湖北省十一校2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（一模）數(shù)學(xué)試題 含解析

鄂南高中黃岡中學(xué)黃石二中荊州中學(xué)龍泉中學(xué)武漢二中孝感高中襄陽四中襄陽五中宜昌一中夷陵中學(xué)2025屆高三湖北省十一校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分:150分)命題學(xué)校:黃岡中學(xué)命題教師:李鋼鋒蔡盛陳曉潔審題學(xué)校:荊州中學(xué)注意事項(xiàng):1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上,并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2?B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合A={?1,?2,?A.{?2}B.{?3}2.若復(fù)數(shù)z滿足z+1?iz=A.?12?12i3.已知非零向量a=0,t,b=1,?4,若向量b在A.-2B.-4C.2D.44.某工廠生產(chǎn)了500件產(chǎn)品,質(zhì)檢人員測量其長度(單位:厘米),將測量數(shù)據(jù)分成6組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果要讓90%的產(chǎn)品長度不超過a厘米,根據(jù)直方圖估計(jì),下列最接近a的數(shù)是()A.93.5B.94.1C.94.7D.95.55.下列選項(xiàng)中,與tan55°A.1+sin20°cos20°6.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中,AB=AC=2,∠BAC=2πA.12πB.16πC.20π D.24π7.蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家,他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓,這個(gè)圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓C:x2m+y23=1的焦點(diǎn)在x軸上,A、B為橢圓上任意兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在直線x?A.0,33B.0,8.已知函數(shù)fx,gx的定義域?yàn)镽,g'x是gx的導(dǎo)數(shù),且fx+A.80B.75C.70D.65二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)fx=2A.fB.函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)π18C.將fx的圖象向左平移π6個(gè)單位長度,可得到gD.函數(shù)fx在區(qū)間0,10.已知函數(shù)fx=lnx?1?2A.若a,b∈D且aB.已知a,b∈D且a≠b,則“abC.方程ffx=0D.若a∈1,211.雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支,在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位,同時(shí)也具有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美.雙紐線的圖形輪廓像“∞”,是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素.已知在平面直角坐標(biāo)系中,F1?2,0,F22,曲線C.則下列結(jié)論正確的是()A.曲線C既是中心對稱又是軸對稱圖形B.曲線C上滿足PF1=PF2的點(diǎn)C.OPD.曲線C上存在四個(gè)不同的點(diǎn),使曲線在該點(diǎn)處切線的斜率為0三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知數(shù)列an是等差數(shù)列,且其前n項(xiàng)和為Sn.若S3=913.若直線y=2x為曲線y=eax+14.克羅狄斯·托勒密是希臘數(shù)學(xué)家,他博學(xué)多才,既是天文學(xué)權(quán)威,也是地理學(xué)大師.托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理,它揭示了圓內(nèi)接四邊形的對角線與邊長的內(nèi)在聯(lián)系,該定理的內(nèi)容為:圓的內(nèi)接四邊形中,兩條對角線長的乘積等于兩組對邊長的乘積之和.已知四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形,且AC=3BD,??(1)圓O的半徑是_____；(2)四邊形ABCD面積的取值范圍是_____.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,△ABC是邊長為2的正三角形,AA1=3,D為(1)當(dāng)λ=23時(shí),求證:A1E⊥(2)當(dāng)λ=13時(shí),求直線A1B116.(15分)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F(1)求C的離心率；(2)已知a=1,M,N兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上,且分別位于第一、四象限.若MB17.(15分)2024年7月13日,國際汽車博覽會(huì)在長春舉行,已知某汽車模型公司共有25個(gè)汽車模型,其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示:紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23(1)若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型,記事件A為小明取到紅色外觀的模型,事件B為小明取到米色內(nèi)飾的模型,求PB和PB∣A,并判斷事件A和事件(2)該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng),規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中,每人可以一次性從這些模型中拿兩個(gè)汽車模型,給出以下假設(shè):假設(shè)1:拿到的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果,即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色;假設(shè)2:按結(jié)果的可能性大小,概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高;假設(shè)3:該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為:一等獎(jiǎng)600元,二等獎(jiǎng)300元,三等獎(jiǎng)150元.