浙江省寧波市鎮(zhèn)海名校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷

浙江省寧波市鎮(zhèn)海名校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．cos2024πA．?12 B．12 C．?2．已知|OA|=2，|OB|=1，且OA，OBA．1 B．3 C．2 D．53．為了得到y(tǒng)=sin(5x?π3)A．向右平移π15個(gè)單位長度 B．向左平移πC．向右平移π3個(gè)單位長度 D．向左平移π4．已知|a|=23|b|，且滿足A．3b B．?3b C．35．已知tan(α?π4)=A．75 B．85 C．96．若a=(12)1A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<a<b D．c<b<a7．在△ABC中，點(diǎn)D為AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足EC=3BE，點(diǎn)P是直線BD，AE的交點(diǎn)，過點(diǎn)P做一條直線交線段AC于點(diǎn)M，交線段BC于點(diǎn)N（其中點(diǎn)M，N均不與端點(diǎn)重合）設(shè)CM=mCA，A．4+35 B．4+235 C．8．已知cos(140°?α)+sin(110°+α)=sin(130°?α)，求tanα=A．33 B．?33 C．3二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，全部選錯(cuò)的得0分.9．已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+πA．相位為2x+B．對(duì)稱中心為(?π12C．函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(?π3D．將函數(shù)y=f(x)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=2sin(x+π10．下列說法正確的是（）A．已知a，b為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則{aB．a(chǎn)//b，則存在唯一實(shí)數(shù)λC．兩個(gè)非零向量a，b，若|2a+3b|=?2|aD．△ABC中，AB?AC=1211．已知函數(shù)f(x)=cosA．f(x)的最小正周期為πB．f(x)為偶函數(shù)C．f(x)的圖象關(guān)于(π，D．f(x)的值域?yàn)??∞12．已知函數(shù)f(x)=|log2(?x)|，?4<x<04sin(π3x+π6)，0≤x<24，若g(x)=f(x)?tA．t∈(0B．xC．xD．x三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知一個(gè)扇形的面積和弧長均為π，則該扇形的圓心角為.14．設(shè)e1，e2為兩個(gè)單位向量，且?e1，e2?=15．已知sin(x2+5π24)=16．函數(shù)f(x)=sin(ωx+3φ)?2sinφcos(ωx+2φ)（ω>0，0<φ<π），設(shè)T為函數(shù)f(x)的最小正周期，f(T4)=四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟.17．單位向量a，b滿足(a（1）求a與b夾角的余弦值：（2）若ka+b與a18．已知f(α)=（1）化簡f(α)；（2）若α∈(?π2，0)，且滿足19．如圖所示，鎮(zhèn)海中學(xué)甬江校區(qū)學(xué)生生活區(qū)（如矩形ABCD所示），其中O為生活區(qū)入口.已知有三條路AB，BC，AD，路AD上有一個(gè)觀賞塘T，其中AT=300m，路BC上有一個(gè)風(fēng)雨走廊的入口L，其中BL=200m.現(xiàn)要修建兩條路OT，OL，修建OT，OL費(fèi)用成本分別為2λ/m，3λ/m.設(shè)∠TOA=α.（1）當(dāng)AO=600m，BO=200m時(shí)，求張角∠TOL的正切值；（2）當(dāng)OT⊥OL時(shí)，求當(dāng)α取多少時(shí)，修建OT，OL的總費(fèi)用最少，并求出此的總費(fèi)用.20．已知向量a=(1，2)，b（1）求|b+c（2）若α∈(0，π321．如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象，其中ω>0，0<φ<π.其中B為圖象最高點(diǎn)，C，D為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△BCD為等腰直角三角形，|CD|=2，①f(x+12)=f(?x+12)（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）設(shè)g(x)=f(2πx+12)，不等式22．函數(shù)f(x)=2sin2x+2|2sin(x+π（1）設(shè)g(t)=M(t)?m(t)，求g(t)；（2）設(shè)s∈R，若|f(x)+s|≤6對(duì)x∈R恒成立，求s+t的取值范圍.

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：cos2024π故答案為：A.【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡求值即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)锳B=OB?OA，

所以故答案為：D.【分析】根據(jù)向量的減法運(yùn)算可得AB=3．【答案】A【解析】【解答】解：函數(shù)y=sin(5x?π3)=sin5(x?π15)，故為了得到故答案為：A.【分析】先將5x?π3寫成4．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)閨a|=23所以a在b上的投影向量為|a故答案為：D.【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閠an(α?π4)=12則cos2α=sin2α=2故cos2α+故答案為：C.【分析】利用兩角差的正切公式結(jié)合tan(α?π4)=126．【答案】B【解析】【解答】解：a=(12)1.2即a<c<b.故答案為：B.【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，二倍角的正弦、余弦公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)，化簡后比較大小即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：過點(diǎn)E作EF∥AC交BD于點(diǎn)F，連接CP（如圖所示），

