第4講素養(yǎng)提升之三角函數(shù)與解三角形選填專項(xiàng)沖刺（原卷版）

第4講素養(yǎng)提升之三角函數(shù)與解三角形選填專項(xiàng)沖刺目錄第一部分：重難點(diǎn)題型突破突破一：三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系突破二：弧長(zhǎng)與面積突破三：三角函數(shù)中參數(shù)ω專題?？夹☆}角度1：的取值范圍與單調(diào)性相結(jié)合角度2：的取值范圍與對(duì)稱性相結(jié)合角度3：的取值范圍與三角函數(shù)的最值相結(jié)合角度4：的取值范圍與三角函數(shù)的零點(diǎn)相結(jié)合角度5：的取值范圍與三角函數(shù)的極值相結(jié)合突破四：三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用突破五：利用正余弦解決三角形問題突破六：解三角形的實(shí)際應(yīng)用第二部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)突破一：三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1．（2022·安徽·高三階段練習(xí)）設(shè)角是第一象限角，且滿足，則的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角的終邊過點(diǎn)，則可以為（

）A． B． C． D．3．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知角，角，終邊上有一點(diǎn)，則（

）．A． B． C． D．4．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高三階段練習(xí)（文））設(shè)是第二象限角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．5．（2022·安徽省懷寧縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，且，則___________.7．（2022·江蘇·高郵市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）若，且，則_______．8．（2022·北京·東直門中學(xué)高三期中）在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則____________．9．（2022·江蘇·楚州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，求_________.突破二：弧長(zhǎng)與面積1．（2022·江蘇常州·高三期中）如圖是一個(gè)近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的長(zhǎng)為l（l＜r）．為了方便觀光，欲在A，B兩點(diǎn)之間修建一條筆直的走廊AB．若當(dāng)時(shí)，，則的值約為（

）A． B．C． D．2．（2022·河北滄州·高三階段練習(xí)）已知圓臺(tái)形的花盆的上、下底面的直徑分別為8和6，該花盆的側(cè)面展開圖的扇環(huán)所對(duì)的圓心角為，則母線長(zhǎng)為（

）A．4 B．8 C．10 D．163．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩(shī)句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號(hào).當(dāng)折扇所在扇形的圓心角為時(shí)，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時(shí)折扇所在扇形的弦長(zhǎng)與弧長(zhǎng)之比為（

）A． B． C． D．4．（2022·上海市延安中學(xué)高三期中）已知扇形的圓心角為，其弧長(zhǎng)為，則此扇形的面積為_________.（結(jié)果保留π）5．（2022·甘肅·武威第八中學(xué)高三階段練習(xí)）已知一扇形的周長(zhǎng)為20，則該扇形面積的最大值為_________.突破三：三角函數(shù)中參數(shù)ω專題?？夹☆}角度1：的取值范圍與單調(diào)性相結(jié)合1．（2022·山西·忻州一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2022·河南河南·三模（理））已知函數(shù)（，），將圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．34．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高三階段練習(xí)（文））若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最大值為（

）A． B． C． D．15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為______．角度2：的取值范圍與對(duì)稱性相結(jié)合1．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)．若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有，則的最小值為（

）．A．2 B． C．5 D．82．（2022·廣東廣州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖像先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，若圖像關(guān)于對(duì)稱，則為（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南省桃源縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的一個(gè)可能取值是（

）A．2 B． C． D．4．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)在內(nèi)恰有三條對(duì)稱軸，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2022·江蘇·常熟中學(xué)高三階段練習(xí)）若存在唯一的實(shí)數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．角度3：的取值范圍與三角函數(shù)的最值相結(jié)合1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，若的最大值為，則的取值最多有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)最小值點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，在上既能取得最大值，也能取得最小值，則整數(shù)的最小值是______.角度4：的取值范圍與三角函數(shù)的零點(diǎn)相結(jié)合1．（2022·河南·一模（理））把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將得到的曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)的圖象與直線在上至少有3個(gè)交點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（

）．A． B． C． D．2．（2022·青海玉樹·高三階段練習(xí)（文））若函數(shù)的圖象與直線的兩相鄰交點(diǎn)間的距離為，則（

）A． B． C． D．3．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，且在上只有一個(gè)零點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．4．（2022·廣西·貴港市高級(jí)中學(xué)三模（理））已知在有且僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．（2022·廣東·三模）已知函數(shù)，且f（x）在[0，]有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．[，） B．[，） C．[，） D．[，）6．（2022·四川·遂寧綠然學(xué)校高三開學(xué)考試（理））已知函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______.角度5：的取值范圍與三角函數(shù)的極值相結(jié)合1．（2022·四川綿陽(yáng)·一模（理））若函數(shù)（）在區(qū)間上恰有唯一極值點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三階段練習(xí)）定義在[0，π]上的函數(shù)(ω>0)存在極值點(diǎn)，且值域，則ω的范圍是（

