湖北地區(qū)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)習(xí)知識重點按難度與題型歸納(數(shù)學(xué)應(yīng)試記錄材料)

湖北省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點按難度與題型歸納(數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記)

一、填空題

答卷提醒：重視填空題的解法與得分，盡可能減少失誤，這是取得好成績的基石!

A、1?4題，基礎(chǔ)送分題，做到不失一?題！

AL集合性質(zhì)與運算

1、性質(zhì)：

①任何一個集合是它本身的子集，記為AqA；

②空集是任何集合的子集，記為A；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果同時B[A，那么/=反

如果A=8,那么A=C.

【注意】：

①容｛整數(shù)｝(J)Z=｛全體整數(shù)｝(X)

②已知集合S中/的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.(X)

③空集的補集是全集.

④若集合片集合8則G4=0,05=0Q(QS)=Z?(注：M=0).

2、若…%｝，則力的子集有2"個，真子集有2"-1個，非空真子集有2"-2個.

3、An(8Uc)=(An8)u(Anc)Mu<?no=(/In(^uo；

(Ac5)cC=Ac(5cC),(AU3)UC=AU(5U。

4、DeMorgan公式：C“(An8)=G，AU￡/；C“(AU8)=C,AfK*.

【提醒】：數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補運算的有力工具.

在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補集思想常運用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有

關(guān)問題。

A2.命題的否定與否命題

*1.命題pnq的否定與它的否命題的區(qū)別：

命題p=q的否定是,否命題是r?=r.

命題“夕或夕”的否定是“力且r”，“P且q”的否定是“一^或.”.

*2.?？寄Ｊ剑?/p>

全稱命題P：VxeM,p(x)；全稱命題p的否定-1P:3LxeM,「p(x).

特稱命題p：3xeM,p(x)；特稱命題p的否定一1P:TxeM「p(x).

A3.復(fù)數(shù)運算

mmm

*1.運算律：⑴z"'-z"=z"'+"：⑵(z"')"=z""‘；(3)(z|-z2)=z1z2(/M,ne^).

【提示】注意復(fù)數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)、三角等運算率的適用范圍.

*2.模的性質(zhì)：

(?1z,z2l=lz,||z2|；(2)|A|=1A1,⑶.

1

z2I22I'

*3.重要結(jié)論：

22

⑴|Z「Z2F+|Z|+Z2『=2(|Z,|+|Z2I)；

2

(2)Z]-z2=|z|=|z|；⑶(l±i)2=±2i；⑷j~=

(5”性質(zhì)：T=4；i4n+'=i,i4n+2=-I,i4n+3=-i,i4n=1.

【拓展】：co=1<=>(<y—+<y+l)=0o(y=l或0=—]±-出---i.

A4.募函數(shù)的的性質(zhì)及圖像變化規(guī)律：

(1)所有的嘉函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖像都過點(1,1)；

(2)”>0時，幕函數(shù)的圖像通過原點，并且在區(qū)間[0,+o。)上是增函數(shù).特別地，當(dāng)〃>1時，幕函數(shù)的圖

像下凸；當(dāng)0<4<1時，嘉函數(shù)的圖像上凸；

(3)。<0時，基函數(shù)的圖像在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點時，圖像在y

-/

軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+8時，圖像在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.

【說明工對于幕函數(shù)我們只要求掌握4=1,2,3,!」的這5類，它們的圖像都經(jīng)過一個定點(0,0)和(0,1),

23

并且x=-l時圖像都經(jīng)過(1,1),把握好基函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像就可以了.

A5.統(tǒng)計

1.抽樣方法：

(1)簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機樣數(shù)表法)常常用于總體個數(shù)較少時，它的主要特征是從總體中逐個抽取.

(2)分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異.共同點：每個個體被抽到的概

率都相等(2).

N

2.總體分布的估計就是用總體中樣本的頻率作為總體的概率.

總體估計掌握：一“表”(頻率分布表)；兩“圖”(頻率分布直方圖和莖葉圖).

⑴頻率分布直方圖

用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率分布直方圖。頻率分布直方圖就是以圖形面積

的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小.

頻數(shù)

①頻率=

樣本容量

②小長方形面積=組距X鼐1=頻率.

組距

③所有小長方形面積的和=各組頻率和=1.

