2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語1.4.2充要條件課時作業(yè)含解析新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE1課時作業(yè)7充要條件時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——eq\a\vs4\al(一、選擇題)1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：因為A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，則A＝{1,3}，所以A?B，所以a＝3?A?B；若A?B，則a＝2或a＝3，所以A?Beq\o(?,/)a＝3，所以“a＝3”是“A?B”的充分不必要條件．2．下列p是q的充要條件的是(B)A．p：a>b，q：ac>bcB．p：x＝0或x＝1，q：x2－x＝0C．p：x>1且y>1，q：x＋y>2且xy>1D．p：0<x<3，q：|x－1|<2解析：選項A中c可為0，不符合．選項B中x2－x＝0解得x＝0或x＝1，符合題意．對于選項C，x>1且y>1?x＋y>2且xy>1；而x＋y>2且xy>1eq\o(?,/)x>1且y>1.故p是q的充分不必要條件，不符合題意．對于選項D,0<x<3?|x－1|<2，|x－1|<2?－1<x<3eq\o(?,/)0<x<3.故p是q的充分不必要條件，不符合題意．3．設(shè)a，b∈R，則“a<b”是“(a－b)a2<0”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若a＝0，b＝1，滿意a<b，但(a－b)a2<0不成立，若(a－b)a2<0，則a<b且a≠0，則a<b成立，故“a<b”是“(a－b)a2<0”的必要不充分條件．故選B.4．設(shè)條件p：|x－2|<3，條件q：0<x<a，其中a為正常數(shù)，若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍是(A)A．0<a≤5 B．0<a<5C．a(chǎn)≥5 D．a(chǎn)>5解析：由|x－2|<3，得－3<x－2<3，即－1<x<5，即p：－1<x<5.因為q：0<x<a，a為正常數(shù)，所以要使p是q的必要不充分條件，則0<a≤5，故選A.5．已知條件p：－1<x<3，條件q：x>a，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為(D)A．a(chǎn)>3 B．a(chǎn)≥3C．a(chǎn)<－1 D．a(chǎn)≤－1解析：條件p：－1<x<3，條件q：x>a，若p是q的充分不必要條件，則a≤－1，故選D.6．設(shè)全集為U，在下列條件中，是B?A的充要條件的有(D)①A∪B＝A;②(?UA)∩B＝?；③(?UA)?(?UB);④A∪(?UB)＝U.A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：由如圖所示的韋恩圖可知，①②③④都是充要條件．7．已知a，b是實數(shù)，則“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab>0”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：因為|a＋b|＝|a|＋|b|?a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2?|ab|＝ab?ab≥0，而由ab≥0不能推出ab>0，由ab>0能推出ab≥0，所以由|a＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0，由ab>0能推出|a＋b|＝|a|＋|b|，故選B.8．在△ABC中，AB>AC是∠C>∠B的()條件(C)A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要解析：在△ABC中，邊大則角大，角大邊也大，因此AB>AC是∠C>∠B的充要條件．故選C.eq\a\vs4\al(二、填空題)9．設(shè)集合A＝{x|0<x<1}，B＝{x|0<x<3}，那么“m∈A”是“m∈B”的充分不必要條件．解析：A＝{x|0<x<1}，B＝{x|0<x<3}，∴m∈A?m∈B，而m∈B?m∈A.∴“m∈A”是“m∈B”的充分不必要條件．10．若“x2＋ax＋b＝0”是“x＝1”的充要條件，則a＋b的值為－1.解析：易得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a＋b＝0,a2－4b＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝1))，所以a＋b＝－1.11．設(shè)n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝3或4.解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0，有整數(shù)根首先滿意Δ＝16－4n≥0，即n≤4，又n∈N＋，所以n＝1,2,3,4代入x2－4x＋n＝0，檢驗知n＝3或n＝4時，方程的解為整數(shù)．eq\a\vs4\al(三、解答題)12．求關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0的實數(shù)根中有且只有一個負實數(shù)根的充要條件．解：若方程ax2＋2x＋1＝0有且僅有一個負實數(shù)根，則當(dāng)a＝0時，x＝－eq\f(1,2)，符合題意．當(dāng)a≠0時，方程ax2＋2x＋1＝0有實數(shù)根，則Δ＝4－4a≥0，解得a≤1，當(dāng)a＝1時，方程有且僅有一個負實數(shù)根x＝－1，當(dāng)a<1且a≠0時，若方程有且僅有一個負實數(shù)根，則eq\f(1,a)<0，即a<0.當(dāng)a≤0或a＝1時，關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0有且僅有一個負實數(shù)根．綜上，“方程ax2＋2x＋1＝0有且僅有一個負實數(shù)根”的充要條件為“a≤0或a＝1”．13．已知a，b是實數(shù)，求證：a4－b4－2b2＝1成立的充分條件是a2－b2＝1，該條件是否是必要條件？證明你的結(jié)論．證明：充分性：若a2－b2＝1，則a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1.所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分條件．a(chǎn)2－b2＝1也是a4－b4－2b2＝1的必要條件，證明如下：若a4－b4－2b2＝1，則a4－(b2＋1)2＝0，即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0.因為a，b是實數(shù)，所以a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.綜上可知，a4－b4－2b2＝1成立的充要條件是a2－b2＝1.——實力提升類——14．記實數(shù)x1，x2，…，xn中的最大數(shù)為max{x1，x2，…，xn}，最小數(shù)為min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三邊邊長分別為a，b，c(a≤b≤c)，定義它的傾斜度為l＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))·mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))，則“l(fā)＝1”是“△ABC為等邊三角形”的(A)A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)△ABC是等邊三角形時，a＝b＝c，∴l(xiāng)＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))·mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝1×1＝1，∴“l(fā)＝1”是“△ABC為等邊三角形”的必要條件．∵a≤b≤c，令a＝b＝2，c＝3，∴maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,3)，\f(3,2)))＝eq\f(3,2)，mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,3)，\f(3,2)))＝eq\f(2,3)，此時l＝eq\f(3,2)×eq\f(2,3)＝1，△ABC為等腰三角形，故不能推出△ABC為等邊三角形，∴“l(fā)＝1”不是“△ABC為等邊三角形”的充分條件．綜上，故選A.15．已知x，y是非零實數(shù)，且x>y，求證：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件為xy>0.證明：必要性：∵eq\f(1,x)<eq