高等數(shù)學(xué)第一節(jié)對弧長的曲線積分

高等數(shù)學(xué)第一節(jié)對弧長的曲線積分第一節(jié)對弧長的曲線積分對整體量進行分割、作和、取極限所產(chǎn)生的定積分與重積分已經(jīng)帶來了很大的方便,但是,有些實際問題與理論問題,這兩種積分還解決不了,于是,又引進了曲線積分與曲面積分,它們與前者的基本思想是一致的.本章討論的基本問題是兩類曲線積分與兩類曲面積分,重點是曲線積分與路徑無關(guān)的問題以及Green(格林)公式與Gauss(高斯)公式.一、對弧長的曲線積分的定義

二、對弧長的曲線積分的性質(zhì)三、對弧長的曲線積分的計算四、對弧長的曲線積分的應(yīng)用線密度為連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),利用分割作和、取極限的方法求該構(gòu)件的質(zhì)量.一、對弧長的曲線積分的定義

定義1如果連續(xù)曲線y=f(x)上到處都有切線,當(dāng)切點連續(xù)變動時,切線也連續(xù)轉(zhuǎn)動,就稱此曲線為光滑曲線.設(shè)有一曲線形構(gòu)件,它在xOy平面內(nèi)是一條光滑曲線弧L,見圖9-1.圖9-1在L上取點M1,M2,…,Mn-1,把L分成n小段,在上任意取一點(

i,

i),弧段的長度為

si,記Mi-1MiMi-1Mi

=max{

s1,

s2,

,

sn}則該構(gòu)件的質(zhì)量為圖9-1

定義2設(shè)L為xOy平面內(nèi)的一條光滑曲線,z=f(x,y)為L上的連續(xù)函數(shù),用分點M1,M2,…,Mn-1,把L分成n小段,在存在,則將此極限值稱為函數(shù)f(x,y)在L上對弧長的曲線積分,記為

其中,f(x,y)稱為被積函數(shù),L稱為積分弧段.上任意取一點(

i,

i),

si表示的長度,Mi-1MiMi-1Mi記

=max{

s1,

s2,

,

sn},如果

定理1當(dāng)f(x,y)在光滑曲線或分段光滑曲線弧L上連續(xù)時,對弧長的曲線積分存在.二、對弧長的曲線積分的性質(zhì)

由對弧長的曲線積分的定義可知,定積分的所有性質(zhì)都可以移植過來.性質(zhì)1設(shè)k為常數(shù),則設(shè)下面所涉及的對弧長的曲線積分都存在.性質(zhì)2

性質(zhì)3將L分成L1與L2,則其中L0表示L的長度性質(zhì)4性質(zhì)5f(x,y)

g(x,y),則

性質(zhì)6在L上若設(shè)m

f(x)

M,則其中L0表示L的長度性質(zhì)7當(dāng)f(x,y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時,必有L上某點(

,

),使得三、對弧長的曲線積分的計算

定理2設(shè)f(x,y)在曲線L上連續(xù),L的參數(shù)方程為(

t

)其中

(t),

(t)在[

,

]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且

2(t)+

2(t)

0,則有公式(1)成立.(1)設(shè)下面的函數(shù)和曲線都滿足定理2的條件,則還有如下公式.積分上限要大于下限.

