2015-2024年十年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題25 新定義綜合（數(shù)列新定義、函數(shù)新定義、集合新定義及其他新定義）

2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE1專題25新定義綜合（數(shù)列新定義、函數(shù)新定義、集合新定義及其他新定義）考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢考點(diǎn)1數(shù)列新定義（10年10考）2024·全國新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷2022·北京卷、2021·全國新Ⅱ卷、2021·北京卷2020·全國新Ⅱ卷、2020·北京卷2020·江蘇卷2019·江蘇卷、2018·江蘇卷、2017·北京卷2017·江蘇卷、2016·江蘇卷、2016·北京卷2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷新高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)體系下，新定義類試題更綜合性的考查學(xué)生的思維能力和推理能力;以問題為抓手，創(chuàng)新設(shè)問方式，搭建思維平臺(tái)，引導(dǎo)考生思考，在思維過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法。題目更加注重綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性，本題分值最高，試題容量明顯增大，對(duì)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查也更深入。壓軸題命題打破了試題題型、命題方式、試卷結(jié)構(gòu)的固有模式，增強(qiáng)試題的靈活性，采取多樣的形式多角度的提問，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，新定義題型的特點(diǎn)是;通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移達(dá)到靈活解題的目的;遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義照章辦事”逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決，難度較難，需重點(diǎn)特訓(xùn)。考點(diǎn)2函數(shù)新定義（10年4考）2024·上海、2020·江蘇、2018·江蘇2015·湖北、2015·福建考點(diǎn)3集合新定義（10年3考）2020·浙江卷、2018·北京卷2015·山東卷、2015·浙江卷考點(diǎn)4其他新定義（10年2考）2020·北京卷、2016·四川卷考點(diǎn)01數(shù)列新定義小題1．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．2．（2020·全國新Ⅱ卷·高考真題）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（

）A． B． C． D．大題1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中一次任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．2．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．3．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．4．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．5．（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．6．（2020·北京·高考真題）已知是無窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；②對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.7．（2020·江蘇·高考真題）已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）對(duì)于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，8．（2019·江蘇·高考真題）定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)，都有成立，求m的最大值．9．（2018·江蘇·高考真題）設(shè)，對(duì)1，2，···，n的一個(gè)排列，如果當(dāng)s<t時(shí)，有，則稱是排列的一個(gè)逆序，排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù)．例如：對(duì)1，2，3的一個(gè)排列231，只有兩個(gè)逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2．記為1，2，···，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù)．（1）求的值；（2）求的表達(dá)式(用n表示)．10．（2017·北京·高考真題）設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）若，，求的值，并證明是等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：或者對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列．11．（2017·江蘇·高考真題）對(duì)于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；（2）若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.12．（2016·江蘇·高考真題）記.對(duì)數(shù)列和的子集，若，定義；若，定義.例如：時(shí)，.現(xiàn)設(shè)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；（3）設(shè)，求證：.13．（2016·北京·高考真題）設(shè)數(shù)列A：，,…().如果對(duì)小于()的每個(gè)正整數(shù)都有＜，則稱是數(shù)列A的一個(gè)“G時(shí)刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時(shí)刻”組成的集合.（1）對(duì)數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素；（2）證明：若數(shù)列A中存在使得>，則；（3）證明：若數(shù)列A滿足-≤1（n=2,3,…,N）,則的元素個(gè)數(shù)不小于-.14．（2016·上?！じ呖颊骖}）若無窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱具有性質(zhì).（1）若具有性質(zhì)，且，，求；（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；（3）設(shè)是無窮數(shù)列，已知.求證：“對(duì)任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.15．（2016·上海·高考真題）對(duì)于無窮數(shù)列{}與{}，記A={|=，}，B={|=，}，若同時(shí)滿足條件：①{}，{}均單調(diào)遞增；②且，則稱{}與{}是無窮互補(bǔ)數(shù)列．（1）若=，=，判斷{}與{}是否為無窮互補(bǔ)數(shù)列，并說明理由；（2）若=且{}與{}是無窮互補(bǔ)數(shù)列，求數(shù)列{}的前16項(xiàng)的和；（3）若{}與{}是無窮互補(bǔ)數(shù)列，{}為等差數(shù)列且=36，求{}與{}得通項(xiàng)公式．16．（2015·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足：，，且．記集合．（Ⅰ）若，寫出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（Ⅲ）求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值．考點(diǎn)02函數(shù)新定義小題1．（2015·湖北·高考真題）已知符號(hào)函數(shù)是上的增函數(shù)，，則A． B．C． D．2．（2015·福建·高考真題）一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串，其中稱為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）已知某種二元碼的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：其中運(yùn)算定義為：．現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定等于．大題1．（2024·上海·高考真題）對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，令，若是取到最小值的點(diǎn)，則稱是在的“最近點(diǎn)”．(1)對(duì)于，求證：對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”；(2)對(duì)于，請判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是在的“最近點(diǎn)”，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)，．若對(duì)任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”，試判斷的單調(diào)性．2．（2020·江蘇·高考真題）已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達(dá)式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．3．（2018·江蘇·高考真題）記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“點(diǎn)”．（1）證明：函數(shù)與不存在“點(diǎn)”；（2）若函數(shù)與存在“點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的值；（3）已知函數(shù)，．對(duì)任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點(diǎn)”，并說明理由．考點(diǎn)03集合新定義小題1．（2020·浙江·高考真題）設(shè)集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個(gè)元素，且S，T滿足：①對(duì)于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②對(duì)于任意x，yT，若x<y，則S；下列命題正確的是（

