新高考數(shù)學二輪復習強化練習專題15 幾何體與球切、接、截的問題（講）（解析版）

第一篇熱點、難點突破篇專題15幾何體與球切、接、截的問題（講）真題體驗感悟高考1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為SKIPIF1<0（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為SKIPIF1<0的球，其上點A的緯度是指SKIPIF1<0與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為SKIPIF1<0，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為SKIPIF1<0（單位：SKIPIF1<0），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：SKIPIF1<0.故選：C.2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0的球面上的三個點，⊙SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓，若⊙SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由已知可得等邊SKIPIF1<0的外接圓半徑，進而求出其邊長，得出SKIPIF1<0的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)圓SKIPIF1<0半徑為SKIPIF1<0，球的半徑為SKIPIF1<0，依題意，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為等邊三角形，由正弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)球的截面性質(zhì)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的表面積SKIPIF1<0.故選：A3.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】方法一：先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為SKIPIF1<0，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當該四棱錐的體積最大時其高的值.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為SKIPIF1<0又設(shè)四棱錐的高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時等號成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為SKIPIF1<0，底面所在圓的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以該四棱錐的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立)所以該四棱錐的體積最大時，其高SKIPIF1<0.故選：C．[方法三]：利用導數(shù)求最值由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設(shè)底面邊長為SKIPIF1<0，底面所在圓的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以該四棱錐的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，單調(diào)遞減，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大，此時SKIPIF1<0．故選：C.【整體點評】方法一：思維嚴謹，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡便，是通性通法．總結(jié)規(guī)律預測考向（一）規(guī)律與預測（1）以幾何體的結(jié)構(gòu)特征為基礎(chǔ)，考查幾何體的面積體積計算為主，題型基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下；也有幾何體的面積或體積在解答題中與平行關(guān)系、垂直關(guān)系等相結(jié)合考查的情況.（2）與立體幾何相關(guān)的“數(shù)學文化”、實際問題等相結(jié)合，考查數(shù)學應用.（3）幾何體的表面積與體積是主要命題形式.有時作為解答題的一個構(gòu)成部分考查幾何體的表面積與體積，有時結(jié)合面積、體積的計算考查等積變換等轉(zhuǎn)化思想．幾何體與球的切、接、截問題，往往是知識考查的載體.（4）以選擇題、填空題的形式考查線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理，對命題的真假進行判斷，屬于基礎(chǔ)題.空間中的平行、垂直關(guān)系的證明也是高考必考內(nèi)容，多出現(xiàn)在立體幾何解答題中的第（1）問，第（2）問則考查幾何體面積、體積的計算.（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一空間幾何體的外接球【核心知識】(1)長方體的外接球直徑等于長方體的體對角線長．(2)三棱錐S－ABC的外接球球心O的確定方法：先找到△ABC的外心O1，然后找到過O1的平面ABC的垂線l，在l上找點O，使OS＝OA，點O即為三棱錐S－ABC的外接球的球心．(3)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則SKIPIF1<0；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則SKIPIF1<0.(4)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則SKIPIF1<0.(5)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.【典例分析】典例1.（2022·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知SKIPIF1<0均在球SKIPIF1<0的球面上運動，且滿足SKIPIF1<0，若三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為6，則球SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】當點SKIPIF1<0位于垂直于面SKIPIF1<0的直徑端點時，三棱錐SKIPIF1<0的體積最大,等體積法即可解決.【詳解】如圖所示，當點SKIPIF1<0位于垂直于面SKIPIF1<0的直徑端點時，三棱錐SKIPIF1<0的體積最大，設(shè)球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，故選:C.典例2.（2022秋·河南·高三信陽高中校聯(lián)考期末）如圖，已知長方體SKIPIF1<0的體積為16，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)已知線面關(guān)系，判斷三棱錐SKIPIF1<0的外接球球心的位置并計算出求得半徑，從而得外接球的表面積即可.