講練測第9講 向量綜合歸類-高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（解析版）（新高考專用）

高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測第9講

向量綜合歸類

目錄

講高考.............................................................................1

題型全歸納........................................................................6

【題型一】向量夾角................................................................6

【題型二】線性運(yùn)算1：基底型基礎(chǔ).................................................10

【題型三】線性運(yùn)算2：雙線交點(diǎn)型.................................................14

【題型四】線性運(yùn)算3：“趙爽弦圖”模型.............................................19

【題型五】向量基底“象限坐標(biāo)軸”.................................................24

【題型七】向量最值...............................................................29

【題型八】數(shù)量枳.................................................................34

【題型九】模及其應(yīng)用.............................................................38

【題型十】投影...................................................................41

【答案】-1.......................................................................41

【題型十一】面積與奔馳定理.......................................................43

專題訓(xùn)練.........................................................錯誤!未定義書簽。

講高考

1.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)己知向量4力滿足|”|=1,g|="|。-2〃|=3,則4m=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長，利用向后的數(shù)品積運(yùn)算求解即可.

【詳解】*：\a-2bf=\af-4d-b+4\b[t

又丁|a|=>/3,|a-2b|=3,；?9=1一4〃+4x3=13—4a“???ab=\故選:C.

2.（福建?高考真題）已知|OA|=1,|031=?OAOB=0,點(diǎn)。在/A08內(nèi)，且NAOC=30。.

設(shè)0C=mOA+nOB（nuneR）,則竺等于（）

n

A.2B.3C.&D.V3

33

【答案】B

【分析】由題意可得O4_L08,建立坐標(biāo)系，由己知條件可得OC=（,〃.6〃），進(jìn)而可得

lan30°=^=^,即可得答案.

m3

【詳解】解：因?yàn)閨OA|=I,|OB|=G,OA-OB=0，

所以。4_LO/3,又因?yàn)辄c(diǎn)。在/A08內(nèi)，且NAOC=30。，建立如圖所示的坐標(biāo)系：

則04=(1,0)08=(0,揚(yáng)

乂因?yàn)镺C=〃?OA+〃OB5I、〃€R),所以O(shè)C=("i,J5〃)，所以tan300=叵=巡，

m3

所以巴=3.故選：B.

n

3.（山東?高考真題）在直角二ABC中⑦是斜邊力/，上的高，則下列等式不成立的是（）

A.\AC\=ACABB.|cfi|'=BABC

,P?|2(ACAB\\BABC\

C.\AB[=AC-CDD.CO=-------nA------

1111\A13\

【答案】c

【分析】根據(jù)向量模、數(shù)曷積的運(yùn)算對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，4。48=|閡.卜葉cosA=kcHAC|=|AC『，A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，BABC=\RC\\H4|?cos7?=I^C|-IBc\=|BC^=|c?|2,B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，ACCD=^AB+BCyCD=ABCD+BCCD

=|CD|-|BC|-(-COSZ^CD)=-|CD|2^|/AB|2,c選項(xiàng)錯誤.

D選項(xiàng)，根據(jù)三角形的面枳公式可知：

:網(wǎng)?必卜/利詞阿.阿=阿阿,

結(jié)合AB選項(xiàng)的分析可知：

(ACAB\\BABC\|AC|2-|CB|?.

----------------=J-T-LuC。12，D選項(xiàng)正確一故選：C

\AB\AB\1

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）在中，點(diǎn)〃在邊相上，8力二294.記6=〃￡。=〃,

則CB=（）

A.3/h-2nB.-2m+3nC.3"?+2〃D.2m+3n

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)〃在邊力上，BD=2DA,所以BO=2DA，EPCD-CT=2（CA-CD）,

所以。8=3CO-2c4=3〃-2〃?=-2〃?+3〃.

故選:B.