）A．[,2] B． C． D．[]3．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知偶函數(shù)（，）在上恰有2個(gè)極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．突破四：三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1．（2022·江蘇南通·高三期中）如圖，由于建筑物AB的底部B是不可能到達(dá)的，A為建筑物的最高點(diǎn)，需要測(cè)量AB，先采取如下方法，選擇一條水平基線HG，使得H，G，B三點(diǎn)在一條直線上在G，H兩點(diǎn)用測(cè)角儀測(cè)得A的仰角為，，，測(cè)角儀器的高度是h，則建筑物AB的高度為（

）A． B．C． D．2．（2022·江西·高三開學(xué)考試（理））天文計(jì)算的需要，促進(jìn)了三角學(xué)和幾何學(xué)的發(fā)展．10世紀(jì)的科學(xué)家比魯尼的著作《馬蘇德規(guī)律》一書中記錄了在三角學(xué)方面的一些創(chuàng)造性的工作．比魯尼給出了一種測(cè)量地球半徑的方法：先用邊長(zhǎng)帶有刻度的正方形ABCD測(cè)得一座山的高（如圖①），再于山頂T處懸一直徑為SP且可以轉(zhuǎn)動(dòng)的圓環(huán)（如圖②），從山頂T處觀測(cè)地平線上的一點(diǎn)I，測(cè)得．由此可以算得地球的半徑（

）A． B． C． D．3．（2022·四川綿陽(yáng)·一模（理））某游樂場(chǎng)中的摩天輪作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中心距地面20.5米，半徑為20米．假設(shè)從小軍同學(xué)在最低點(diǎn)處登上摩天輪開始計(jì)時(shí)，第6分鐘第一次到達(dá)最高點(diǎn)．則第10分鐘小軍同學(xué)離地面的高度為______米．4．（2022·廣東·深圳市第七高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖的曲線就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線，我們叫葫蘆曲線（也像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），它對(duì)應(yīng)的方程為（其中記為不超過的最大整數(shù)），且過點(diǎn)，若葫蘆曲線上一點(diǎn)到軸的距離為，則點(diǎn)到軸的距離為_______.5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））2019年，公安部交通管理局下發(fā)《關(guān)于治理酒駕醉駕違法犯罪行為的指導(dǎo)意見》，對(duì)治理酒駕醉駕違法犯罪行為提出了新規(guī)定，根據(jù)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局下發(fā)的標(biāo)準(zhǔn)，車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見下表.經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖"見圖.車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閾值駕駛行為類別閾值飲酒駕車醉酒駕車且如圖所示的函數(shù)模型為.假設(shè)該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過小時(shí)才可以駕車，則n的值為___________.(參考數(shù)據(jù)：)突破五：利用正余弦解決三角形問題1．（2022·山東菏澤·高三期中）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則外接圓面積與面積之比的最小值為（

）．A． B． C． D．2．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高三階段練習(xí)）已知是三角形的外心，若，且，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．6 B． C． D．33．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，a＝4，c＝2b－2，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2022·貴州遵義·高三期中（理））已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2022·湖北·高三期中）在中，角，，，所對(duì)的邊分別為，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．（2022·江西南昌·高三階段練習(xí)（文））鈍角的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知，且，則的周長(zhǎng)為（

）A．9 B． C．6 D．或97．（2022·江蘇江蘇·高三階段練習(xí)）在中，點(diǎn)D在邊BC上，且，，記中點(diǎn)分別為，且，則（

）A． B． C． D．8．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，，，為邊上的中點(diǎn)，且的長(zhǎng)度為，則（

）A． B． C． D．9．（2022·遼寧·沈陽(yáng)二中高三期中）在中，為的中點(diǎn)，若，，，則______．10．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)高三階段練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足．若的外接圓的面積為，則三角形面積的取值范圍是____________．突破六：解三角形的實(shí)際應(yīng)用1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））某學(xué)習(xí)小組的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)是測(cè)量圖示塔的高度．他們選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)，，測(cè)得，，且基點(diǎn)，間的距離為，同時(shí)在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高為（

