函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)課教案

函數(shù)的單調(diào)性----說(shuō)課稿教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：（1）從形與數(shù)兩方面理解單調(diào)性的概念（2）初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法（3）通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，提高觀察、歸納、抽象的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力；通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明，提高推理論證能力過(guò)程與方法：（1）通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法（2）經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括，自主建構(gòu)單調(diào)性概念的過(guò)程，體會(huì)從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程。情感態(tài)度價(jià)值觀：通過(guò)知識(shí)的探究過(guò)程培養(yǎng)細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣；領(lǐng)會(huì)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去觀察分析事物的方法教學(xué)重難點(diǎn)分析重點(diǎn)：理解函數(shù)單調(diào)性的實(shí)質(zhì)，明確單調(diào)性是一個(gè)局部概念難點(diǎn)：運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)過(guò)程為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，設(shè)計(jì)本節(jié)為創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；證法探究，應(yīng)用定義；小結(jié)評(píng)價(jià)，作業(yè)創(chuàng)新讓學(xué)生能夠充分經(jīng)歷單調(diào)性概念的形成過(guò)程，經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括，自主建構(gòu)單調(diào)性概念的過(guò)程，本節(jié)課設(shè)置了前三個(gè)環(huán)節(jié)。后兩個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，是為了使學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性認(rèn)識(shí)的再次深化。（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課情境創(chuàng)設(shè)，從學(xué)生熟知的一次函數(shù)和二次函數(shù)入手，從初中對(duì)函數(shù)增減性的認(rèn)識(shí)過(guò)渡到對(duì)函數(shù)單調(diào)性的直觀感受。提出問(wèn)題1：分別作出函數(shù)y=x，二次函數(shù)y=2x，y=-2x和y=x2的圖象，并且觀察函數(shù)變化規(guī)律？

首先引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)一次函數(shù)圖象，獲得信息：第一個(gè)圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個(gè)圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小。然后讓學(xué)生明確，對(duì)于自變量變化時(shí)，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱(chēng)為增函數(shù)和減函數(shù).

二次函數(shù)的增減性要分段說(shuō)明，進(jìn)而提出問(wèn)題：二次函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？進(jìn)一步討論得出：增減性是函數(shù)的局部性質(zhì)。提出問(wèn)題2：能否用自己的理解說(shuō)說(shuō)什么是增函數(shù)，什么是減函數(shù)？結(jié)合增減性是局部性質(zhì)，學(xué)生會(huì)用直觀描述回答：在一個(gè)區(qū)間里，y隨x增大而增大，則是增函數(shù)；y隨x增大而減小就是減函數(shù)。（二）初步探索，概念形成提出問(wèn)題三：如圖是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？，如何用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述函數(shù)的單調(diào)性？這是本節(jié)課的難點(diǎn)，因此我將概念形成設(shè)置了三個(gè)階段1.提問(wèn)學(xué)生什么是“隨著”經(jīng)討論得出，隨著是由于當(dāng)x取一定的值時(shí)，y有確定值與之對(duì)應(yīng)，因此x變化時(shí)，y會(huì)根據(jù)法則隨著x發(fā)生變化2.如何刻畫(huà)“增大”？要表示大小關(guān)系，學(xué)生會(huì)想到取點(diǎn)，比大小，學(xué)生也許會(huì)用特殊點(diǎn)說(shuō)明問(wèn)題，比如x取2、3，2<3，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是5<10提出質(zhì)疑：這個(gè)點(diǎn)的變化能否說(shuō)明y隨著x增大而增大，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，進(jìn)入第三階段，對(duì)“任取”的理解。3.對(duì)“任取”的理解針對(duì)特殊值，學(xué)生可能會(huì)舉反例證明其是不充分的，那么應(yīng)該如何取值呢？學(xué)生可能會(huì)多取一些，也可能會(huì)想到將取值區(qū)間任意小，進(jìn)一步討論得出“任取”二字。

