拋物線的簡單幾何性質(zhì)（第1課時）教案

高二—人教A版—數(shù)學(xué)—選擇性必修第一冊—第三章第三章圓錐曲線的方程3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（第1課時）【教學(xué)內(nèi)容】人民教育出版社普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊A版，拋物線的簡單幾何性質(zhì)第一課時，其中包括拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率以及利用直線與拋物線的關(guān)系求線段長的問題．【教學(xué)目標(biāo)】1．借助拋物線的圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程理解拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質(zhì)，培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；2．應(yīng)用坐標(biāo)法解決一些與拋物線相關(guān)的問題，培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)；3．體會數(shù)形結(jié)合、坐標(biāo)法，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)．【教學(xué)重難點】教學(xué)重點：拋物線的幾何特征，拋物線的簡單幾何性質(zhì)；教學(xué)難點：拋物線幾何特征的發(fā)現(xiàn)及應(yīng)用．【教學(xué)過程】（說明：本環(huán)節(jié)包括新授、小結(jié)、布置作業(yè)等）（一）知識回顧：類比橢圓、雙曲線，回顧拋物線的圖象與標(biāo)準(zhǔn)方程【學(xué)習(xí)任務(wù)一】在橢圓、雙曲線里我們研究了它們的哪些幾何性質(zhì)？用什么方法研究的？標(biāo)準(zhǔn)方程圖象性質(zhì)研究方法范圍、對稱性、頂點、離心率直觀猜想方程驗證范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線問題：你認(rèn)為我們要研究拋物線的哪些幾何性質(zhì)？如何研究這些性質(zhì)？標(biāo)準(zhǔn)方程圖象性質(zhì)研究方法范圍、對稱性、頂點、離心率直觀猜想方程驗證【設(shè)計意圖】通過類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)的研究方法，利用拋物線的圖形，通過直觀猜想，確定拋物線幾何性質(zhì)的研究方向和方法．（二）拋物線的簡單幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、離心率的研究【學(xué)習(xí)任務(wù)二】以開口向右的拋物線為例，對范圍、對稱性、頂點、離心率逐一研究．（1）范圍：問題1：觀察直角坐標(biāo)系中的拋物線，它的范圍是什么？你能用它的方程給出證明嗎？圖象角度：方程角度：由，可知，，，當(dāng)增大時，也在增大；小結(jié)：拋物線的范圍是．（2）對稱性：問題2：觀察方程的曲線，開口向右的拋物線有對稱軸、對稱中心嗎？類比橢圓、雙曲線對稱性的證明，你能從拋物線的方程入手，給出證明嗎？圖象角度：方程角度：將代入，有，方程不變；小結(jié)：拋物線的對稱軸為軸，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．（3）頂點：問題3：橢圓、雙曲線的頂點如何定義的？曲線與對稱軸的交點叫做曲線的頂點．圖象角度：方程角度：令得到的值，令得到的值，從而得到頂點的坐標(biāo)；問題4：拋物線有多少個頂點：能證明嗎？圖象角度：方程角度：由，令，有；小結(jié)：拋物線只有一個頂點，就是原點．（4）離心率：定義：拋物線上的點與焦點的距離和點到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率，用表示．由拋物線的定義可知，小結(jié)：教材在橢圓一節(jié)的例6及信息技術(shù)應(yīng)用和雙曲線一節(jié)的例5中都有意識的安排了與圓錐曲線離心率相關(guān)的內(nèi)容，拋物線的離心率定義的表達(dá)與其具有統(tǒng)一性。我們可以統(tǒng)一歸納理解．【設(shè)計意圖】類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)的研究方法，通過幾何和代數(shù)兩個角度驗證拋物線的幾何性質(zhì)，滲透數(shù)形結(jié)合思想．（三）應(yīng)用知識，解決問題【學(xué)習(xí)任務(wù)三】已知拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點在原點，且經(jīng)過點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．問題1：根據(jù)給定的條件，怎樣求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？代入點的坐標(biāo)設(shè)拋物線方程待定系數(shù)法確定系數(shù)代入點的坐標(biāo)設(shè)拋物線方程待定系數(shù)法確定系數(shù)的值問題2：此題選那種拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于點在拋物線上，所以將坐標(biāo)代入方程，得，解得．故，所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．問題3：如果把條件“關(guān)于軸對稱”改為“關(guān)于坐標(biāo)軸對稱”，那么結(jié)果有什么變化嗎？圖象角度：方程角度：解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于點在拋物線上，所以將坐標(biāo)代入方程，得，解得．則，所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于點在拋物線上，所以將坐標(biāo)代入方程，得，解得．