浙江省紹興市上虞區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)測(cè)數(shù)學(xué)試題 含解析

2023學(xué)年第一學(xué)期上虞區(qū)高二期末質(zhì)量調(diào)測(cè)（數(shù)學(xué)）一、單選題1.直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線斜率，根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系即可得出答案.【詳解】由題知：，設(shè)直線的傾斜角為，故，所以傾斜角.故選：C2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由方程求出可得焦點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】拋物線方程可轉(zhuǎn)化為：，故焦點(diǎn)在軸正半軸，且，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.3.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系即可逐一代入求值.【詳解】.故選:C4.已知分別是空間四邊形的對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為空間中任意一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量加法運(yùn)算可解.【詳解】由題知：.故選：D5.若方程表示的曲線是圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方程配方后得，根據(jù)圓的半徑大于0求解.【詳解】由方程可得，所以當(dāng)時(shí)表示圓，解得.故選：D.6.在正方體中，過作一垂直于的平面交平面于直線，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則直線與所成角余弦值的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由正方體性質(zhì)可知，平面，平面平面，故動(dòng)點(diǎn)在直線上，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法表示線線角，并求最值.【詳解】由正方體性質(zhì)可知，，，，平面，平面，易知平面，平面平面，故動(dòng)點(diǎn)在直線上，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，并如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)兩直線所成角為，，故，即，令，則，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.故選：A7.已知等腰直角的斜邊分別為上的動(dòng)點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.若點(diǎn)均在球的球面上，則球表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)共圓（不與重合），進(jìn)而確定，找到△，四邊形外接圓圓心，由棱錐外接球、面面垂直的性質(zhì)確定球心位置，設(shè)且，求外接球半徑最小值，即可得結(jié)果.【詳解】由點(diǎn)均在球的球面上，且共圓（不與重合），所以（不與重合），又為等腰直角三角形，為斜邊，即有，如上圖，△、△、△都為直角三角形，且，由平面圖到立體圖知：，，又面面，面面，面，所以面，同理可得面，將翻折后，的中點(diǎn)分別為△，四邊形外接圓圓心，過作面，過作面，它們交于，即為外接球球心，如下圖示，再過作面，交于，連接，則為矩形，綜上，，，則為中點(diǎn)，所以，而，，令且，則，故，，所以球半徑，當(dāng)時(shí)，，故球表面積的最小值為.故選：D8.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是，過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，結(jié)合橢圓定義依次得的表達(dá)式，進(jìn)一步分別在中運(yùn)用由兩次余弦定理，結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?，所以，又，所以，，所以，如圖所示，由余弦定理知：，整理得，又，解得：離心率.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：畫出圖形，通過橢圓定義把各邊長(zhǎng)度求出來，由此即可順利得解.二、多選題9.對(duì)于兩條不同直線和兩個(gè)不同平面，下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則B.若，則或C.若，則或D.若，則或【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系判斷．【詳解】若，的方向向量是的法向量，的方向向量是的法向量，，則的方向向量垂直，所以的方向向量與的方向向量垂直，則，A正確；若，可平行，可相交，可異面，不一定垂直，B錯(cuò)；若，則或或相交，C錯(cuò)誤；若，則或，D正確.故選：AD10.已知圓和圓的交點(diǎn)為，，則（）A.圓和圓有兩條公切線B.直線的方程為C.圓上存在兩點(diǎn)和使得D.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為【答案】ABD【解析】【分析】A：判斷兩圓相交可得切線條數(shù)；B：兩圓相交，做差可得公共弦方程；C：判斷弦AB經(jīng)過圓心，則弦為最長(zhǎng)弦，不再存在比AB更長(zhǎng)的弦；D：求圓心到直線的距離加半徑即為到直線AB的最大距離.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以有兩條公切線，故正確；對(duì)于B，將兩圓方程作差可得，即得公共弦的方程為，故B正確；對(duì)于C，直線經(jīng)過圓的圓心，所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長(zhǎng)的弦，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，D正確.故選：ABD.11.兩千多年前，古希臘大數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)，用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，其截口曲線是圓錐曲線（如圖）．