5.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C：V=2px（p>0）焦點(diǎn)

的直線與。交于48兩點(diǎn)，其中力在第一象限，點(diǎn)M（p,0）,若|4尸|=|八〃|,則（）

A.直線的斜率為B.IOB1=1OFI

C.\AB\>4\OF\I）.ZO/W+ZOBM<180°

【答案】ACD

【分析】由|A月=|AM|及拋物線方程求得A（學(xué),率），再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表

示出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線求得8（］,-季），即可求出|。回判斷B選項(xiàng)；由拋物線

的定義求出|AB|二等即可判斷C選項(xiàng)；由OVC用<0,求得NAOB,ZAMB為

鈍角即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A,易得嗎,0）,由可得點(diǎn)A在的垂直平分線上，則A點(diǎn)橫

坐標(biāo)為4+〃=3〃,代入拋物線可得尸=2〃岑=|〃。則4當(dāng),堂）,則直線A8的斜

限p

率為？2=2瓜A正確；

42

對于B,由斜率為2/L可得直線A8的方程為x=大1后>'+冷P，聯(lián)立拋物線方程得

>'2-^P.v-/r=O,設(shè)B（x，y）,則手〃+,=骼〃，則,=—字，代入拋物線得

［率）=2p?解得苦號則畤—爭，

則如』閨丫一容「斗平小￡,B錯誤；

32

對于C,由拋物線定義知：|叫=曰+與+〃=當(dāng)＞2〃=4|0日，C正確；

對于D,040月=（當(dāng)用胃一季）哼."季［一季（岑＜0,則NA08為

ZAM4為鈍角，5LZAOB+ZAMB+/LOAM+ZOBM=360?則NQAM+NO8Mv180,D

正確.故選：ACD.

6.（全國?高考真題）向量仄8滿足（a-〃）?（2a+b）=-4,且|。|=2,|幻=4,則。與匕夾角

的余弦值等于___________.

【答案】-刁##-0.5

【分析】利用向量數(shù)量積公式得到（〃-0）?（2。+〃）=2/-/-tz/?=8-16-8cos^=-4,解

出即可.

【詳解】（a-Z?）,（2a+Z?）=2/-“2一。電

=2\a\2-\bf-\a\\b\cos0

=2-22-42-2-4-COS6>

=8-16-8cos。

解得cos*].

故答案為：-g.

7.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)向量〃，。的夾角的余弦值為:，且卜卜1,1|=3,則

（2a+b"=.

【答案】11

【分析】設(shè)a與區(qū)的夾角為，，依題意可得cosO=g,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出?石，最后

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】解：設(shè)a與人的夾角為氏因?yàn)椤ㄅc的夾角的余弦值為:，即cos"：,

JJ

又卜1=1,卜卜3,所以a?/?=|aHqcos°=lx3x；=1,

所以（24+力）力=2〃力+廣=2入〃+1（=2乂1+32=11.

故答案為：11.

題型全歸納

【題型一】向量夾角

【講題型】

例題1.已知平面向量入丁c滿足忤-4=卜-231,則〃-4力與3-23所成夾角的最大

值是（）

A.[B.工C.生D.2

6336

【答案】A

【分析】

設(shè)a-2c?與c-2〃夾角為a-4b與c-2b所成夾角為A，利用平面向量的數(shù)量積可得出

cos/7>0,并可得出cos2￡=p[竺匚=]+三等空+777r4——利用基本不等式可

5+4cosa81616(5+4cosa)

求得cos/7的最小值，可得出夕的取值范圍，即可得解.

【詳解】

設(shè)Z-2c與￡-2/?夾角為。，〃-4。與c-2〃所成夾角為產(chǎn)，

,.,4-4〃=(a-2c)+2(c-20),

所以，,-4.=|a-2c|+4,-2陷+42cHe,一叫cosa=5+4cosa,①

(4-4〃)?(c-2/?)=[(a-2<)+2(c-2Z?)]?(c-2b)=(4-2cl(c-2/?)+2c-2/?

