《數(shù)學（第8版 上冊）》 課件 第3章 函數(shù);第4章 三角函數(shù)

函數(shù)第3章63目錄3.1函數(shù)的概念及表示3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.3冪函數(shù)3.4指數(shù)函數(shù)3.5對數(shù)函數(shù)64學習目標1.理解函數(shù)的概念，會用恰當?shù)姆椒ǎń馕龇?、列表法、圖像法）表示函數(shù).2.會求一些簡單函數(shù)的定義域.3.理解函數(shù)值的概念，會求一些簡單函數(shù)的值域.4.會判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，并能利用單調(diào)性確定函數(shù)的最大值或最小值.655.了解n次方根的概念，掌握實數(shù)指數(shù)冪的運算法則，能熟練地使用計算器求冪值.6.理解對數(shù)的概念，能進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化；掌握對數(shù)的運算法則，能進行一些簡單的對數(shù)運算.7.初步學會運用函數(shù)知識理解和解決簡單實際問題.8.掌握由圖識性、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思維方法，了解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的實際背景，理解它們的概念，了解它們的圖像特征和性質(zhì)，并能夠?qū)⑦@些知識用于解釋生活和生產(chǎn)中有關(guān)指數(shù)增長、指數(shù)衰減以及對數(shù)增長的問題.663.1函數(shù)的概念及表示67實例考察（1）請你根據(jù)初中學過的知識，思考下列實例中的兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍（用不等式表示），并求出表格內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值.

面積

正方形面積y是邊長x的函數(shù)，可表示為y=

，自變量x的取值范圍為

.68個人所得稅

按照我國稅法規(guī)定，個人月收入的應(yīng)納稅所得額中，超過5000元不超過8000元的部分，需繳納3%的個人所得稅.設(shè)某人月收入的應(yīng)納稅所得額為x元（5000<x≤8000），個人繳納的所得稅為y元.這里y是x的函數(shù)，可表示為y=

，自變量x的取值范圍為

.在以上兩例中，當自變量x

在取值范圍內(nèi)取一個確定的值時，函數(shù)y有幾個值與之對應(yīng)?69（2）恩格爾系數(shù)

國際上常用恩格爾系數(shù)r反映一個國家平均家庭生活質(zhì)量的情況.研究發(fā)現(xiàn)：一個家庭收入越少，恩格爾系數(shù)就越大；反之家庭收入越多，恩格爾系數(shù)就會越小.下表中為近8年來全國居民恩格爾系數(shù)情況，請問恩格爾系數(shù)r與年份x之間有什么關(guān)系呢？這些問題都可以用本章函數(shù)的知識來解決.703.1.1函數(shù)的概念71例如（正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的對應(yīng)關(guān)系是“乘以k”，定義域是（-∞，+∞），值域也是（-∞，+∞）；二次函數(shù)y=x2+c的對應(yīng)關(guān)系是

“求平方再加c”，定義域是（-∞，+∞），值域是[c，+∞）.從函數(shù)的概念可以知道，函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素.函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就隨之確定了.723.1.2函數(shù)的表示方法解析法我們學過的正比例函數(shù)y=kx（k≠0），反比例函數(shù)y=（k≠0），一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）都是用解析式來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的.這種用解析式來表示函數(shù)的方法稱為解析法.優(yōu)點

用解析法表示函數(shù)簡單明了，便于由自變量求出對應(yīng)的函數(shù)值，也便于用數(shù)學方法來研究函數(shù).缺點

變量的關(guān)系不夠直觀.73列表法列表法是指用表格來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.例如，下表記錄的是某同學小學一年級到五年級，各學期的數(shù)學期末考試成績.在這里，考試成績是學期序號的函數(shù).優(yōu)點

列表法表示的函數(shù)便于直接查找自變量對應(yīng)的函數(shù)值.缺點

有時會數(shù)據(jù)不全.74圖像法圖像法是指在平面上用圖像來表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.優(yōu)點

