2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章統(tǒng)計與概率5.3.2事件之間的關(guān)系與運算學案含解析新人教B版必修第二冊

PAGE1-5.3.2事務之間的關(guān)系與運算素養(yǎng)目標·定方向課程標準學法解讀1.了解事務的包含與相等的含義及概率關(guān)系．2．理解事務和(并)、積(交)運算的含義及其概率關(guān)系．3．理解事務的互斥與對立關(guān)系，駕馭互斥事務的概率加法公式．4．會進行事務的混合運算．通過本節(jié)課的學習，進一步提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學運算素養(yǎng)．必備學問·探新知學問點事務的包含與相等(1)包含關(guān)系一般地，假如事務A__發(fā)生__時，事務B肯定發(fā)生，則稱“A包含于B”(或“B包含A”)，記作A?B(或B?A)．用圖形表示為：(2)相等關(guān)系假如事務A發(fā)生時，事務B肯定發(fā)生；而且事務B發(fā)生時，事務A也肯定發(fā)生，則稱“__A與B相等__”，記作A＝B．思索：假如兩個事務相等，則這兩個事務的樣本點有什么關(guān)系？提示：假如兩個事務相等，則它們的樣本點完全相同．即：A＝B?A?B且B?A?A與B有相同的樣本點．學問點和事務與積事務(1)事務的和(并)給定事務A，B，由__全部__A中的樣本點與B中的樣本點組成的事務稱為A與B的和(或并)，記作A＋B(或A∪B)．事務A與B的和可以用如圖中的陰影部分表示．(2)事務的積(交)給定事務A，B，由A與B中的__公共樣本點__組成的事務稱為A與B的積(或交)，記作AB(或A∩B)．事務A與事務B的積可以用如圖中的陰影部分表示．思索：“A∩B＝?”的含義是什么？提示：在一次試驗中，事務A、B不行能同時發(fā)生．學問點事務的互斥與對立給定事務A，B，若事務A與B__不能同時__發(fā)生，則稱A與B互斥，記作AB＝?(或A∩B＝?)．互斥事務的概率加法公式：若A與B互斥(即A∩B＝?)，則：P(A＋B)＝__P(A)＋P(B)__．若A∩B為__不行能__事務，A∪B為__必定__事務，那么稱事務A與事務B互為對立事務，其含義是：事務A與事務B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生．事務A的對立事務記為：eq\o(A,\s\up6(－))，則：P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝__1__．關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型事務關(guān)系的推斷┃┃典例剖析__■典例1在擲骰子的試驗中，可以定義很多事務．例如，事務C1＝{出現(xiàn)1點}，事務C2＝{出現(xiàn)2點}，事務C3＝{出現(xiàn)3點}，事務C4＝{出現(xiàn)4點}，事務C5＝{出現(xiàn)5點}，事務C6＝{出現(xiàn)6點}，事務D1＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}，事務D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}，事務D3＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}，事務E＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于7}，事務F＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，事務G＝{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，請依據(jù)上述定義的事務，回答下列問題：(1)請列舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事務；(2)利用和事務的定義，推斷上述哪些事務是和事務．[解析](1)因為事務C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事務D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3．同理可得，事務E包含事務C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F(xiàn)，G；事務D2包含事務C4，C5，C6；事務F包含事務C2，C4，C6；事務G包含事務C1，C3，C5．且易知事務C1與事務D1相等，即C1＝D1．(2)因為事務D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點或出現(xiàn)5點或出現(xiàn)6點}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G．規(guī)律方法：事務間運算方法1．利用事務間運算的定義．列出同一條件下的試驗全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進行事務間的運算．2．利用Venn圖，借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進行運算．┃┃對點訓練__■1．某市體操隊有6名男生，4名女生，現(xiàn)任選3人去參賽，設事務A＝{選出的3人有1名男生，2名女生}，事務B＝{選出的3人有2名男生，1名女生}，事務C＝{選出的3人中至少有1名男生}，事務D＝{選出的3人中既有男生又有女生}．問：(1)事務D與A，B是什么樣的運算關(guān)系？(2)事務C與A的交事務是什么事務？[解析](1)對于事務D，可能的結(jié)果為1名男生2名女生，或2名男生1名女生，故D＝A∪B．(2)對于事務C，可能的結(jié)果為1名男生2名女生，2名男生1名女生，3名男生，故C∩A＝A．題型互斥事務與對立事務的推斷┃┃典例剖析__■典例2從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點數(shù)從1～10各4張)中，任取一張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”．推斷上面給出的每對事務是否為互斥事務，是否為對立事務，并說明理由．[解析](1)是互斥事務，不是對立事務．