2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.1第1課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理及其簡單應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE第一章計(jì)數(shù)原理1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第1課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理及其簡潔應(yīng)用[目標(biāo)]1.理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的內(nèi)容及它們的區(qū)分.2.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．[重點(diǎn)]1.理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的內(nèi)容及它們的區(qū)分.2.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．[難點(diǎn)]1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.2.分類與分步問題的選擇．學(xué)問點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理[填一填]完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．[答一答]1．(1)假如完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法．那么完成這件事共有多少種不同的方法？(2)假如完成一件事情有n類不同方案，在每一類中分別有mi(i＝1,2，…n)種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？提示：(1)N＝m1＋m2＋m3；(2)N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn.2．有三個(gè)袋子，分別裝有不同編號(hào)的紅色小球6個(gè)，白色小球5個(gè)，黃色小球4個(gè)．若從三個(gè)袋子中任取1個(gè)小球，有多少種不同的取法？提示：按分類計(jì)數(shù)原理共有6＋5＋4＝15種取法．學(xué)問點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理[填一填]完成一件事須要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．[答一答]3．(1)假如完成一件事須要三個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？(2)假如完成一件事情須要n個(gè)步驟，做每一步中分別有mi(i＝1,2，…n)種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？提示：(1)N＝m1×m2×m3；(2)N＝m1×m2×m3×…×mn.4．如何理解“完成一件事”的過程中各步之間的關(guān)系？提示：各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的，“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏，“獨(dú)立”確保不重復(fù)．5．區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步的關(guān)鍵是什么？提示：區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步，關(guān)鍵看一步能否完成這件事，若能完成，則是分類，否則，是分步．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)分與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理關(guān)鍵詞分類分步本質(zhì)每類方法都能獨(dú)立地完成這件事，它是獨(dú)立的、一次性的且每次得到的是最終結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事各類(步)的關(guān)系各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的，即“分類互斥”各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的，“關(guān)聯(lián)”確保連續(xù)性，“獨(dú)立”確保不重復(fù)，即“分步互依”類型一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】某校高三共有三個(gè)班，各班人數(shù)如下表.男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)從三個(gè)班中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法；(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長，有多少種不同的選法？【分析】(1)從每個(gè)班選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席都能獨(dú)立完成這件事，因此應(yīng)采納分類加法計(jì)數(shù)原理；(2)完成這件事有三類方案，因此也應(yīng)采納分類加法計(jì)數(shù)原理．【解】(1)從每個(gè)班選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，共有3類不同的方案：第1類，從高三(1)班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法；第2類，從高三(2)班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法；第3類，從高三(3)班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，從三個(gè)班中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，共有50＋60＋55＝165種不同的選法．(2)從高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長，共有3類不同的方案：第1類，從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第2類，從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第3類，從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，從高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長，共有30＋30＋20＝80種不同的選法．利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，將完成“這件事”的方法進(jìn)行分類；然后，對(duì)每一類中的方法進(jìn)行計(jì)數(shù)，最終由分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算總方法數(shù).(1)某班有28名男生，20名女生，從中選一名同學(xué)作為數(shù)學(xué)課代表，則不同的選法有(C)種．A．28 B．20C．48 D．560解析：選一名數(shù)學(xué)課代表有2類不同的方案．第1類：從該班的男生中選1名同學(xué)，有28種不同的選法．