=2+cosa>0,②

又；(a—4〃).(c-2Z?)=卜一4同?卜一20cos^=p-4Z?|cos尸>0=cos/7>0,③

???②與③聯(lián)立可得卜-44cos4=2+cosa=，-4方『-cos2^=(2+cosa)2,④

二?①@聯(lián)立可得

,(2+cosa)-COS2<7-1,16cos七一25+935+4cosa9

cos'/7=-------------=1+------------=1+——-------------—=-+------------+--------------

5+4cosa5+4cosa16(5+4cos?)81616(5+4cosa)

3_15+4cosa93

>-+2-------------------------------=—,

8M1616(3+4cosa)4

當(dāng)且僅當(dāng)cosa=-；時，取等號，cos?/21=>cos12日,匹［0,句,則匹0,J

故a-4〃與所成夾角的最大值是?故選：A.

O

例題2.已知單位向量a,b，c滿足a-3b=24，則匕與a+&c夾角的余弦值為（）

A.一且B.一3C.一正D.一走

3223

【答案】A

【分析】

根據(jù)4,b，d為單位向量，變形后平方可得：a.=-—，?c=0,利用夾角

3bc3

公式求出人與4+0C夾角的余弦值.

【詳解】

a，b，c為單位向量.

對。一35=2怎兩邊平方，即42一6“/+人2=2岳2，可得：ab=；；

由A-3/?=2X/5C；可得：a=2y/2c+3b>兩邊平方，可得：Z?-c=--;

3

由4-36=2而可得：G-2辰=3b，兩邊平方，可得：ac=O,所以

a+A/2cj=\ja2+2yf2a-c-^2c2=&.

1-2-

8ssM+&="3-二一―叵故選：A

忖4+0dW卜z+0c|lxV33

【講技巧】

求平面向量夾角的方法：

（1）定義法：利用向量數(shù)量積的定義得其中兩向量<4〃>的取值

\a\r\

范圍是［0,司；

（2）坐標(biāo)法：若非零向量。=（M，y）、；）=（&,心），則cos<a,b>=/2'；'2.

VAI+y?-v'2+%

兩個向量的夾角為銳角，則有a-6>0,反之不成立：兩個向量夾角為鈍角，則有a?伏0,

反之不成立

【練題型】

1.已知a=(cosa,-l,sinaj,/?=(sin?,-l,cos<7),則向量〃+力與a-8的夾角為()

A.90°B.60°C.30°D.0°

【答案】A

【分析】

結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換化簡求出夾角的余弦值，進(jìn)而可得到結(jié)

果.

【詳解】

因?yàn)閍=(cosa,-l,sina),〃=(sina,-l,cosa),

所以a+〃=(cosa+sina,-2,sina+cosa).?-Z?=(coscr-sina.0.sina-cos(z).

設(shè)向量a+〃與的夾角為夕,則

口(cosa+sina)x(cosa-sina)+(-2)x0+(sina+cosa)(sina-cosa)

COSp=/.7/

J(cosa+sina)"+(-)2'+(sina+cosa)“xJ(cosa-sina)"+0。+(sina-cosa)’

_cos*2cr-sin2a+0+sin2(z-cos2a

—6+2sin2axj2-2sin2a

2.已知向量〃，力滿足,卜2,i=(U),心力=一2，設(shè)a與a+〃的夾角為0，則cosO=

A.；B.C.—D.--

2222

【答案】C

【分析】

由已知條件，求出,+。|及，?(〃+〃)，然后利用向量的夾角公式即可求解.

【詳解】

解：因?yàn)榭?2,k(U),ab=-2,所以W=jF+12=&,

所以,+,=J(a+力丫=^a2+2ab+b2=.+2x(-2)+(0、=垃，

a-(a+b^=a+ab=22-2=2,

a4a+h\2

所以cosd=rrr=、-7==—,故選：C.

\a]^a+b2xV22

3.已知兩個單位向量￡,$的夾角為三，則〃與〃的夾角為()

71

A、.-九DB.-「C.—3冗nD.—2兀

3243

【答案】A

【分析】

先由數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求出。再由夾角公式求解即可.

