第11講 圓錐曲線的綜合應用與新定義（八種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學熱點、重難點題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（原卷版）

第11講圓錐曲線的綜合應用與新定義（八種題型）題型一：弦長問題一、單選題1．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與的左、右兩支分別交于點，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）過拋物線焦點作傾斜角為的直線交拋物線于，則（

）A． B． C．1 D．16二、多選題3．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預測）已知F是拋物線的焦點，點在拋物線W上，過點F的兩條互相垂直的直線，分別與拋物線W交于B，C和D，E，過點A分別作，的垂線，垂足分別為M，N，則（

）A．四邊形面積的最大值為2B．四邊形周長的最大值為C．為定值D．四邊形面積的最小值為32三、填空題4．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的右焦點為，直線與雙曲線相交于兩點，點，以為直徑的圓與相交于兩點，若為線段的中點，則__________.5．（2023春·江蘇南通·高三?？奸_學考試）已知橢圓C:的離心率為，F(xiàn)是左焦點，過F且傾斜角為45°的直線交C于點A，B．設M，N分別是AF和BF的中點，O為坐標原點，若，則的面積為______．四、解答題6．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）設拋物線的焦點為，，Q在準線上，Q的縱坐標為，點M到F與到定點的距離之和的最小值為4．(1)求拋物線C的方程；(2)過F且斜率為2的直線l與C交于A、B兩點，求的面積．7．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）如圖，已知橢圓的左?右頂點分別為，點是橢圓上異于的動點，過原點平行于的直線與橢圓交于點的中點為點，直線與橢圓交于點，點在軸的上方.(1)當時，求；(2)求的最大值.8．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點，M為線段AB的中點．(1)當k變化時，求點M的軌跡方程；(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點，問：是否存在實數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個三等分點？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．9．（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學考試）已知拋物線的焦點也是離心率為的橢圓的一個焦點F．(1)求拋物線與橢圓的標準方程；(2)設過F的直線交拋物線于A、B，交橢圓于C、D，且A在B左側，C在D左側，A在C左側．設，，．①當時，是否存在直線l，使得a，b，c成等差數(shù)列？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由；②若存在直線，使得a，b，c成等差數(shù)列，求的范圍．10．（2023·陜西咸陽·校考一模）已知橢圓的離心率為，它的四個頂點構成的四邊形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)設過點的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點，求的最大值．11．（2020春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，動點到定點的距離與動點到定直線的距離的比值為，記動點M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的標準方程.(2)若動直線l與曲線C相交于A，B兩點，且（O為坐標原點），求弦長的取值范圍.12．（2023秋·云南·高三云南師大附中校考階段練習）已知點在雙曲線上，的左焦點為，點到的漸近線的距離為1，過點的直線與的左支交于A，B兩點．(1)求的方程；(2)作垂直于軸于點，若的外接圓圓心在軸上，求的方程．題型二：面積問題一、多選題1．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知為坐標原點，離心率為的橢圓的左，右焦點分別為，，與曲線恰有三個交點，則（

）A．橢圓的長軸長為B．的內(nèi)接正方形面積等于3C．點在上，，則的面積等于1D．曲線與曲線沒有交點2．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：的左、右焦點為，，點，，為橢圓上一動點，過點的直線交橢圓于，兩點，則下列說法正確的有（