）A．若S有4個(gè)元素，則S∪T有7個(gè)元素B．若S有4個(gè)元素，則S∪T有6個(gè)元素C．若S有3個(gè)元素，則S∪T有5個(gè)元素D．若S有3個(gè)元素，則S∪T有4個(gè)元素2．（2015·山東·高考真題）集合，，都是非空集合，現(xiàn)規(guī)定如下運(yùn)算：且．假設(shè)集合，，，其中實(shí)數(shù)，，，，，滿足：（1），；；（2）；（3）．計(jì)算．3．（2015·浙江·高考真題）設(shè)，是有限集，定義，其中表示有限集A中的元素個(gè)數(shù)，命題①：對(duì)任意有限集，，“”是“”的充分必要條件；命題②：對(duì)任意有限集，，，，A．命題①和命題②都成立B．命題①和命題②都不成立C．命題①成立，命題②不成立D．命題①不成立，命題②成立4．（2015·湖北·高考真題）已知集合，，定義集合，則中元素的個(gè)數(shù)為A．77 B．49 C．45 D．30大題1．（2018·北京·高考真題）設(shè)n為正整數(shù)，集合A=．對(duì)于集合A中的任意元素和，記M（）=．（Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，若，，求M（）和M（）的值；（Ⅱ）當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意元素，當(dāng)相同時(shí)，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，M（）是偶數(shù)．求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值；（Ⅲ）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素，M（）=0．寫出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說明理由．考點(diǎn)04其他新定義1．（2020·北京·高考真題）2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日（Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是（

）．A． B．C． D．2．（2016·四川·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)不是原點(diǎn)時(shí)，定義的“伴隨點(diǎn)”為，當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí)，定義“伴隨點(diǎn)”為它自身，現(xiàn)有下列命題：①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)，則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn).②單元圓上的“伴隨點(diǎn)”還在單位圓上．③若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則他們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于y軸對(duì)稱④若三點(diǎn)在同一條直線上，則他們的“伴隨點(diǎn)”一定共線．其中的真命題是．專題25新定義綜合（數(shù)列新定義、函數(shù)新定義、集合新定義及其他新定義）考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢考點(diǎn)1數(shù)列新定義（10年10考）2024·全國新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷2022·北京卷、2021·全國新Ⅱ卷、2021·北京卷2020·全國新Ⅱ卷、2020·北京卷2020·江蘇卷2019·江蘇卷、2018·江蘇卷、2017·北京卷2017·江蘇卷、2016·江蘇卷、2016·北京卷2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷新高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)體系下，新定義類試題更綜合性的考查學(xué)生的思維能力和推理能力;以問題為抓手，創(chuàng)新設(shè)問方式，搭建思維平臺(tái)，引導(dǎo)考生思考，在思維過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法。題目更加注重綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性，本題分值最高，試題容量明顯增大，對(duì)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查也更深入。壓軸題命題打破了試題題型、命題方式、試卷結(jié)構(gòu)的固有模式，增強(qiáng)試題的靈活性，采取多樣的形式多角度的提問，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，新定義題型的特點(diǎn)是;通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移達(dá)到靈活解題的目的;遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義照章辦事”逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決，難度較難，需重點(diǎn)特訓(xùn)。考點(diǎn)2函數(shù)新定義（10年4考）2024·上海、2020·江蘇、2018·江蘇2015·湖北、2015·福建考點(diǎn)3集合新定義（10年3考）2020·浙江卷、2018·北京卷2015·山東卷、2015·浙江卷考點(diǎn)4其他新定義（10年2考）2020·北京卷、2016·四川卷考點(diǎn)01數(shù)列新定義小題1．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．2．（2020·全國新Ⅱ卷·高考真題）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（