函數(shù)的圖像法表示直觀形象，能清晰地反映函數(shù)關(guān)系及變化趨勢.缺點

有時無法畫出函數(shù)的完整圖像.用解析法、列表法和圖像法表示函數(shù)各有利弊.我們可以根據(jù)需要，擇優(yōu)而用，也可以將其中幾種方法結(jié)合使用.753.1.3函數(shù)關(guān)系的建立用數(shù)學方法解決問題時，常常需要把問題中的有關(guān)變量及其關(guān)系用數(shù)學的形式（代數(shù)式、方程、表、圖等）表示出來.通常，這個過程稱為建立數(shù)學模型，簡稱建模.函數(shù)模型是數(shù)學模型中最常用的一種.由于實踐中的大量問題是兩個變量之間的關(guān)系問題，因此，建立兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系（函數(shù)模型）是很重要的.76在實際問題中，有時兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系式要分幾段來表示.例如，我們寄快遞時，物品的重量不超過1kg，付費13元；超過1kg而不超過2kg，付費15元；超過2kg而不超過3kg，付費17元.設(shè)物品的重量為xkg（0<x≤3），應(yīng)付費為y元，則有①式表示了變量x∈（0，3]與y之間的函數(shù)關(guān)系，其中x是自變量，y是x的函數(shù).這個函數(shù)與我們以前熟悉的各種函數(shù)不同：在自變量的不同取值范圍內(nèi)，函數(shù)的對應(yīng)法則不同.我們把這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)的定義域是自變量的幾個取值范圍的并集，它的圖像要在同一個直角坐標系內(nèi)逐段畫出.77①式所表示的函數(shù)就是定義域為（0，3]，值域為{13，15，17}的分段函數(shù)，如圖所示.7879對分段函數(shù)特別要注意以下幾個問題：（1）分段函數(shù)雖然在形式上會有多于一個的表達式，但它仍然表示一個函數(shù)，不能理解成幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的圖像一般由多于一段的線段或曲線段以及點組成，同樣也應(yīng)該把它們看作一個整體，而不是幾個圖像；（3）在求分段函數(shù)的函數(shù)值時，需要注意的是，對給定的自變量，首先要確定它的范圍，再根據(jù)該范圍的對應(yīng)法則（函數(shù)表達式），計算函數(shù)值.3.2函數(shù)的基本性質(zhì)80實例考察已知二次函數(shù)f（x）=x2，反比例函數(shù)f（x）=

，請你通過計算，得到f（-x）與f（x）的關(guān)系，并通過觀察它們的圖像，指出函數(shù)的圖像特征.81二次函數(shù)

f（x）=x2定義域D

為

.f（-1）=

，f（1）=

，得到f（-1）=

;f（-2）=

，f（2）=

，得到f（-2）=

.函數(shù)的圖像特征:

.反比例函數(shù)

f（x）=定義域D

為

.f（-1）=

，f（1）=

，得到f（-1）=

;f（-2）=

，f（2）=

，得到f（-2）=

.函數(shù)的圖像特征:

.823.2.1函數(shù)的奇偶性我們知道，二次函數(shù)f）x）=x2

的圖像關(guān)于y軸成軸對稱圖形，這種對稱性在數(shù)值上也能反映出來.通過計算，得到f（-1）=f（1），f（-2）=f（2）.事實上，對于任意的x∈（-∞，+∞），都有f（-x）=（-x）2=x2=f（x）.也就是說，函數(shù)f（x）=x2

具有f（-x）=f（x）的特性.83如果函數(shù)y=f（x）（x∈D）是偶函數(shù)，那么函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱.反過來，如果函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)一定是偶函數(shù).對于反比例函數(shù)f（x）=，我們知道，它的圖像關(guān)于原點中心對稱，這種對稱性在數(shù)值上也能反映出來.對于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有也就是說，函數(shù)f（x）=

具有f（-x）=-f（x）的特性.84如果函數(shù)y=f（x）（x∈D）是奇函數(shù)，那么函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點中心對稱圖形.反過來，如果函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點中心對稱圖形，那么這個函數(shù)一定是奇函數(shù).一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說這個函數(shù)具有奇偶性.根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，可以得到：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性所必須具備的條件.如果一個函數(shù)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，我們就把這個函數(shù)稱為非奇非偶函數(shù).853.2.2函數(shù)的單調(diào)性我們知道，對于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），如果k>0，那么當x∈（-∞，+∞），且x逐漸增大時，y的值隨之逐漸增大.如果k<0，那么當x∈（-∞，+∞），且x逐漸增大時，y的值隨之逐漸減小.上述現(xiàn)象反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)———單調(diào)性.86現(xiàn)在來觀察二次函數(shù)y=x2-2，當x在定義域（-∞，+∞）內(nèi)變化時，它的圖像的變化趨勢如圖所示.我們發(fā)現(xiàn)，當x∈（-∞，0]，x