理由是：從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不行能同時發(fā)生的，所以是互斥事務．同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事務．(2)既是互斥事務，又是對立事務．理由是：從40張撲克牌中，隨意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事務不行能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事務，又是對立事務．(3)不是互斥事務，當然不行能是對立事務．理由是：從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事務可能同時發(fā)生，如抽得牌點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事務，當然不行能是對立事務．規(guī)律方法：互斥事務、對立事務的判定方法(1)利用基本概念①互斥事務不行能同時發(fā)生；②對立事務首先是互斥事務，且必需有一個要發(fā)生．(2)利用集合的觀點來推斷設事務A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A，B．①事務A與B互斥，即集合A∩B＝?；②事務A與B對立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，即A＝?IB或B＝?IA．┃┃對點訓練__■2．從一批產(chǎn)品中取出3件產(chǎn)品，設A＝{3件產(chǎn)品全不是次品}，B＝{3件產(chǎn)品全是次品}，C＝{3件產(chǎn)品不全是次品}，則下列結(jié)論正確的是__①②⑤__(填寫序號)．①A與B互斥；②B與C互斥；③A與C互斥；④A與B對立；⑤B與C對立．[解析]A＝{3件產(chǎn)品全不是次品}，指的是3件產(chǎn)品全是正品，B＝{3件產(chǎn)品全是次品}，C＝{3件產(chǎn)品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3個事務，由此知：A與B是互斥事務，但不對立；A與C是包含關(guān)系，不是互斥事務，更不是對立事務；B與C是互斥事務，也是對立事務．所以正確結(jié)論的序號為①②⑤．題型互斥事務概率加法公式的應用┃┃典例剖析__■典例3某射擊運動員在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.計算這個運動員在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；(2)至少射中7環(huán)的概率．[解析]設運動員射擊一次，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下分別記為A，B，C，D，E，則P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，P(D)＝0.3，P(E)＝0.1．(1)∵A，B互斥，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3，即射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.3．(2)記F＝A＋B＋C＋D，∵E，F(xiàn)對立，∴P(F)＝1－P(E)＝1－0.1＝0.9，即P(A＋B＋C＋D)＝0.9，即至少射中7環(huán)的概率為0.9．規(guī)律方法：(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有當A，B兩事務互斥時才能運用，假如A，B不互斥，就不能應用這一公式．(2)利用對立事務的概率公式求解時，必需精確推斷兩個事務的確是對立事務時才能應用．┃┃對點訓練__■3．甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，求：(1)甲獲勝的概率；(2)甲不輸?shù)母怕剩甗解析](1)“甲獲勝”和“和棋或乙獲勝”是對立事務，所以“甲獲勝”的概率P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)．(2)法一：設事務A為“甲不輸”，可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個互斥事務的并事務，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)．法二：設事務A為“甲不輸”，可看成是“乙獲勝”的對立事務，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).即甲不輸?shù)母怕适莈q\f(2,3)．易錯警示┃┃典例剖析__■典例4拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點、2點、3點、4點、5點、6點的概率都是eq\f(1,6)，記事務A為“出現(xiàn)奇數(shù)”，事務B為“向上的點數(shù)不超過3”，求P(A＋B)．[錯解]設向上的一面出現(xiàn)1點、2點、3點、4點、5點、6點分別記為事務C1，C2，C3，C4，C5，C6，則它們兩兩是互斥事務，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3．P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝P(C4)＝P(C5)＝P(C6)＝eq\f(1,6)．則P(A)＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1)＋P(C3)＋P(C5)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)．P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)．故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1．[辨析]錯解的緣由在于忽視了“事務和”概率公式應用的前提條件，由于“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”與“朝上一面的數(shù)不超過3”這二者不是互斥事務，即出現(xiàn)1或3時，事務A，