【詳解】

4.(“叫='-4/=1一以1＞：；=；,=1，

設(shè)〃與〃的夾角為0,則8s夕=小二4=上-=4，又。?°，句，則a與的夾角為R

棉皿ixi23

故選：A.

【題型二】線性運(yùn)算L基底型基礎(chǔ)

【講題型】

例題1.在aABC中，BD=DC，AP=PD，且5P=248+〃AC,則義+〃=()

11

A.1B.—C.---D.一1

22

【答案】C

【分析】

3，1

根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，化簡得3P=--A8+—4C,再結(jié)合BP=/IAB+〃AC,求

44

得以的值，即可求解.

【詳解】

由題意在4ABe中，BD=DC，AP=PD，

根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得：BP=-BA+-BD=-BA+-BC

2224

1.1/—?—\3*1.

=—ABH—（AC——ABH—AC,

24、}44

又由8。=,所以4二---，〃=一?所以2+〃=一~7+~7=一二.故選：

44442

例題2.設(shè)。為3c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，8/J=2"C,M為A￡＞的中點(diǎn)，則MB=（）

A.-AB--ACB.-AB--AC

6336

5-1-1r5

C.-AB+-ACD.-AB——AC

6336

【答案】A

【分析】

畫出圖形，由平面向量的線性運(yùn)算法則結(jié)合圖形即可得解.

【詳解】

由題意畫出圖形，如圖，

BD

因?yàn)?D=2r>C，M為的中點(diǎn),

所以=MA=--AD

32t

22、1223

=_LAB-』(AC-A3)=2AB-』AC.故選：A.

23、]63

【講技巧】

用已知向量表示某一向量的兩個關(guān)鍵點(diǎn)：

(D用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等

于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.

【練題型】

1.設(shè)M是AABC邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，若AN=+,則〃的值

為()

111

A.1B.—C.—D.一

234

【答案】B

【分析】

設(shè)8例=f8C，通過4N=，AM,再利用向量的加減運(yùn)算可得AN=?A8+」AC，

222

結(jié)合條件即可得解.

【詳解】

則有

AN=-AM=-(AB+BM\=-AB+-tBC=-AB+-(AC-AB\=-AB^-AC

22、72222、722

又AN=/IA8+〃AC,

所以《,有2+"=---+—.故選B.

222

2.已知在A6c中，點(diǎn)，在邊犯上，且3C=-2CM，點(diǎn)￡在邊4C上，RAE=-ECt

則向量￡M=(

A.—AC4—ABB.—AC+—AB

1一3

C.—ACH—ABD.—ACH—AB

【答案】B

【分析】

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算得EM=EC+CM，由此可求出答案.

■[.■[■]/■.、■2.

解：,：B(j=-2C而,AE=-EC,：.CM=-CB=-\AB-AC],EC=-AC,

：.EM=EC+CM=-AC-^--AB,故選：B.

62

3.已知在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M、N分別是AC、8的中點(diǎn)，如果AB=a，4力="

那么向量MN=()

1-1'

B.—ClH—b

2222

【答案】B

【分析】

作出圖形，利用平面向量加法法則可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示:

???點(diǎn)用、N分別是3C、CO的中點(diǎn),

1一1一1一］一1-1-

:.MN=MC+CN=-BC+-CD=-AD一一AB=一一a+-b.故選：B.

222222

【題型三】線性運(yùn)算2：雙線交點(diǎn)型

【講題型】

例題1.如圖，A4BC中，AO=DB,AE=EC,C。與無交于尸，設(shè)=AC=b

AF=xa+yb?貝!1（工，?為（）

22}21

C.D.35

【答案】A

【分析】

延長Ab交BC于點(diǎn)何，由于4。二力伐AE=EC,C。與能交于尸，可知：點(diǎn)廠是

△ABC的重心，利用三角形重心的性質(zhì)和向量的平行四邊形法則即可得到答案.

