2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第5講橢圓創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE第5講橢圓[考綱解讀]1.駕馭兩種求橢圓方程的方法：定義法、待定系數(shù)法，并能依據(jù)其標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形探討橢圓的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)．(重點(diǎn))2．駕馭直線與橢圓位置關(guān)系的推斷，并能求解直線與橢圓相關(guān)的綜合問(wèn)題．(難點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來(lái)看，本講為高考的必考內(nèi)容．預(yù)料2024年將會(huì)考查：①橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解；②直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用；③求解與橢圓性質(zhì)相關(guān)的問(wèn)題．試題以解答題的形式呈現(xiàn)，敏捷多變、技巧性強(qiáng)，具有肯定的區(qū)分度，試題中等偏難.1.橢圓的定義(1)定義：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的eq\o(□,\s\up1(01))和等于eq\o(□,\s\up1(02))常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫橢圓．這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做eq\o(□,\s\up1(03))焦距．(2)集合語(yǔ)言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝eq\o(□,\s\up1(04))2a，且2aeq\o(□,\s\up1(05))>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c為常數(shù)．注：當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，軌跡為線段F1F2；當(dāng)22．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸，y軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b,0)，B2(b,0)軸線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長(zhǎng)軸和短軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a焦距|F1F2|＝離心率e＝eq\f(c,a)且e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b23．直線與橢圓位置關(guān)系的推斷直線與橢圓方程聯(lián)立方程組，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(這里的系數(shù)A肯定不為0)，設(shè)其判別式為Δ：(1)Δ>0?直線與橢圓eq\o(□,\s\up1(01))相交；(2)Δ＝0?直線與橢圓eq\o(□,\s\up1(02))相切；(3)Δ<0?直線與橢圓eq\o(□,\s\up1(03))相離．4．弦長(zhǎng)公式(1)若直線y＝kx＋b與橢圓相交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\o(□,\s\up1(01))eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\o(□,\s\up1(02))eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.(2)焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)：最短的焦點(diǎn)弦為通徑長(zhǎng)eq\o(□,\s\up1(03))eq\f(2b2,a)，最長(zhǎng)為eq\o(□,\s\up1(04))2a.5．必記結(jié)論(1)設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上隨意一點(diǎn)P(x，y)，則當(dāng)x＝0時(shí)，|OP|有最小值b，P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處；當(dāng)x＝±a時(shí)，|OP|有最大值a，P點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)處．(2)已知過(guò)焦點(diǎn)F1的弦AB，則△ABF2的周長(zhǎng)為4a1．概念辨析(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲線是橢圓．()(3)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長(zhǎng)為2a＋2c(其中a(4)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小題熱身(1)橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的離心率是()A.eq\f(\r(13),3) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,9)答案B解析由已知得a＝3，b＝2，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).(2)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為6，且兩焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,32)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1答案B解析由題意，得eq\f(2c,2a)＝eq\f(1,3)，2a＝6，解得a＝3，c＝1，則b＝eq\r(32－12)＝eq\r(8)，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.故選B.(3)若方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓，則m的取值范圍是________．答案2<m<6且m≠4解析方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))解得2<m<6且m≠4.(4)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿意eq\r(x2＋y＋72)＋eq\r(x2＋y－72)＝16，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______．答案eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,15)＝1解析由已知得點(diǎn)P到點(diǎn)A(0，－7)和B(0,7)的距離之和為16，且16>|AB|，所以點(diǎn)P的軌跡是以A(0，－7)，B(0,7)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為16的橢圓．明顯a＝8，c＝7，故b2＝a2－c2＝15，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,15)＝1.題型一橢圓的定義及應(yīng)用1．過(guò)橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左焦點(diǎn)F1作直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓右焦點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)為()A．8 B．4eq\r(2)C．4 D．2eq\r(2)答案A解析因?yàn)闄E圓為eq\f(x2,4)＋y2＝1，所以橢圓的半長(zhǎng)軸a＝2，由橢圓的定義可得AF1＋AF2＝2a＝4，且BF1＋BF2＝2a＝4，所以△ABF2的周長(zhǎng)為AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是橢圓eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)，B(0，－1)，則|PA|＋|PB|的最大值為()A．5 B．4C．3 D．2答案A解析如圖，∵橢圓eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為B(0，－1)和B′(0,1)，連接PB′，AB′，依據(jù)橢圓的定義，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋(|PA|－|PB′|)．