則△EFP∽△ADP，故EFAD=由于點(diǎn)D為AC邊上的中點(diǎn)，故AD=CD，EC=3BE，故BEBC=14，又△BEF∽則CP=由于CM=mCA，CN=n因?yàn)镸,P,所以m+n=(當(dāng)且僅當(dāng)n5m=3m5n，故m+n的最小值為4+23故答案為：B.【分析】過點(diǎn)E作EF∥AC交BD于點(diǎn)F，連接CP，由題意結(jié)合三角形相似推出PEAP=14，再利用向量的線性運(yùn)算推出CP=158．【答案】D【解析】【解答】解：由題意知，cos(140°?α)+sin(110°+α)=sin(130°?α)

cos(180°-即?cos(40°+α)+cos故cos(20°+α)=cos(40°?α)+cos(40°+α)即cos20°故cos20°即tanα=sinα故答案為：D.【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡原式可得cos(20°+α)=cos(40°?α)+cos(40°+α)，再利用兩角和差的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡可得tan9．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2sin(2x+π6)+1B、函數(shù)f(x)=2sin(2x+π6)+1，由故函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為(?C、由π2+2kπ≤2x+π即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[πD、將函數(shù)y=f(x)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得函數(shù)f(x)=2sin(x+π故答案為：AD.【分析】根據(jù)Asin10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、因?yàn)橄蛄縜，b為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，易知向量a+b與?aB、當(dāng)b≠0時(shí)，a//b，則存在唯一實(shí)數(shù)C、設(shè)兩個(gè)非零向量a與b夾角為α，因?yàn)閨2a+3b即a?b=?|a|?|b|，解得cosα=?1，又因?yàn)棣痢蔥0D、在△ABC中，AB?AC=12|AB由(AB?AC)?(AB+AC故答案為：ACD.【分析】利用基底的定義即可判斷A；利用向量共線定理即可判斷B；利用數(shù)量積的定義即可判斷CD.11．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、因?yàn)閒(x+π)=cos2(x+π)+4cos(x+π)=cosB、要使函數(shù)f(x)=cos2x+4cosx有意義，則cosx≠0且滿足f(?x)=cos2(?x)+4cos(?x)C、f(x)+f(2π?x)=cos2x+4D、f(x)=當(dāng)cosx∈(0當(dāng)且僅當(dāng)2cos2令t=cosx∈[?1,由y=2t2,y=4又因?yàn)間(?1)=2?4?1=?3，所以g(t)≤?3；即f(x)的值域?yàn)??∞,?3]∪[5,故答案為：BD.【分析】通過f(x+π)與f(x)的關(guān)系即可判斷A；通過f(?x)與f(x)的關(guān)系即可判斷B；通過化簡f(x)+f(2π?x)與2的關(guān)系即可判斷C；利用均值不等式以及函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的值域，從而判斷D.12．【答案】A,B,C,D【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)=|lo函數(shù)g(x)=f(x)?t（t>0）的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)A、由圖象可知，當(dāng)t>4時(shí)，函數(shù)f(x)當(dāng)t=4時(shí)，函數(shù)f(x)當(dāng)2≤t<4時(shí)，函數(shù)f(x)當(dāng)0<t<2，即t∈(0,2)時(shí)，函數(shù)f(B、由題意可知?4<x1<?1則log2(?所以(?x1)(?x2C、由函數(shù)圖象可得x3+xD、由圖象可知f(x)的圖象與直線y=t有10個(gè)交點(diǎn)，即n=5，且x3,同理得x4+x故x=8+14+20+26+32+38+44=182，故D正確，故答案為：ABCD.【分析】由題意，作出函數(shù)的圖象，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圖象圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合，即可判斷A；確定x1,x13．【答案】π【解析】【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，由扇形面積公式可得S=12lr=π，即r=故答案為：π2【分析】根據(jù)扇形的弧長、面積公式求解即可.14．【答案】?【解析】【解答】解：因?yàn)閑1+λe2與3e又因?yàn)閑1，e2為單位向量，且?e1，故答案為：?2【分析】根據(jù)向量e1+λe2與15．【答案】3+4【解析】【解答】解：因?yàn)閤∈(π,2π)，所以x2+5π則cos(x+5πsin(x+5π所以cos(x+3π故答案為：3+4310.

