2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6.2直線與平面垂直習(xí)題含解析新人教A版必修第二冊

.6.2直線與平面垂直課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.若空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩對角線AC,BD的關(guān)系是()A.垂直且相交 B.相交但不肯定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交解析取BD的中點(diǎn)O,連接AO,CO,則BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC異面,故選C.答案C2.△ABC所在的平面為α,直線l⊥AB,l⊥AC,直線m⊥BC,m⊥AC,則直線l,m的位置關(guān)系是()A.相交 B.異面 C.平行 D.不確定解析因?yàn)閘⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可證,m⊥平面ABC,所以l∥m,故選C.答案C3.(多選題)如圖,在以下四個正方體中,直線AB與平面CDE垂直的是()解析對于A,由AB與CE所成角為45°,可得直線AB與平面CDE不垂直;對于B,由AB⊥CE,AB⊥ED,CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE;對于C,由AB與CE所成角為60°,可得直線AB與平面CDE不垂直;對于D,連接AC,由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB,同理可得EC⊥AB,又ED∩EC=E,所以AB⊥平面CDE.答案BD4.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,則PC與平面ABCD所成角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°解析如圖,連接AC.∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC與平面ABCD所成的角.∵AC=,PA=,∴tan∠PCA=.∴∠PCA=60°.答案C5.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱AB,BC的中點(diǎn),O是底面ABCD的中心,則EF與平面BB1O的位置關(guān)系是.(填“平行”或“垂直”)

解析∵底面ABCD為正方形,∴AC⊥BO.∵BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥BB1.又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.∵EF是△ABC的中位線,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.答案垂直6.如圖,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,則直線BC'與平面ABB'A'所成角的正弦值為.

解析如圖所示,取A'B'的中點(diǎn)D,連接C'D,BD.∵底面△A'B'C'是正三角形,∴C'D⊥A'B'.∵AA'⊥底面ABC,∴A'A⊥C'D.又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥側(cè)面ABB'A',故∠C'BD是直線BC'與平面ABB'A'所成角.等邊三角形A'B'C'的邊長為1,C'D=,在Rt△BB'C'中,BC'=,故直線BC'與平面ABB'A'所成角的正弦值為.答案7.在三棱錐V-ABC中,當(dāng)三條側(cè)棱VA,VB,VC之間滿意條件時(shí),有VC⊥AB.(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)

解析只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.答案VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保證VC⊥AB即可)8.如圖,∠ACB=90°,平面ABC外有一點(diǎn)P,PC=4cm,點(diǎn)P到角的兩邊AC,BC的距離都等于2cm,則PC與平面ABC所成角的大小為.

解析過P作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O,連接CO,則CO為∠ABC的平分線,且∠PCO為PC與平面ABC所成的角,設(shè)其為θ,連接OF,易知△CFO為直角三角形.又PC=4,PF=2,∴CF=2,∴CO=2,在Rt△PCO中,cosθ=,∴θ=45°.答案45°9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分別是AD,PC的中點(diǎn).證明:PC⊥BE.證明如圖,連接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn),所以EF⊥PC.又因?yàn)锽P==2=BC,F是PC的中點(diǎn),所以BF⊥PC.又因?yàn)锽F∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.因?yàn)锽E?平面BEF,所以PC⊥BE.10.如圖,在棱長均為1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn).(1)求證:AD⊥平面BCC1B1;(2)求直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)證明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中點(diǎn),∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,∴AD⊥平面BCC1B1.(2)解連接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,則∠AC1D即為直線AC1與平面BCC1B1所成角.在Rt△AC1D中,AD=,AC1=,sin∠AC1D=,即直線AC1與平面BCC1B1所成角的正弦值為.實(shí)力提升練1.(多選題)如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論正確的是()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為60°解析由于BD∥B1D1,BD?平面CB1D1,B1D1?平面CB1D1,則BD∥平面CB1D1,所以A正確;因?yàn)锽D⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,所以B正確;可以證明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正確;由于AD∥BC,則∠BCB1=45°是異面直線AD與CB1所成的角,所以D錯誤.答案ABC2.(多選題)(2024江蘇高二期末)在正三棱錐A-BCD中,側(cè)棱長為3,底面邊長為2,E,F分別為棱AB,CD的中點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是()A.EF與AD所成角的正切值為B.EF與AD所成角的正切值為C.AB與面ACD所成角的余弦值為D.AB與面ACD所成角的余弦值為解析設(shè)AC中點(diǎn)為G,BC的中點(diǎn)為H,連接EG,FG,AH,DH.因?yàn)锳E=BE,AG=GC,CF=DF,所以EG∥BC,FG∥AD.所以∠EFG就是直線EF與AD所成的角.在三角形EFG中,EG=1,FG=,由于三棱錐A-BCD是正三棱錐,BC⊥DH,BC⊥AH,又因?yàn)锳H,HD?平面ADH,AH∩DH=H,所以BC⊥平面ADH.因?yàn)锳D?平面ADH,所以BC⊥AD,所以EG⊥FG,所以tan∠EFG=,所以A錯誤,B正確.過點(diǎn)B作BO垂直AF,垂足為O.因?yàn)镃D⊥BF,CD⊥AF,BF∩AF=F,BF,AF?平面ABF,所以CD⊥平面ABF.因?yàn)锽O?平面ABF,所以CD⊥BO.因?yàn)锽O⊥AF,AF∩CD=F,AF,CD?平面ACD,所以BO⊥平面ACD.所以∠BAO就是AB與平面ACD所成角.由題得BF=,AF=2,AB=3,所以cos∠BAO=,所以C正確,D錯誤.答案BC3.(2024全國高一課時(shí)練習(xí))如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列結(jié)論:①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1與底面ABCD所成角的正切值是;④AD1與BD為異面直線.其中正確結(jié)論的序號是.