）A． B． C． D．大題1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中一次任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．2．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．3．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．4．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．5．（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．6．（2020·北京·高考真題）已知是無窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；②對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.7．（2020·江蘇·高考真題）已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）對(duì)于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，8．（2019·江蘇·高考真題）定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)，都有成立，求m的最大值．9．（2018·江蘇·高考真題）設(shè)，對(duì)1，2，···，n的一個(gè)排列，如果當(dāng)s<t時(shí)，有，則稱是排列的一個(gè)逆序，排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù)．例如：對(duì)1，2，3的一個(gè)排列231，只有兩個(gè)逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2．記為1，2，···，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù)．（1）求的值；（2）求的表達(dá)式(用n表示)．10．（2017·北京·高考真題）設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）若，，求的值，并證明是等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：或者對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列．11．（2017·江蘇·高考真題）對(duì)于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；（2）若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.12．（2016·江蘇·高考真題）記.對(duì)數(shù)列和的子集，若，定義；若，定義.例如：時(shí)，.現(xiàn)設(shè)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；（3）設(shè)，求證：.13．（2016·北京·高考真題）設(shè)數(shù)列A：，,…().如果對(duì)小于()的每個(gè)正整數(shù)都有＜，則稱是數(shù)列A的一個(gè)“G時(shí)刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時(shí)刻”組成的集合.（1）對(duì)數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素；（2）證明：若數(shù)列A中存在使得>，則；（3）證明：若數(shù)列A滿足-≤1（n=2,3,…,N）,則的元素個(gè)數(shù)不小于-.14．（2016·上?！じ呖颊骖}）若無窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱具有性質(zhì).（1）若具有性質(zhì)，且，，求；（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；（3）設(shè)是無窮數(shù)列，已知.求證：“對(duì)任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.15．（2016·上?！じ呖颊骖}）對(duì)于無窮數(shù)列{}與{}，記A={|=，}，B={|=，}，若同時(shí)滿足條件：①{}，{}均單調(diào)遞增；②且，則稱{}與{}是無窮互補(bǔ)數(shù)列．（1）若=，=，判斷{}與{}是否為無窮互補(bǔ)數(shù)列，并說明理由；（2）若=且{}與{}是無窮互補(bǔ)數(shù)列，求數(shù)列{}的前16項(xiàng)的和；（3）若{}與{}是無窮互補(bǔ)數(shù)列，{}為等差數(shù)列且=36，求{}與{}得通項(xiàng)公式．16．（2015·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足：，，且．記集合．（Ⅰ）若，寫出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（Ⅲ）求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值．考點(diǎn)02函數(shù)新定義小題1．（2015·湖北·高考真題）已知符號(hào)函數(shù)是上的增函數(shù)，，則A． B．C． D．2．（2015·福建·高考真題）一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串，其中稱為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）已知某種二元碼的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：其中運(yùn)算定義為：．現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定等于．大題1．（2024·上?！じ呖颊骖}）對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，令，若是取到最小值的點(diǎn)，則稱是在的“最近點(diǎn)”．(1)對(duì)于，求證：對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”；(2)對(duì)于，請判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是在的“最近點(diǎn)”，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)，．若對(duì)任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”，試判斷的單調(diào)性．2．（2020·江蘇·高考真題）已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達(dá)式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．3．（2018·江蘇·高考真題）記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“點(diǎn)”．（1）證明：函數(shù)與不存在“點(diǎn)”；（2）若函數(shù)與存在“點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的值；（3）已知函數(shù)，．對(duì)任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點(diǎn)”，并說明理由．考點(diǎn)03集合新定義小題1．（2020·浙江·高考真題）設(shè)集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個(gè)元素，且S，T滿足：①對(duì)于任意x，yS，若