【分析】根據(jù)角的范圍，確定x2+5π24的范圍，結(jié)合sin(x16．【答案】(【解析】【解答】解：f(x)==sin(因?yàn)閒(T4)=結(jié)合0<φ<π，可得φ=π3，故f(若f(x)=sin(ωx+π3)在(π,2π)上單調(diào)遞增，則2kπ?π2≤ωπ+π32ωπ+若f(x)=sin(ωx+π3)需滿足2k+16≤k+712，所以k≤512故ω的取值范圍為為(0故答案為：(0【分析】利用兩角和的正弦公式化簡可得f(x)=sin(ωx+φ)，再結(jié)合f(T17．【答案】（1）解：因?yàn)閨a|=|b所以a2+a?b則cos?a，b?=a?（2）解：因?yàn)閗a+b所以(ka+b)?(a當(dāng)ka+b與a+3b由（1）知a與b不共線，所以k=λ1=3λ，解得k=所以當(dāng)ka+b與a由(ka+b即k+(3k+1)×13+3>0所以k>?53且k≠13，即實(shí)數(shù)【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用向量的數(shù)量積公式求a?b，再由夾角公式求a與（2）由題意得(ka+b)?(a+3b18．【答案】（1）解：f(α)==si（2）解：f(α)+1f(α)=?103，解得f(α)=?3或?cos2α當(dāng)tanα=?3時(shí)，且α∈(?π2，0)此時(shí)cosα?當(dāng)tanα=?13時(shí)，且α∈(?π2此時(shí)cosα?綜上cos2α【解析】【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）根據(jù)已知條件解出tanα=?3或?19．【答案】（1）解：設(shè)∠LOB=β，β為銳角，則設(shè)∠TOA=α，則tanα=故tan=?tan（2）解：當(dāng)OT⊥OL時(shí)，∠LOB=π故OT=300設(shè)修建OT，OL的總費(fèi)用為y，則y=300設(shè)t=sinα+cosα，則故y=600λ?sin由于y=t?1t在(1，2故y=1200λ?1t?1此時(shí)t=2，即α=故當(dāng)α=π4時(shí)，修建OT，OL的總費(fèi)用最少，最少為【解析】【分析】（1）設(shè)∠LOB=β，∠TOA=α，根據(jù)圖形分別求出tanβ，tan（2）當(dāng)OT⊥OL時(shí)，∠LOB=π2?α20．【答案】（1）解：a→=(1，所以|b當(dāng)cosα=?1時(shí)，|b+c（2）解：a∵α∈(0，π3)∴α+φ∈(φ，π3+φ)，設(shè)θ=α+φ，易知當(dāng)θ=φ時(shí)，tanθ=12，易知θ是第一象限角，故sin當(dāng)θ=φ+π3時(shí)，sinθ=故f(θ)【解析】【分析】（1）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求的b→+c（2）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求范圍即可.21．【答案】（1）解：∵△BCD為等腰直角三角形，|CD|=2且T2=2則f(x)=sin(π選①，由f(x+12)=f(?x+12則π故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=sin(（2）解：由（1）得g(x)=f(∴m∴mcos2令t=cosx∈[?1，1]，∴m≤?∵令n=t+4∈[3，5]，則y=n+∴y∈[?2，?6故m的取值范圍為(?∞【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件和函數(shù)的圖象，可得A與ω的值，

若選①，根據(jù)正弦型圖像的對(duì)稱軸可求得φ的值；

若選②，根據(jù)正弦型圖像的奇偶性可求得φ的值；

若選③，通過代入法結(jié)合圖像可求得φ的值，從而得到函數(shù)f(x)的解析式；（2）由（1）得g(x)=f(2πx+12)=sin(x+π2)=22．【答案】（1）解：f(x)=2sin設(shè)n=2(sinx+cos則y(n)=n當(dāng)t≤?1時(shí)，函數(shù)y(n)=n2+2n?t在[?2此時(shí)M(t)=y(2)=8?t，m(t)=y(?1)=?1?t，g(t)=M(t)?m(t)=9；當(dāng)?1<t≤0時(shí)，函數(shù)y(n)在[?2，t]上遞減，在此時(shí)M(t)=y(2)=8?t，m(t)=y(t)=t2+t當(dāng)0<t≤1時(shí)，函數(shù)y(n)在[?2，t]上遞減，在此時(shí)M(t)=y(?2)=8+3t，m(t)=y(t)=t2+t當(dāng)t>1時(shí)，函數(shù)y(n)在[?2，1]上遞減，在此時(shí)M(t)=y(?2)=8+3t，m(t)=y(1)=3t?1，g(t)=M(t)?m(t)=9.綜上：g(t)=9（2）解：|f(x)+s|≤6恒成立可化為?s?6≤y(n)≤?s+6，?2≤n≤2恒成立.①當(dāng)t>1時(shí)，M(t)=y(?2)=8+3t，m(t)=y(1)=3t?1，所以?s?6≤3t?1且8+3t≤?s+6，解得：s+t≤?2t?2<?4；②當(dāng)0<t≤1時(shí)，