逐漸增大時，y

的值隨之逐漸減小；當x∈[0，+∞），x

逐漸增大時，y的值隨之逐漸增大.878889如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，我們就說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間I稱為函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.由上可知，二次函數(shù)y=x2-2在定義域（-∞，+∞）上沒有單調(diào)性，但在（-∞，0]上單調(diào)遞減，區(qū)間（-∞，0]為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；在[0，+∞）上單調(diào)遞增，區(qū)間[0，+∞）為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.3.2.3函數(shù)的最大值與最小值我們知道，二次函數(shù)y=x2-2的圖像是一條拋物線，頂點（0，-2）是拋物線上的最低點，即對于任意的x，都有f（x）≥f（0）.從而得到，當x=0時，函數(shù)y取得最小值為-2.由于該函數(shù)圖像沒有最高點，所以函數(shù)y沒有最大值.903.3冪函數(shù)91實例考察日常生活中，我們經(jīng)常遇到指數(shù)相關(guān)的運算，例如：某正方形的邊長為a，那么正方形的面積S=

；某商品的立方體紙盒邊長為a，那么該紙盒的體積V=

.除了以上正整數(shù)指數(shù)冪運算外，我們還會出現(xiàn)非整數(shù)指數(shù)冪的運算，例如：一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長a=

；某同學騎車用時間ts行進了1km，那么他騎車的平均速度v=

.923.3.1實數(shù)指數(shù)冪平方根

若x2=a（a≥0），則稱x為a的平方根（二次方根）.立方根

若x3=a，則稱x為a的立方根（三次方根）.n次方根若xn=a（a是一個實數(shù)，n是大于1的正整數(shù)），則稱x為a的一個n次方根.當n為偶數(shù)時，對于每一個正實數(shù)a，它在實數(shù)集里有兩個n次方根，它們互為相反數(shù)，分別為

和；而對于每一個負數(shù)a，它的n次方根是沒有意義的.當n為奇數(shù)時，對于每一個實數(shù)a，它在實數(shù)集里只有一個n次方根，表示為，當a>0時，>0；當a<0時，<0.0的n次方根是0，即=0.93n次根式我們把形如（有意義時）的式子稱為n次根式，其中n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù)，非負數(shù)的n次方根

稱為a的n次算術(shù)根，并且=a（n>1，n為正整數(shù)）.94學習了n次方根的概念，現(xiàn)在我們可以把整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理指數(shù)冪.例如，對于正分數(shù)指數(shù)冪，應(yīng)用冪的運算法則，有又因為，所以一般地，規(guī)定其中，當n為偶數(shù)時，a≥0；當n為奇數(shù)時，a∈R.等式

的左邊是分數(shù)指數(shù)冪的形式，右邊是根式的形式，根據(jù)需要可以相互轉(zhuǎn)換.95同樣可以規(guī)定負分數(shù)指數(shù)冪的意義：設(shè)a≠0，n，m∈N*，且n>1，規(guī)定這樣，就把整數(shù)指數(shù)冪的概念推廣到有理指數(shù)冪.可以證明整數(shù)指數(shù)冪的運算法則對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，但須注意法則中出現(xiàn)的每一個有理數(shù)指數(shù)冪都應(yīng)有意義.事實上，還可以將有理數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪，當

m，n為實數(shù)時，整數(shù)指數(shù)冪的運算法則也成立.963.3.2冪函數(shù)初中時，我們學習過一次函數(shù)y=x，二次函數(shù)y=x2，反比例函數(shù)y=（y=x-1）的解析式，可以發(fā)現(xiàn)：它們都是以冪的形式出現(xiàn)，冪的底數(shù)是自變量x，指數(shù)是常數(shù).97我們觀察一次函數(shù)y=x，二次函數(shù)y=x2，反比例函數(shù)y=

的圖像，如圖所示.可以發(fā)現(xiàn)，冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和常數(shù)α的取值有關(guān)，但它有一個很明顯的特點，即當x=1時，y=1，所以，它的圖像恒過點（1，1）.983.4指數(shù)函數(shù)99實例考察細胞分裂問題

某種細胞的分裂規(guī)律為：1個細胞1次分裂成2個與它本身相同的細胞.一個這樣的細胞經(jīng)過x

次分裂后，得到的細胞的個數(shù)是多少？第1次分裂后，細胞的個數(shù)是2；第2次分裂后，細胞的個數(shù)是2×2=22；第3次分裂后，細胞的個數(shù)是

；……設(shè)第x次分裂后，細胞的個數(shù)是y，則y=2x，即經(jīng)過x次分裂后，得到的細胞個數(shù)是2x.100藥物剩余問題

某種藥物靜脈注射后，通過尿液排出體外，每經(jīng)過1天，藥物在體內(nèi)的剩余量就減少50%.成人單次注射這種藥物1g，經(jīng)過x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是多少？1天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是1×50%=0.5g；2天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是

