新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)專題13 數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的求和（講）（解析版）

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題13數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的求和（講）真題體驗(yàn)感悟高考1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先通過遞推關(guān)系式確定SKIPIF1<0除去SKIPIF1<0，其他項(xiàng)都在SKIPIF1<0范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到SKIPIF1<0，累加可求出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0，累加可求出SKIPIF1<0，再次放縮可得出SKIPIF1<0．【詳解】∵SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，依次類推可得SKIPIF1<0由題意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；綜上：SKIPIF1<0．故選：B．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，依此類推，其中SKIPIF1<0．則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)SKIPIF1<0，再利用數(shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系判斷SKIPIF1<0中各項(xiàng)的大小，即可求解.【詳解】[方法一]:常規(guī)解法因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；以此類推，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故D正確.[方法二]：特值法不妨設(shè)SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0故D正確.3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0,進(jìn)而得：SKIPIF1<0，利用累乘法求得SKIPIF1<0，檢驗(yàn)對(duì)于SKIPIF1<0也成立，得到SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到SKIPIF1<0，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,整理得：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，顯然對(duì)于SKIPIF1<0也成立，∴SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0總結(jié)規(guī)律預(yù)測考向（一）規(guī)律與預(yù)測1.等差(等比)數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及求和公式是高考的基礎(chǔ)考點(diǎn)與高頻考點(diǎn).以小題居多，屬于容易題.

2.數(shù)列求和方法中的公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法及分組求和法是高考的高頻考點(diǎn)，以小題或解答題形式出現(xiàn)，難易程度有些起伏，從趨勢看，與不等式等相結(jié)合，其難度有所增大，總體屬于中檔題.涉及數(shù)列的通項(xiàng)、遞推與不等式相結(jié)合的客觀題有所增加.

（二）本專題考向展示考點(diǎn)突破典例分析考向一分組轉(zhuǎn)化法求和【核心知識(shí)】1．等差數(shù)列的求和公式：SKIPIF1<0；2．等比數(shù)列的求和公式：SKIPIF1<0【典例分析】典例1.（2023秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前4項(xiàng)和為10，且SKIPIF1<0是等比數(shù)列SKIPIF1<0的前3項(xiàng)．(1)求SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比中項(xiàng)公式求得基本量SKIPIF1<0，從而利用公式法依次求得SKIPIF1<0；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，利用分組求和法與裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0.典例2.（2022秋·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.【答案】(1)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由已知條件取n的值代入計(jì)算可得SKIPIF1<0，然后利用遞推關(guān)系，驗(yàn)證SKIPIF1<0，即為數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可證數(shù)列SKIPIF1<0是SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求得SKIPIF1<0，利用累加法可求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）①已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；②由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，因此數(shù)列SKIPIF1<0是SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0也滿足上式，所以SKIPIF1<0.典例3.（2022秋·遼寧丹東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前2n項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用SKIPIF1<0進(jìn)行類比作差法即可求解；（2）分組求和，等比數(shù)列求和以及等差數(shù)列求和方法即可得解.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，適合上式，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0；（2）由題意可得，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【規(guī)律方法】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{an}的前n項(xiàng)和．(2)通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．考向二裂項(xiàng)相消法求和【核心知識(shí)】裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開后，某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))或eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋2)))(其中{an}為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和．【典例分析】典例4.（2023秋·湖北十堰·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式展開可求得結(jié)果；（2）由裂項(xiàng)相消求和可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（2）由（1）可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0典例5.（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差數(shù)列，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）公式法列方程組解決即可；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消解決即可.【詳解】（1）由題知，設(shè)SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.（2）證明：由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．典例6.（2022秋·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項(xiàng)的和.若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）【分析】（1）利用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系進(jìn)行求解；（2）使用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴綜上所述，SKIPIF1<0是首項(xiàng)SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0的等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.注：結(jié)果也可以為SKIPIF1<0.【總結(jié)提升】利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)1．抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；2．將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等．如：若{an}是等差數(shù)列，則eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))，eq\f(1,anan＋2)＝eq\f(1,2d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋2))).3.裂項(xiàng)相消法就是把數(shù)列的每一項(xiàng)分解，使得相加后項(xiàng)與項(xiàng)之間能夠相互抵消，但在抵消的過程中，有的是依次項(xiàng)抵消，有的是間隔項(xiàng)抵消．