則，所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．綜上所述，所求的拋物線方程為，．思路小結(jié)：得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方稱代入條件求的值設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方稱代入條件求的值設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的開口方向【設(shè)計意圖】提高學(xué)生讀題、審題的能力，總結(jié)求解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本思路．【學(xué)習(xí)任務(wù)四】斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線相交于兩點，求線段的長．問題1：在前面橢圓、雙曲線的學(xué)習(xí)中，我們也遇到過類似的直線與橢圓、雙曲線相交的問題，回憶一下是如何解決的．對于這道題，你有什么解題思路？答：聯(lián)立方程，解交點坐標(biāo)．解：易知直線的方程為．聯(lián)立，整理得．求得．即有．由兩點間距離公式，得即線段的長為8．小結(jié)：這種方法與直線與橢圓、雙曲線相交的解題方法是一致，說明以上方法具有一般性，為我們解決直線與圓錐曲線問題提供了基本的解題思路，但是計算較為麻煩．問題2：能夠不求出兩點的坐標(biāo)，從而求出線段的長？兩點間距離公式解法二：由，得，，所以，．小結(jié)：注意觀察思考問題的結(jié)構(gòu)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危喕\(yùn)算步驟；問題3：根據(jù)題目條件作圖觀察，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，回憶拋物線的定義，有什么啟發(fā)？圖象角度：定義角度解法三：由定義可知，，則，因為軸，軸，則，故由題意知，，由解法二可知，故．問題4：如果直線不經(jīng)過焦點，那么還等于嗎？圖象角度：根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，有．方程角度：設(shè)直線為，聯(lián)立，得，由，，，則，線段的長度與緊密關(guān)聯(lián)．小結(jié)：解法特點1聯(lián)立直線與拋物線方程，解方程組直接，具有一般性計算量大2應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系簡化計算需要掌握技巧3用拋物線定義轉(zhuǎn)化思路最優(yōu)，運(yùn)算最簡具有適用局限性解法3體現(xiàn)了：用坐標(biāo)法解決問題的思想方法；先用幾何眼光觀察，再用代數(shù)運(yùn)算解決．【設(shè)計意圖】通過三種解題方法的對比，培養(yǎng)學(xué)生用幾何眼光觀察問題，熟悉代數(shù)運(yùn)算解決問題的步驟，提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（四）歸納總結(jié)1、本節(jié)課我們研究了拋物線的哪些幾何性質(zhì)？標(biāo)準(zhǔn)方程圖像性質(zhì)范圍對稱軸頂點離心率軸軸2、這些性質(zhì)通過什么方法得到的？直觀猜想，方程驗證3、直線與拋物線相交，用坐標(biāo)法研究所得線段長的問題的一般思路與方法是什么？直線方程與拋物線方程聯(lián)立直線方程與拋物線方程聯(lián)立一元二次方程一元二次方程求出解方程，求交點坐標(biāo)求出解方程，求交點坐標(biāo)線段長線段長線段長為線段長線段長為線段長（五）【答疑課程】難點1：求拋物線方程的問題拋物線過某定點，求拋物線方程時，要注意兩點，1、關(guān)注問題是否說明拋物線的對稱軸；2、要準(zhǔn)確設(shè)出拋物線方程，做到不重不漏．難點2：弦長問題面對直線與拋物線相交問題，利用坐標(biāo)法求解線段長時，可以先判斷直線是否過拋物線的焦點。如果直線不過拋物線焦點，則利用兩點間距離公式進(jìn)行求解；若直線過拋物線的焦點，可結(jié)合拋物線的圖象，使用拋物線的定義進(jìn)行快速求解．易錯點：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式在判斷拋物線的開口，求解拋物線的范圍、焦點坐標(biāo)等問題時，要注意觀察拋物線是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，若給定的方程形如，則要先變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，再進(jìn)行判斷、求解．（六）【目標(biāo)檢測題】（見資源包）1．拋物線的對稱軸是直線（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】因為拋物線：，所以其關(guān)于軸對稱，即對稱軸為直線．故選：D．2．拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，點在拋物線上，則拋物線的方程為（

）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】解：根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，因為點在拋物線上，所以有，解得，所以拋物線的方程是：，故選：B.3．拋物線關(guān)于軸對稱，與直線相交所得的線段長為12，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【答案】【解析】：設(shè)拋物線方程為，將坐標(biāo)代入方程，解得，則拋物線方程為.4．設(shè)拋物線上的點與焦點的距離為4，點到軸的距離為，則點的坐標(biāo)為【答案】或【解析】易知點，將點的坐標(biāo)代入拋物線方程，解得，故或.5．在平面直角坐標(biāo)系中，點到直線：的距離比到點的距離大2.（1）求點的軌跡的方程；（2）請指出曲線的對稱性，頂點和范圍，并運(yùn)用其方程說明理由.【答案】（1）；（2）曲線