已知圓錐軸截面的頂角為2θ，一個(gè)不過圓錐頂點(diǎn)的平面與圓錐的軸的夾角為α．當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓；當(dāng)時(shí)，截口曲線為拋物線；當(dāng)時(shí)，截口曲線為雙曲線．在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到平面的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線B.若點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到的距離之和等于4，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓C.若，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線D.若，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線【答案】BD【解析】【分析】A、B將距離轉(zhuǎn)化到平面ABCD內(nèi)P到定點(diǎn)、定直線的距離，結(jié)合圓錐曲線的定義判斷正誤；C、D確定被截圓錐的軸與截面ABCD的夾角，并比較被截圓錐軸截面頂角一半的大小關(guān)系，結(jié)合題設(shè)判斷P的軌跡.【詳解】A：如下圖，P到直線的距離與P到平面的距離相等，又P在平面ABCD內(nèi)，∴在平面內(nèi)，P到的距離與P到直線的距離相等，又，∴在直線上，故P的軌跡為直線，錯(cuò)誤；B：P到直線的距離與P到的距離之和等于4，同A知：平面內(nèi)，P到直線的距離與P到的距離之和等于4，而，∴P的軌跡為橢圓，正確；C：如下示意圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)知：與面所成角的平面角為，∴時(shí)，相當(dāng)于以為軸，軸截面的頂角為的圓錐被面所截形成的曲線，而，則，即，故P的軌跡為橢圓，錯(cuò)誤；D：同C分析：時(shí)，相當(dāng)于以為軸，軸截面的頂角為的圓錐被面所截形成的曲線，而，即，故P的軌跡為雙曲線，正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將空間點(diǎn)線、點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為平面點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線距離判斷軌跡，由題設(shè)及給定的條件確定被截圓錐的軸與截面ABCD的夾角、被截圓錐軸截面頂角大小，進(jìn)而確定軌跡形狀.12.如圖，直平面六面體的所有棱長(zhǎng)都為2，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是四邊形（包括邊界）內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（）A.過點(diǎn)的截面是直角梯形B.若直線面，則直線的最小值為C.存在點(diǎn)使得直線面D.點(diǎn)到面距離的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，過點(diǎn)的截面即為平面，只需驗(yàn)證是否為0即可；對(duì)于B，首先證明平面平面，故點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，由即可得解；對(duì)于C，求出平面法向量，由與法向量共線結(jié)合點(diǎn)是四邊形（包括邊界）內(nèi)，即可判斷；對(duì)于D，由點(diǎn)面距離公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A，過點(diǎn)的截面即為平面，建立空間直角坐標(biāo)系，易知，故，，故，故，所以四邊形直角梯形，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，如圖分別為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以平行且等于，，又平行且等于，所以平行且等于，即四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又平行且等于，平行且等于，所以平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，面，故平面平面，故點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，易知，故，故，故的最小值即為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，設(shè)平面的法向量為，故，令，則，故，設(shè)，而，故，要使得面，故，解得：，因點(diǎn)在四邊形（包括邊界）內(nèi)，故須滿足且，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到面的距離最大，最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：C選項(xiàng)的關(guān)鍵是在得出之后，還要注意檢驗(yàn)是否滿足且，由此即可順利得解.三、填空題13.經(jīng)過點(diǎn)，并且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____________.【答案】【解析】【分析】設(shè)出方程，代入點(diǎn)A即可求出.【詳解】雙曲線為等軸雙曲線，則可設(shè)方程為，將代入可得，即，故方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.14.設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和,且,則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì),將寫為,即,代入題中等式即可得出結(jié)果.【詳解】解:由題意可得和均為等差數(shù)列,所以.故答案為:15.已知拋物線和圓，若拋物線與圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】由拋物線的對(duì)稱性，設(shè)交點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在點(diǎn)的切線斜率，再求出過圓心、切點(diǎn)連線的斜率，二者斜率相等可得，代入圓方程可得答案.【詳解】由拋物線的對(duì)稱性，如圖，不妨設(shè)交點(diǎn)為，且滿足，則切線斜率，故由題知：，故解得：，代入圓方程可得：，故解得：.