常見的裂項(xiàng)方式有：（1）SKIPIF1<0，特別地當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；（2），特別地當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，；（3）（4）（5）考向三錯(cuò)位相減法求和【核心知識(shí)】錯(cuò)位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．【典例分析】典例7.（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；（3）先求得SKIPIF1<0，進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得SKIPIF1<0，再結(jié)合錯(cuò)位相減法可得解.【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0公差為d，SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去），所以SKIPIF1<0；（2）證明：因?yàn)镾KIPIF1<0所以要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0顯然成立，所以SKIPIF1<0；（3）因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.典例8.（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0中的第SKIPIF1<0項(xiàng)是數(shù)列SKIPIF1<0中的第SKIPIF1<0項(xiàng).(1)求數(shù)列SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得到數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，從而得到數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）由（1）中的結(jié)論表示出SKIPIF1<0，再結(jié)合錯(cuò)位相減法計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.由題意知SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①-②得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.典例9.（2022秋·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和,SKIPIF1<0．(1)證明:數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【分析】(1)先求出SKIPIF1<0,根據(jù)SKIPIF1<0,寫出SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,兩式相減即可得SKIPIF1<0,要證數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列,只需證明SKIPIF1<0為一個(gè)常數(shù),將SKIPIF1<0代入即可;(2)由(1)得出數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式,若求SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和,需要進(jìn)行分組求和,先利用錯(cuò)位相減求出SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和,再求等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和,即可得SKIPIF1<0.【詳解】（1）證明:由題知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0故SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,兩式相減可得:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以數(shù)列SKIPIF1<0是以6為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列;（2）由(1)得數(shù)列SKIPIF1<0是以6為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,其前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0①,SKIPIF1<0②,①-②可得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,綜上:SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】1．求解此類題需掌握三個(gè)技巧：一是巧分拆，即把數(shù)列的通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)的積，并求出等比數(shù)列的公比；二是構(gòu)差式，求出前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后乘以等比數(shù)列的公比，兩式作差；三是得結(jié)論，即根據(jù)差式的特征進(jìn)行準(zhǔn)確求和．2．運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn)：一是判斷模型，即判斷數(shù)列{an}，{bn}一個(gè)為等差數(shù)列，一個(gè)為等比數(shù)列；二是錯(cuò)開位置；三是相減時(shí)一定要注意最后一項(xiàng)的符號(hào).3．用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：(1)等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”和“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．考向四數(shù)列的綜合問題【核心知識(shí)】數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考命題的一個(gè)方向，此類問題突破的關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，通過放縮進(jìn)行等式的證明．【典例分析】典例10.（2022秋·江蘇南通·高三期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項(xiàng)的和，若SKIPIF1<0成等差數(shù)列.(1)證明：SKIPIF1<0成等差數(shù)列；(2)比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大?。?3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為大于1的奇數(shù)，證明：SKIPIF1<0【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可；（2）作差法比較即可；（3）利用等比數(shù)列求和公式可得SKIPIF1<0，然后進(jìn)行求和即可得到答案【詳解】（1）由題知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以公比SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成等差數(shù)列.得證（2）由（1）得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）由（1）和題意得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.得證典例11.（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對(duì)任意SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）由SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系，分SKIPIF1<0討論，得到數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由SKIPIF1<0結(jié)合SKIPIF1<0的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對(duì)任意SKIPIF1<0恒成立，分類討論分離參數(shù)SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0與關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0①，得SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0時(shí)不等式恒成立；SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知SKIPIF1<0求SKIPIF1<0不要忽略SKIPIF1<0情況；（2）恒成立分離參數(shù)時(shí)，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中SKIPIF1<0恒成立，要對(duì)SKIPIF1<0討論，還要注意SKIPIF1<0時(shí)，分離參數(shù)不等式要變號(hào).典例12.（2022·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求使得SKIPIF1<0恒成立的m的最小整數(shù).【答案】(1)SKIPIF1<0(2)2【分析】（1）依據(jù)題給條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求得SKIPIF1<0；（2）先利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，再依據(jù)題給條件列出關(guān)于m的不等式，解之即可求得m的最小整數(shù)【詳解】（1）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（2）由（1）可得，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0恒成立，可得SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，使得SKIPIF1<0恒成立的m的最小整數(shù)為2當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成立，綜上，使得SKIPIF1<0恒成立的m的最小整數(shù)為2典例13.