設(shè)L:y=y(x)(a

x

b),則有設(shè)L:r=r(

)(

),則有設(shè)L:x=x(y)(c

y

d),則有設(shè)L:x=

(t),y=

(t),z=

(t)(

t

),則有

定理3設(shè)f(x,y)和L滿足定理2的條件,若f(x,y)=f(x,

y),L關(guān)于軸對稱,L1表示L的位于x軸上方的部分,則有若f(x,y)=

f(x,

y),則例1L是整條星形線解設(shè)L1:x=cos3t,y=sin3t,(0

t

/2),由定理3可知,于是例2求L為圓x2+y2=ax(a>0).解把L寫成極坐標(biāo)形式r=acos

,-

/2

/2利用公式(4),有例3求

為螺旋線:x=acost,y=asint,z=bt,0

t

2

.解利用公式(5),有

為圓周:解直接利用(5)完成,計算量很大,注意到于是例4求原式設(shè)在xOy平面內(nèi)有一條分布著質(zhì)量的光滑曲線弧(或分段光滑曲線弧)L,在點(x,y)處的線密度為連續(xù)函數(shù)f(x,y),利用微元分析法不難推得下面各計算公式.四、對弧長的曲線積分的應(yīng)用質(zhì)量設(shè)重心為則轉(zhuǎn)動慣量如果曲線L是空間曲線,也可以得出類似的公式.式中Ix,Iy,Io分別表示質(zhì)量弧L對于x軸、y軸、原點的轉(zhuǎn)動慣量.下面給出第一型曲線積分的幾何意義.當(dāng)f(x,y)

0時,如果f(x,y)在平面曲線L上連續(xù),L光滑或分段光滑,見圖9-2曲線積分表示柱面的面積A,即圖9-2例5設(shè)有柱面被平面z=y所截,求所截得有限部分的柱面面積.解所求柱面面積為式中L為半橢圓其參數(shù)方程為于是作業(yè)P841、2、3、5每年進入夏季，由于氣溫高、濕度大，對幼兒的照顧要特別注意，以下是出國留學(xué)網(wǎng)為您搜集整理的育兒健康小常識1.不是所有寶寶都需額外補充維生素很多家長會問，孩子多大需要開始補充維生素?小嬰兒是否需要補充維生素?劉主任表示，孩子多大補充維生素沒有明確的界定，如果寶寶是吃母乳或奶粉，一般營養(yǎng)物質(zhì)都足夠、全面，不需要額外補充維生素，如果出現(xiàn)了某些癥狀，如缺乏維生素B或維生素C等，再有針對性的補充會更好。維生素D可以促進鈣的吸收，小嬰兒也應(yīng)該補充，特別是純母乳喂養(yǎng)的寶寶，如果沒有補充維生素D，常帶寶寶曬太陽，也可以轉(zhuǎn)化為維生素D，從而促進鈣的吸收。給寶寶曬太陽，一般每天半小時到1小時，注意不要遮擋著曬太陽，如果是戴太陽帽、打傘或擦防曬霜等，起不到曬太陽的效果。2.不能用維生素補充劑代替蔬菜水果有的家長認(rèn)為，都是補充維生素，用維生素補充劑方便多了，因此就用維生素補充劑代替水果和蔬菜。劉主任表示，只要條件允許，應(yīng)盡量從食物中攝取維生素，如果是因為某些特殊情況導(dǎo)致不能全面有效獲得維生素，則可以考慮食用維生素補充劑。而且維生素補充劑是不能代替蔬菜和水果的。因為蔬菜、水果中的各種維生素是按一定比例存在的天然成份，是多種維生素的集合體;而維生素制劑多數(shù)是人工合成的，兩者在性質(zhì)上會有所差別。蔬菜、水果除了含有維生素外，還含有一些雖然對人體的作用與維生素類似的天然物質(zhì)，如葉綠素、胡蘿卜素等。此外蔬菜中含有礦物質(zhì)、微量元素、碳水化合物、纖維素等非維生素類營養(yǎng)成份。3.維生素補充劑含有的維生素種類不是越多越好有的家長容易陷入一個誤區(qū)，認(rèn)為既然要補，那就補得全面一點，總給寶寶吃綜合性維生素。劉主任表示，維生素補充劑并不是所含種類越多越好。劉主任建議，對于挑食特別厲害的寶寶，吃東西的品種少，可以選擇補充綜合性維生素劑;如果是缺乏某些維生素，建議有針對性地補充更合適;如果只是缺乏某一種維生素，沒必要補充綜合維生素制劑，因為有的維生素會產(chǎn)生蓄積中毒的情況。4.維生素應(yīng)從正規(guī)渠道購買如果是身體缺乏維生素的話，還是要在醫(yī)生的指導(dǎo)下服用維生素藥品，如果是出于保健的需求，可以服用保健品5.維生素補多久補多少最好由醫(yī)生判斷給寶寶補充維生素一定要注意用量，特別是維生素缺乏者，最好由醫(yī)生判