數(shù)m的值及橢圓的長軸長和短軸長，并寫出焦點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo)．解：橢圓方程可化為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,\f(m,m＋3))＝1，由m－eq\f(m,m＋3)＝eq\f(mm＋2,m＋3)>0，可知m>eq\f(m,m＋3)，所以a2＝m，b2＝eq\f(m,m＋3)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\f(mm＋2,m＋3))，由e＝eq\f(\r(3),2)，得eq\r(\f(m＋2,m＋3))＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝1.于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，則a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(\r(3),2).所以橢圓的長軸長為2；短軸長為1；兩焦點坐標(biāo)分別為(－eq\f(\r(3),2)，0)，(eq\f(\r(3),2)，0)；四個頂點坐標(biāo)分別為(－1,0)，(1,0)，(0，－eq\f(1,2))，(0，eq\f(1,2))．14．(13分)已知△ABC的頂點B，C的坐標(biāo)分別為(－3,0)，(3,0)，AB和AC邊上的中線分別為CF，BE，且交于點G，并且|GF|＋|GE|＝5.(1)求點G的軌跡方程；(2)在點G的軌跡上求點P，使△PBC的面積最大．解：(1)設(shè)G(x，y)．由題意，知點G是△ABC的重心，因此|GB|＋|GC|＝2|GE|＋2|GF|＝10.由橢圓的定義，知點G的軌跡是以B，C為焦點，以10為長軸長的橢圓(x軸上的頂點除外)．于是2a＝10，c＝3，得a＝5，b＝4.則點G的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(x≠±5)．(2)設(shè)點P(x1，y1)，x1≠±5，則eq\f(x\o\al(2,1),25)＋eq\f(y\o\al(2,1),16)＝1?0<yeq\o\al(2,1)≤16?0<|y1|≤4.結(jié)合圖形可知S△PBC＝eq\f(1,2)|BC|·|y1|＝3|y1|≤3×4＝12，當(dāng)且僅當(dāng)y1＝±4時等號成立．當(dāng)y1＝±4時，由eq\f(x\o\al(2,1),25)＋eq\f(y\o\al(2,1),16)＝1得x1＝0，即當(dāng)點P的坐標(biāo)為(0,4)或(0，－4)時，△PBC的面積最大．15．(15分)已知點A，B分別是橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的左、右頂點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF.(1)求點P的坐標(biāo)；(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，且M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．解：(1)由已知，可得A(－6,0)，B(6,0)，F(xiàn)(4,0)，設(shè)點P的坐標(biāo)是(x，y)，則eq\o(AP,\s\up10(→))＝(x＋6，y)，eq\o(FP,\s\up10(→))＝(x－4，y)．由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,x＋6x－4＋y2＝0，))則2x2＋9x－18＝0，解得x＝eq\f(3,2)或x＝－6.由于y>0，只能取x＝eq\f(3,2)，于是y＝eq\f(5\r(3),2).所以點P的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5\r(3),2