請你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對應(yīng)的結(jié)果,設(shè)X為獎(jiǎng)金額,寫出X的分布列并求出X的數(shù)學(xué)期望.18.(17分)已知函數(shù)?x(1)當(dāng)a=1時(shí),判斷函數(shù)g(2)對任意的x≥0時(shí)g'x≥?(3)記fx=?x?1πx2,若fx1=f19.(17分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若對每一個(gè)n∈N?,有且僅有一個(gè)m∈N?,使得Sm≤an<Sm+1.則稱an為“(1)若an的前四項(xiàng)依次為0,1,?1,2,試判斷(2)若Sn=2n+1,證明an為“(3)已知a1=1的正項(xiàng)數(shù)列an為“X數(shù)列”,且an2025屆高三湖北十一校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題參考答案1.【答案】C【解答】集合A={?1,?2,?3【解答】由z+1?iz=1+3.【答案】A【解答】由題意b?aa?a4.【答案】C【解答】由圖可得1所以a∈94,95,且a?94×5.【答案】D【解答】D中,1?tan6.【答案】C【解答】由C點(diǎn)到直線A1B1的距離為7△ABC的外接圓直徑設(shè)三棱柱ABC?A1B1則R2=r2+7.【答案】B【解答】由題m>3,又直線x=±m(xù),y=±3都與橢圓x2m+y23=1m>0相切,因此直線x=±m(xù),y=±3所圍成矩形的外接圓x2+y2=3+m即為橢圓x2m+y23=?得m<9,則e2=m所以橢圓C的離心率的取值范圍為08.【答案】B【解答】因?yàn)間x為偶函數(shù),所以gx=g?x,所以因?yàn)閒x+g′x=5f所以f4?x+又fx=5?g′x=k9.【答案】AB【解答】A中,fx的周期T=2π3B中,令fx=2sin3x?π6=0C中,將fx的圖象向左平移π6個(gè)單位長度,得到fx+π6D中,由fx的對稱軸為x=2π9+kπ故D錯(cuò)誤.10.【答案】BCD【解答】由函數(shù)fx=lnx?1且f′x=1x+2x?A中,令a=1e,b=e,得B中,由已知得f1x+fx=?C中,fx有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,方程fx=x1D中,由fa?1>f令gx=lnx+1所以gx在(0,1)為單調(diào)遞減函數(shù),所以gx>g1因?yàn)閍∈1,2,可得1?得fa?1?fa11.【答案】ACD【解答】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則曲線C:x?22B中,若PF1=PF2,則PF1=PF2C中,由x?22+整理得,x2+y22=D中,從雙紐線的圖形上,可以觀察有四個(gè)點(diǎn)處切線的斜率為0,另外,由x2+y22=8x2令yx′=0?x=±3或0,經(jīng)計(jì)算曲線12.【答案】1【解答】由S3=9,S6=36得:a213.【答案】2【解答】設(shè)fx=eax+b,則f′x=可得切線方程為y?eax0所以1?ax0eax0+b=0a設(shè)gx=2xe1+x,則g′x=當(dāng)x∈1,+∞時(shí),g′x<0,gx單調(diào)遞減,所以當(dāng)所以ab的最大值為2e14.【答案】(1)2;(2)3,【解答】(1)由托勒密定理,得AC?BD=AB?CD+BC?設(shè)圓O的半徑為R,由正弦定理,得ACsin∠ADC=BDsin∠所以sin∠ADC=3sin∠BAD.因?yàn)椤弦驗(yàn)?<∠BAD<π,所以sin∠BAD所以sin∠BAD=1?cos2∠BAD=(2)如圖,假設(shè)BD邊固定,結(jié)合AC=23得,圓心O到直線AC的距離d=1,即AC是以過B(或D)分別做小圓的切線時(shí),可得直線BA2,BA4,DA1,DA3當(dāng)C點(diǎn)在劣弧BD時(shí),頂點(diǎn)A可以在劣弧A1A2,A3A4上運(yùn)動(dòng),由對稱性可知,不妨考慮點(diǎn)A在劣弧15.(13分)【解答】(1)證明:∵△ABC為正三角形,D為AC中點(diǎn),∴在直三棱柱ABC?A1B1C1中,平面ACC1A1⊥故BD⊥平面ACC1A1當(dāng)λ=23時(shí),tan∠A1∴∠A1ED=90°,即A1E⊥DE(說明:也可以用坐標(biāo)法證明)(2)當(dāng)λ=13時(shí),CE=1,易證A1E⊥DE以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DB,DC,DD1向量方向分別為x軸,y建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則有D0,由A1E⊥平面BDE可得:平面BDE的一個(gè)法向量是且BA=?3,?1,0.記直線A1B1sin所以直線A1B1與平面BDE所成角的正弦值是(說明:也可以用幾何法求解)16.(15分)【解答】(1)當(dāng)BF⊥AF且AF=BF時(shí),c+a=b2a=c(2)由a=1得:c=2,b=3不妨設(shè)Mm,3m,Nn,?3n由B在雙曲線C上得:m+2n而∠MON=120°【解答】(1)若小明取到紅色外觀的模型,棕色內(nèi)飾的有12個(gè),米色內(nèi)飾的有2個(gè),則對應(yīng)的概率PA若小明取到米色內(nèi)飾的模型,紅色外觀的有2個(gè),藍(lán)色外觀的有3個(gè),則對應(yīng)的概率P(2分)同時(shí)取到紅色外觀、米色內(nèi)飾的模型有2個(gè),即PAB=225,則∵PAPB=1425×15=14(2)由題意知X=則外觀和內(nèi)飾均為同色的概率P1=外觀和內(nèi)飾都異色的概率P2=僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率P3∵1則X的分布列為:(13分)X150300600P14913則EX=150×18.(17分)【解答】(1)當(dāng)a=1時(shí),g令mx=ex當(dāng)x<ln2時(shí),m′x<0,即m當(dāng)x>ln2時(shí),m′x>0,即mx所以mx≥mln所以gx在R上為增函數(shù);-4(2)因?yàn)間x=ex設(shè)F則F′x令nx=ex?∴nx在[0,+∞)為增函數(shù),即F′x故F′x當(dāng)a≤?12時(shí),F′x≥F′0=?故Fx≥F0當(dāng)a>?12時(shí),F′0=?2a?1<0故存在x0>0滿足F′x0=0,則所以當(dāng)x∈0,x0綜上所述,a的取值范圍為a≤?(3)證明:fx由fx1=fx所以2x1兩邊同除以x1?x2所以2?1令x0=x1+x22因?yàn)閒′所以f′x因?yàn)閟inx1?x22x1?x22=sinx2?x12x2?x12,又x(說明:第(3)問用極值點(diǎn)偏移的方法對應(yīng)給分,易知部分不證明也給分)19.(17分)【解答】(1)an不為“X數(shù)列”.由題意得:S1=因?yàn)镾1≤a1<S2,S3≤a所以an不為“X數(shù)列”;-5(2)證明:因?yàn)镾n=2n+1,所以當(dāng)n=1解得m=1,所以b當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn?Sn因此m=