新高考數(shù)學二輪復習強化練習思想01 函數(shù)與方程思想（講）（原卷版）

第三篇思想方法篇思想01函數(shù)與方程思想（講）考向速覽方法技巧典例分析1.函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)思想是用運動和變化的觀點分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系,是對函數(shù)概念的本質認識,建立函數(shù)關系或構造函數(shù),運用函數(shù)的圖象和性質去分析問題、轉化問題,從而使問題獲得解決的思想方法.(2)方程思想就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系,建立方程或方程組,或者構造方程,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質去分析、轉化問題,使問題獲得解決的思想方法.(3)函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉化的，是相輔相成的．函數(shù)思想重在對問題進行動態(tài)的研究，方程思想則是在動中求靜，研究運動中的等量關系.方程思想與函數(shù)思想密切相關:方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標;函數(shù)y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通過方程進行研究;方程f(x)=a有解,當且僅當a屬于函數(shù)f(x)的值域.函數(shù)與方程的這種相互轉化關系十分重要.2.高考把函數(shù)與方程思想作為思想方法的重點來考查,特別是在有關函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、平面向量、立體幾何等題目中.高考使用客觀題考查函數(shù)與方程思想的基本運算,而在主觀題中,則從更深的層次,在知識網(wǎng)絡的交匯處,從思想方法與相關能力相結合的角度深入考查.3.常見方法：（1）運用函數(shù)相關概念的本質解題在理解函數(shù)的定義域、值域、性質等本質的基礎上，主動、準確地運用它們解答問題．常見問題有：求函數(shù)的定義域、解析式、最值，研究函數(shù)的性質．（2）利用函數(shù)性質求解方程問題函數(shù)與方程相互聯(lián)系，借助函數(shù)的性質可以解決方程解的個數(shù)及參數(shù)取值范圍的問題．（3）構造函數(shù)解決一些數(shù)學問題在一些數(shù)學問題的研究中，可以通過建立函數(shù)關系式，把要研究的問題轉化為函數(shù)的性質，達到化繁為簡，化難為易的效果.01函數(shù)與方程思想在方程、不等式中的應用【核心提示】1.函數(shù)與不等式的相互轉化，對函數(shù)y＝f(x)，當y>0時，就化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)的圖象和性質可解決有關問題，而研究函數(shù)的性質也離不開不等式．2.含參不等式恒成立與存在性問題函數(shù)(方程)法是指通過構造函數(shù)，把恒成立問題與轉化為函數(shù)的值域問題，從而得到關于參數(shù)的方程的方法．破解此類題的關鍵點：①靈活轉化：（1）“關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恒成立”轉化為“SKIPIF1<0”；“關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恒成立”轉化為“SKIPIF1<0”；（2）“關于存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立”轉化為“SKIPIF1<0”；“關于存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立”轉化為“SKIPIF1<0”；②求函數(shù)值域，利用函數(shù)的單調性、導數(shù)、圖象等求函數(shù)的值域；③得出結論，列出參數(shù)SKIPIF1<0所滿足的方程，通過解方程，求出SKIPIF1<0的值．【典例分析】典例1.（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0，若對任意SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例2.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例3.【多選題】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考一模）下列不等式成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<002函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應用【核心提示】數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題，常涉及最值問題或參數(shù)范圍問題，一般利用二次函數(shù)；等差數(shù)列或等比數(shù)列的基本量的計算一般化歸為方程(組)來解決.【典例分析】典例4.（2022·全國·高二課時練習）設數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，其前n項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若對任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0的值是（）A．10 B．20 C．30 D．40典例5.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）記正項數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.若不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是__________.典例6.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設SKIPIF1<0是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（2）記SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n項和．證明：SKIPIF1<0．03函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應用【核心提示】1.