數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1。設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為（)A。B.C.D。2答案：C解析：設(shè)底面邊長(zhǎng)為x,則表面積S=x2+V(x>0），S′=(x3-4V）,令S′=0，得唯一極值點(diǎn)x=。2。在半徑為r的半圓內(nèi)作一內(nèi)接梯形，使其底為直徑,其他三邊為圓的弦，則梯形面積最大時(shí)，其梯形的上底長(zhǎng)為…()A。B.rC.rD。r答案：D解析：設(shè)梯形的上底長(zhǎng)為2x，高為h，面積為S.∵h(yuǎn)=，∴S=·=(r+x）·.∴令S′===.令S′=0，得x=，h=r,當(dāng)x∈（0，）時(shí),S′〉0；當(dāng)〈x<r時(shí)，S′〈0.∴當(dāng)x=時(shí)，S取極大值，當(dāng)梯形的上底長(zhǎng)為r時(shí)，它的面積最大.3。有一長(zhǎng)為16米的籬笆，要圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則此矩形場(chǎng)地的最大面積為___________。解析:設(shè)矩形長(zhǎng)為x，則寬為8—x，矩形面積S=x（8—x）（x>0)，令S′=8—2x=0，得x=4。此時(shí)S最大=42=16m2答案：1610分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1.用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊形折起,就能焊成鐵盒。當(dāng)所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為()A.6B.8C.10答案：B解析:設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm,鐵盒的容積為Vcm3,由題意,得V=x(48-2x)2(0〈x<24),V′=12（24—x）(8-x）.令V′=0,則在（0,24）內(nèi)有x=8，故當(dāng)x=8時(shí)，V有最大值。2.函數(shù)y=的值域?yàn)開_____________。解析：f′（x）=。令f′(x）=0,得x=，又定義域?yàn)閇-1,1］，且f（±1)=0,f()=.答案：[0,]3。某工廠需要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁.當(dāng)砌壁所用的材料最省時(shí)，堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為______________.解析:要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長(zhǎng)度最短，如下圖所示，設(shè)場(chǎng)地寬為x米，則長(zhǎng)為米,因此新墻總長(zhǎng)度L=2x+（x>0）,則L′=2—。令L′=0，得x=±16.∵x〉0，∴x=16。當(dāng)x=16時(shí)，L極小值=Lmin=64,∴堆料場(chǎng)的長(zhǎng)為=32米.答案:32米,16米4.如圖所示,水渠橫斷面為等腰梯形。(1)若渠中流水的橫斷面積為S,水面的高為h，當(dāng)水渠側(cè)邊的傾斜角Φ為多大時(shí)，才能使橫斷面被水浸濕的周長(zhǎng)為最?。浚?）若被水浸濕的水渠側(cè)邊和水渠底面邊長(zhǎng)都等于a，當(dāng)水渠側(cè)邊傾斜角Φ多大時(shí),水流的橫斷面積為最大?解：（1）依題意,側(cè)邊BC=h·（sinΦ）-1，設(shè)下底AB=x，則上底CD=x+2hcotΦ.又S=（2x+2hcotΦ)h=（x+hcotΦ）h,∴下底x=-hcotΦ.∴橫斷面被水浸濕周長(zhǎng)l=+(—hcotΦ)=(0〈Φ<）?！鄉(xiāng)′Φ=.令l′Φ=0，解得cosΦ=,∴Φ=.根據(jù)實(shí)際問題的意義，當(dāng)Φ=時(shí),水渠橫斷面被水浸濕的周長(zhǎng)最小。（2)設(shè)水渠高為h,水流橫斷面積為S，則S=(a+a+2acosΦ）·h=（2a+2acosΦ）·asinΦ=a2（1+cosΦ）·sinΦ(0〈Φ〈）.∴S′=a2［—sin2Φ+（1+cosΦ)cosΦ］=a2（2cosΦ—1)(cosΦ+1）.令S′=0,得cosΦ=或cosΦ=-1(舍),故在(0，）內(nèi),當(dāng)Φ=時(shí)，水流橫斷面積最大，最大值為S=a2(1+cos）sin=a2.30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1。函數(shù)f（x）=x3-3x（|x｜<1)()A.有最大值,但無(wú)最小值B。有最大值，也有最小值C。無(wú)最大值，也無(wú)最小值D。無(wú)最大值,但有最小值答案:C2.以長(zhǎng)為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為（)A.10B.15C.25D.50答案:C解析：如下圖，設(shè)∠NOB=θ，則矩形面積S=5sinθ·2·5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin2θ。故Smax=25.3.已知函數(shù)f(x）=x3+3ax2+3(a+2)x+1有極大值又有極小值,則a的取值范圍是______________.解析:f′（x)=3x2+6ax+3(a+2)，則f′（x)=0有兩個(gè)不等的實(shí)根,從而Δ=36a2—36(a+2)>0，解之得a〈—1或a〉2。答案:(-∞，—1）∪(2,+∞)4.函數(shù)y=sin2x-x，x∈［，]的最大值是______________,最小值是______________.答案：-5.將一段長(zhǎng)為100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成圓，一段彎成正方形，問如何截能使正方形與圓面積之和最小，并求出最小面積。解：設(shè)彎成圓的一段長(zhǎng)為x,另一段長(zhǎng)為100—x,設(shè)正方形與圓的面積之和為S,則S=π（）2+()2(0＜x＜100),所以S′=（100—x）.令S′=0，得x=.由于在（0，100)內(nèi)函數(shù)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，故當(dāng)x=時(shí)S最小，此時(shí)S=。所以截成圓的一段鐵絲長(zhǎng)為時(shí)，可使正方形與圓的面積之和最小，最小值為。6。如圖，一艘漁船停泊在距岸9km的A處,今需派人送信給距漁船334km處的海岸漁站C，若送信人步行速度為每小時(shí)5km，船速為每小時(shí)4km,問在何處上岸,可以使抵站的時(shí)間最省？〔參考導(dǎo)數(shù)公式［］′=·f′(x)〕解：設(shè)上岸點(diǎn)為D,BD=x，BC==15，AD=,所用時(shí)間t（x)=，∴t′(x）=·=0.解得x=12.∴15-x=15-12=3km?！嗌习饵c(diǎn)在距漁站3km處。7.如圖，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起,做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器.當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為多少時(shí)，其容積最大？解：設(shè)被切去的全等四邊形的一邊長(zhǎng)為x,如題圖,則正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1-2x，高為x，∴正六棱柱的體積V=6×（1-2x)2×x(0<x〈)，化簡(jiǎn)得V=(4x3-4x2+x）.又V′=(12x2—8x+1）,由V′=0,得x=或x=.∵當(dāng)x∈（0，）時(shí),V′〉0，V是增函數(shù);當(dāng)x∈（，)時(shí),V′<0，V是減函數(shù)，∴當(dāng)x=時(shí)，V有最大值，此時(shí)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為.8。某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí),可全部租出，當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛,租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元,未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.（1)當(dāng)每輛車的月租定為3600元時(shí),能租出多少輛車？（2)每輛車的月租金定為多少元時(shí),租賃公司的月收益最大？最大月收益為多少？解:（1)當(dāng)每輛車的月租金