用對(duì)隨著的理解再次深化函數(shù)概念，用對(duì)增大的理解得到要表示大小關(guān)系，最后再?gòu)?qiáng)調(diào)取值的任意性，這樣就實(shí)現(xiàn)了從“圖形語(yǔ)言”到“文字語(yǔ)言”到“符號(hào)語(yǔ)言”的過(guò)渡，實(shí)現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換，形成了單調(diào)性的定義。得到定義后，再提出如何得到f(x1)<f(x2)，求差法比較大小，為后面的證明和判斷掃清障礙。（三）概念深化，延伸拓展通過(guò)上面的問(wèn)題，學(xué)生已經(jīng)從描述性語(yǔ)言過(guò)渡到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言。而對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)生還缺乏準(zhǔn)確理解，因此在這里通過(guò)問(wèn)題深入研討加深學(xué)生對(duì)單調(diào)性概念的理解。提出問(wèn)題：能否說(shuō)在它的定義域上是減函數(shù)？從這個(gè)例子能得到什么結(jié)論？學(xué)生思考、討論，提出自己觀點(diǎn)學(xué)生可能會(huì)提出反例，如x1=-1，x2=1進(jìn)一步得出結(jié)論：函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增（減）函數(shù)，函數(shù)在A∪B上不一定是增（減）函數(shù)（四）證法探究，應(yīng)用定義

提出例2、畫(huà)出函數(shù)的圖像，判斷它的單調(diào)性，并加以證明。

根據(jù)圖象進(jìn)行判斷，體會(huì)判斷可轉(zhuǎn)化成證明。本環(huán)節(jié)是對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的準(zhǔn)確應(yīng)用，本題采用前面出現(xiàn)過(guò)的函數(shù)，一方面希望學(xué)生體會(huì)到函數(shù)圖象和數(shù)學(xué)語(yǔ)言從不同角度刻畫(huà)概念，另一方面避免學(xué)生遇到障礙，而是把注意力都集中在單調(diào)性定義的應(yīng)用上。學(xué)生根據(jù)單調(diào)性定義進(jìn)行證明，教師在黑板上書(shū)寫(xiě)證明步驟，再引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)證明步驟。

課標(biāo)中指出“形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一，但不能僅限于形式化的表達(dá)。高中課程強(qiáng)調(diào)返璞歸真”因此本題不再?gòu)淖C明角度，而是讓學(xué)生再次從定義出發(fā)，尋求方法，并體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。

拓展提高、函數(shù)在上是增加的。（五）小結(jié)評(píng)價(jià)，作業(yè)創(chuàng)新從知識(shí)、方法兩個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)。學(xué)生回顧函數(shù)單調(diào)性定義的探究過(guò)程；證明、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟；數(shù)學(xué)思想方法。小結(jié)過(guò)程使學(xué)生對(duì)單調(diào)性概念的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程有清晰的認(rèn)識(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)概念形成的主要三個(gè)階段：直觀感受、文字描述和嚴(yán)格定義。作業(yè)的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了分層，既鞏固了基礎(chǔ)，又給了學(xué)生充足的思考空間。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，預(yù)計(jì)學(xué)生能理解單調(diào)性的定義，絕大多數(shù)學(xué)生能按照單調(diào)性的證明步驟進(jìn)行證明，能判斷函數(shù)的單調(diào)性，本節(jié)課的評(píng)價(jià)方式為課堂反饋、教師評(píng)價(jià)、學(xué)生自評(píng)相結(jié)合。在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，我有一些新的嘗試，在教學(xué)過(guò)程中，創(chuàng)設(shè)一個(gè)探索的學(xué)習(xí)環(huán)境，通過(guò)設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題，使概念得到形成和深化，學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與發(fā)展過(guò)程，從而逐步把握概念的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，深入理解概念。在情境設(shè)置中，嚴(yán)格按照課標(biāo)要求以二次函數(shù)y=x2+1為例，經(jīng)歷畫(huà)圖、描述圖象、找單調(diào)區(qū)間、形成單調(diào)性定義、證明其單調(diào)性的過(guò)程，將學(xué)生對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)從感性上升到理性，并將定義進(jìn)行應(yīng)用?！逗瘮?shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計(jì)課題函數(shù)的單調(diào)性學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段高中年級(jí)高一相關(guān)領(lǐng)域函數(shù)教材北師大版高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的單調(diào)性》

教學(xué)目標(biāo)(含重、難點(diǎn))知識(shí)與技能：（1）從形與數(shù)兩方面理解單調(diào)性的概念（2）絕大多數(shù)學(xué)生初步學(xué)會(huì)利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法過(guò)程與方法：（1）通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，提高觀察、歸納、抽象的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力；通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明，提高推理論證能力（2）通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想方法（3）經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括，自主建構(gòu)單調(diào)性概念的過(guò)程，體會(huì)從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程情感態(tài)度價(jià)值觀：通過(guò)知識(shí)的探究過(guò)程養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣；感受用辯證的觀點(diǎn)思考問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念形成和初步運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念形成5.教學(xué)過(guò)程環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境