解析幾何中求斜率、截距、半徑、點的坐標、離心率等幾何量經(jīng)常要用到方程(組)的思想；直線與圓錐曲線的位置關系問題，可以通過轉化為一元二次方程，利用判別式進行解決；求變量的取值范圍和最值問題常轉化為求函數(shù)的值域、最值，用函數(shù)的思想分析解答.2.直線與圓錐曲線的綜合問題，通常借助根的判別式和根與系數(shù)的關系進行求解，這是方程思想在解析幾何中的重要應用．解析幾何問題的方程(函數(shù))法可以拓展解決解析幾何問題的思維，通過代數(shù)運算、方程判定等解決解析幾何中的位置關系、參數(shù)取值等問題．【典例分析】典例7.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設B是橢圓SKIPIF1<0的上頂點，點P在C上，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2典例8.（2023春·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學?？奸_學考試）卵圓是常見的一類曲線，已知一個卵圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標原點，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為卵圓上任意一點，則下列說法中正確的是________.①卵圓SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱②卵圓上不存在兩點關于直線SKIPIF1<0對稱③線段SKIPIF1<0長度的取值范圍是SKIPIF1<0④SKIPIF1<0的面積最大值為SKIPIF1<0典例9.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0上點的距離的最小值為SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的兩條切線，SKIPIF1<0是切點，求SKIPIF1<0面積的最大值．04函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應用【核心提示】立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決．【典例分析】典例10.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例11.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例12.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）在四面體ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若四面體ABCD的體積為SKIPIF1<0，則四面體ABCD外接球的表面積的最小值為______．05函數(shù)與方程思想在平面向量中的應用【核心提示】1.平面向量問題的函數(shù)(方程)法是把平面向量問題，通過模、數(shù)量積等轉化為關于相應參數(shù)的函數(shù)(方程)問題，從而利用相關知識結合函數(shù)或方程思想來處理有關參數(shù)值問題．破解此類題的關鍵點：①向量代數(shù)化，利用平面向量中的模、數(shù)量積等結合向量的位置關系、數(shù)量積公式等進行代數(shù)化，得到含有參數(shù)的函數(shù)(方程)；②代數(shù)函數(shù)(方程)化，利用函數(shù)(方程)思想，結合相應的函數(shù)(方程)的性質求解問題；③得出結論，根據(jù)條件建立相應的關系式，并得到對應的結論．2.平面向量中含函數(shù)(方程)的相關知識，對平面向量的模進行平方處理，把模問題轉化為數(shù)量積問題，再利用函數(shù)與方程思想來分析與處理，這是解決此類問題一種比較常見的思維方式．【典例分析】典例13.（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．P為SKIPIF1<0所在平面內的動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例14.【多選題】（2023·全國·模擬預測）如圖1是一款家居裝飾物——博古架，它始見于北宋宮廷、官邸.博古架是類似于書架式的木器，其每層形狀不規(guī)則，前后均敞開，無板壁封擋，便于從各個位置觀賞架上放置的器物.某博古架的部分示意圖如圖2中實線所示，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，則下列結論正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．設Z為線段AK上任意一點，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0典例15.（2023秋·天津南開·高三南開中學?？茧A段練習）如圖，在邊長為1的正方形SKIPIF1<0中，P是對角線SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________，若點M為線段SKIPIF1<0（含端點）上的動點，則SKIPIF1<0的最小值為__________．06函數(shù)與方程思想在概率統(tǒng)計中的應用【核心提示】利用概率知識解決實際問題，尤其是生產(chǎn)和經(jīng)營問題，其實與一般的應用題在本質上沒有什么不同，只是因為個別因素由確定變量變成不確定變量，從而導致結果的不確定性，所以才需要作決策優(yōu)化，拋開概率的煙霧彈，其實題目反映的都是最簡單的公式（比如利潤=收入—成本），所以面對復雜題目要學會審題，還是要回歸常識.【典例分析】典例16.（2023春·山西晉城·高三?？茧A段練習）已知小李每天在上班路上都要經(jīng)過甲、乙兩個路口，且他在甲、乙兩個路口遇到紅燈的概率分別為SKIPIF1<0.記小李在星期一到星期五這5天每天上班路上在甲路口遇到紅燈個數(shù)之和為SKIPIF1<0，在甲、乙這兩個路口遇到紅燈個數(shù)之和為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的最大值為SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0典例17.（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）在概率論中常用散度描述兩個概率分布的差異.若離散型隨機變量SKIPIF1<0的取值集合均為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的散度SKIPIF