【詳解】解：方法一：設(shè)SKIPIF1<0，則由長方體的體積公式，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由題可知，四邊形SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0外接圓的圓心為AD的中點，記為點M，如下圖：又SKIPIF1<0是直角三角形，同理SKIPIF1<0外接圓的圓心為AC的中點，記為點N，過點M，N分別作平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的垂線，兩條垂線的交點為AC的中點N，所以三棱雉SKIPIF1<0的外接球的球心是AC的中點N.又SKIPIF1<0，所以外接球半徑SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：C.方法二：設(shè)SKIPIF1<0，則由長方體的體積公式，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由題意得，四邊形SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.如圖，將三棱錐SKIPIF1<0補充為正四棱柱SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球，即為正四棱柱SKIPIF1<0的外接球，AC為外接球的直徑.所以外接球的半徑SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：C.典例3.（2022·四川資陽·統(tǒng)考二模）已知O是邊長為3的正三角形ABC的中心，點P是平面ABC外一點，SKIPIF1<0平面ABC，二面角SKIPIF1<0的大小為60°，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意分析可得二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，進而可得相關(guān)長度，再結(jié)合球的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，可得球的半徑，即可得結(jié)果.【詳解】∵O是正三角形ABC的中心，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，由正三角形ABC的邊長為3，則SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0為正三棱錐，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，設(shè)三棱錐SKIPIF1<0的外接球的半徑為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點睛】結(jié)論點睛：球的相關(guān)性質(zhì)：①球的截面均為圓面；②球心與截面圓心的連線垂直于該截面.【規(guī)律方法】1.空間幾何體的外接球是高中數(shù)學的重難點．我們可以通過對幾何體的割補或?qū)で髱缀误w外接球的球心兩大策略求解此類問題．2.關(guān)鍵在于利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球的球心，利用球的截面的性質(zhì)，球心和球的截面的中心連線垂直于截面．結(jié)合相關(guān)幾何量之間的數(shù)量關(guān)系可確定球心．考向二空間幾何體的內(nèi)切球【核心知識】1．確定錐體內(nèi)切球球心的方法（1）內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等.（2）正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.（3）正棱錐的內(nèi)切球和外接球的球心都在高線上，但不一定重合.2.多面體的內(nèi)切球可利用等積法求半徑．【典例分析】典例4.（2022秋·四川巴中·高三南江中學?？茧A段練習）一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為SKIPIF1<0的半圓，則此圓錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由側(cè)面展開圖的半圓弧長等于圓錐底面圓周長可構(gòu)造方程求得圓錐底面半徑，由此可確定圓錐軸截面為正三角形，求得正三角形內(nèi)切圓半徑即為所求內(nèi)切球半徑，代入球的表面積公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0圓錐的軸截面是邊長為SKIPIF1<0的正三角形，SKIPIF1<0此正三角形內(nèi)切圓的半徑為SKIPIF1<0，即圓錐內(nèi)切球半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圓錐內(nèi)切球的表面積SKIPIF1<0.故選：C.典例5.（2022秋·山東·高三利津縣高級中學校聯(lián)考階段練習）已知三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若該三棱柱存在體積為SKIPIF1<0的內(nèi)切球，則三棱錐SKIPIF1<0體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4【答案】D【分析】由已知條件可證得三棱錐為底面是直角三角形的直三棱柱，根據(jù)三棱柱內(nèi)切球的體積可計算得三棱柱的高，設(shè)底面直角三角形的邊長，則可列關(guān)系式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可找到直角三角形的兩邊長，用體積轉(zhuǎn)換的方法求得體積.【詳解】如圖所示，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，又因為三棱錐內(nèi)切球的體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，棱柱的高等于內(nèi)切球直徑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0.故選：D典例6.（2022秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知圓臺上底面半徑為1，下底面半徑為3，球與圓臺的兩個底面和側(cè)面均相切，則該圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】作圖，找出圖中的幾何關(guān)系，求出母線長和球的半徑即可.【詳解】上圖是該幾何圖形的正視圖，由切線長定理可知：SKIPIF1<0，設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑R，母線長為l，球的半徑為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，過點D作BC的垂線，垂直是G，則有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為SKIPIF1<0；故選：D．【總結(jié)提升】空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與幾何體的位置和數(shù)量關(guān)系．(2)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(3)補成正方體、長方體、正四面體、正棱柱、圓柱等規(guī)則幾何體.考向三幾何體與球切、接、截綜合問題【核心知識】正四面體與球常用的結(jié)論設(shè)正四面體的棱長為ａ，則（1）正四面體的高為SKIPIF1<0.（2）正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心均是正四面體的中心，半徑分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【典例分析】典例7.（多選題）（2022秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬.已知四棱錐SKIPIF1<0SKIPIF1<0為陽馬，底面SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，其中兩條側(cè)棱長都為3，則（