第2類：從該班的女生中選1名同學(xué)，有20種不同的選法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，選1名同學(xué)有28＋20＝48種不同的選法．(2)家住天津的小明同學(xué)憧憬北京的故宮、長城，打算暑假去參觀旅游，從天津到北京一天中有飛機(jī)早、中、晚3個(gè)航班，動(dòng)車組有4個(gè)班次，汽車有8個(gè)不同班次．則小明乘坐這些交通工具去北京有15種不同的方法．解析：依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，有3＋4＋8＝15種不同的方法．類型二分步乘法計(jì)數(shù)原理【例2】一個(gè)口袋里有5封信，另一個(gè)口袋里有4封信，各封信內(nèi)容均不相同．(1)從兩個(gè)口袋里各取1信封，有多少種不同的取法？(2)把這兩個(gè)口袋里的9封信，分別投入4個(gè)郵筒，有多少種不同的投法？【分析】在(1)中要明確只取2封信，一個(gè)口袋一封；在(2)中9封信應(yīng)分別投入4個(gè)郵筒，這才叫完成這件事，考慮分步乘法計(jì)數(shù)原理．【解】(1)各取一封信，不論從哪個(gè)口袋里取，都不能算完成了這件事，因此應(yīng)分兩個(gè)步驟完成，由分步乘法計(jì)數(shù)原理．共有5×4＝20(種)．(2)若以每封信投入郵筒的可能性考慮，第一封信投入郵筒有4種可能．其次封信仍有4種可能…第九封信還有4種可能．所以共有49種不同的投法．利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的一般思路：(1)如圖，從麗水到上海的途徑有60種．解析：完成從麗水到上海這件事須要兩個(gè)步驟：第1步，從麗水到溫州，有6種不同方法；第2步，從溫州到上海，有10種不同方法，所以從麗水到上海共有6×10＝60種方法．(2)某校會(huì)議室有五個(gè)出入門，若從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，不同的走法有20種．解析：完成這件事可分兩步，第一步進(jìn)門有5種走法；其次步出門有4種走法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有N＝5×4＝20種走法．類型三兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用【例3】某學(xué)校高二年級(jí)有12位語文老師、13位數(shù)學(xué)老師、15位英語老師，市教化局?jǐn)M召開一個(gè)新課程研討會(huì)．(1)若選派1位老師參會(huì)，有多少種選法？(2)若三個(gè)學(xué)科各派1位老師參會(huì)，有多少種選法？(3)若選派2位不同學(xué)科的老師參會(huì)，有多少種選法？【分析】(1)選派1位老師參會(huì)有三種選法，用分類加法計(jì)數(shù)原理．(2)三個(gè)學(xué)科各派1位老師參會(huì)，完成這件事情分三步，用分步乘法計(jì)數(shù)原理．(3)選派2位不同學(xué)科老師參會(huì)，因?yàn)橛腥齻€(gè)學(xué)科，所以先選兩個(gè)不同學(xué)科，即先分類，再分步．【解】(1)分三類：第一類選語文老師，有12種不同選法；其次類選數(shù)學(xué)老師，有13種不同選法；第三類選英語老師，有15種不同選法，共有12＋13＋15＝40種不同的選法．(2)分三步：第一步選語文老師，有12種不同選法；其次步選數(shù)學(xué)老師，有13種不同選法；第三步選英語老師，有15種不同選法，共有12×13×15＝2340種不同的選法．(3)分三類：第一類選一位語文老師和一位數(shù)學(xué)老師共有12×13種不同的選法；其次類選一位語文老師和一位英語老師共有12×15種不同的選法；第三類選一位英語老師和一位數(shù)學(xué)老師共有15×13種不同的選法，共有12×13＋12×15＋13×15＝531種不同的選法．留意運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決既有“分類”又有“分步”的綜合問題時(shí)應(yīng)“先分類，后分步”.高艷有4件不同顏色的襯衣、3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙．“五一”勞動(dòng)節(jié)需選擇一套服裝參與歌舞演出，則高艷不同的穿衣服的方式有(B)A．24種 B．14種C．10種 D．9種解析：其穿衣方式分兩類，第一類，不選連衣裙有4×3＝12種方法，其次類，選連衣裙有2種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有12＋2＝14種方法．類比物理學(xué)中的并聯(lián)電路與串聯(lián)電路理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理【例4】如圖，一條電路從A處到B處接通時(shí)，可以有多少條不同的線路？【思路分析】分為三類，每類再分步解決．【解】第一類：有一條線路．其次類：有3×2條線路．第三類：有2×2條線路．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，從A到B接通時(shí)共有1＋3×2＋2×2＝11種不同線路．【解后反思】分類加法計(jì)數(shù)原理可類比并聯(lián)電路，分步加法計(jì)數(shù)原理可類比串聯(lián)電路．這樣可以形象地理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．(1)如圖，在由電鍵組A與B組成的并聯(lián)電路(規(guī)定只能合上其中一個(gè)電鍵)中，接通電源使燈泡發(fā)光的方法有5種．解析：要完成的“一件事”是“使燈泡發(fā)光”，在由電鍵組A與B組成的并聯(lián)電路中，只要合上圖中的任一電鍵，燈泡即發(fā)光．因此對(duì)完成這件事進(jìn)行分類，而每一類都可以獨(dú)立完成這件事(使燈泡發(fā)光)，所以接通電源使燈泡發(fā)光的方法有2＋3＝5種．(2)如圖，某電子器件是由三個(gè)電阻組成的回路，其中有6個(gè)焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，假如某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通．現(xiàn)發(fā)覺電路不通了，那么焊接點(diǎn)脫落的可能狀況共有63種．解析：電路不通可能是一個(gè)或多個(gè)焊接點(diǎn)脫落，問題比較困難．但電路通的狀況卻只有一種，即各焊接點(diǎn)全未脫落．因?yàn)槊總€(gè)焊接點(diǎn)都有脫落與未脫落兩種狀況，而只要有一個(gè)焊接點(diǎn)脫落，則電路就不通，故共有26－1＝63種可能狀況．1．一件工作可以用2種方法完成，有3人會(huì)用第1種方法完成，另外5人會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是(A)A．8B．15C．16D．5解析：運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理可得，不同選法的種數(shù)是5＋3＝8.2．已知集合A＝{1,2}，B＝{3,4,5}，從這兩個(gè)集合中先后取一個(gè)元素構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則可確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(B)A．5 B．6C．10 D．12解析：完成這件事可分兩步：第一步，從集合A中任選一個(gè)元素，有2種不同的方法；其次步，從集合B中任選一個(gè)元素，有3種不同的方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，一共有2×3＝6種不同的方法．3．若x∈{1,2,3}，y∈{5,6,7}，則x·y的不同值有(C)A．2個(gè) B．6個(gè)C．9個(gè) D．3個(gè)解析：3×3＝9.4．一高速馬路上的高架橋有6個(gè)通道能到十字路口，假如不允許回頭，共有18種行車