故答案為：.16.正三棱錐，，點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)，分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)作于，計(jì)算，，設(shè)，得到，根據(jù)余弦定理得到，，再確定，根據(jù)三角恒等變換結(jié)合均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作于，則，中，，故，，設(shè)，，則，故，所以，，，故，故，故，而，（），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以；故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了正余弦定理，三角恒等變換，均值不等式，意在考查學(xué)生計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中引入變量，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.四、解答題17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.【答案】（1）（2）或21【解析】【分析】（1）由等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量列方程組求解即可.（2）首先由得公比，結(jié)合得公差，由此即可求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由得：，解得（舍去），，于是.【小問2詳解】由得，解得或.當(dāng)時(shí)，由得，∴；當(dāng)時(shí)，由得，∴，綜上所述，故或21.18.已知圓過點(diǎn)和點(diǎn)，圓心在直線上.（1）求圓的方程，并寫出圓心坐標(biāo)和半徑的值；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為4，求直線的方程.【答案】（1）圓：，圓心，（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為，由圓心所在直線和圓過點(diǎn)和點(diǎn)可得方程組，求解即可；（2）由被圓所截弦長(zhǎng)可得圓心到直線l的距離d，后由點(diǎn)到直線距離公式可得答案，但要注意直線斜率不存在的情況.【小問1詳解】設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為：，圓心，半徑為；【小問2詳解】由（1）知，圓心到直線的距離為，于是當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線方程為，即，令，解得，直線方程是，綜上所述，直線的方程是：或.19.如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線和平面所成的角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【詳解】（1）利用線面垂直的定義得到線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定證明直線與平面垂直；（2）通過添加輔助線，證明平面，以此找到直線與平面所成角的平面角，在直角三角形中通過確定邊長(zhǎng)，計(jì)算的正弦值.試題解析：（1）設(shè)為中點(diǎn)，由題意得平面，所以.因?yàn)椋?所以平面.由，分別為的中點(diǎn)，得且，從而且，所以是平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫妫云矫?（2）作，垂足為，連結(jié).因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋云矫?所以平面.所以為直線與平面所成角的平面角.由，得.由平面，得.由，得.所以考點(diǎn)：1.空間直線、平面垂直關(guān)系的證明；2.直線與平面所成的角.20.已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)且縱坐標(biāo)為4，軸于點(diǎn)，且.（1）求的值；（2）已知點(diǎn)，是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且滿足.證明：直線恒過定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，由拋物線定義可得，即可求出答案.（2）設(shè)直線，，聯(lián)立方程組，得，根據(jù)，可得，代入直線方程即可.【小問1詳解】顯然點(diǎn)，由拋物線定義可知，，解得，所以拋物線方程為：；【小問2詳解】點(diǎn)在拋物線上，設(shè)直線，點(diǎn)，聯(lián)立，得，在下，，所以，整理，得，將代入直線，得，即，所以直線恒過定點(diǎn).21.在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面平面.（1）證明：；（2）若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，求平面與平面夾角的正弦值的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證明平面即可;（2）建立空間坐標(biāo)系，由面面角公式結(jié)合二次函數(shù)求最值得解.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，由題可知正和，，，又∵，平面，∴平面，又平面，∴；【小問2詳解】因?yàn)閭?cè)面平面，側(cè)面平面?zhèn)让?，故平?分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，設(shè)，∴，∴，又，設(shè)面的法向量是，則，令，則，又，設(shè)面的法向量是，則，令，則，設(shè)平面與平面夾角為，故，因?yàn)?，開口向上，且對(duì)稱軸為，故的最小值為，則，所以平面與平面夾角的正弦值的最小值為.22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（）的離心率且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為3.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）在橢圓上，是否存在點(diǎn)，使得直線：與圓：相交于不同的兩點(diǎn)、，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，M的坐標(biāo)為、、、，最大值為．【解