2024北京一七一中初三（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京一七一中初三（上）期中數(shù)學(xué)（時長：120分鐘總分值：100分）一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1.下列事件中是不可能事件的是()A.守株待兔 B.甕中捉鱉 C.水中撈月 D.百步穿楊2.下列圖形中，屬于中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.若關(guān)于x的方程的一個根是3，則m-n的值是A.-1 B.-3 C.1 D.34.對于拋物線，下列說法中錯誤的是（）A.拋物線開口向下 B.對稱軸是直線C.頂點坐標是 D.拋物線與x軸沒有交點5.已知函數(shù)，當函數(shù)值隨的增大而減小時，的取值范圍為（）A. B. C. D.6.一元二次方程配方后可化為（）A. B. C. D.7.如圖，⊙O外接于△ABC，AD為⊙O的直徑，∠ABC=30°，則∠CAD=（）A.30° B.40° C.50° D.60°8.如圖所示，有一長為，寬為的長方形木板在桌面上作無滑動翻滾（順時針方向），木板上的頂點的位置變化為，其中第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板邊沿與桌面成角，則點翻滾到時，共走過的路徑長為（）A. B. C. D.二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.將拋物線向左平移3個單位后，再向下平移1個單位，此時拋物線的解析式______．10.某市啟動城市綠化工程，林業(yè)部門要考察某種樹苗在一定條件下的移植成活率，在同樣條件下，對這種樹苗進行大量移植，并統(tǒng)計成活情況，數(shù)據(jù)如表所示：移植總數(shù)10270400750150035007000900014000成活數(shù)量9235369662133532036335807312628成活頻率0.9000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902估計樹苗移植成活的概率是______（精確到）11.如圖所示：小明同學(xué)測量一個光盤的直徑，他只有一把直尺和一塊三角尺，他將直尺、光盤和三角尺放置于桌面上，并量出，則此光盤的直徑是__________．12.如圖，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，點恰好落在邊上，連接，則______．13.我國政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格，某種藥品經(jīng)過兩次降價，由每盒60元調(diào)至52元，若設(shè)每次平均降價的百分率為x，則由題意可列方程為_____．14.若圓錐的母線長為4，底面半徑為3，則該圓錐的側(cè)面積是______．15.如圖，拋物線與直線相交于，和，2)兩點，則不等式的解集為___．16.京劇作為一門中國文化的傳承藝術(shù)，深受外國友人青睞．如圖，在平面直角坐標系xOy中，某臉譜輪廓可以近似地看成是一個半圓與拋物線的一部分組合成的封閉圖形，記作圖形G．點A，B，C，D分別是圖形G與坐標軸的交點，已知點B的坐標為（0，），線段CD為半圓的直徑，且CD=4，點M在半圓上，點N在拋物線上，N的縱坐標為，MN與y軸平行．下列關(guān)于圖形G的四個結(jié)論，其中正確的有________．（填正確結(jié)論的序號）①圖形G關(guān)于直線y=0對稱；②線段MN的長為；③扇形OMA的面積；④當＜a＜2時，直線y=a與圖形G有兩個公共點．三、解答題（本題共68分，17-22題每小題5分，23-26題每題6分，27、28題每題7分）17.解方程．18.已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC求作：一點P，使得∠APC＝∠BAC作法：①以點A為圓心，AB長為半徑畫圓；②以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交⊙A于點C，D兩點；③連接DA并延長交⊙A于點P點P即為所求（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明證明：連接PC，BD∵AB＝AC，∴點C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________∴∠BAC＝∠CAD∵點D，P在⊙A上，∴∠CPD＝∠CAD（______________________）（填推理的依據(jù)）∴∠APC＝∠BAC19.如圖2是根據(jù)圖1中的石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，設(shè)所在圓的圓心為，拱頂為點，交于點，連接．當橋下水面寬時，．

（1）求這座石拱橋主橋拱的半徑；（2）有一條寬為，高出水面的矩形漁船，請你判斷一下，此漁船能否順利通過這座拱橋？并說明理由．20.如圖．在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為O0,0，A5,0，．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為．（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并寫出點的坐標；（2）求點經(jīng)過的路徑的長（結(jié)果保留）．21.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）當b=a+2時，利用根的判別式判斷方程根的情況；（2）若方程有兩個相等的實數(shù)根，寫出一組滿足條件的a，b的值，并求此時方程的根．22.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+2x＋c的部分圖象經(jīng)過點A(0，－3)，B(1，0)．(1)求該拋物線的解析式；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y＜0時，x的取值范圍．23.如圖，某居民小區(qū)改造，計劃在居民小區(qū)的一塊長50米，寬20米的矩形空地內(nèi)修建兩塊相同的矩形綠地，使得兩塊矩形綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道，且兩塊矩形綠地的面積之和為原矩形空地面積的，求人行通道的寬度是多少米?24.如圖，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP=AC．（1）求證：AP是⊙O的切線；（2）求PD的長．25.如圖，排球運動場的場地長18m，球網(wǎng)高度2.24m，球網(wǎng)在場地中央，距離球場左、右邊界均為9m．一名球員在場地左側(cè)邊界練習(xí)發(fā)球，排球的飛行路線可以看作是對稱軸垂直于水平面的拋物線的一部分．在球運行時，將球與場地左邊界的水平距離記為x（米），與地面的高度記為y（米），經(jīng)多次測試后，得到如下數(shù)據(jù)：x（米）0124678y（米）22.152.282.442.52.492.44（1）在網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，根?jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑的曲線連接；（2）擊球點的高度為______米，排球飛行過程中可達到的最大高度為______米；（3）求出y與x的函數(shù)解析式；（4）判斷排球能否過球網(wǎng)，并說明理由．26.已知點，在拋物線的圖象上，設(shè)拋物線的對稱軸為．（1）若，，則_______；（2）當，時，都有，求的取值范圍．27.在中，，，于點，點是上動點（不與重合），將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）如圖1，當點在線段上時，求證：點是線段中點．（2）如圖2，作點關(guān)于點的對稱點，連結(jié)，．①依題意補全圖形．②猜想的度數(shù)，并證明．28.在平面直角坐標系中，的半徑為1．對于的弦和外一點給出如下定義：若直線，中一條經(jīng)過點，另一條是的切線，則稱點是弦的“關(guān)聯(lián)點”．（1）如圖，點，，①在點，，中，弦的“關(guān)聯(lián)點”是______．②若點是弦的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出的長；（2）已知直線與，軸分別交于點，，對于線段上一點，存在的弦，使得點是弦的“關(guān)聯(lián)點”，記的長為，當點在線段上運動時，直接寫出的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1.【答案】C【分析】不可能事件是一定不會發(fā)生的事件，依據(jù)定義即可判斷．【詳解】解：A、守株待兔，不一定就能達到，是隨機事件，故選項不符合；B、甕中捉鱉是必然事件，故選項不符合；C、水中撈月，一定不能達到，是不可能事件，選項不符合；D、百步穿楊，未必達到，是隨機事件，故選項不符合；故選C.【點睛】本題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．2.【答案】B【分析】本題考查了中心對稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)后與原圖重合．根據(jù)中心對稱圖形的概念進行求解即可．【詳解】解：A．不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C．不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；D．不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：B．3.【答案】B【分析】把x=3代入已知方程，即可求得（m-n）的值．【詳解】解：由題意，得

x=3滿足方程，

所以，9+3m-3n=0，

解得，m-n=-3．

故選B．【點睛】本題考查一元二次方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．4.【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式的性質(zhì)逐項分析即可【詳解】解：由，可知，，則拋物線的開口向下，∴選項正確，不符合題意；對稱軸為直線x=2，∴選項正確，不符合題意；頂點坐標為,，∴選項正確，不符合題意；令，則解得，∴與軸的交點為：，∴D選項錯誤，符合題意；故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)頂點式的性質(zhì)，掌握的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的增減性，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，進行求解即可．【詳解】解：∵，，對稱軸為y軸，∴在對稱軸的左側(cè)，y隨著的增大而減??；∴當函數(shù)的函數(shù)值y隨著的增大而減小時，的取值范圍是：；故選：D．6.【答案】D【分析】常數(shù)項移到方程的右邊后，兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方，寫成完全平方式即可．【詳解】解：移項得，配方得，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟練掌握完全平方公式和配方法的基本步驟是解題的關(guān)鍵．7.【答案】D【分析】首先由∠ABC=30°，推出∠ADC=30°，然后根據(jù)AD為⊙O的直徑，推出∠DCA=90°，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可推出∠CAD=90°-∠ADC，通過計算即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵∠ABC=30°，∴∠ADC=30°，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠CAD=90°-30°=60°．故選D．【點睛】本題主要考查圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，角的計算，關(guān)鍵在于通過相關(guān)的性質(zhì)定理推出∠ADC和∠DCA的度數(shù)．8.【答案】B【分析】本題考查了弧長的計算、勾股定理，由勾股定理可得長方形的對角線長為，結(jié)合第一次是點以為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)得到，即可得出第一次走過的路徑，再由第二次是點以點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)得到，計算出第二次走過的路徑，即可得解．【詳解】解：第一次是點以為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)得到，長方形的對角線長為，此次點走過的路徑為，∵第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板邊沿與桌面成角，∴第二次是點以點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)得到，此次點走過的路徑為，∴點翻滾到時，共走過的路徑長為，故選：B．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移法則：左加右減，上加下減，即可得解，熟練掌握平移法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：將拋物線向左平移3個單位后，再向下平移1個單位，此時拋物線的解析式，故答案為：．10.【答案】【分析】本題主要考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，掌握在大量重復(fù)試驗中可以用頻率估計概率是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和概率的含義，可以估計樹苗移植成活的概率．【詳解】解：由表格中的數(shù)據(jù)可以估計樹苗移植成活的概率是，故答案為：．11.【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理．連接，根據(jù)題意求出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，從而得出光盤的直徑．【詳解】解：連接．∵，∴，∵和與相切，∴，∴，∵，∴，∴由勾股定理得，∴光盤的直徑是．故答案為：．12.【答案】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到相等的線段與旋轉(zhuǎn)角．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，，，，，，∴，故答案為：．13.【答案】60（1﹣x）2＝52【分析】根據(jù)題意直接進行列出方程即可．【詳解】解：設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，根據(jù)題意得：第一次下調(diào)到60（1﹣x%），第二次下調(diào)到60（1﹣x%）（1﹣x%），∴60（1﹣x）2＝52．【點睛】本題主要考查一元二次方程的實際應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．14.【答案】【分析】本題考查求圓錐的側(cè)面積，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：，進行計算即可．【詳解】解：∵圓錐的母線長為4，底面半徑為3，∴圓錐的側(cè)面積是；故答案為∶．15.【答案】##【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系；根據(jù)圖象，拋物線與直線相交于和兩點，即可得出關(guān)于的不等式的解集．【詳解】解：拋物線與直線相交于和兩點，關(guān)于的不等式的解集是．故答案為．16.【答案】②④【分析】用待定系數(shù)法求出拋物線表達式，從而得出對稱軸，令求出點坐標，即可得出的橫坐標，由勾股定理求出點坐標，從而得出的長，由三角函數(shù)求出的度數(shù)，由扇形面積公式從而得出，由圖像得出當時，直線與圖形的交點個數(shù)．【詳解】如圖，交軸于點，，，，設(shè)拋物線表達式為，把代入解得：，，圖形關(guān)于直線對稱，故①錯誤；令得：，解得：或，，，在中，，，故②正確；，，，，故③錯誤；由圖可知，，當時，直線與圖形有兩個公共點，故④正確．故答案為：②④．【點睛】本題以半圓為拋物線合成的封閉圖形為背景，曲線的對稱性、整點問題，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求點的坐標．三、解答題（本題共68分，17-22題每小題5分，23-26題每題6分，27、28題每題7分）17.【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解，選擇合適的方法進行計算是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，∴或，∴，．18.【答案】（1）見解析；（2）BAC=BAD，圓周角定理或同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半【分析】（1）根據(jù)按步驟作圖即可；（2）根據(jù)圓周角定理進行證明即可【詳解】解：（1）如圖所示，（2）證明：連接PC，BD∵AB＝AC，∴點C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∴∠BAC＝∠CAD∵點D，P在⊙A上，∴∠CPD＝∠CAD（圓周角定理）（填推理的依據(jù)）∴∠APC＝∠BAC故答案為：BAC=BAD，圓周角定理或同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖作圓，圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．19.【答案】（1）這座石拱橋主橋拱的半徑為（2）此漁船不能順利通過這座橋【分析】本題主題考查圓的基礎(chǔ)知識，勾股定理的運用，掌握垂徑定理，勾股定理的綜合運用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂徑定理可得，，，設(shè)主橋拱半徑為，可得，根據(jù)勾股定理即可求解；（2）如圖，設(shè)為該漁船的上端，連接，根據(jù)題意可求出的值，根據(jù)勾股定理可求出的值，再與矩形船的寬比較，由此即可求解．【小問1詳解】解：∵，∴，設(shè)主橋拱半徑為，由題意可知，，∴，，∵，∴，∴，解得，，∴這座石拱橋主橋拱的半徑為．【小問2詳解】解：此漁船不能順利通過這座拱橋，理由如下，如圖，設(shè)為該漁船的上端，連接，∵，船艙頂部為長方形并高出水面，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴此漁船不能順利通過這座橋．20.【答案】（1）見解析，；（2）．【分析】（1）將點分別繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到其對應(yīng)點，再與點首尾順次連接即可；（2）根據(jù)弧長公式求解即可；本題主要考查了作圖—旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義與性質(zhì)及弧長公式．【小問1詳解】如圖所示，即為所求，點的坐標為；【小問2詳解】由圖知，，，∴點在旋轉(zhuǎn)過程中所走過的路徑長為．21.【答案】（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）b=-2，a=1時，x1=x2=﹣1．【分析】（1）求出根的判別式，判斷其范圍，即可判斷方程根的情況.（2）方程有兩個相等的實數(shù)根，則，寫出一組滿足條件的，的值即可.【詳解】（1）解：由題意：．∵，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）答案不唯一，滿足（）即可，例如：解：令，，則原方程為，解得：．【點睛】考查一元二次方程根的判別式，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.當時，方程有兩個相等的實數(shù)根.當時，方程沒有實數(shù)根.22.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式，將坐標代入解析式得出解方程組即可；（2）先求拋物線與x軸的交點，轉(zhuǎn)化求方程的解，再根據(jù)函數(shù)y＜0，函數(shù)圖像位于x軸下方，在兩根之間即可．【詳解】解：(1)拋物線經(jīng)過點A(0，－3)，B(1，0)代入坐標得：，解得，所求拋物線的解析式是y=x(2)當y=0時，，因式分解得：，∴，∴，當y＜0時，函數(shù)圖像在x軸下方，∴y＜0時，x的取值范圍為-3＜x＜1．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，利用圖像法解不等式，解一元二次方程，方程組，掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，利用圖像法解不等式，解一元二次方程，方程組是解題關(guān)鍵．23.【答案】人行通道的寬度是米【分析】設(shè)人行通道的寬度是x米，則兩塊綠地可合成長為（50﹣3x）米、寬為（20﹣2x）米的矩形，根據(jù)兩塊矩形綠地的面積之和為原矩形空地面積的，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)人行通道的寬度是x米，則兩塊綠地可合成長為（50﹣3x）米、寬為（20﹣2x）米的矩形，根據(jù)題意得：（50﹣3x）（20﹣2x）50×20，解得：＝25（舍去），，∴x．答：人行通道的寬度是米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．24.【答案】（1）證明見解析；（2）PD=．【分析】（1）連接OA，由∠B=60°，利用圓周角定理，即可求得∠AOC的度數(shù)，又由OA=OC，即可求得∠OAC與∠OCA的度數(shù)，利用三角形外角的性質(zhì)，求得∠AOP的度數(shù)，又由AP=AC，利用等邊對等角，求得∠P，則可求得∠PAO=90°，則可證得AP是⊙O的切線．（2）由CD是⊙O的直徑，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函數(shù)與等腰三角形的判定定理，即可求得PD的長．【詳解】（1）證明：連接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°．又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°．∴∠AOP=60°．∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°．∴∠OAP=90°．∴OA⊥AP．∴AP是⊙O的切線．（2）解：連接AD．∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD=90°．∴AD=AC?tan30°=3×．∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°．∴∠P=∠PAD．∴PD=AD=．25.【答案】（1）見解析（2）2，2.5（3）（4）能，理由見解析【分析】（1）先根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點，然后用平滑的曲線連接；（2）由表格和函數(shù)圖象即可求得擊球點的高度和排球飛行過程中可達到的最大高度；（3）根據(jù)表格數(shù)據(jù)設(shè)頂點式，然后代入數(shù)據(jù)即可求得答案；（4）根據(jù)y與x的函數(shù)解析式，令x=9代入求得y的值與2.24比較即可得到答案．【小問1詳解】解：如圖，【小問2詳解】解：∵當x=0時，y=2，∴擊球點的高度為2米；由表格和函數(shù)圖象可得，拋物線的頂點坐標為（6，2.5），∴排球飛行過程中可達到的最大高度為2.5米；【小問3詳解】解：由表格和函數(shù)圖象可得，拋物線的頂點坐標為（6，2.5），∴設(shè)y與x的函數(shù)解析式為，∵當x=0時，y=2，∴，解得：，∴；【小問4詳解】解：排球能過球網(wǎng).理由如下：當x=9時，，∵，∴排球能過球網(wǎng)．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、求二次函數(shù)解析式、畫二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26.【答案】（1）5（2）【分析】（1）根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)，，，進行討論求解即可【小問1詳解】解：由題意得：拋物線的對稱軸為：直線，∴，故答案為：5．【小問2詳解】①當時，，∵，∴，，∵，∴．②當時，則與條件矛盾，③當時，與條件矛盾，綜上，當，時，都有，的取值范圍．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握相關(guān)知識并正確理解題意是解題的關(guān)鍵．27.【答案】（1）見解析（2）①見解析；②，證明見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，等量代換得到即可；（1）①根據(jù)題意以點E為圓心，為半徑畫弧，交BD于點，再連接，即可；②延長到H使，連接，，，可得是的