；3天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是

；……設(shè)x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是yg，則y=0.5x，即經(jīng)過x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是0.5xg.由上述兩個問題得到的函數(shù)具有相同的特點，即自變量x都作為指數(shù)，而底數(shù)都是大于0且不等于1的常量.1013.4.1指數(shù)函數(shù)的概念指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0；且a≠1）的定義域是（-∞，+∞）.1023.4.2指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y=ax

的底a的取值范圍可以分為0<a<1和a>1兩種情形，我們?nèi)匀灰郧懊娉霈F(xiàn)過的指數(shù)函數(shù)y=2x

和y=為例進行討論.為了便于研究，我們在同一平面直角坐標系中用描點法畫出函數(shù)y=2x

和y=的圖像.列表：103

從上面指數(shù)函數(shù)y=2x

和y=的圖像，可以得到：（1）兩個圖像都在x軸上方，它們的函數(shù)值y>0.（2）兩個圖像都過點（0，1），即當x=0時，y=1.（3）y=2x

的圖像沿x軸的正方向上升，指數(shù)函數(shù)y=2x

在定義域內(nèi)是增函數(shù)；y=的圖像沿x軸的正方向下降，指數(shù)函數(shù)y=在定義域內(nèi)是減函數(shù).104一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的圖像和性質(zhì)如下：1053.5對數(shù)函數(shù)106實例考察細胞分裂的次數(shù)

已知某種細胞的分裂規(guī)律為：1個細胞1次分裂成2個與它本身相同的細胞.即1個細胞經(jīng)過第1次分裂成為2個；經(jīng)過第2次分裂成為4個……那么，第幾次分裂后恰好出現(xiàn)16個細胞？第幾次分裂后恰好出現(xiàn)128個細胞？從上節(jié)內(nèi)容可知，分裂后的細胞個數(shù)y和分裂的次數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2x.上面的問題可以歸結(jié)為：已知y=16，128時，求指數(shù)x

的值，相當于指數(shù)函數(shù)的逆運算.1073.5.1對數(shù)的有關(guān)概念在代數(shù)式ab=N

中有a，b，N

三個量，若已知其中兩個量，就可以求出第三個量.已知a，b，求

N

是乘方運算；已知b，N，求a是開方運算；已知a，N，求b是什么運算呢?已知a，N

求b的運算是對數(shù)的運算.對數(shù)的定義108通常，我們稱等式ab=N

為指數(shù)式，稱等式logaN=b為對數(shù)式.

根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到，當a>0，且a≠1時，

由上述指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，可以得到如下結(jié)論：1.零和負數(shù)沒有對數(shù)；2.loga1=0，logaa=1（a>0，且a≠1）；3.alogaN=N（a>0，且a≠1）；4.logaab=b（a>0，且a≠1）.109常用對數(shù)和自然對數(shù)

我們把以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù).log10N通常可簡記為lgN.例如，log102可簡記為lg2.常用對數(shù)可以用計算器求值.

科學技術(shù)中，常出現(xiàn)以無理數(shù)e（e≈2.71828）為底的對數(shù)，稱為自然對數(shù).logeN

通?？珊営洖閘nN，例如，loge5可簡記為ln5.自然對數(shù)也可以用計算器求值.1103.5.2對數(shù)的運算法則由對數(shù)定義可知：若a>0，且a≠1，M>0，N>0，則有：法則1loga（M·N）=logaM+logaN法則2法則3111下面我們來證明法則1和法則3.設(shè)logaM=p，logaN=q，把它們化為指數(shù)式：M=ap，N=aq，M·N=ap·aq=ap+q，Mn=（ap）n=apn，所以loga（M·N）=logaap+q=p+q=logaM+logaN，logaMn=logaapn=pn=nlogaM.112換底公式如何求log23呢?計算器上求對數(shù)的鍵只有

鍵和

鍵，因此，很自然地要把求log23的問題轉(zhuǎn)化為求常用對數(shù)或自然對數(shù).設(shè)log23=x，則有2x=3.將上式兩邊取常用對數(shù)，有1g2x=1g3，即x1g2=1g3，113所以即同樣，也可用自然對數(shù)表示log23的值，即114我們將上述方法推廣，就可給出對數(shù)的換底公式：若a>0，且a≠1，N>0，則有1153.5.3對數(shù)函數(shù)的概念設(shè)1個細胞經(jīng)過y次分裂后，得到的細胞個數(shù)為x.根據(jù)上節(jié)所述，我們知道x與y的關(guān)系為x=2y，指數(shù)式x=2y的對數(shù)式是y=log2x（x>0），它是細胞分裂的次數(shù)y關(guān)于細胞個數(shù)x的函數(shù).函數(shù)y=log2x以對數(shù)形式出現(xiàn)，真數(shù)x為自變量，底數(shù)為常數(shù).由于對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1），自變量x

