貴州省黔東南苗族侗族自治州2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

高二聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一?二章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在正方體中，下列向量與平行的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)正方體的性質(zhì)可解.【詳解】如圖，在正方體中，.故選：A.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程可得斜率，再由斜率的定義計(jì)算傾斜角即可.【詳解】由得，所以直線的斜率，即，又，所以傾斜角.故選：C.3.已知點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量夾角的公式計(jì)算即可；【詳解】由題意可得.故選：A.4.下列命題正確的是（）A.一條直線方向向量是唯一的B.若直線的方向向量與平面的法向量平行，則C.若平面的法向量與平面的法向量平行，則D.若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則【答案】B【解析】【分析】平面法向量的概念及辨析、利用法向量判斷線面、面面位置關(guān)系即可.【詳解】對(duì)于A:一條直線的方向向量不唯一，A錯(cuò)誤；對(duì)于B:若直線的方向向量與平面的法向量平行，則，B正確.對(duì)于C:若平面的法向量與平面的法向量平行，則，C錯(cuò)誤.對(duì)于D:若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則或，D錯(cuò)誤.故選：B.5.直線在軸?軸上的截距之和的最小值為（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】【分析】先化為截距式，得到截距，借助基本不等式計(jì)算即可.【詳解】可化為，則直線在軸?軸上的截距之和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以截距之和的最小值為.故選：A.6.在正四面體中，為棱的中點(diǎn)，，則（）A. B.3 C. D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖形，由向量的加法和向量的數(shù)量積計(jì)算即可；【詳解】因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，所以.故選：B.7.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分別設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出兩坐標(biāo)之間的關(guān)系，將圓方程等式替換成點(diǎn)的坐標(biāo)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，，即，①.因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，所以滿足②.把①代入②，得，即.故線段OA的中點(diǎn)P的軌跡方程為.故選：D8.已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】由點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)方法求出，再有三點(diǎn)共線求出最小值即可；【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則解得，則，所以.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.不存在實(shí)數(shù)，使得D.與直線之間的距離為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于AB：根據(jù)垂直列式求解即可；對(duì)于C：根據(jù)平行列式求解，并代入檢驗(yàn)；對(duì)于D：根據(jù)平行線間距離公式運(yùn)算求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)AB：若，則，即，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，即，此時(shí)，即與重合，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：與直線之間的距離為，故D正確.故選：BCD.10.已知幾何體為長(zhǎng)方體，則（）A.在方向上的投影向量為B.在方向上的投影向量為C.在方向上的投影向量為D.在方向上投影向量為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)投影向量的概念逐一進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖：在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫?，所以，所以在方向上的投影向量為，即A正確；因?yàn)樵谥?，，所以與不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以在方向上的投影向量為，即C正確；雖然，但與不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知圓：與圓：，則下列結(jié)論正確的是（）A.若圓與圓外切，則或B.當(dāng)時(shí)，圓與圓的公共弦所在直線的方程為C.若圓與圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則D.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，曲線W：恒過圓與圓的交點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)兩圓外切得圓心距等于半徑之和，即可列式求解；對(duì)于B，兩圓方程相減即可得公共弦所在直線的方程；對(duì)于C，由兩圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得兩圓心關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求解；對(duì)于D，根據(jù)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程即可判斷.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑．若圓與圓外切，則，解得或，A正確．當(dāng)時(shí)，圓：，圓：，將兩圓的方程作差可得圓與圓的公共弦所在直線的方程為，B正確．若圓與圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則解得，C錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，圓：，圓：，則，所以對(duì)任意的，曲線W恒過圓與圓的交點(diǎn)，D正確．故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知直線經(jīng)過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】【分析】提出參數(shù)，消去參數(shù)即可.【詳解】由，得，令,得到,x=0,則點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.13.曲線的長(zhǎng)度為__________，若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【答案】①.；②..【解析】【分析】將曲線方程進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，其為半圓，求半圓周長(zhǎng)即可；數(shù)形結(jié)合求得直線與曲線有公共點(diǎn)的臨界態(tài)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，即可求得的范圍.【詳解】由，得，則曲線表示圓的上半部分，半徑為，故曲線長(zhǎng)度為；根據(jù)題意，作圖如下：因?yàn)閳A的圓心到直線的距離，所以，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，直線與曲線有公共點(diǎn).故答案為：；.14.如圖，在四棱臺(tái)體中，平面，底面為正方形，，則該四棱臺(tái)的體積__________，直線與平面所成角的正弦值為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）運(yùn)用臺(tái)體體積公式計(jì)算即可；（2）借助空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，借助向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】（1）運(yùn)用臺(tái)體體積公式計(jì)算，.（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，所以.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則取，則，故直線與平面所成角的正弦值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.（1）求過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求得直線方程；（2）由兩直線垂直關(guān)系可得所求直線的斜率為3，代入點(diǎn)斜式方程可得結(jié)果.【小問1詳解】由，可知，故所求直線的方程為，即.【小問2詳解】易知，則所求直線的斜率為3，故所求直線的方程為，即.16.已知直線，圓.（1）若，判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）若，直線與圓交于兩點(diǎn)，求.【答案】（1）相離（2）【解析】【分析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心和半徑，再由圓心到直線的距離與半徑比較即可；（2）先求圓心到直線的距離，再由勾股定理求出弦長(zhǎng)即可；【小問1詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑.設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以直線與圓相離.【小問2詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，由（1）知圓心到直線的距離，所以.17.在三棱錐中，平面平面，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).（1）證明：平面（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，，由題意可得，可證，，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可證平面.（2）求得平面平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，利用向量的夾角公式可求二面角的余弦值.【小問1詳解】連接，，因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，進(jìn)而.因?yàn)椋?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O0,0,0，，，，，所以，.因?yàn)?，所以，則，，又，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）得，，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為.易得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)二面角的大小為，則，由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.18.如圖，平面分別為線段的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為.（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由線面位置關(guān)系的向量表示即可求證；（2）由點(diǎn)到面距離的向量法即可求解.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.，，.設(shè)平面的法向量為，則令，得，得.因?yàn)?，所以，故平?【小問2詳解】連接.因?yàn)?，都在平面?nèi)，所以平面，又在平面內(nèi)，則，又，所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，都在平面內(nèi)，所以平面，則為平面的一個(gè)法向量.設(shè)，則.根據(jù)題意可得解得或（舍去），則.因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離.19.已知圓，點(diǎn)在圓C上，點(diǎn)D，G在x軸上，且關(guān)于y軸對(duì)稱.（1）圓C在點(diǎn)Q處的切線的斜率為，直線QD，QG的斜率分別為，，證明：為定值.（2）過點(diǎn)Q作軸，垂足為E，，點(diǎn)D滿足.①直線AD與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為F，且F為線段AD的中點(diǎn)，，求r；②證明：直線QG與圓C相切.【答案】（1）證明見解析（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）利用兩點(diǎn)式斜率公式表示出，即可證明.（2）①利用三角形中位線性質(zhì)求得，然后利用直角三角形性質(zhì)求