∵|PA|－|PB′|≤|AB′|，∴|PA|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AB′的延長(zhǎng)線上時(shí)，等號(hào)成立．綜上所述，可得|PA|＋|PB|的最大值為5.3．(2024·九江模擬)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F2的面積為()A．7 B.eq\f(7,4)C.eq\f(7,2) D.eq\f(7\r(5),2)答案C解析由題意，得a＝3，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(2)，|AF1|＋|AF2|＝6.∴|AF2|＝6－|AF1|.在△AF1F2中，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|·cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，解得|AF1|＝eq\f(7,2)，∴△AF1F2的面積S＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7,2).利用定義解焦點(diǎn)三角形問(wèn)題及求最值的方法解焦點(diǎn)三角形問(wèn)題利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積．解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a求最值抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a1．如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)肯定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．圓答案A解析由題意得|PF|＝|MP|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|MP|＝|MO|>|OF|，即點(diǎn)P到兩定點(diǎn)O，F(xiàn)的距離之和為常數(shù)(圓的半徑)，且此常數(shù)大于兩定點(diǎn)的距離，所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓．2．(2024·安徽皖江模擬)已知F1，F(xiàn)2是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則△PF1F2面積的最大值為_(kāi)_______．答案2解析解法一：∵△PF1F2的面積為eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sin∠F1PF2≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝eq\f(1,2)a2.又2a＝4，∴a2＝4，∴△PF1F2面積的最大值為2.解法二：由題意可知2a＝4，解得a＝2.當(dāng)P點(diǎn)到F1F2距離最大時(shí)，S△PF1FS△PF1F2＝eq\f(1,2)·2c·b＝bc.又a2＝b2＋c2＝4，∴bc≤eq\f(b2＋c2,2)＝2，∴當(dāng)b＝c＝eq\r(2)時(shí)，△PF1F2面積最大，為2.題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程角度1定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，B是圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2＝4(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______．答案x2＋eq\f(y2,\f(3,4))＝1解析如圖，由題意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，a＝1，c＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(3,4).所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋eq\f(y2,\f(3,4))＝1.角度2待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，則橢圓方程為_(kāi)_______．答案eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1解析設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)m＋\f(25,4)n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10)，所以橢圓方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.1．定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)橢圓的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置求出橢圓的方程．見(jiàn)舉例說(shuō)明1.其中常用的關(guān)系有：(1)b2＝a2－c2；(2)橢圓上隨意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和等于2a(3)橢圓上一短軸頂點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離等于實(shí)半軸長(zhǎng)a.2．待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的四步驟提示：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，可設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)可簡(jiǎn)記為“先定型，再定量”．見(jiàn)舉例說(shuō)明2.1．與圓C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且與圓C2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為_(kāi)_______．答案eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1解析設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，圓心為P(x，y)，則有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2所以點(diǎn)P的軌跡是以C1(－3,0)，C2(3,0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓，點(diǎn)P的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.2．(2024·武漢調(diào)研)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，eq\r(3))是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F2F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為_(kāi)_______．答案eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1解析∵橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，∴可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵P(2，eq\r(3))是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(3,b2)＝1，,2a＝4c，))又a2＝b2＋c2，∴a＝2eq\r(2)，b＝eq\r(6)，c＝eq\r(2)，∴橢圓方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.題型三橢圓的幾何性質(zhì)1．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長(zhǎng)為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為()A．(－3,0) B．(－4,0)C．(－10,0) D．(－5,0)答案D解析由已知得，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，故c＝3，又因?yàn)?b＝8，b＝4，所以a2＝b2＋c2＝16＋9＝25.故a＝5.所以橢圓的左頂點(diǎn)為(－5,0)．2．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B上下兩點(diǎn)，若△ABF2是銳角三角形，則該橢圓的離心率e的取值范圍是()A．(0，eq\r(2)－1) B．