是真數(shù)，因此，對數(shù)函數(shù)的定義域是（0，+∞）.116我們前面學過指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1），它的對數(shù)形式是x=logay.如果互換x=logay中的字母x和y，就可以把它改寫成對數(shù)函數(shù)的形式：y=logax.一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x），定義域為

D，值域為M，如果對于

M

中的每一個y的值，都可以從關(guān)系式y(tǒng)=f（x）確定唯一的x的值（x∈D）與之對應(yīng)，這樣就確定了一個以y為自變量的新函數(shù)，這個新函數(shù)就稱為函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)，記作x=f-1（y）.按習慣，我們互換x=f-1（y）中的字母x，y，把它寫成y=f-1（x）的形式，它的定義域為

M，值域為D.117我們把指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1），x∈（-∞，+∞）和對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1），x∈（0，+∞）之間的關(guān)系稱為互為反函數(shù)的關(guān)系.例如，函數(shù)y=2x

的反函數(shù)是y=log2x.y=2x

的定義域和值域分別是反函數(shù)y=log2x的值域和定義域.我們把它們的圖像畫在同一直角坐標系中，如圖所示.不難發(fā)現(xiàn)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對稱.1183.5.4對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)類似，對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）的底數(shù)a也分為0<a<1和a>1兩種情況.下面我們以y=logax和y=logx為例，討論對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì).列表：119我們在同一個平面直角坐標系中描點、連線后可得y=log2x和y=logx的函數(shù)圖像，如圖所示.120觀察對數(shù)函數(shù)y=log2x和y=logx的圖像，可以得到：（1）兩個圖像都在y軸的右邊.（2）兩個圖像都過點（1，0），即當x=1時，y=0.（3）y=log2x

的圖像沿x

軸的正方向上升，對數(shù)函數(shù)y=log2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)；y=logx

的圖像沿x

軸的正方向下降，對數(shù)函數(shù)y=logx在定義域內(nèi)是減函數(shù).121一般地，對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，且a≠1）的圖像和性質(zhì)如下：122三角函數(shù)第4章123目錄4.1角的概念的推廣4.2任意角的三角比4.3三角比的誘導公式4.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)4.5正弦型函數(shù)124學習目標1.了解任意角的概念，會在直角坐標系中作任意角.2.理解弧度制是用實數(shù)表示角的一種制度，會進行角度與弧度的換算.3.會用三角比的定義和同角三角比的關(guān)系來求已知角的正弦、余弦和正切的值；會用計算器求任意角的三角比的值.4.會利用誘導公式把任意角的三角比的值化為銳角的三角比的值.5.會用五點法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正弦型函數(shù)的圖像，并能根據(jù)圖像得到它們的性質(zhì)；會用描點法作正切函數(shù)的圖像，并能根據(jù)圖像得到它的性質(zhì).6.能通過三角函數(shù)的學習，認識周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，并能用其解釋一些自然現(xiàn)象.1254.1角的概念的推廣126實例考察（1）如圖a所示，公園里的摩天輪，選定一個機械臂的起始位置作為始邊，如果機械臂從這個起始位置旋轉(zhuǎn)一周，就說它轉(zhuǎn)過了360°，那么當它轉(zhuǎn)過一周半或者轉(zhuǎn)過兩周時，它轉(zhuǎn)過了多少度呢？（2）如圖b所示，如果時鐘快了2h，應(yīng)該如何校準？

校準過程中分針相對起始位置轉(zhuǎn)過了多少度？

如果時鐘慢了2h呢？1274.1.1角的概念的推廣我們規(guī)定：

按上述規(guī)定，我們就把角的概念推廣到了任意角.128例如，摩天輪的機械臂轉(zhuǎn)過一周半轉(zhuǎn)了540°，轉(zhuǎn)過兩周轉(zhuǎn)了720°；時針快2h，分針校準時旋轉(zhuǎn)-720°，慢2h，分針校準時旋轉(zhuǎn)720°.為了能準確地表示一個角，我們在畫角的時候，不僅要表示出旋轉(zhuǎn)方向，而且要把形成這個角的旋轉(zhuǎn)過程表示出來.例如，在下圖中，正角α=600°，負角β=-60°.1294.1.2象限角與終邊相同的角為了方便，我們常把角放到平面直角坐標系中進行討論.以平面直角坐標系xOy的原點O

