高二-2019人教A版-數(shù)學(xué)-第八章《樣本相關(guān)系數(shù)》 課件

高二—2019人教A版—數(shù)學(xué)—第八章

8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)

在對人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如下表所示，表中每個(gè)編號(hào)下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對同一個(gè)體的觀測結(jié)果，它們構(gòu)成了成對數(shù)據(jù).

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系呢？編號(hào)1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2編號(hào)891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6知識(shí)回顧由散點(diǎn)圖可知，人體的脂肪含量與年齡之間呈正相關(guān)關(guān)系，這種相關(guān)性是強(qiáng)還是弱呢？散點(diǎn)圖雖然直觀,但無法確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度,也就無法量化兩個(gè)變量之間相關(guān)程度的大小。能否像引入平均值、方差等數(shù)字特征對單個(gè)變量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析那樣，引入一個(gè)適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”，對成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢?新課講授問題1：在必修課程中，是如何定義一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差？一、知識(shí)建構(gòu)：探求刻畫相關(guān)關(guān)系程度的數(shù)字特征對象疊加平均去除量綱的影響平移構(gòu)造1.將成對樣本數(shù)據(jù)平移成對樣本數(shù)據(jù)平移后的成對樣本數(shù)據(jù)編號(hào)1234567891011121314平均值年齡232739414549505354565758606148.1脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.627.3編號(hào)1234567891011121314平均值年齡-25.1-21.1-9.1-7.1-3.10.91.94.95.97.98.99.911.912.90.0脂肪-17.8-9.5-6.1-1.40.2-1.00.92.32.94.13.56.27.97.30.0問題：觀察以上散點(diǎn)圖，散點(diǎn)的分布有什么規(guī)律？大多數(shù)散點(diǎn)分布在第一、第三象限，大多數(shù)散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)同號(hào).顯然，這樣的規(guī)律是由人體脂肪含量與年齡正相關(guān)所決定的.一般地，如果變量x和y正相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在第一、第三象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)同號(hào)的居多，如圖(1)所示;如果變量x和y負(fù)相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點(diǎn)將分布在第二、第四象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)異號(hào)的居多，如圖(2)所示.思考：根據(jù)以上分析，類比標(biāo)準(zhǔn)差的定義過程，你能利用正相關(guān)變量和負(fù)相關(guān)變量的成對樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律，構(gòu)造一個(gè)度量成對樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的數(shù)字特征嗎？2.疊加平均一般情形下，表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，表明成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)。思考：你認(rèn)為，的大小一定能度量出成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎？因?yàn)榈拇笮∨c數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不宜直接用它度量成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時(shí)，如果體重的單位不變，把身高的單位由米改為厘米3.“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對樣本數(shù)據(jù)再構(gòu)造平移標(biāo)準(zhǔn)化平均疊加（均值為0，方差為1）定義：樣本相關(guān)系數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本相關(guān)系數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本相關(guān)系數(shù)的定義比較樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本相關(guān)系數(shù)對象疊加平均標(biāo)準(zhǔn)化平移構(gòu)造二、知識(shí)建構(gòu)：探求樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍樣本相關(guān)系數(shù)r是一個(gè)描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負(fù)性和絕對值的大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征.當(dāng)r>0時(shí)，稱成對數(shù)據(jù)正相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變小;當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大.當(dāng)r<0時(shí)，稱成對數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大;當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變小。樣本相關(guān)系數(shù)r的大小與成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？為此，我們先考察一下r的取值范圍.二、知識(shí)建構(gòu)：探求樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍定義：n維向量的數(shù)量積