(eq\r(2)－1,1)C．(0，eq\r(3)－1) D．(eq\r(3)－1,1)答案B解析∵F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B上下兩點(diǎn)，∴F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(b2,a)))，∵△ABF2是銳角三角形，∴∠AF2F1<45°，∴tan∠AF2F1<1，∴eq\f(\f(b2,a),2c)<1，整理，得b2<2ac，∴a2－c2<2ac，兩邊同時(shí)除以a2，并整理，得e2＋2e－1>0，解得e>eq\r(2)－1或e<－eq\r(2)－1(舍去)，∵0<e<1，∴橢圓的離心率e的取值范圍是(eq\r(2)－1,1)．3．(2024·合肥質(zhì)檢)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq\f(1,2)，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上隨意一點(diǎn)，則eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))的最大值為_(kāi)_______．答案4解析由題意知a＝2，因?yàn)閑＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－eq\r(3)≤y0≤eq\r(3).因?yàn)镕(－1,0)，A(2,0)，eq\o(PF,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq\o(PF,\s\up6(→))·Peq\o(A,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)－x0－2＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)－x0＋1＝eq\f(1,4)(x0－2)2.則當(dāng)x0＝－2時(shí)，eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))取得最大值4.1．利用橢圓幾何性質(zhì)的留意點(diǎn)及技巧(1)留意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系在求與橢圓有關(guān)的一些范圍問(wèn)題時(shí)，常常用到x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系．見(jiàn)舉例說(shuō)明3.(2)利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，理清頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等基本量的內(nèi)在聯(lián)系．見(jiàn)舉例說(shuō)明1.2．求橢圓離心率的方法(1)干脆求出a，c，利用離心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a，b，c之間的關(guān)系求離心率，可以利用變形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．也可以利用b2＝a2－c2消去b，得到關(guān)于a，c的方程或不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式再求解．如舉例說(shuō)明2.(3)由橢圓的定義求離心率．e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)，而2a是橢圓上隨意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和，2c是焦距，從而與焦點(diǎn)三角形聯(lián)系起來(lái)．1．橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，其短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰為邊長(zhǎng)是2的正方形的頂點(diǎn)，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,\r(2))＝1 B.eq\f(x2,2)＋y2＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1答案C解析易知b＝c＝eq\r(2)，故a2＝b2＋c2＝4，從而橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.2．(2024·衡水模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和直線l：eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1，若過(guò)C的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)的直線與l平行，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,5)答案A解析直線l的斜率為－eq\f(3,4)，過(guò)C的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)的直線與l平行，所以eq\f(b,c)＝eq\f(3,4)，又b2＋c2＝a2?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)c))2＋c2＝a2?eq\f(25,16)c2＝a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5).3．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的隨意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值為()A．2 B．3C．6 D．8答案C解析由橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得F(－1,0)，點(diǎn)O(0,0)，設(shè)P(x，y)(－2≤x≤2)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))取得最大值6.題型四直線與橢圓的綜合問(wèn)題角度1直線與橢圓的位置關(guān)系1．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒(méi)有公共點(diǎn)．解將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))將①代入②，整理，得9x2＋8mx＋2m2方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2(1)當(dāng)Δ>0，即－3eq\r(2)<m<3eq\r(2)時(shí)，方程③有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)．(2)當(dāng)Δ＝0，即m＝±3eq\r(2)時(shí)，方程③有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)相互重合的公共點(diǎn)，即直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．(3)當(dāng)Δ<0，即m<－3eq\r(2)或m>3eq\r(2)時(shí)，方程③沒(méi)有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，這時(shí)直線l與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn)．角度2點(diǎn)差法解中點(diǎn)弦問(wèn)題2．焦點(diǎn)是F(0,5eq\r(2))，并截直線y＝2x－1所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是eq\f(2,7)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．答案eq\f(y2,75)＋eq\f(x2,25)＝1解析設(shè)所求的橢圓方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，直線被橢圓所截弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)．由題意，可得弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，且eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2,7)，eq\f(y1＋y2,2)＝－eq\f(3,7).將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),a2)＋\f(x\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(y\o\al(2,2),a2)＋\f(x\o\al(2,2),b2)＝1.))