【提醒】：直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商(而不是頻率)，橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小,

小矩形的面積表示頻率.

⑵莖葉圖

當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)，

即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上長出來的葉子，這種表示數(shù)據(jù)的圖叫做

莖葉圖。

3.用樣本的算術(shù)平均數(shù)作為對總體期望值的估計；

樣本平均數(shù)：X=-(Xl+X2+---+%")=防七

n?Zi

4.用樣本方差的大小估計總體數(shù)據(jù)波動性的好差(方差大波動差).

(1)一組數(shù)據(jù)斗，々，了3,…，％

①樣本方差

2222222

5=-[(^-^)+(%2-%)+-+(%?-%)]-X)=-(￡X,)-(-￡X,.)；

nni=ini=xn/=l

②樣本標(biāo)準(zhǔn)差_____________

222

O=店=^[(x,-X)+(x2-x)+???+(x?-x)]=J；X(.一丁)2

⑵兩組數(shù)據(jù)為,々，了3,…,與其，必，%，…，％，其中y=時+6，i=.則歹=應(yīng)+。,它們

的方差為,標(biāo)準(zhǔn)差為％=|a|%

③若石,工2,…,乙的平均數(shù)為x，方差為一，則叫+九驅(qū)+b,…,叫+。的平均數(shù)為ax+b,方差

為a2s2.

樣本數(shù)據(jù)做如此變換：x；=用+0則(S')2=/s2.

B、(5?9,中檔題，易丟分，防漏/多解)

B1.線性規(guī)劃

1、二元一次不等式表示的平面區(qū)域：

(1)當(dāng)A>0時，若Ax+母+C>0表示直線/的右邊，若Ar+By+C<0則表示直線/的左邊.

(2)當(dāng)B>0時，若Ax+8y+C>0表示直線/的上方，若Ar+B)，+C<0則表示直線/的下方.

2、設(shè)曲線。：(4%+4>+。])(42%+員丁+。2)=0(44瓦82H0),則

-/

(4、+4丁+0(4%+鳥丫+。2)>0或<0所表示的平面區(qū)域：

兩直線4x+4〉+G=。和4》+與>+。2=o所成的對頂角區(qū)域(上下或左右兩部分).

3、點勺(%,衣)與曲線/(x,y)的位置關(guān)系：

若曲線/(x,y)為封閉曲線(圓、橢圓、曲線|x+a|+|y+0|=w等)，則/(%,%)>0,稱點在

曲線外部；

若〃x,y)為開放曲線(拋物線、雙曲線等)，則/(4,%)>0,稱點亦在曲線“外部”.

4、己知直線/:Ax+By+C=0,目標(biāo)函數(shù)2=加+8)，.

①當(dāng)5>0時，將直線/向上平移，貝Uz的值越來越大；直線/向下平移，則z的值越來越??；

②當(dāng)3<0時，將直線/向上平移，貝”的值越來越??；直線/向下平移，則z的值越來越大；

5、明確線性規(guī)劃中的幾個目標(biāo)函數(shù)(方程)的幾何意義：

(1)z=ax+hy,若。>0,直線在y軸上的截距越大，z越大，若匕<0,直線在y軸上的截距越大,

z越小.

(2))二空表示過兩點(x,))(〃,加)的直線的斜率，特別上表示過原點和(〃,,〃)的直線的斜率.

X-nx

(3)f=丫表示圓心固定，半徑變化的動圓，也可以認(rèn)為是二元方程的覆蓋問題.

(4)y=J(x-m)2+(y-〃)2表示(x,y)到點(0,0)的距離.

(5)F(cos^,sin0)；

(6)』產(chǎn)+。；

7A2+B2

(7)a2±ab+b2；

【點撥】：通過構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓x?+y2=i上的點(cosdsin。)及余弦

定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到解題目的。

B2,三角變換：

三角函數(shù)式的恒等變形或用三角式來代換代數(shù)式稱為三角變換.

三角恒等變形是以同角三角公式，誘導(dǎo)公式，和、差、倍、半角公式，和差化積和積化和差公式，萬

能公式為基礎(chǔ).

三角代換是以三角函數(shù)的值域為根據(jù)，進(jìn)行恰如其分的代換，使代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角式，然后再使用上

述諸公式進(jìn)行恒等變形，使問題得以解決.