【詳解】

延長AF交8c于點(diǎn)M；=A。=DB,AE=EC,CD與BE交于尸，

..點(diǎn)/是A4BC的重心，?.4/二—AM,AM=-(AB+AC),

32

T2T21ff1T11-

/.AF=-AM=-x-（AB+AC）=-（AB+AC）=-a一一b

332333

乂AF=xa+yb

1

^=~,11、

.?一:，貝U（x，）'）為；故答案選A

v=-Q"

例題2.在aA3c中，AD=2DB，BE=2EC，直線C。與AE交于點(diǎn)尸，若

AP=mAB+nACf貝!1（加,〃）=（）

3I232g、

A.<75于7C.D.55；

【答案】I)

【分析】

由向量三點(diǎn)共線，以及由基底的不同表示，由此能求出團(tuán)，

解：因?yàn)锽E=2EC，所以

BE=-BC=-（AC-AB\=-AC——AB

33、733

一———22—2—1—

AE=AB-}-BE=AB+-AC一一AB=-AC+-AB設(shè)

3333Q

7cc

AP=sAE=-AC+-AB

33

――.—.fv2\一2$一9

所以。。二40一人。二鼻一WAB+—AC,DC=AC-AD=--AI3+AC由￡）、P、。共

\33y33O

線，所以DP//DC

$221s.

——s――AP——ABH—ACm=—,n~-.故選：D.

_2177777

3

【講技巧】

向量共線定理（兩個向量之間的關(guān)系）：向量〃與非零向量4共線的充要條件是有且只有

一個實(shí)數(shù)4,使得〃=%.

變形形式：已知直線/上三點(diǎn)A、B、P,。為直線/外任一點(diǎn)，有且只有一個實(shí)數(shù)4,

使得：。尸=（1一/1）04+丸08.

特別提醒：共線向量定理應(yīng)用時的注意點(diǎn)：向量共線的充要條件中要注意“。工0”，否

則4可能不存在，也可能有無數(shù)個.證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注

意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線;

另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合.

【練題型】

1.aABC中，M.N分別是BC、AC上的點(diǎn)，且用"=2MC,AN=2NC,AM與

BN交于點(diǎn)尸，則下列式子正確的是（）

3—1―

A.AP=-AB+-ACB.AP=-AB+-AC

4224

C.AP=-AB+-ACD.AP=-AB+-AC

2442

【答案】D

【分析】

MP1-3---

作出圖形，連接MN,利用相似三角形計(jì)算得出一=-,進(jìn)而可得出=結(jié)

AP34

合平面向量的基本定理可得解.

【詳解】

如下圖所示:

NCMCIPMMN1

連接MN,則---=----=—，：.MNHAB、，：￡\PMNs4PAB,：.-----=----=一,

ANBM2APBC3

因此，AP=-AM=AB^-Bc\=-AB^-BC

44、J3J42

=例8+；（急-朔=9B+；恁.

故選：D.

AE=^AC的和C。相交于點(diǎn)尸，則向量成

2.如圖，在4AAe中，AD=-ABf

4f

等于（）

IT2T1-*3T

A.—AB-\—ACB.—AB-^—AC

7777

1T21-3

C.—AB+—ACD.一AB-AC

14141414

【答案】B

【分析】過點(diǎn)尸分別作尸M//A8交AC于點(diǎn)M，作RV〃AC交A3于點(diǎn)N,由平行線

得出三角形相似，得出線段成比例，結(jié)合Ab=』A%,AE=-AC,證出A工二34"和

427

T1.

AN=5AB,最后由平面向量基本定理和向量的加法法則，即可得檢和公表示成.