兩式相減并化簡(jiǎn)，得eq\f(a2,b2)＝－eq\f(y1－y2,x1－x2)×eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝－2×eq\f(－\f(6,7),\f(4,7))＝3，所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,75)＋eq\f(x2,25)＝1.角度3弦長(zhǎng)問(wèn)題3．已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x2＋y2＝1，,y＝x＋m，))得5x2＋2mx＋m2－1＝0，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－eq\f(\r(5),2)≤m≤eq\f(\r(5),2).(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(2m,5)，x1x2＝eq\f(1,5)(m2－1)，所以|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(2x1－x22)＝eq\r(2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4m2,25)－\f(4,5)m2－1)))＝eq\f(2,5)eq\r(10－8m2).所以當(dāng)m＝0時(shí)，|AB|最大，即被橢圓截得的弦最長(zhǎng)，此時(shí)直線方程為y＝x.角度4綜合計(jì)算問(wèn)題4．(2024·天津高考)設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為eq\f(\r(5),5).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線PB與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸上，若|ON|＝|OF|(O為原點(diǎn))，且OP⊥MN，求直線PB的斜率．解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，2b＝4，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，又a2＝b2＋c2，可得a＝eq\r(5)，b＝2，c＝1.所以橢圓的方程為eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由題意，設(shè)P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)．設(shè)直線PB的斜率為k(k≠0)，又B(0,2)，則直線PB的方程為y＝kx＋2，與橢圓方程聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得xP＝－eq\f(20k,4＋5k2)，代入y＝kx＋2得yP＝eq\f(8－10k2,4＋5k2)，進(jìn)而直線OP的斜率為eq\f(yP,xP)＝eq\f(4－5k2,－10k).在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－eq\f(2,k).由題意得N(0，－1)，所以直線MN的斜率為－eq\f(k,2).由OP⊥MN，得eq\f(4－5k2,－10k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))＝－1，化簡(jiǎn)得k2＝eq\f(24,5)，從而k＝±eq\f(2\r(30),5).所以直線PB的斜率為eq\f(2\r(30),5)或－eq\f(2\r(30),5).1．直線與橢圓位置關(guān)系的判定方法(1)代數(shù)法聯(lián)立直線與橢圓方程可得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程組的解即為交點(diǎn)坐標(biāo)．見(jiàn)舉例說(shuō)明1.(2)幾何法畫出直線與橢圓的圖象，依據(jù)圖象推斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．2．“點(diǎn)差法”的四步驟處理有關(guān)中點(diǎn)弦及對(duì)應(yīng)直線斜率關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常用“點(diǎn)差法”，步驟如下：3．中點(diǎn)弦的重要結(jié)論AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)．(1)斜率：k＝－eq\f(b2x0,a2y0).見(jiàn)舉例說(shuō)明2.(2)弦AB的斜率與弦中點(diǎn)M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值－eq\f(b2,a2).4．直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式(1)若直線y＝kx＋m與橢圓相交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.見(jiàn)舉例說(shuō)明3.(2)焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)：最短的焦點(diǎn)弦為通徑長(zhǎng)eq\f(2b2,a)，最長(zhǎng)為2a.1．若直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()A．m>1 B．m>0C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5答案D解析直線y＝kx＋1恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，若直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點(diǎn)，則點(diǎn)(0,1)在橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1內(nèi)部或在橢圓上，所以eq\f(1,m)≤1，由方程eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1表示橢圓，則m>0且m≠5，綜上知m的取值范圍是m≥1且m≠5.2．直線y＝x＋m被橢圓2x2＋y2＝2截得的線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(1,6)，則中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案－eq\f(1,3)解析解法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,2x2＋y2＝2，))消去y并整理得3x2＋2mx＋m2－2＝0，設(shè)線段的兩端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(2m,3)，∴－eq\f(2m,3)＝eq\f(1,3)，解得m＝－eq\f(1,2).由截得的線段的中點(diǎn)在直線y＝x－eq\f(1,2)上，得中點(diǎn)的縱坐標(biāo)y＝eq\f(1,6)－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,3).解法二：設(shè)線段的兩端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則2xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝2,2xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)＝2.兩式相減得2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0.把eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1，x1＋x2＝eq\f(1,3)代入上式，得eq\f(y1＋y2,2)＝－eq\f(1,3)，則中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－eq\f(1,3).3．(2024·武威六中模擬)已知直線l：y＝kx＋2與橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1交于A，B兩點(diǎn)，直線l1與直線l2：x＋2y－4＝0交于點(diǎn)M.(1)證明：直線l2與橢圓C相切；(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，且|AB|＝|MN|，求直線l1的方程．解(1)證明：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，,x＋2y－4＝0，))消去x整理得y2－2y＋1＝0，∵Δ＝4－4＝0，∴l(xiāng)2與C相切．