）A．若的垂直平分線過點，則B．的最小值為C．若，則的面積的最大值為D．若的面積取最大值時的直線不唯一，則二、填空題3．（寧夏銀川一中、云南省昆明市第一中學2023屆高三聯(lián)合考試一模數(shù)學（文）試題）橢圓：的左，右焦點分別為，，上頂點為，離心率為，直線將分成面積相等的兩部分，則的取值范圍是_________.4．（2023·全國·模擬預測）已知橢圓，斜率為的直線分別交軸負半軸、軸負半軸于、兩點，交于、兩點，點在軸上方，過點作軸的平行線交于、兩點，則面積的最大值為________．三、解答題5．（2023春·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學?？奸_學考試）已知橢圓的離心率為，短軸長為．(1)求C的方程；(2)經(jīng)過橢圓左頂點A且斜率為的直線l與C交于A，B兩點，交y軸于點E，點P為線段AB的中點，若點E關于x軸的對稱點為H，過點E作OP（O為坐標原點）垂直的直線交直線AH于點M，且APM面積為，求k的值．6．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知點在橢圓上，直線交橢圓于，兩點，直線?的斜率之和為0.(1)求直線的斜率；(2)求面積的最大值.7．（2023·云南·高三云南師大附中校考階段練習）在①；②；③面積的最小值為8，這三個條件中任選一個，補充在橫線上，并解答下列問題．（若選擇多個條件作答，則按第一個解答計分）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與該拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，_____________．(1)求拋物線的方程；(2)點C在拋物線上，的重心G在y軸上，直線交y軸于點Q（點Q在點F上方）．記的面積分別為，求T的取值范圍．8．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點的直線l交橢圓C于P，Q兩點，O為坐標原點，求△OPQ面積的最大值．9．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）已知拋物線，點在C上，A關于動點的對稱點記為M，過M的直線l與C交于，，M為P，Q的中點．(1)當直線l過坐標原點O時，求外接圓的標準方程；(2)求面積的最大值．10．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左，右焦點分別為，，離心率為，M為橢圓上異于左右頂點的動點，的周長為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點M作圓的兩條切線，切點分別為，直線AB交橢圓C于P，Q兩點，求的面積的取值范圍.11．（2023·山東·日照一中?？寄M預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，斜率為的直線l與雙曲線C交于兩點，點在雙曲線C上，且.(1)求的面積；(2)若（O為坐標原點），點，記直線的斜率分別為，問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.12．（湖北省七市（州）2023屆高三下學期3月聯(lián)合統(tǒng)一調研測試數(shù)學試題）已知橢圓的右頂點為A，左焦點為F，過點F作斜率不為零的直線l交橢圓于兩點，連接，分別交直線于兩點，過點F且垂直于的直線交直線于點R．(1)求證：點R為線段的中點；(2)記，，的面積分別為，，，試探究：是否存在實數(shù)使得？若存在，請求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．13．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中學?？茧A段練習）已知過點的橢圓的離心率為.如圖所示，過橢圓右焦點的直線（不與軸重合）與橢圓相交于兩點，直線與軸相交于點，過點A作，垂足為.(1)求四邊形為坐標原點的面積的最大值；(2)求證：直線過定點，并求出點的坐標.14．（2023秋·北京·高三?？计谀┮阎獧E圓的離心率為，以橢圓的任意三個頂點為頂點的三角形的面積是．(1)求橢圓的方程；(2)設為原點，A為橢圓的左頂點，是橢圓上不同于點A的兩點，且直線的斜率之積等于．求與的面積比值．題型三：中點弦問題一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線l交雙曲線C的漸近線于A，B兩點，若，（表示的面積），則雙曲線C的離心率的值為（

）A． B． C． D．或2．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安國光中學?？茧A段練習）已知橢圓的右焦點和上頂點分別為點和點，直線交橢圓于兩點，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）橢圓中以點為中點的弦所在直線斜率為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習）已知A，B在拋物線上，且線段AB的中點為M(1，1)，則|AB|＝（

）A．4 B．5C． D．二、多選題5．（2023春·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于兩點，點在拋物線上，則下列結論中正確的是（

