直線和圓的方程 直線的一般式方程 教學(xué)設(shè)計(jì)

第二章直線和圓的方程2.2.3直線的一般式方程【教學(xué)內(nèi)容】直線的一般式方程．【教學(xué)目標(biāo)】1.了解直線的一般式方程的形式特征，理解直線的一般式方程與二元一次方程的關(guān)系，培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；2.能正確地進(jìn)行直線的一般式方程與特殊形式的方程的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)和提高直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)；3.能運(yùn)用直線的一般式方程解決有關(guān)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)．.【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：了解二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握直線的一般式方程；教學(xué)難點(diǎn)：直線的一般式方程的系數(shù)，對(duì)直線特點(diǎn)的影響．【教學(xué)過程】（說明：本環(huán)節(jié)包括新授、小結(jié)、布置作業(yè)等）一、復(fù)習(xí)引入1．由下列各條件,寫出直線的方程,并畫出圖形.(1)斜率是1，經(jīng)過點(diǎn)；(2)在軸和軸上的截距分別是；(3)經(jīng)過兩點(diǎn);(4)在軸上的截距是，傾斜角是.【答案】同學(xué)們，根據(jù)前面我們學(xué)習(xí)的直線方程形式，分別利用點(diǎn)斜式、截距式、兩點(diǎn)式和斜截式，可得到四種情況下的直線方程分別為：(1)；(2)；(3)；(4).事實(shí)上,它們的方程都可以化簡(jiǎn)為.二、新知探究從這個(gè)特例我們發(fā)現(xiàn)，直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程，都是關(guān)于的二元一次方程．直線與二元一次方程是否都有這種關(guān)系呢？下面我們探討這個(gè)問題．1．平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于的二元一次方程表示嗎？任意一條直線,在其上任取一點(diǎn)，(1)當(dāng)直線的斜率為時(shí)(此時(shí)直線的傾斜角)，其方程為，這是關(guān)于的二元一次方程；(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)(此時(shí)直線的傾斜角)，其方程為，上述方程可以認(rèn)為是關(guān)于的二元一次方程，因?yàn)榇藭r(shí)方程中的系數(shù)為0.方程和都是二元一次方程，因此平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于的二元一次方程表示.2．任意一個(gè)關(guān)于的二元一次方程都表示一條直線嗎？對(duì)于任意一個(gè)二元一次方程(不同時(shí)為)，如果能把它化為直線方程的某種形式，那么我們就可以斷定它表示一條直線.(1)當(dāng)時(shí),方程可變形為，它表示斜率為，在軸上截距為的直線；(2)當(dāng)時(shí),，方程可變形為，它表示過點(diǎn)，且垂直于軸的直線.由上可知，關(guān)于的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于的二元一次方程(其中不同時(shí)為)叫做直線的一般式方程,簡(jiǎn)稱一般式(generalform).3.在方程中，為何值時(shí),方程表示的直線：①平行于軸?②平行于軸?③與軸重合?④與軸重合?①由直線平行于x軸的幾何特征可知，直線的斜率為0，且在y軸截距不為0，因此沒有x項(xiàng)，即x前的系數(shù)，則；可將方程改寫為，其中在y軸截距，則,因此，，，直線方程為.②由直線平行于y軸的幾何特征可知，直線的斜率不存在，且在x軸截距不為0，因此沒有y項(xiàng)，即y前的系數(shù)，則；可將方程改寫為，其中在x軸截距，則,因此，，，直線方程為.③由直線與x軸重合的幾何特征可知，直線的斜率為0，且在y軸截距為0因此沒有x項(xiàng)，即x前的系數(shù)，則；可將方程改寫為，其中在y軸截距，則,因此，，，直線方程為.④由直線與y軸重合的幾何特征可知，直線的斜率不存在，且在x軸截距為0因此沒有y項(xiàng)，即y前的系數(shù)，則；可將方程改寫為，其中在x軸截距，則,因此，，.4.歸納小結(jié)：三、典型例題例1.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為，求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.分析：解：經(jīng)過點(diǎn)，斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程是，化為一般式，得.歸納小結(jié)：直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征：①方程是關(guān)于的二元一次方程；②方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按常數(shù)的先后順序排列；③的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)；④雖然直線方程的一般式有三個(gè)參數(shù)，但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線的方程．例2.把直線l一般式方程化為斜截式，求出直線l的斜率以及它在x軸與y軸上的截距，并畫出圖形.分析：解：把直線l的一般式方程化為斜截式.因此，直線l的斜率，它在y軸上的截距是3.在直線l的方程中，令，得，即直線l在x軸上的截距是.由上面可得直線l與x軸?y軸的交點(diǎn)分別為，，過A，B兩點(diǎn)作直線，就得直線l四、鞏固提升已知直線l的方程是．當(dāng)時(shí)，直線l的斜率是多少？當(dāng)時(shí)呢？系數(shù)A，B，C取什么值時(shí)，方程表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線？分析:(1)當(dāng)時(shí)，直接由直線方程求出斜率；當(dāng)時(shí)，直線l的斜率不存在；(2)由直線過原點(diǎn)可得，再由不同時(shí)為0即可得解.解：(1)當(dāng)時(shí)，直線l的斜率是；當(dāng)時(shí)，直線l的斜率不存在；(2)因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，所以，所以當(dāng)且不同時(shí)為0時(shí)，方程表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線.五、歸納總結(jié)1.直線的一般式與點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式的關(guān)系2.直線的一般式方程的系數(shù)，對(duì)直線特點(diǎn)的影響．例：當(dāng)，，時(shí)，直線方程為，直線平行于x軸.例：當(dāng)，時(shí)，直線與兩坐標(biāo)軸都相交.六、答疑課程重點(diǎn)：了解二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握直線的一般式方程；難點(diǎn)：直線的一般式方程的系數(shù)，對(duì)直線特點(diǎn)的影響．例：①當(dāng)，，時(shí)，直線方程為，直線平行于x軸.②當(dāng)，，時(shí)，直線方程為，直線平行于y軸.③當(dāng)，，時(shí)，直線方程為，直線與x軸重合.④當(dāng)，，時(shí)，直線方程為，直線與y軸重合.典型題目：求直線（A，B不同時(shí)為0）的系數(shù)A，B，C分別滿足什么關(guān)系時(shí)，這條直線有以下性質(zhì)：(1)與兩條坐標(biāo)軸都相交；(2)只與x軸相交；(3)只與y軸相交.分析:根據(jù)直線與坐標(biāo)軸相交的性質(zhì)可得.解:（1）直線（A，B不同時(shí)為0）與x軸相交時(shí)，方程組有唯一解，所以，同理直線（A，B不同時(shí)為0）與y軸相交時(shí)，方程組有唯一解，所以，所以當(dāng)，時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交；（2）已知直線只與x軸相交，所以直線與y軸平行或重合，所以當(dāng)，時(shí)，直線只與x軸相交；（3）已知直線只與y軸相交，所以直線與x軸平行或重合，所以當(dāng)，時(shí)，直線只與y軸相交.易錯(cuò)題：求經(jīng)過點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程．錯(cuò)解：設(shè)截距為,則直線為，將代入