為角的頂點，讓角的始邊與x

軸的正半軸重合，這時角的終邊落在坐標系中的第幾象限，就說這個角是第幾象限角.如果一個角的終邊落在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限.例如，在下圖中，45°角是第一象限角，-240°角是第二象限角，585°角是第三象限角，300°角是第四象限角，90°角與-180°角不是象限角.130131

在0°~360°范圍內(nèi)，各象限角的范圍如圖所示.132

在同一直角坐標系中，畫出30°，390°，750°，-330°角，如圖所示.133

從上圖可以看出，390°，750°，-330°角的終邊都與30°角的終邊相同.我們把它們稱為與30°角終邊相同的角，而且，30°=30°+0×360°，390°=30°+1×360°，750°=30°+2×360°，-330°=30°+（-1）×360°.134135這樣我們可以得到與30°角終邊相同的角（含30°角在內(nèi)）的一般表達式β=30°+k·360°，k∈Z.4.1.3弧度制在初中，我們把圓周分成360等份，每一份稱為1度的弧，1度的弧所對的圓心角稱為1度（1°）的角.我們還知道1°=60'，1'=60″.這種度量角的單位制稱為角度制.在數(shù)學和工程實際中還常用另一種度量角的單位制———弧度制.我們規(guī)定：136如圖所示，AB

弧的長度等于圓O

的半徑r，則AB

弧所對的圓心角為1rad的角.根據(jù)以上規(guī)定，在半徑為r的圓中，長度為l的圓弧所對的圓心角α的大小是rad，即由于圓周的長度是2πr，在弧度制下它所對的圓心角的大小是因為圓周角用角度表示為360°，所以可得出360°=2πrad.137由此可得到度與弧度的換算公式：角的弧度數(shù)用實數(shù)表示，而且，任何一個角的弧度數(shù)必定是唯一確定的實數(shù)；反過來，任何一個實數(shù)也都可以看作是一個弧度數(shù)，它對應(yīng)唯一確定的一個角.因此，角（弧度制表示）的集合與實數(shù)集R之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，如圖所示.1384.2任意角的三角比139實例考察在上一節(jié)的學習中，我們推廣了角的概念，并介紹了在直角坐標系中研究角的方法，這種方法是否也能使銳角三角比的概念推廣到任意角的三角比呢？下面我們來考察在直角坐標系中的銳角三角比.在直角三角形中

如圖所示，在直角三角形OPM

中，∠M

是直角.銳角α的對邊是a，鄰邊是b，斜邊是c，則有140在直角坐標系中

如圖所示，在銳角α的終邊上任取一點P（原點除外)，過點P作x軸的垂線，垂足為

M，這樣就得到了直角三角形OPM.設(shè)點P

的坐標為

(x，y)，則角α的對邊MP

的長是y，鄰邊OM

的長是x，斜邊OP的長是r.其中r=(r>0).由此，得到1414.2.1任意角的三角比在直角坐標系中，銳角三角比可以用其終邊上點的坐標來定義.這種方法同樣適用于定義任意角的三角比.如圖所示，在任意角α的終邊上任取一點P，設(shè)點P

的坐標為（x，y），OP=r，則142我們這樣定義三角比：如圖所示，由相似三角形的性質(zhì)，可知比值（x≠0）只依賴于角α的大小，與點P

在角α的終邊上的位置無關(guān).必須指出，當α=+kπ（k∈Z）時，點P

的橫坐標x=0，此時tanα沒有意義.除此以外，對于每一個確定的角α，三個三角比都有意義.143下面給出了一些特殊角的三角比的值，記住它們對于解決實際問題會有很大幫助.1444.2.2三角比值的符號我們知道，角α的終邊上點P

坐標值的符號決定了角α的三角比值的符號，各三角比值在各個象限的符號列表如下：145如圖所示，角α的終邊與單位圓相交于點P（x，y），r=OP=1.由三角比的定義，得146根據(jù)點P

的橫坐標x和縱坐標y的符號，可以確定當角α的終邊在不同的象限時sinα，cosα與tanα的符號，如圖所示.1474.2.3利用計算器求已知角三角比的值利用計算器求已知角三角比的值時，角的大小、正負可以是任意的；角的單位可以是度，也可以是弧度.因此，在計算三角比值之前，必須先使用

鍵，把計算器調(diào)到相應(yīng)的狀態(tài).1484.2.4同角三角比的基本關(guān)系一般地，如圖所示，設(shè)P（x，y）是角α的終邊與單位圓O

的交點，則丨OP丨=1，sinα=y，cosα=x.因為丨OP丨=r=，所以sin2α+cos2α=x2+y2=1.