（2022秋·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)公式即可求解；（2）利用錯(cuò)位相減法求和，再利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性求最值即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0③，由①②③解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）知：SKIPIF1<0所以：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0①，所以：SKIPIF1<0②，由①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0化簡得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以，若不等式SKIPIF1<0恒成立，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為：SKIPIF1<0.典例14.（2022秋·天津和平·高三耀華中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)的和為64．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是公比大于0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0；(3)設(shè)SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算可求出結(jié)果；（2）根據(jù)SKIPIF1<0進(jìn)行并項(xiàng)求和可求出結(jié)果；（3）轉(zhuǎn)化為證明SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0進(jìn)行裂項(xiàng)求和可證明不等式成立.【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0是公差為2的等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（3）由（1）可知：SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以要證明原不等式成立，只需證明：SKIPIF1<0成立．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，左邊=1，右邊=1，左邊=右邊．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0成立．綜上所述：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過放縮得到SKIPIF1<0，并利用它進(jìn)行裂項(xiàng)求和是解題關(guān)鍵.【總結(jié)提升】1.數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用是高考命題的一個(gè)重要方向.此類問題的常見類型及求解策略:（1）依據(jù)數(shù)列的單調(diào)性解答數(shù)列中的最值問題.求解策略:一是根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到數(shù)列的單調(diào)性；二是通過對(duì)數(shù)列相鄰項(xiàng)的比較(作差、作商)得到數(shù)列的單調(diào)性.（2）利用“放縮法”證明數(shù)列型不等式.求解策略:一是在求和過程中將通項(xiàng)“放縮”為“可求和的數(shù)列”；二是求和后再“放縮”.2.易錯(cuò)提醒：(1)公式an＝Sn－Sn－1適用于所有數(shù)列，但易忽略n≥2這個(gè)前提．(2)數(shù)列和不等式的綜合問題，要注意條件n∈N*，求最值要注意等號(hào)成立的條件，放縮不等式要適度．考向五數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問題【核心知識(shí)】數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問題是對(duì)一個(gè)數(shù)列分成兩個(gè)新數(shù)列進(jìn)行單獨(dú)研究，利用新數(shù)列的特征(等差、等比數(shù)列或其他特征)求解原數(shù)列．【典例分析】典例15.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）記SKIPIF1<0，寫出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求SKIPIF1<0的前20項(xiàng)和.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】(1)方法一：由題意結(jié)合遞推關(guān)系式確定數(shù)列SKIPIF1<0的特征，然后求和其通項(xiàng)公式即可；(2)方法二：分組求和，結(jié)合等差數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列的前20項(xiàng)和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：顯然SKIPIF1<0為偶數(shù)，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，于是SKIPIF1<0．[方法二]：奇偶分類討論由題意知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為奇數(shù)）及SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為偶數(shù)）可知，數(shù)列從第一項(xiàng)起，若SKIPIF1<0為奇數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為1，若SKIPIF1<0為偶數(shù)，則其后一項(xiàng)減去該項(xiàng)的差為2．所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．[方法三]：累加法由題意知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0．（2）[方法一]：奇偶分類討論SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．[方法二]：分組求和由題意知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以數(shù)列SKIPIF1<0的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列；同理，由SKIPIF1<0知數(shù)列SKIPIF1<0的偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列SKIPIF1<0的前20項(xiàng)和為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：由題意討論SKIPIF1<0的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；方法二：利用遞推關(guān)系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關(guān)系式確定數(shù)列的性質(zhì)；方法三：寫出數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，然后累加求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項(xiàng)公式分奇偶的情況求解前項(xiàng)和是一種常規(guī)的方法；方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和分組的方法進(jìn)行求和是一種不錯(cuò)的選擇.典例16.（2022秋·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且對(duì)于任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)中的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前20項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0是以公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，進(jìn)而可求解，（2）根據(jù)數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)性質(zhì)可對(duì)SKIPIF1<0分奇偶，進(jìn)而可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分組求和即可求解.【詳解】（1）對(duì)于任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，進(jìn)而得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以首項(xiàng)為1，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0（2）當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因此當(dāng)SKIPIF1<0為大于1的奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0的前n項(xiàng)中的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，因此當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0的前n項(xiàng)中的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的前20項(xiàng)和SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0典例17.（2022秋·天津靜海·高三靜海一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.(