）A．該陽馬的體積為SKIPIF1<0 B．該陽馬的表面積為SKIPIF1<0C．該陽馬外接球的半徑為SKIPIF1<0 D．該陽馬內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根據(jù)相等的兩條棱，求出四棱錐的高，可得其體積和表面積；然后再分析發(fā)現(xiàn)其外接球球心為SKIPIF1<0中點，內(nèi)切球的大圓半徑其實是SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑.【詳解】如圖，不妨SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩互相垂直，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0由對稱性：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0A對；SKIPIF1<0B對；SKIPIF1<0都是以SKIPIF1<0為斜邊的直角三角形，所以SKIPIF1<0都在以SKIPIF1<0為直徑的球上，SKIPIF1<0C錯；分析易知：內(nèi)切球的大圓半徑其實是SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑，根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式可得：SKIPIF1<0D對；故選：ABD【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.典例8.（2022·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）在三棱錐SKIPIF1<0中，AB=BC=AC=SKIPIF1<0，AP=PB=PC=1，則以點P為球心，以SKIPIF1<0為半徑的球被平面ABC截得的圖像的面積為___________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】求出SKIPIF1<0點到平面SKIPIF1<0的距離，由勾股定理可得截面圓半徑，從而得面積．【詳解】由題意三棱錐SKIPIF1<0是正三棱錐，設(shè)SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0的中心，如圖，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0截球得截面圓，設(shè)其半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，圓面積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．典例9.（2023·全國·高三專題練習）棱長為1的正方體SKIPIF1<0的8個頂點都在球SKIPIF1<0的表面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球的截面面積的最小值為_________【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】先求得外接球的半徑，利用勾股定理求得截面面積最小的圓的半徑，進而求得截面面積的最小值.【詳解】因為正方體內(nèi)接于球，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過球心SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大圓的截面圖如圖所示，則直線被球截得的線段為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．所以所求經(jīng)過SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的平面截球SKIPIF1<0所得的截面的面積的最小值是：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0典例10.（2022·廣西·統(tǒng)考一模）已知棱長為8的正方體SKIPIF1<0中，點E為棱BC上一點，滿足SKIPIF1<0，以點E為球心，SKIPIF1<0為半徑的球面與對角面SKIPIF1<0的交線長為___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，確定SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓的一部分，計算得到答案.【詳解】如圖所示：過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為球面與對角面SKIPIF1<0的交線上一點，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓的一部分，如圖所示：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，交線長為：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0典例11.（2022秋·四川綿陽·高三綿陽中學校考階段練習）如圖為某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，它的表面是由正三角形和正方形組成，設(shè)被截正方體的棱長為2a，若球О以該幾何體的中心為球心，且與正三角形表面相切，則該球被其中一個正方形表面截得的截面面積為__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由題意，建立空間直角坐標系，根據(jù)球的性質(zhì)，求得半徑，利用勾股定理，結(jié)合圓的面積計算公式，可得答案.【詳解】如圖建系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四面體OABM為正四面體，O到平面ABM距離SKIPIF1<0，易知球心SKIPIF1<0到正方形SKIPIF1<0所在平面的距離為SKIPIF1<0，球被正方體ABCD截得的圓為圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.典例12.（2022秋·湖北·高三湖北省紅安縣第一中學校聯(lián)考階段練習）球體在工業(yè)領(lǐng)域有廣泛的應用，某零件由兩個球體構(gòu)成，球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0表面上兩動點，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點.半徑為2的球SKIPIF1<0