）A． B． C． D．2．（2022·四川省宜賓市第四中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．40海里3．（2022·河南鄭州·三模（理））位于登封市告成鎮(zhèn)的觀星臺(tái)相當(dāng)于一個(gè)測(cè)量日影的圭表．圭表是我國(guó)古代一種通過測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺（稱為“圭”）．當(dāng)正午太陽(yáng)照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至．如圖是一個(gè)根據(jù)鄭州市的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知鄭州市冬至正午太陽(yáng)高度角（即）約為32.5°，夏至正午太陽(yáng)高度角（即）約為79.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長(zhǎng)）為14米，則表高（即的長(zhǎng)）約為（

）（其中，）A．9.27米 B．9.33米 C．9.45米 D．9.51米4．（2022·黑龍江·哈爾濱三中三模（理））如圖為某小區(qū)七人足球場(chǎng)的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線米的點(diǎn)處接球，此時(shí)，假設(shè)甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時(shí)甲離上方端線的距離為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖甲，首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競(jìng)賽場(chǎng)館，大跳臺(tái)的設(shè)計(jì)中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素.如圖乙，某研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度（與地面垂直），在賽道一側(cè)找到一座建筑物，測(cè)得的高度為h，并從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°；在賽道與建筑物之間的地面上的點(diǎn)E處測(cè)得A點(diǎn)，C點(diǎn)的仰角分別為75°和30°（其中B，E，D三點(diǎn)共線）.該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得約為60米，則的高h(yuǎn)約為（

）米（參考數(shù)據(jù)：，，）A．11 B．20.8 C．25.4 D．31.86．（2022·黑龍江·哈爾濱七十三中高三階段練習(xí)）如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺(tái)，已知射線，為濕地兩邊夾角為的公路（長(zhǎng)度均超過4千米），在兩條公路，上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)，，且千米，若要求觀景臺(tái)與兩接送點(diǎn)所成角與互補(bǔ)且觀景臺(tái)在的右側(cè)，并在觀景臺(tái)與接送點(diǎn)，之間建造兩條觀光線路與，則觀光線路之和最長(zhǎng)是_________（千米）.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）神舟十三號(hào)飛船于2022年4月16日首次實(shí)施快速返回技術(shù)成功著陸．若由搜救地面指揮中心的提供信息可知：在東風(fēng)著陸場(chǎng)搜索區(qū)域內(nèi)，A處的返回艙垂直返回地面．空中分隊(duì)和地面分隊(duì)分別在B處和C處，如圖為其示意圖，若A，B，C在同一水平面上的投影分別為A1，B1，C，且在C點(diǎn)測(cè)得B的仰角為26.6°，在C點(diǎn)測(cè)得A的仰角為45°，在B點(diǎn)測(cè)得A的仰角為26.6°，BB1=7km，∠B1A1C=120°．則CA1的長(zhǎng)為________km．（參考數(shù)據(jù)：）8．（2022·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））某景區(qū)為拓展旅游業(yè)務(wù)，擬建一個(gè)觀景臺(tái)如圖所示，其中，為兩條公路，，，為公路上的兩個(gè)景點(diǎn)，測(cè)得，，為了獲得最佳觀景效果，要求對(duì)的視角現(xiàn)需要從觀景臺(tái)到，建造兩條觀光路線，，且要求觀光路線最長(zhǎng).若建造觀光路線的寬為米，每平方造價(jià)為元，則該景區(qū)預(yù)算需投入___萬(wàn)元可完成改造9．（2022·寧夏·石嘴山市第三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））國(guó)慶閱兵式上舉行升國(guó)旗儀式，在坡度為15°的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一個(gè)垂直于地面的平面上，某同學(xué)在該列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為24.5米，則旗桿的高度為_______米．(參考值：)10．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著．《九章算術(shù)》中的“邪田”意為直角梯形，上、下底稱為“畔”，高稱為“正廣”，非高腰邊稱為“邪”．如圖所示，邪長(zhǎng)為，東畔長(zhǎng)為，在A處測(cè)得C，D兩點(diǎn)處的俯角分別為49°和19°，則正廣長(zhǎng)約為______．（注：）第二部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)一、單選題1．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）若，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2022·廣西北?！ひ荒＃ɡ恚┮阎瘮?shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，已知在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·廣西北?！ひ荒＃ɡ恚┤鐖D所示，陰影部分由四個(gè)全等的三角形組成，每個(gè)三角形是腰長(zhǎng)等于圓的半徑，頂角為的等腰三角形．如果在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么該點(diǎn)落到陰影部分內(nèi)的概率為，則（

）A． B． C． D．4．（2022·河南河南·一模（文））把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將得到的曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2022·河南省淮陽(yáng)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分