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x＋2y－4＝0，))得M的坐標(biāo)為(0,2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，,y＝kx＋2，))消去y整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，因?yàn)橹本€l1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，所以Δ＝(16k)2－32(1＋4k2)＝128k2－32>0，解得k2>eq\f(1,4).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，則x1＋x2＝－eq\f(16k,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(8,1＋4k2)，所以x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(8k,1＋4k2).∵|AB|＝|MN|，即eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)|x0－0|，∴eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝|x0|，即eq\f(8k,1＋4k2)＝eq\f(4\r(2)\r(4k2－1),1＋4k2)，解得k2＝eq\f(1,2)，滿意k2>eq\f(1,4).∴k＝±eq\f(\r(2),2)，∴直線l1的方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x＋2.組基礎(chǔ)關(guān)1．已知橢圓mx2＋3y2－6m＝0的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，則mA．1 B．3C．5 D．8答案C解析由mx2＋3y2－6m＝0，得eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2m)＝1.因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，所以2m＝6＋4，解得m＝5.2．(2024·邯鄲模擬)如圖，某瓷器菜盤的外輪廓線是橢圓，依據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知該橢圓的離心率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2\r(3),5) D.eq\f(2\r(5),5)答案B解析由題2b＝16.4,2a＝20.5，則eq\f(b,a)＝eq\f(4,5)，則離心率e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝eq\f(3,5).3．假如方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－6，－2)B．(3，＋∞)C．(－6，－2)∪(3，＋∞)D．(－6，－3)∪(2，＋∞)答案C解析由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2>a＋6，,a＋6>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－2或a>3，,a>－6，))所以－6<a<－2或a>3.4．過(guò)橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3)C.eq\f(5,4) D.eq\f(10,3)答案B解析由題意知橢圓的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，則直線AB的方程為y＝2x－2.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,y＝2x－2，))解得交點(diǎn)(0，－2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(4,3)))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)·|OF|·|yA－yB|＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2－\f(4,3)))＝eq\f(5,3).故選B.5．如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(－2eq\r(5)，0)為C的左焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，滿意|OP|＝|OF|且|PF|＝4，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,30)＋eq\f(y2,10)＝1C.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,25)＝1答案C解析設(shè)F′為橢圓的右焦點(diǎn)，連接PF′，在△POF中，由余弦定理，得cos∠POF＝eq\f(|OP|2＋|OF|2－|PF|2,2|OP||OF|)＝eq\f(3,5)，則|PF′|＝eq\r(|OP|2＋|OF′|2－2|OP||OF′|cosπ－∠POF)＝8，由橢圓定義，知2a＝4＋8＝12，所以a＝6，又c＝2eq\r(5)，所以b2＝16.故橢圓C的方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1.6．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(－4,1)，則橢圓的離心率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(5),5)答案C解析設(shè)直線x－y＋5＝0與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，因?yàn)锳B的中點(diǎn)M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直線AB的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝1.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))兩式相減得，eq\f(x1＋x2x1－x2,a2)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，于是橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).故選C.7．(2024·成都一診)已知點(diǎn)M(－1,0)和N(1,0)，若某直線上存在點(diǎn)P，使得|PM|＋|PN|＝4，則稱該直線為“橢型直線”，現(xiàn)有下列直線：①x－2y＋6＝0；②x－y＝0；③2x－y＋1＝0；④x＋y－3＝0.其中是“橢型直線”的是()A．①③ B．①②C．②③ D．③④答案C解析由橢圓的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.對(duì)于①，把x－2y＋6＝0代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，整理得2y2－9y＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15<0，知x－2y＋6＝0不是“橢型直線”；對(duì)于②，把y＝x代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，整理得x2＝eq\f(12,7)，所以x－y＝0是“橢型直線”；對(duì)于③，把2x－y＋1＝0代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，整理得19x2＋16x－8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)>0，知2x－y＋1＝0是“橢型直線”；對(duì)于④，把x＋y－3＝0代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，整理得7x2－24x＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24<0，知x＋y－3＝0不是“橢型直線”．故②③是“橢型直線”．8．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為eq\f(\r(5),5)，且過(guò)點(diǎn)P(－5,4)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．答案eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1解析由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由離心率e＝eq\f(\r(5),5)可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故橢圓的方程為eq\f(x2,5c2)＋eq\f(y2,4c2)＝1，將P(－5,4)代入可得c2＝9，故橢圓的方程為eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1.9．