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文檔簡介
2025屆寧夏海原縣一中高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某個命題與自然數(shù)有關(guān),且已證得“假設(shè)時該命題成立,則時該命題也成立”.現(xiàn)已知當(dāng)時,該命題不成立,那么()A.當(dāng)時,該命題不成立 B.當(dāng)時,該命題成立C.當(dāng)時,該命題不成立 D.當(dāng)時,該命題成立2.已知為銳角,且,則等于()A. B. C. D.3.已知函數(shù),若,,,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.4.設(shè)M是邊BC上任意一點,N為AM的中點,若,則的值為()A.1 B. C. D.5.的二項展開式中,的系數(shù)是()A.70 B.-70 C.28 D.-286.從某市的中學(xué)生中隨機調(diào)查了部分男生,獲得了他們的身高數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖:根據(jù)頻率分布直方圖,可知這部分男生的身高的中位數(shù)的估計值為A. B.C. D.7.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.已知平面向量,滿足且,若對每一個確定的向量,記的最小值為,則當(dāng)變化時,的最大值為()A. B. C. D.19.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.10.設(shè)點,P為曲線上動點,若點A,P間距離的最小值為,則實數(shù)t的值為()A. B. C. D.11.定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,設(shè)為坐標(biāo)原點,、、、四點的橫坐標(biāo)依次為、、、,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.12.已知函數(shù),,若對任意,總存在,使得成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知正四棱柱的底面邊長為,側(cè)面的對角線長是,則這個正四棱柱的體積是____.14.已知平面向量,,滿足||=1,||=2,,的夾角等于,且()?()=0,則||的取值范圍是_____.15.已知,則_____.16.經(jīng)過橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點(點在第一象限),過點作軸的垂線,垂足為點.設(shè)直線與橢圓的另一個交點為.則的值是________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,在四棱錐中,平面,底面ABCD滿足AD∥BC,,,E為AD的中點,AC與BE的交點為O.(1)設(shè)H是線段BE上的動點,證明:三棱錐的體積是定值;(2)求四棱錐的體積;(3)求直線BC與平面PBD所成角的余弦值.18.(12分)若養(yǎng)殖場每個月生豬的死亡率不超過,則該養(yǎng)殖場考核為合格,該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145(1)從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月,求恰好有2個月考核獲得合格的概率;(2)根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù),求出月利潤y(十萬元)關(guān)于月養(yǎng)殖量x(千只)的線性回歸方程(精確到0.001).(3)預(yù)計在今后的養(yǎng)殖中,月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從(2)中的關(guān)系,若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只,試估計:該月利潤約為多少萬元?附:線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下:,參考數(shù)據(jù):.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程;(2)設(shè)曲線與曲線在第二象限的交點為,曲線與軸的交點為,點,求的周長的最大值.20.(12分)在四棱錐中,是等邊三角形,點在棱上,平面平面.(1)求證:平面平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值的最大值;(3)設(shè)直線與平面相交于點,若,求的值.21.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在上的最小值和最大值.22.(10分)已知三棱柱中,,是的中點,,.(1)求證:;(2)若側(cè)面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
寫出命題“假設(shè)時該命題成立,則時該命題也成立”的逆否命題,結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進行判斷.【詳解】由逆否命題可知,命題“假設(shè)時該命題成立,則時該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時該命題不成立,則當(dāng)時該命題也不成立”,由于當(dāng)時,該命題不成立,則當(dāng)時,該命題也不成立,故選:C.【點睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應(yīng)用,解題時要寫出原命題的逆否命題,結(jié)合逆否命題的等價性進行判斷,考查邏輯推理能力,屬于中等題.2、C【解析】
由可得,再利用計算即可.【詳解】因為,,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生對三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運用的能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
根據(jù)題意,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為增函數(shù),又由,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù),其導(dǎo)數(shù)函數(shù),則有在上恒成立,則在上為增函數(shù);又由,則;故選:.【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
設(shè),通過,再利用向量的加減運算可得,結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè),則有.又,所以,有.故選B.【點睛】本題考查了向量共線及向量運算知識,利用向量共線及向量運算知識,用基底向量向量來表示所求向量,利用平面向量表示法唯一來解決問題.5、A【解析】試題分析:由題意得,二項展開式的通項為,令,所以的系數(shù)是,故選A.考點:二項式定理的應(yīng)用.6、C【解析】
由題可得,解得,則,,所以這部分男生的身高的中位數(shù)的估計值為,故選C.7、C【解析】
由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,列出方程求出的值,即可求解雙曲線的離心率,得到答案.【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,可得,解得,此時雙曲線,則曲線的離心率為,故選C.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì),準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當(dāng)與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式即可求得直線方程,進而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時,有最大值設(shè)切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當(dāng)變化時,到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強,屬于難題.9、D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點:平面向量數(shù)量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點,作為一類既能考查向量的線性運算、坐標(biāo)運算、數(shù)量積及平面幾何知識,又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運算進行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標(biāo)運算,此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.10、C【解析】