思考：觀察r的結(jié)構(gòu)，聯(lián)系二維向量、三維向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，你有什么發(fā)現(xiàn)？從向量的角度如何理解樣本相關(guān)系數(shù)從向量的角度如何理解樣本相關(guān)系數(shù)思考：當(dāng)|r|=1時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)之間具有怎樣的關(guān)系呢？小結(jié)：關(guān)于樣本相關(guān)系數(shù)，我們應(yīng)該知道的：樣本總體抽樣成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性計(jì)算分析解釋對于簡單隨機(jī)樣本而言，樣本具有隨機(jī)性，因此樣本相關(guān)系數(shù)r也具有隨機(jī)性.一般地，樣本容量越大，用樣本相關(guān)系數(shù)估計(jì)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的效果越好.三、總體相關(guān)系數(shù)與樣本相關(guān)系數(shù)的關(guān)系例1：根據(jù)下表中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖，判斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)判斷年齡和脂肪的相關(guān)程度和變化趨勢的異同？四、知識(shí)運(yùn)用——回歸情境問題編號(hào)1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2編號(hào)891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6解：先畫出散點(diǎn)圖，如下圖所示：觀察散點(diǎn)圖，可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線附近，由此推斷脂肪含量和年齡線性相關(guān)。由樣本相關(guān)系數(shù),可以推斷脂肪含量和年齡這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)。脂肪含量與年齡變化趨勢相同。例2：有人收集了某城市居民年收入(即所有居民在一年內(nèi)收人的總和)與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù)，如下表所示.畫出散點(diǎn)圖，判斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)判斷居民年收入與A商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢的異同.解:畫出成對樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖(如上圖).從散點(diǎn)圖看，A商品銷售額與居民年收人的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系.由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.95.由此可以推斷，A商品銷售額與居民年收人正線性相關(guān)，即A商品銷售額與居民年收人有相同的變化趨勢，且相關(guān)程度很強(qiáng).課堂練習(xí)1.由簡單隨機(jī)抽樣得到的成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)是否一定能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系?為什么?答.樣本相關(guān)系數(shù)可以反映變量之間相關(guān)的正負(fù)性及線性相關(guān)的程度，但由于樣本數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，樣本相關(guān)系數(shù)往往不能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系。

一般來說，樣本量越大，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)推斷變量之間相關(guān)的正負(fù)性及線性相關(guān)的程度越可靠，而樣本量越小則越不可靠。

一個(gè)極端的情況是，無論兩個(gè)變量之間是什么關(guān)系，如果樣本量取2,則計(jì)算可得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值都是1(在樣本相關(guān)系數(shù)存在的情況下)，顯然據(jù)此推斷兩個(gè)變量完全線性相關(guān)是不合理的。課堂練習(xí)2.已知變量x和變量y的3對隨機(jī)觀測數(shù)據(jù)(2，2)，(3，-1)，(5，-7)，計(jì)算兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù).能據(jù)此推出這兩個(gè)變量幾乎處處線性相關(guān)嗎?為什么?雖然樣本相關(guān)系數(shù)為-1,三個(gè)樣本點(diǎn)在一條直線上，但是由于樣本量太小，據(jù)此推斷兩個(gè)變量完全線性相關(guān)并不可靠.課堂練習(xí)3.畫出下列成對數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù).據(jù)此，請你談?wù)剺颖鞠嚓P(guān)系數(shù)在刻畫兩個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系上的特點(diǎn).(-2，-3)，(-1，-1)，(0，1)，(1，3)，(2，5)，(3，7);(2)(0，0)，(1，1)，(2，4)，(3，9)，(4，16);(3)(-2，-8)，(-1，-1)，(0，0)，(1,1)，(2，8)，(3,27);(4)(2，0)，(1，)，(0，2)，(-1，)，(-2,0).從散點(diǎn)圖看，以上各組成對樣本數(shù)據(jù)都表現(xiàn)出很強(qiáng)的相關(guān)性.但從樣本相關(guān)系數(shù)看，差別很大，(1)中線性相關(guān)的成對數(shù)據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)最大，(4)中對稱性的數(shù)據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)最小，其他介于二者之間。可見，樣本相關(guān)系數(shù)主要刻畫的是成對樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)的程度.課堂練習(xí)4.隨機(jī)抽取7家超市，得到其廣告支出與銷售額數(shù)據(jù)如下:請判斷超市的銷售額與廣告支出之間的相關(guān)關(guān)系的類型、相關(guān)程度和變化趨勢的特征.4.解：先畫銷售額與廣告支出的散點(diǎn)圖，如圖所示.從散點(diǎn)分布可以看出銷售額與廣告支出正相關(guān).