）A．若，則的最小值為4B．當時，C．若，則的取值范圍為D．在直線上存在點，使得三、填空題6．（2022·全國·高三專題練習）過點作斜率為的直線與雙曲線相交于A，B兩點，若M是線段的中點，則雙曲線的離心率為___________.四、解答題7．（2018·全國·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為．（1）證明：；（2）設為的右焦點，為上一點,且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．8．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的右焦點為F，直線l與橢圓C交于A，B兩點．(1)若，且直線l的斜率為4，求直線(點為坐標原點)的斜率．(2)若直線，的斜率互為相反數(shù)，且直線l不與x軸垂直，探究：直線l是否過定點?若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．9．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知拋物線：（），過點的直線與拋物線交于，兩點（在的左側），為線段的中點.當直線斜率為時，中點的縱坐標為.(1)求拋物線的方程；(2)若線段上存在點，使得，求點的軌跡方程.10．（2022·陜西·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的右焦點，且滿足．(1)求橢圓E的標準方程；(2)若E上存在M，N兩點關于直線對稱，且滿足（O為坐標原點），求l的方程．題型四：范圍問題一、單選題1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．62．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．323．（2022·全國·高三專題練習）已知P是橢圓上一動點，，是橢圓的左、右焦點，當時，；當線段的中點落到y(tǒng)軸上時，，則點P運動過程中，的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為F，P為C上一點，點，，設取最小值和最大值時對應的點分別為，，且，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、解答題5．（2019·全國·高考真題）已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.6．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．8．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓．設A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；(2)求的最小值．題型五：定點問題一、解答題1．（2023·全國·高三專題練習）已知點在橢圓上，橢圓C的左右焦點分別為，，的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設點A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.（i）證明：；（ii）證明：直線AB過定點.2．（2019·北京·高考真題）已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程；（Ⅱ）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．3．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓C：（a>b>0）的左?右焦點分別為，，點滿足，且的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設橢圓C的上頂點為P，不過點P的直線l交C于A，B兩點，若，證明直線l恒過定點.4．（2019·全國·統(tǒng)考高考真題）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.5．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的長軸長為，且過點(1)求的方程：(2)設直線交軸于點，交C于不同兩點，，點與關于原點對稱，，為垂足.問：是否存在定點，使得為定值？6．（2022·全國·高三專題練習）生活中，橢圓有很多光學性質，如從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個焦點.現(xiàn)橢圓C的焦點在y軸上，中心在坐標原點，從下焦點射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到上焦點，這束光線的總長度為4，且反射點與焦點構成的三角形面積最大值為，已知橢圓的離心率e.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若從橢圓C中心O出發(fā)的兩束光線OM、ON，分別穿過橢圓上的A、B點后射到直線上的M、N兩點，若AB連線過橢圓的上焦點，試問，直線BM與直線AN能交于一定點嗎？若能，求出此定點：若不能，請說明理由.7．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，當軸時，.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l交y軸于點D，過點D且垂直于y軸的直線交拋物線C于點P，直線PF交拋物線C于另一點Q.①是否存在定點M，使得四邊形AQBM為平行四邊形？若存在，求出定點M的坐標；若不存在，請說明理由.②求證：為定值.8．（2022·遼寧·校聯(lián)考一模）已知點，在拋物線上，，分別為過點A，B且與拋物線E相切的直線，，相交于點．條件①：點M在拋物線E的準線上；條件②：；條件③：直線AB經(jīng)過拋物線的焦點F．(1)在上述三個條件中任選一個作為已知條件，另外兩個作為結論，構成命題，并證明該命題成立；(2)若，直線與拋物線E交于C、D兩點，試問：在x軸正半軸上是否存在一點N，使得的外心在拋物線E上？若存在，求N的坐標；若不存在，請說明理由9．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知圓與x軸交于A，B兩點，動點P滿足直線與直線的斜率之乘積為.(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)過點的直線l與曲線E交于M，N兩點，則在x軸上是否存在定點Q，使得的值為定值？若存在，求出點Q的坐標和該定值；若不存在，請說明理由.題型六：定值問題一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：，過其左焦點作直線l交橢圓于P，A兩點，取P點關于x軸的對稱點B.若G點為的外心，則（