引入新課

問(wèn)題1：分別作出函數(shù)y=2x，y=-2x和y=x2+1的圖象，并且觀察函數(shù)變化規(guī)律？

描述完前兩個(gè)圖象后，明確這兩種變化規(guī)律分別稱(chēng)為增函數(shù)和減函數(shù)。

二次函數(shù)的增減性要分段說(shuō)明提出問(wèn)題：二次函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)？

問(wèn)題二：能否用自己的理解說(shuō)說(shuō)什么是增函數(shù)，什么是減函數(shù)？

觀察圖象，利用初中的函數(shù)增減性質(zhì)進(jìn)行描述學(xué)生會(huì)指出：y=2x的圖象自變量x在實(shí)數(shù)集變化時(shí)，y隨x增大而增大

y=-2x的圖象自變量x在實(shí)數(shù)集變化時(shí)，y隨x增大而減小

y=x2+1在（-∞，0]上y隨x增大而減小，在（0，+∞）上y隨x增大而增大

學(xué)生可能回答：既是增函數(shù)又是減函數(shù)或有時(shí)增函數(shù)有時(shí)減函數(shù)討論得出：?jiǎn)握{(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)

結(jié)合單調(diào)性是局部性質(zhì)，用直觀描述回答：在一個(gè)區(qū)間里，y隨x增大而增大，則是增函數(shù)；y隨x增大而減小就是減函數(shù)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出“通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù)理解函數(shù)的單調(diào)性”，因此在本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)上，從學(xué)生熟知的一次函數(shù)和二次函數(shù)入手，從初中對(duì)函數(shù)增減性的認(rèn)識(shí)過(guò)渡到對(duì)函數(shù)單調(diào)性的直觀感受。

通過(guò)一次函數(shù)認(rèn)識(shí)單調(diào)性，再通過(guò)二次函數(shù)認(rèn)識(shí)單調(diào)性是局部性質(zhì)，進(jìn)而完善感性認(rèn)識(shí)。

初步探索

概念形成

分三步：提問(wèn)學(xué)生什么是“隨著”如何刻畫(huà)“增大”？

對(duì)“任取”的理解

進(jìn)而得到增（減）函數(shù)的定義

進(jìn)一步提問(wèn):如何判斷f(x1)<f(x2)得到求差法后提出記△x=x2-x1△y=f(x2)-f(x1)=y2-y1

回歸函數(shù)定義解釋

要表示大小關(guān)系，學(xué)生會(huì)想到取點(diǎn)，比大小

討論應(yīng)該如何取值。學(xué)生可能會(huì)提到多取一些，也可能會(huì)想到將取值區(qū)間任意小，進(jìn)一步討論得出“任取”二字。通過(guò)啟發(fā)式提問(wèn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生從“圖形語(yǔ)言”到“文字語(yǔ)言”到“符號(hào)語(yǔ)言”認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性，實(shí)現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換。另外，在此強(qiáng)調(diào)“任意性”的理解，從而達(dá)到突破難點(diǎn)，突出重點(diǎn)的目的。

在此還提出求差法比較大小，為后面的證明和判斷掃清障礙環(huán)節(jié)教師活動(dòng)例1、如圖是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)y=f(x)的圖像，根據(jù)圖像說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。變式鞏固、說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指明在該區(qū)間上的單調(diào)性．學(xué)生活動(dòng)根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性。設(shè)計(jì)意圖實(shí)現(xiàn)學(xué)生從“圖形語(yǔ)言”到“文字語(yǔ)言”到“符號(hào)語(yǔ)言”認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性，實(shí)現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換。另外，在此強(qiáng)調(diào)“任意性”的理解，從而達(dá)到突破難點(diǎn)，突出重點(diǎn)的目的。證法探究

應(yīng)用定義

例2、畫(huà)出函數(shù)的圖像，判斷它的單調(diào)性，并加以證明。證明：作出函數(shù)f（x）=3x+2的圖像，由圖看出，函數(shù)的圖象在R上是上升的，函數(shù)是R上的增函數(shù)。下面證明：任取X1,、X2∈R且X1<X2則，X1-X2<0所以：f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)<0即f(x1)<f(x2)拓展提高、函數(shù)在上是增加的。證明：任取X1,、X2∈〔0，+∞),且X1<X2，則f(x1)-f(x2)=2x14-2x24=2(x14-x24)=2(x1-x2)(x1+x2)(x12+x22)∵0≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2>0,x12+x22>0∴f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)由函數(shù)的單調(diào)性定義可知，函數(shù)f(x)=2x4在〔0，+∞)上是增加的。例2、根據(jù)單調(diào)性定義進(jìn)行證明討論，規(guī)范步驟