當α≠+kπ（k∈Z）時，由三角比的定義可得149

于是，得出同角三角比的基本關(guān)系：借助同角三角比的基本關(guān)系和三角比的定義，當我們知道一個角的某個三角比的值時，就可求出這個角的其他的三角比的值.另外，還可以利用它們來化簡同角的三角式.1504.3三角比的誘導公式151實例考察角-α與角α的終邊關(guān)于x軸對稱.如圖所示，在角α的終邊上取一點P，使OP=1，設(shè)點P

的坐標為（x，y），則點P'（x，-y）必在角-α的終邊上，那么-α的三角比和α的三角比之間有什么聯(lián)系？

三角比的誘導公式可以幫你解密.152

對于任意角α，在直角坐標系中，角α+2kπ（k∈Z），-α，π+α，π-α的終邊與角α的終邊有著特殊的關(guān)系.我們可以用幾個公式表達上述關(guān)系.這些公式稱為誘導公式.4.3.1有關(guān)α+2kπ（k∈Z）的誘導公式我們知道，在直角坐標系中，角α+2kπ（k∈Z）與角α的終邊相同.根據(jù)三角比的定義，它們的同名三角比的值相等，即

利用公式一，我們能將任意角的三角比化為[0，2π）內(nèi)的角的三角比.1534.3.2有關(guān)-α

的誘導公式在角α的終邊上取一點P，使OP=1，設(shè)點P的坐標為（x，y），則點P'（x，-y）必在角-α

的終邊上，且OP'=1.因為r=1，所以154由此，得到有關(guān)-α的誘導公式：利用公式二，我們能將任意負角的三角比轉(zhuǎn)化為正角的三角比.由公式一和公式二得：sin（2π-α）=sin（-α+2π）=sin（-α）=-sinα，cos（2π-α）=cos（-α+2π）=cos（-α）=cosα，tan（2π-α）=tan（-α+2π）=tan（-α）=-tanα.155

由此，得到2π-α的誘導公式：1564.3.3有關(guān)π±α

的誘導公式如圖所示，把任意角α的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π弧度，就得到了角π+α的終邊.從下圖中可以看出，角π+α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點對稱.在角α的終邊上取一點P，使OP=1，設(shè)點P

的坐標為（x，y），則點P'（-x，-y）必在角π+α的終邊上，且OP'=1.所以157由此，得到有關(guān)π+α的誘導公式：由公式四和公式二得sin（π-α）=sin[π+（-α）]=-sin（-α）=sinα，cos（π-α）=cos[π+（-α）]=-cos（-α）=-cosα，tan（π-α）=tan[π+（-α）]=tan（-α）=-tanα.158由此，得到有關(guān)π-α的誘導公式：159利用三角比的誘導公式將任意角的三角比化為銳角三角比，一般可按下面步驟進行：1604.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1614.4.1正弦函數(shù)y=sinx

的圖像與性質(zhì)正弦函數(shù)y=sinx

的圖像先用描點法畫出y=sinx在區(qū)間[0，2π]上的圖像.列表：用計算器計算表中的正弦函數(shù)值（精確到0.01），并填入表中.162描點：以表中對應(yīng)x，y

值為坐標，在坐標系中描點.連線：將所描各點順次用光滑曲線連接起來，即完成所畫的圖像.如上圖b所示為用計算機軟件繪制的正弦函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的圖像.請照此核對你畫的圖像.163正弦函數(shù)的定義域是R，因此我們需要將y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像向兩邊擴展.現(xiàn)在，我們再利用“描點法”在同一坐標系中繼續(xù)畫出正弦函數(shù)

y=sinx

在區(qū)間[-2π，0]上的圖像（即下圖中y軸左側(cè)的曲線）.164從上圖可以看到，正弦函數(shù)在區(qū)間[-2π，0]和[0，2π]上的圖像形狀完全相同，只是位置不同.因此，y=sinx

在區(qū)間[-2π，0]上的圖像，可以看作是把y=sinx在區(qū)間[0，2π]上的圖像向左平移2π個單位得到的.事實上，由于終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即sin（x+2kπ）=sinx，k∈Z.正弦函數(shù)y=sinx

在區(qū)間…，[-6π，-4π]，[-4π，-2π]，[-2π，0]，[2π，4π]，[4π，6π]，…上的圖像，都與它在區(qū)間[0，2π]上的圖像形狀完全一樣，只是位置不同.我們把正弦函數(shù)y=sinx