【詳解】解：過點(diǎn)尸分別作尸交AC于點(diǎn)M，作FN//AC交48于點(diǎn)N,

T1TT]T

己知一AB,AE=-AC,?.?/W//AC,則AM莊△ABE和AMb△AC。，

42

MFMC

MFME「MFMCMF_2ME

=-1I.=即:且7工二左，所以

ABAEADAC^\B~AC

4

J_MC

MF2ME_4,

~AB~AC~AC

3T3T

則：MC=8Mf,所以AM=」AC,解得：AM=-AC,

77

NFNB,,NFND

同理bM//AB,4NBF/XABE和ANFD△ACO,則：-----=------11.------=------

AEABACAD

NFNBNFND1…

：

UP1ArABH.AC1AR，所以NF_2/ND，

24ACABAB

則：NB=8ND,即A8—7W=8(AO—TVV),

所以AB-AN=8(；AB-AN),即A4—4N=2AB—8/W,得:AN=-AB,

7

解得：A0=，A%,???四邊形AMEV是平行四邊形,

7

f]T3T

丁.由向量加法法則，得A/uAh+AX/，所以二,AB+,4c.故選B

D

ME

I2

3.在aA3c中，BE=入BA,AD=AC、BD、CE交于點(diǎn)F,貝U8/=（）

2119

A.—BA4-—BCB.—BA+—BC

3363

C.-BA+-BCD.-BA+-BC

4363

【答案】D

【分析】史凡。三點(diǎn)共線，BF=2BD，進(jìn)而將8尸用84,8C表示，同理利用CFE三

點(diǎn)共線，乂將8/用8ABe表示，根據(jù)向量基本定理建匯等量關(guān)系，即可求解.

Q八1O

【詳解】由題意可知8。=弘+4。=班+—4。=班+*（3。-84）=一84+—8。

3333

J.92_

?:B,F,D二也共線，；.BF=；LBD=-8A+——BC,C￡￡二點(diǎn)共線，.?.七”=,

33

—,——?1—//

BF-BE=ju(BC-BE),BF=pBC+(1-/u)BE=—^BA+從BC,

【題型四】線性運(yùn)算3：“趙爽弦圖”模型

【講題型】

例題1.如圖所示，在中，設(shè)A8=a,AC=〃，AP的中點(diǎn)為Q,8。的中點(diǎn)為R,

CR的中點(diǎn)恰為夕，則AP=（）

122442

一

萬-勿力

十

C十

-力-4--+-

B.3*77D.77

3-

【答案】C

【分析】

由向量的三角形法則以及向量中點(diǎn)關(guān)系結(jié)合向量的基本定理可表示出AP.

【詳解】如圖，連接62，WlAP=AC-^CP=b+PR??AP=AB+BP=a+RP-RB-

②

①+②，得2"=。+〃-防?③

將④代入③，得2Ap=4+—解得AP=^a+m〃.故選c

例題2.我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，

后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方

形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若庭=辰;=，則BF=（）

12T93/

A.bB.

25252525

4T3T3T4一

C.—Q-\—bD.—ci-\—b

5555

【答案】B

【分析】利用平面向量的加法法則和數(shù)乘向量求解.

【詳解】由題得

BF=BC+CF=BC+-EA=BC+-EB+BA=BC+-一二BF+BA

441J414

T-3(3T-I-16Tl2T-16T19

即8/=8。+——一BF+BA,解得BF=—BC+—BA,即〃+—b,

414)25252525

故選：B

【練題型】

1.如圖是由等邊和等邊△KGC構(gòu)成的六角星，曼中的A,D,F,H,J,L均

in

為三等分點(diǎn)，兩個等邊三角形的中心均為0.若。4=mOC+〃。./,則一=()

【答案】B

【分析】

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，8為x軸，。4為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊三角形的邊長為

26，得出點(diǎn)AC，的坐標(biāo)，由向量的運(yùn)算可求得相，〃的值，可得答案.

【詳解】

由平行四邊形法則，04=208+OJ=2(OC+O/)+OJ=2OC+3。/,所以〃7=2,

〃=3，所以竺二2

n3

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。。為X軸，Q4為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)等邊三角形的邊長為2后.則等邊三角形的高為J(2可一(可=3，

由8,D，F(xiàn)，H,J,L均為三等分點(diǎn)，則|。川二鏟3=2,|Q/|二§xG所以

A(0,2),JOA=(0,2),OC=(V3,1).0J=

鬲_曲=0

n=3m2

所以《3,解得《八所以一二一故選：B.

m=2n3

m=2

2.如圖，在AABC中，設(shè)第二》，髏二九AP的中點(diǎn)為Q,儀2的中點(diǎn)為R,CR的中

Lillyvv

點(diǎn)為若AP="?a+〃b，則〃[+〃=()

D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量基本定理及其幾何意義，結(jié)合條件可得。=（AP+2QR及

3——--24

-AP-QR=bf解方程可求得+三人，即可得到m,n的值，所以得到結(jié)

277

果.