解析①因?yàn)锳C∩平面CB1D1=C,所以AC與平面CB1D1不平行,故①錯誤;②連接BC1,A1C1,圖略.易證AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,因?yàn)锽1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故②正確;③因?yàn)镃C1⊥底面ABCD,所以∠C1AC是AC1與底面ABCD所成的角,所以tan∠C1AC=,故③正確;④AD1與BD既無交點(diǎn)也不平行,所以AD1與BD為異面直線,故④正確.答案②③④4.已知四棱錐P-ABCD,PA⊥PB,PA=PB=,AD⊥平面PAB,BC∥AD,BC=3AD,直線CD與平面PAB所成角的大小為,M是線段AB的中點(diǎn).(1)求證:CD⊥平面PDM;(2)求點(diǎn)M到平面PCD的距離.(1)證明∵AD⊥平面PAB,PM?平面PAB,∴AD⊥PM.∵PA=PB=,M是線段AB的中點(diǎn),∴PM⊥AB,又AD∩AB=A,AD?平面ABCD,AB?平面ABCD,∴PM⊥平面ABCD,又CD?平面ABCD,∴PM⊥CD.取CB上點(diǎn)E,使得CE=CB,連接AE,∴AD∥CE且AD=CE,∴四邊形AECD為平行四邊形,∴CD∥AE,∴直線CD與平面PAB所成角的大小等于直線AE與平面PAB所成角的大小,又AD⊥平面PAB,BC∥AD,∴BC⊥平面PAB,∴∠EAB為直線AE與平面PAB所成的角,∴∠EAB=,∴BE=AB.∵PA=PB=,PA⊥PB,∴AB=2=BE,∴AD=1,BC=3,CD=2,∴DM=,CM=,∴DM2+DC2=CM2,∴CD⊥DM.∵DM∩PM=M,DM,PM?平面PDM,∴CD⊥平面PDM.(2)解由(1)可知CD⊥平面PDM,∴△CDM和△CDP均為直角三角形,又PD=,設(shè)點(diǎn)M到平面PCD的距離為d,則VP-CDM=VM-PCD,即CD·DM·PM=CD·DP·d,化簡得DM·PM=DP·d,解得d=,∴點(diǎn)M到平面PCD的距離為.素養(yǎng)培優(yōu)練1.(2024江西南城一中高三期末)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,動點(diǎn)E在線段A1C1上,F,M分別是AD,CD的中點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的是.

①FM與BC1所成角為45°;②BM⊥平面CC1F;③存在點(diǎn)E,使得平面BEF∥平面CC1D1D;④三棱錐B-CFE的體積為定值.解析連接A1B,BC1,圖略.對于①,∵F,M分別為AD,CD的中點(diǎn),∴FM∥AC,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1=CC1,則四邊形AA1C1C為平行四邊形,∴AC∥A1C1,∴異面直線FM與BC1所成的角為∠A1C1B,在△A1C1B中,A1C1=A1B=BC1,所以△A1C1B為等邊三角形,則∠A1C1B=60°,故①錯誤;對于②,∵BC=CD,CM=DF,∠BCM=∠CDF,∴△BCM≌△CDF,∴∠BMC+∠DCF=90°,∴BM⊥CF,又因?yàn)镃C1⊥平面ABCD,且BM?平面ABCD,所以CC1⊥BM,因?yàn)镃F∩CC1=C,所以BM⊥平面CC1F,故②正確;對于③,若平面BEF∥平面CC1D1D,因?yàn)槠矫鍯C1D1D∥平面AA1B1B,所以平面BEF∥平面AA1B1B,但平面BEF與平面AA1B1B有公共點(diǎn)B,故③錯誤;對于④,VB-CFE=VE-BCF=S△BCF·AA1=BC·AB·AA1=(定值),故④正確.答案②④2.(2024陜西高三二模)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,E為A1C1的中點(diǎn),CE⊥AC1.(1)證明:CE⊥平面AB1C1;(2)若C1E=,AA1=,AB=2BC,求點(diǎn)E到平面AB1C的距離.(1)證明∵CC1⊥平面A1B1C1,B1C1?平面A1B1C1,∴CC1⊥B1C1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC,B1C1∥BC,AC⊥BC,則A1C1⊥B1C1.又A1C1?平面AA1C1C,CC1?平面AA1C1C,A1C1∩CC1=C1,∴B1C1⊥平面AA1C1C.又CE?平面AA1C1C,∴B1C1⊥CE.又CE⊥AC1,AC1?平面A