在區(qū)間[0，2π]上的圖像向左、右分別平移2π，4π，6π，…個單位，就能得到正弦函數(shù)

y=sinx（x∈R）的圖像.165我們把正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖像稱為正弦曲線.由y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像可以看出，下面五個點在確定圖像形狀時起著關(guān)鍵作用：這五個點描出后，正弦函數(shù)y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像形狀就基本上確定了.今后，當對精確度要求不高時，我們只需描出這五個關(guān)鍵點，用光滑的曲線順次連接它們就可得到正弦函數(shù)在[0，2π]上的圖像.像這樣畫正弦函數(shù)圖像的方法稱為五點法作圖.166正弦函數(shù)y=sinx

的性質(zhì)（1）定義域：正弦函數(shù)y=sinx的定義域是R.（2）值域：正弦函數(shù)y=sinx的值域是[-1，1].通過分析正弦函數(shù)的圖像可知：當x=+2kπ（k∈Z）時，正弦函數(shù)y=sinx

取得最大值1，即

ymax=1；當

x=+2kπ（k∈Z）時，正弦函數(shù)y=sinx取得最小值-1，即ymax=-1.（3）周期性：一般地，對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f（x+T）=f（x）.那么，函數(shù)f（x）就稱為周期函數(shù).非零常數(shù)T稱為這個函數(shù)的周期.167我們知道，對于任意實數(shù)x都有sin（2kπ+x）=sinx（k∈Z），所以正弦函數(shù)y=sinx

是一個周期函數(shù)，并且…，-6π，-4π，-2π，2π，4π，6π，…都是它的周期.我們把所有周期中最小的正數(shù)2π稱為正弦函數(shù)y=sinx

的最小正周期.今后，如果不特別說明，函數(shù)的周期均指最小正周期.因此，正弦函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，周期T=2π.函數(shù)的周期性在圖像上的反映是同一形狀的圖形重復出現(xiàn).因此，周期函數(shù)一般只要畫一個周期的圖像就可以了.（4）奇偶性：因為正弦函數(shù)y=sinx的圖像關(guān)于原點對稱，所以正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù).168（5）單調(diào)性：觀察正弦曲線在一個周期

上的圖像：當x由

增大到

時，曲線逐漸上升，函數(shù)y=sinx的值由-1增大到1；當x

由

增大到

時，曲線逐漸下降，函數(shù)y=sinx的值由1減小到-1.因此，正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間

上單調(diào)遞增，在區(qū)間

上單調(diào)遞減.（6）與x軸的交點：當x=kπ（k∈Z）時，y=sinx=0.因此，正弦函數(shù)與x軸的交點的橫坐標是x=kπ（k∈Z）.1694.4.2余弦函數(shù)y=cosx

的圖像與性質(zhì)余弦函數(shù)y=cosx

的圖像

先用描點法畫出y=cosx在區(qū)間[0，2π]上的圖像.列表：用計算器計算表中的余弦函數(shù)值，并填入表中（精確到0.01）.描點：以表中對應(yīng)x，y

值為坐標，在坐標系中描點.170連線：將所描各點順次用光滑曲線連接起來，即完成所畫圖像.如上圖b所示為用計算機軟件繪制的余弦函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的圖像.請照此核對你畫的圖像.171因為余弦函數(shù)y=cosx的定義域是R，而且終邊相同的角的余弦函數(shù)值相等，即cos（2kπ+x）=cosx，k∈Z.所以，與畫正弦函數(shù)的圖像類似，我們同樣可以把余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0，2π]上的圖像向左、右分別平移2π，4π，6π，…個單位，從而得到余弦函數(shù)y=cosx（x∈R）的圖像.172余弦函數(shù)y=cosx（x∈R）的圖像稱為余弦曲線.由y=cosx（x∈[0，2π]）的圖像可以看出，下面五個點在確定圖像形狀時起著關(guān)鍵作用：因此，y=cosx（x∈[0，2π]）的圖像也能用五點法畫出.173余弦函數(shù)y=cosx

的性質(zhì)

（1）定義域：余弦函數(shù)y=cosx的定義域是R.（2）值域：余弦函數(shù)y=cosx的值域是[-1，1].同時，通過分析余弦函數(shù)的圖像可知：當x=2kπ（k∈Z）時，余弦函數(shù)y=cosx

取得最大值1，即ymax=1；當x=（2k+1）π（k∈Z）時，余弦函數(shù)y=cosx取得最小值-1，即ymin=-1.（3）周期性：從余弦曲線可以看出，余弦函數(shù)具有周期性，因此，余弦函數(shù)y=cosx是周期函數(shù)，周期T=2π.（4）奇偶性：余弦函數(shù)y=cosx（x∈R）的圖像關(guān)于y軸對稱，余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù).