直線和圓的方程 直線的一般式方程 教學(xué)設(shè)計(jì)_第1頁(yè)
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第二章直線和圓的方程2.2.3直線的一般式方程【教學(xué)內(nèi)容】直線的一般式方程.【教學(xué)目標(biāo)】1.了解直線的一般式方程的形式特征,理解直線的一般式方程與二元一次方程的關(guān)系,培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);2.能正確地進(jìn)行直線的一般式方程與特殊形式的方程的轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)和提高直觀想象、邏輯推理素養(yǎng);3.能運(yùn)用直線的一般式方程解決有關(guān)問題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)..【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn):了解二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系,掌握直線的一般式方程;教學(xué)難點(diǎn):直線的一般式方程的系數(shù),對(duì)直線特點(diǎn)的影響.【教學(xué)過程】(說明:本環(huán)節(jié)包括新授、小結(jié)、布置作業(yè)等)一、復(fù)習(xí)引入1.由下列各條件,寫出直線的方程,并畫出圖形.(1)斜率是1,經(jīng)過點(diǎn);(2)在軸和軸上的截距分別是;(3)經(jīng)過兩點(diǎn);(4)在軸上的截距是,傾斜角是.【答案】同學(xué)們,根據(jù)前面我們學(xué)習(xí)的直線方程形式,分別利用點(diǎn)斜式、截距式、兩點(diǎn)式和斜截式,可得到四種情況下的直線方程分別為:(1);(2);(3);(4).事實(shí)上,它們的方程都可以化簡(jiǎn)為.二、新知探究從這個(gè)特例我們發(fā)現(xiàn),直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程,都是關(guān)于的二元一次方程.直線與二元一次方程是否都有這種關(guān)系呢?下面我們探討這個(gè)問題.1.平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于的二元一次方程表示嗎?任意一條直線,在其上任取一點(diǎn),(1)當(dāng)直線的斜率為時(shí)(此時(shí)直線的傾斜角),其方程為,這是關(guān)于的二元一次方程;(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)(此時(shí)直線的傾斜角),其方程為,上述方程可以認(rèn)為是關(guān)于的二元一次方程,因?yàn)榇藭r(shí)方程中的系數(shù)為0.方程和都是二元一次方程,因此平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于的二元一次方程表示.2.任意一個(gè)關(guān)于的二元一次方程都表示一條直線嗎?對(duì)于任意一個(gè)二元一次方程(不同時(shí)為),如果能把它化為直線方程的某種形式,那么我們就可以斷定它表示一條直線.(1)當(dāng)時(shí),方程可變形為,它表示斜率為,在軸上截距為的直線;(2)當(dāng)時(shí),,方程可變形為,它表示過點(diǎn),且垂直于軸的直線.由上可知,關(guān)于的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于的二元一次方程(其中不同時(shí)為)叫做直線的一般式方程,簡(jiǎn)稱一般式(generalform).3.在方程中,為何值時(shí),方程表示的直線:①平行于軸?②平行于軸?③與軸重合?④與軸重合?①由直線平行于x軸的幾何特征可知,直線的斜率為0,且在y軸截距不為0,因此沒有x項(xiàng),即x前的系數(shù),則;可將方程改寫為,其中在y軸截距,則,因此,,,直線方程為.②由直線平行于y軸的幾何特征可知,直線的斜率不存在,且在x軸截距不為0,因此沒有y項(xiàng),即y前的系數(shù),則;可將方程改寫為,其中在x軸截距,則,因此,,,直線方程為.③由直線與x軸重合的幾何特征可知,直線的斜率為0,且在y軸截距為0因此沒有x項(xiàng),即x前的系數(shù),則;可將方程改寫為,其中在y軸截距,則,因此,,,直線方程為.④由直線與y軸重合的幾何特征可知,直線的斜率不存在,且在x軸截距為0因此沒有y項(xiàng),即y前的系數(shù),則;可將方程改寫為,其中在x軸截距,則,因此,,.4.歸納小結(jié):三、典型例題例1.已知直線經(jīng)過點(diǎn),斜率為,求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.分析:解:經(jīng)過點(diǎn),斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程是,化為一般式,得.歸納小結(jié):直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征:①方程是關(guān)于的二元一次方程;②方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按常數(shù)的先后順序排列;③的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù);④雖然直線方程的一般式有三個(gè)參數(shù),但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線的方程.例2.把直線l一般式方程化為斜截式,求出直線l的斜率以及它在x軸與y軸上的截距,并畫出圖形.分析:解:把直線l的一般式方程化為斜截式.因此,直線l的斜率,它在y軸上的截距是3.在直線l的方程中,令,得,即直線l在x軸上的截距是.由上面可得直線l與x軸?y軸的交點(diǎn)分別為,,過A,B兩點(diǎn)作直線,就得直線l四、鞏固提升已知直線l的方程是.當(dāng)時(shí),直線l的斜率是多少?當(dāng)時(shí)呢?系數(shù)A,B,C取什么值時(shí),方程表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線?分析:(1)當(dāng)時(shí),直接由直線方程求出斜率;當(dāng)時(shí),直線l的斜率不存在;(2)由直線過原點(diǎn)可得,再由不同時(shí)為0即可得解.解:(1)當(dāng)時(shí),直線l的斜率是;當(dāng)時(shí),直線l的斜率不存在;(2)因?yàn)橹本€過原點(diǎn),所以,所以當(dāng)且不同時(shí)為0時(shí),方程表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線.五、歸納總結(jié)1.直線的一般式與點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式的關(guān)系2.直線的一般式方程的系數(shù),對(duì)直線特點(diǎn)的影響.例:當(dāng),,時(shí),直線方程為,直線平行于x軸.例:當(dāng),時(shí),直線與兩坐標(biāo)軸都相交.六、答疑課程重點(diǎn):了解二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系,掌握直線的一般式方程;難點(diǎn):直線的一般式方程的系數(shù),對(duì)直線特點(diǎn)的影響.例:①當(dāng),,時(shí),直線方程為,直線平行于x軸.②當(dāng),,時(shí),直線方程為,直線平行于y軸.③當(dāng),,時(shí),直線方程為,直線與x軸重合.④當(dāng),,時(shí),直線方程為,直線與y軸重合.典型題目:求直線(A,B不同時(shí)為0)的系數(shù)A,B,C分別滿足什么關(guān)系時(shí),這條直線有以下性質(zhì):(1)與兩條坐標(biāo)軸都相交;(2)只與x軸相交;(3)只與y軸相交.分析:根據(jù)直線與坐標(biāo)軸相交的性質(zhì)可得.解:(1)直線(A,B不同時(shí)為0)與x軸相交時(shí),方程組有唯一解,所以,同理直線(A,B不同時(shí)為0)與y軸相交時(shí),方程組有唯一解,所以,所以當(dāng),時(shí),直線與兩條坐標(biāo)軸都相交;(2)已知直線只與x軸相交,所以直線與y軸平行或重合,所以當(dāng),時(shí),直線只與x軸相交;(3)已知直線只與y軸相交,所以直線與x軸平行或重合,所以當(dāng),時(shí),直線只與y軸相交.易錯(cuò)題:求經(jīng)過點(diǎn),并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程.錯(cuò)解:設(shè)截距為,則直線為,將代入

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