設(shè)元

作差

變形

斷號(hào)

定論

根據(jù)定義進(jìn)行判斷體會(huì)判斷可轉(zhuǎn)化成證明

課后思考

本環(huán)節(jié)是對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的準(zhǔn)確應(yīng)用，本題采用前面出現(xiàn)過(guò)的函數(shù)，一方面希望學(xué)生體會(huì)到函數(shù)圖象和數(shù)學(xué)語(yǔ)言從不同角度刻畫(huà)概念，另一方面避免學(xué)生遇到障礙，而是把注意力都集中在單調(diào)性定義的應(yīng)用上。

課標(biāo)中指出“形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一，但不能僅限于形式化的表達(dá)。高中課程強(qiáng)調(diào)返璞歸真”因此本題不再?gòu)淖C明角度，而是讓學(xué)生再次從定義出發(fā)，尋求方法，并體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。小結(jié)評(píng)價(jià)作業(yè)創(chuàng)新從知識(shí)、方法兩個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié).

練習(xí)：課本P38練習(xí)、2課后作業(yè)：課本P38習(xí)題2-3A組2（3）、（4）,4

回顧函數(shù)單調(diào)性定義的探究過(guò)程；證明、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟；數(shù)學(xué)思想方法

完成課堂反饋

使學(xué)生對(duì)單調(diào)性概念的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程有清晰的認(rèn)識(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)概念形成的主要三個(gè)階段：直觀感受、文字描述和嚴(yán)格定義

作業(yè)實(shí)現(xiàn)分層，滿(mǎn)足學(xué)生需求《函數(shù)的單調(diào)性》課后反思在教學(xué)《函數(shù)的單調(diào)性》時(shí),教學(xué)過(guò)程是這樣的:教師引導(dǎo)學(xué)生觀察一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等的圖像后給出了函數(shù)的單調(diào)性等概念,然后組織學(xué)生根據(jù)圖像找出單調(diào)區(qū)間,運(yùn)用概念對(duì)一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性做出判斷,緊接著在這節(jié)課上又把函數(shù)的四則運(yùn)算的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行滲透.本節(jié)課是一節(jié)概念課．函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)是利用解析的方法來(lái)研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，如何將圖形特征用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)是本節(jié)課的難點(diǎn)之一．另一難點(diǎn)是學(xué)生在高中階段第一次接觸代數(shù)證明，如何進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證并完成規(guī)范的書(shū)面表達(dá)．圍繞以上兩個(gè)難點(diǎn)，在本節(jié)課的處理上，我著重注意了以下幾個(gè)問(wèn)題：1、重視學(xué)生的親身體驗(yàn)．具體體現(xiàn)在兩個(gè)方面：①將新知識(shí)與學(xué)生的已有知識(shí)建立了聯(lián)系．如：學(xué)生對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的認(rèn)識(shí)，學(xué)生對(duì)“y隨x的增大而增大”的理解；②運(yùn)用新知識(shí)嘗試解決新問(wèn)題．如：對(duì)函數(shù)在定義域上的單調(diào)性的討論．2、重視學(xué)生發(fā)現(xiàn)的過(guò)程．如：充分暴露學(xué)生將函數(shù)圖象（形）的特征轉(zhuǎn)化為函數(shù)值（數(shù)）的特征的思維過(guò)程；充分暴露在正、反兩個(gè)方面探討活動(dòng)中，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)升華、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程．3、重視學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐過(guò)程．通過(guò)對(duì)定義的解讀、鞏固，讓學(xué)生動(dòng)手去實(shí)踐運(yùn)用定義．4、重視課堂問(wèn)題的設(shè)計(jì)．通過(guò)對(duì)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題．

從教的角度評(píng)析這節(jié)課很到位,但從學(xué)的視角去評(píng)價(jià)就會(huì)發(fā)現(xiàn):教師為了營(yíng)造輕松愉快的課堂氣氛,注重了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng),但過(guò)于心切,總想盡快地“直奔主題”把主要內(nèi)容教授給學(xué)生后進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練;而讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐，然后通過(guò)探討等得出概念的過(guò)程卻在師生間的簡(jiǎn)單問(wèn)答中滑過(guò),學(xué)生的思維情緒始終處于壓抑狀態(tài),使得教學(xué)無(wú)法