）A．2 B．3 C．4 D．以上都不對二、解答題2．（2023春·湖北鄂州·高三?？茧A段練習）已知雙曲線的離心率是，實軸長是8.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點的直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點A和B，若直線l上存在不同于點P的點D滿足成立，證明：點D的縱坐標為定值，并求出該定值.3．（2022·全國·高三專題練習）已知在△ABC中，，，動點A滿足，，AC的垂直平分線交直線AB于點P．(1)求點P的軌跡E的方程；(2)直線交x軸于D，與曲線E在第一象限的交點為Q，過點D的直線l與曲線E交于M，N兩點，與直線交于點K，記QM，QN，QK的斜率分別為，，，①求證：是定值．②若直線l的斜率為1，問是否存在m的值，使？若存在，求出所有滿足條件的m的值，若不存在，請說明理由．4．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線，直線l經(jīng)過拋物線C的焦點，且垂直于拋物線C的對稱軸，直線l與拋物線C交于M，N兩點，且．(1)求拋物線C的方程；(2)已知點，直線與拋物線C相交于不同的兩點A，B，設直線PA與直線PB的斜率分別為和，求證：為定值．5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）設點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.6．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．7．（2022·河北滄州·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率，P為橢圓上一動點，面積的最大值為2.(1)求橢圓E的方程；(2)若C，D分別是橢圓E長軸的左、右端點，動點M滿足，連結CM交橢圓于點N，O為坐標原點.證明：為定值；(3)平面內(nèi)到兩定點距離之比是常數(shù)的點的軌跡是圓.橢圓E的短軸上端點為A，點Q在圓上，求的最小值.8．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知點，，點M滿足．記M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)設點P為x軸上的動點，經(jīng)過且不垂直于坐標軸的直線l與C交于A，B兩點，且，證明：為定值．題型七：向量共線問題一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左?右焦點分別為為上不與左?右頂點重合的一點，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C：，，為C的左、右焦點，則（

）A．雙曲線和C的離心率相等B．若P為C上一點，且，則的周長為C．若直線與C沒有公共點，則或D．在C的左、右兩支上分別存在點M，N使得三、解答題3．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點滿足，點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線與以為圓心的圓相切于點，且為線段的中點．求直線的方程．4．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線過點，且焦距為10．(1)求C的方程；(2)已知點，E為線段AB上一點，且直線DE交C于G，H兩點．證明：．5．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C的焦點坐標為和，且橢圓經(jīng)過點.(1)求橢圓C的方程；(2)若，橢圓C上四點M，N，P，Q滿足，，求直線MN的斜率.6．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的頂點在坐標原點，橢圓的頂點分別為，，，，其中點為拋物線的焦點，如圖所示.（1）求拋物線的標準方程；（2）若過點的直線與拋物線交于，兩點，且，求直線的方程.7．（2022·全國·高三專題練習）已知圓：，動圓與圓內(nèi)切，且與定直線相切，設動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)若直線過點，且與交于，兩點，與軸交于點，滿足，（，），試探究與的關系．8．（2022·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點F到其準線的距離為4，橢圓經(jīng)過拋物線的焦點F．(1)求拋物線的方程及a；(2)已知O為坐標原點，過點的直線l與橢圓相交于A，B兩點，若，點N滿足，且最小值為，求橢圓的離心率．9．（2022·全國·高三專題練習）已知點分別為橢圓的左?右焦點，直線與橢圓有且僅有一個公共點，直線，垂足分別為點.(1)求證：；(2)求證：為定值，并求出該定值；(3)求的最大值.題型八：圓錐曲線新定義一、單選題1．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開學考試）2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）正視圖近似于伯努利雙紐線，定義在平面直角坐標系xOy中（O為坐標原點），把到定點和距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，記為Γ，已知為雙紐線Γ上任意一點，有下列命題：①雙紐線Γ的方程為；②面積最大值為；③；④的最大值為．其中所有正確命題的序號是（

）A．①② B．①②③C．②③④ D．①②③④2．（2022秋·廣西欽州·高三校考階段練習）法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓方程為，現(xiàn)有橢圓的蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于