【詳解】解；由題意兀得八P=2QRQ8=2QR,

vAB=a=AQ+QB=^AP+2QRf①

1-3

AC=AP+PC=AP+RP=AP+QP-QR=AP+-AP-QR=-AP-QR=b,（2）

22

由①@解方程求得AP=^2a+-4b.

246

ULOVVm=一,〃=—,加+〃=一

再由AP=/M+泌可得777

【題型五】向量基底“象限坐標(biāo)軸”

【講題型】

例題1.如圖，OMMAB,點(diǎn)P由射線OM、線段。8及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不

IILUIULIULU/

含邊界）.且OP=MM+），Og,則實(shí)數(shù)對（x,y）可以是（）

【答案】A

【分析】

本題可利用平面向量基本定理和平行四邊形法則將四個答案一一代入，然后判斷點(diǎn)P的位置,

排除錯誤答案，即可得出結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)平面向量基本定理和平行四邊形法則可知:

，[3、uun?uur3uixiuuu3uin

若取上“J則OP-一』八十』八/。+」以點(diǎn)?在陰影區(qū)域內(nèi)，人正確；

(iuiu1uii-7uua1mnn7mn

若取一三,三，則一一04+—。3=-40+—08,點(diǎn)2在直線48的上方，8錯誤；

<55y5555

若?。ú?；uui1uir1uiu1LUX1111m

,則02二一。4一一。8=—。4+—80,點(diǎn)尸在直線40的下方，C錯誤;

4242

(22、uiu7uir7uiu7iiuu7uiu

若取一彳,彳，則。。=一一OA+-OR=-AO+-OB,點(diǎn)。在射線上，D錯誤,

I33J3333

故選：A.

例題2.在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量Q4=〃，OB=b，其中。=（3,1）,

b=（L3）.若OC=*a+Pb，且OWuW入WL那么。點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰

影表示正確的是（）

【答案】D

【分析】可以使用特殊點(diǎn)弋入排除法，即取值，然后計(jì)算滿足條件點(diǎn)的位置，然后排除到一

定錯誤的答案.

【詳解】當(dāng)人=u=l時，OC=2a+〃b=a+b=（4,4）,故可以排除。答案

當(dāng)入="=（）時，OC=Qi”b=（0,0）,故可以排除4答案

當(dāng)〃=1,義=』時，OC=Aa+pb=-a^b=（―,-）,故可以排除答案力

322362

故選〃

【講技巧】

UUUUUUUU

在平面向量的線性運(yùn)算中，如圖OP=xQ4+），OB，X）'的范圍可仿照直角坐標(biāo)系得出,

。4，OB類比于X，）'軸，直角坐標(biāo)系中有四個象限，類比在（0,04,03）中也有四

x>0[x<0[x<0

個象限，如第I象限有《八，第H象限有《八，第in象限有《八，第N象限有

y>0[y>0[y<0

x>0

八，也可類比得出其中的直線方程，二元?次不等式組表示的平面區(qū)域等等.

y<0

【練題型】

1.如圖，在△046中，點(diǎn)尸是線段06及AB、AO的延長線所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊

界）的任意一點(diǎn)，且0P=MM+y08,則在直角坐標(biāo)平面上，實(shí)數(shù)對（X,），）所表示的區(qū)

域在直線），-x=3的右下側(cè)部分的面積是（）

B

A

O

79

A.—B.—C.4D.不能求

22

【答案】A

【分析】由點(diǎn)尸是由線段03及A3、A。的延長線所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的任意

UUUUULILS1

一點(diǎn)，作。8的平行線，把。尸=xOA+），QB中X、）'所滿足的不等式表示