設(shè),求,作為的函數(shù),其最小值是6,利用導(dǎo)數(shù)知識求的最小值.【詳解】設(shè),則,記,,易知是增函數(shù),且的值域是,∴的唯一解,且時,,時,,即,由題意,而,,∴,解得,.∴.故選:C.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查用導(dǎo)數(shù)求最值.解題時對和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵.11、B【解析】
先辨別出圖象中實線部分為函數(shù)的圖象,虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,由,得出,只需在圖中找出滿足不等式對應(yīng)的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)只有一個極值點,但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實線)與軸有三個交點,不合乎題意;若實線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)有兩個極值點,則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與軸恰好也只有兩個交點,合乎題意.對函數(shù)求導(dǎo)得,由得,由圖象可知,滿足不等式的的取值范圍是,因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:B.【點睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象,考查推理能力,屬于中等題.12、C【解析】
將函數(shù)解析式化簡,并求得,根據(jù)當(dāng)時可得的值域;由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域,結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關(guān)系,即可求得的取值范圍.【詳解】依題意,則,當(dāng)時,,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,;而函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,則只需,故,解得,故實數(shù)的取值范圍為.故選:C.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】Aa設(shè)正四棱柱的高為h得到故得到正四棱柱的體積為故答案為54.14、【解析】
計算得到||,||cosα﹣1,解得cosα,根據(jù)三角函數(shù)的有界性計算范圍得到答案.【詳解】由()?()=0可得()?||?||cosα﹣1×2cos||?||cosα﹣1,α為與的夾角.再由2?1+4+2×1×2cos7可得||,∴||cosα﹣1,解得cosα.∵0≤α≤π,∴﹣1≤cosα≤1,∴1,即||+1≤0,解得||,故答案為.【點睛】本題考查了向量模的范圍,意在考查學(xué)生的計算能力,利用三角函數(shù)的有界性是解題的關(guān)鍵.15、【解析】
對原方程兩邊求導(dǎo),然后令求得表達式的值.【詳解】對等式兩邊求導(dǎo),得,令,則.【點睛】本小題主要考查二項式展開式,考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件,考查賦值法,屬于中檔題.16、【解析】
作出圖形,設(shè)點,則、,設(shè)點,利用點差法得出,利用斜率公式得出,進而可得出,可得出,由此可求得的值.【詳解】設(shè)點,則、,設(shè)點,則,兩式相減得,即,即,由斜率公式得,,,故,因此,.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解,涉及了點差法與斜率公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)(3)【解析】
(1)因為底面ABCD為梯形,且,所以四邊形BCDE為平行四邊形,則BE∥CD,又平面,平面,所以平面,又因為H為線段BE上的動點,的面積是定值,從而三棱錐的體積是定值.(2)因為平面,所以,結(jié)合BE∥CD,所以,又因為,,且E為AD的中點,所以四邊形ABCE為正方形,所以,結(jié)合,則平面,連接,則,因為平面,所以,因為,所以是等腰直角三角形,O為斜邊AC上的中點,所以,且,所以平面,所以PO是四棱錐的高,又因為梯形ABCD的面積為,在中,,所以.(3)以O(shè)為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B(,0,0),C(0,,0),D(,,0),P(0,0,),則,設(shè)平面PBD的法向量為,則即則,令,得到,設(shè)BC與平面PBD所成的角為,則,所以,所以直線BC與平面PBD所成角的余弦值為.18、(1);(2);(3)利潤約為111.2萬元.【解析】
(1)首先列出基本事件,然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個月合格的概率;(2)首先求出利潤y和養(yǎng)殖量x的平均值,然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程;(3)根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤.【詳解】(1)2月到6月中,合格的月份為2,3,4月份,則5個月份任意選取3個月份的基本事件有,,,,,,,,,,共計10個,故恰好有兩個月考核合格的概率為;(2),,,,故;(3)當(dāng)千只,(十萬元)(萬元),故9月份的利潤約為111.2萬元.【點睛】本題主要考查了古典概型,線性回歸方程的求解和使用,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)(2)【解析】
(1)將代入,可得,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.由可得,將,代入上式,可得,整理可得,所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù).(2)由題可設(shè),,,所以,,,所以,因為,所以,所以當(dāng),即時,l取得最大值為,所以的周長的最大值為.20、(1)證明見解析(2)(3)【解析】
(1)取中點為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進而求證;(2)以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由點在棱上,可設(shè),即可得到,再求得平面的法向量,進而利用數(shù)量積求解;(3)設(shè),,則,求得,,即可求得點的坐標(biāo),再由與平面的法向量垂直,進而求解.【詳解】(1)證明:取中點為,連接,因為是等邊三角形,所以,因為且相交于,所以平面,所以,因為,所以,因為,在平面內(nèi),所以,所以.(2)以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,因為在棱上,可設(shè),所以,設(shè)平面的法向量為,因為,所以,即,令,可得,即,設(shè)直線與平面所成角為,所以,可知當(dāng)時,取最大值.(3)設(shè),則有,得,設(shè),那么,所以,所以.因為,,所以.又因為,所以,,設(shè)平面的法向量為,則,即,,可得,即因為在平面內(nèi),所以,所
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