已知橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為eq\f(π,4)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的值為_(kāi)_______．答案eq\f(16\r(5),9)解析由題意知，F(xiàn)(1,0)．∵直線l的傾斜角為eq\f(π,4)，∴斜率k＝1.∴直線l的方程為y＝x－1.代入橢圓方程，得9x2－10x－15＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(10,9)，x1x2＝－eq\f(5,3).∴|AB|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,9)))2＋4×\f(5,3))＝eq\f(16\r(5),9).10．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，且PF2垂直于x軸，若直線PF1的斜率為eq\f(\r(3),3)，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______．答案eq\f(\r(3),3)解析因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，且PF2垂直于x軸，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))).又因?yàn)橹本€PF1的斜率為eq\f(\r(3),3)，所以在Rt△PF1F2中，eq\f(PF2,F1F2)＝eq\f(\r(3),3)，即eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(\r(3),3).所以eq\r(3)b2＝2ac.eq\r(3)(a2－c2)＝2ac，eq\r(3)(1－e2)＝2e，整理得eq\r(3)e2＋2e－eq\r(3)＝0，又0<e<1，解得e＝eq\f(\r(3),3).組實(shí)力關(guān)1．過(guò)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的中心隨意作一條直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則△PQF周長(zhǎng)的最小值是()A．14 B．16C．18 D．20答案C解析如圖，設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F2，依據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知|F1Q|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF1的周長(zhǎng)為|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值為橢圓的短軸長(zhǎng)，即點(diǎn)P，Q為橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，△PQF1(或△PQF2)的周長(zhǎng)即△PQF周長(zhǎng)的最小值，為10＋2×2．已知離心率為eq\f(\r(2),2)的橢圓C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的下、上焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l：y＝kx＋1過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)F2，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離是點(diǎn)B到y(tǒng)軸距離的2倍，則k2＝________.答案eq\f(2,7)解析直線l過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即F2為(0,1)，由于eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，a2＝b2＋c2，故a＝eq\r(2)，b＝1，則橢圓C的方程為eq\f(y2,2)＋x2＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y2,2)＋x2＝1，,y＝kx＋1，))得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(－2k,k2＋2)，x1x2＝－eq\f(1,k2＋2)，由點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離是點(diǎn)B到y(tǒng)軸距離的2倍，得x1＝－2x2，代入x1＋x2＝eq\f(－2k,k2＋2)，解得x2＝eq\f(2k,k2＋2)，x1＝－eq\f(4k,k2＋2)，代入x1x2＝－eq\f(1,k2＋2)，解得k2＝eq\f(2,7).3．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案(3，eq\r(15))解析設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，分析可知點(diǎn)M在以F1為圓心，焦距為半徑的圓上，即在圓(x＋4)2＋y2＝64上．因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1上，所以聯(lián)立方程可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋42＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，eq\r(15))．4．(2024·廈門摸底)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(eq\r(3)，0)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，以A為圓心的圓與直線y＝eq\f(b,a)x相交于P，Q兩點(diǎn)，且Aeq\o(P,\s\up6(→))·Aeq\o(Q,\s\up6(→))＝0，Oeq\o(P,\s\up6(→))＝3Oeq\o(Q,\s\up6(→))，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______，圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．答案eq\f(x2,4)＋y2＝1(x－2)2＋y2＝eq\f(8,5)解析如圖，設(shè)T為線段PQ的中點(diǎn)，連接AT，則AT⊥PQ.∵Aeq\o(P,\s\up6(→))·Aeq\o(Q,\s\up6(→))＝0，即AP⊥AQ，∴|AT|＝eq\f(1,2)|PQ|.又Oeq\o(P,\s\up6(→))＝3Oeq\o(Q,\s\up6(→))，∴|OT|＝|PQ|.∴eq\f(|AT|,|OT|)＝eq\f(1,2)，即eq\f(b,a)＝eq\f(1,2).由已知得焦半距c＝eq\r(3)，∴a2＝4，b2＝1，故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.又|AT|2＋|OT|2＝4，∴|AT|2＋4|AT|2＝4，∴|AT|＝eq\f(2\r(5),5)，r＝|AP|＝eq\f(2\r(10),5).∴圓A的方程為(x－2)2＋y2＝eq\f(8,5).5．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，e＝eq\f(1,2)，其中F是橢圓的右焦點(diǎn)，焦距為2，直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(1,4)，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))(其中λ>1)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求實(shí)數(shù)λ的值．解(1)由橢圓的焦距為2，知c＝1，又e＝eq\f(1,2)，∴a＝2，故b2＝a2－c2＝3，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，可知A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)．若直線AB⊥x軸，則x1＝x2＝1，不符合題意；當(dāng)AB所在直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①①的判別式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0.∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(8k2,4k2＋3)，,x1x2＝\f(4k2－12,4k2＋3)，))∴x1＋x2＝eq\f(8k2,4k2＋3)＝2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，∴k2＝eq\f(1,4).將k2＝eq\f(1,4)代入方程①，得4x2－2x－11＝0，解得x＝eq\f(1±3\r(5),4).又eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1－x1，－y1)，eq\