三角變換是指角(“配”與“湊”)、函數(shù)名(切割化弦)、次數(shù)(降與升)、系數(shù)(常值"1”)和運

算結(jié)構(gòu)(和與積)的變換，其核心是“角的變換”.

角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和

差角的變換.

變換化簡技巧：角的拆變，公式變用，切割化弦，倍角降次，“1”的變幻，設(shè)元轉(zhuǎn)化，引入輔角，

平方消元等.

具體地：

(1)角的“配”與“湊”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，還應(yīng)注意一些配湊變形

技巧，如下：

2ct=CC-\-CL■>a=2x—；

2

&+-少口)；

??a+Ba-BB+aB-a

a=(a+￡)-6=(a-￡)+￡=—#+——=-----%；

2a=2[(a+0-￡]=2[(a-￡)+￡J=(a+/)+(a-￡)=(/7+a)—(b—(z)；

2a+/?=(a+/7)+a,2a-J3=(a-+a；

15°=45°-30°,75°=45°+30°；

匹+a=江_(匹_a)等.

42\4)

-/

(2)“降哥”與“升幕”(次的變化)

利用二倍角公式cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=l-2sin2a和二倍角公式的等價變形

sin;a=1~cy2a,cos%=l+s￡2a,可以進(jìn)行“升”與“降”的變換，即“二次”與“一次”

的互化.

(3)切割化弦(名的變化)

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)，以便于解題.經(jīng)常用

的手段是“切化弦”和“弦化切”.

(4)常值變換

常值好，乎，乎,1,6可作特殊角的三角函數(shù)值來代換.此外，對常值“1”可作如下代

換：1=sin?x+cos2x-see2%-tan2x=tanx-cotx=2sin30°=tan-^=sin-y=cosO=…等.

(5)引入輔助角

一般的，asina+hcosa=Ja2+/?「(一---sina+/_^^=cosa)=sin(a+。)，期中

a.bb

coscp=/,sin°=/,tan(p=—.

\la2+b2yla1+b2a

特別的，sinA+cosA=y/2sin(A+—);

sinx+V3cosx=2sin(x+—),

V3sinx+cosx=2sin(x+一)等.

6

(6)特殊結(jié)構(gòu)的構(gòu)造

構(gòu)造對偶式，可以回避復(fù)雜三角代換，化繁為簡.

舉例：A=sin220°+cos250°+sin20°cos50°,B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°

可以通過A+B=2+sin70°,A—B=—!一sin70°兩式和，作進(jìn)一步化簡.

2

(7)整體代換

舉例：sinx+cosx=m=>2sinxcosx=/n2-1

sin(a+/3)-m,sin(a-/3)-n,可求出sinacos￡,cosasin￡整體值，作為代換之用.

B3.三角形中的三角變換

三角形中的三角變換，除了應(yīng)用公式和變換方法外，還要注意三角形自身的特點.

(1)角的變換

因為在A4BC中，A+B+C^7r(三內(nèi)角和定理)，所以

任意兩角和：與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.

銳角三角形：①三內(nèi)角都是銳角；②三內(nèi)角的余弦值為正值；

③任兩角和都是鈍角；④任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

即，sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C).

.AB+CA.B+CAB+C

sin-=cos------；cos一=sm-------；tan—=cot—

222222

(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理.

面積公式:S=gsh”=gabsinC=r?p=p{p—a){p—a\p—a).

ADrrA

其中r為三角形內(nèi)切圓半徑，〃為周長之半.lan—lan—+tan—tan——Ftan—tan—=1

222222

⑶對任意AABC,；

在非直角AA8C中，tanA+tan5+tanC=tanAtanBtanC.

(4)在AABC中，熟記并會證明：

-/

*1.NAZB,ZC成等差數(shù)列的充分必要條件是4B=60°.

*2.AABC是正三角形的充分必要條件是成等差數(shù)列且a1,c,成等比數(shù)列.

*3.三邊。,力,(;成等差數(shù)列O2b=a+c<=>2sinA=sinB+sinCOtan—tan—=-；.

2233

*4.三邊a,b,c,成等比數(shù)列Ob2=acOsin2A=sinBsinC,8W工.

3

(5)銳角AABC中，A+B<=>sinA>cosB,sinB>cosC,sinC>cosA,a2+b2>c2；

2

sinA+sin3+sinC>8sA+cosB+cosC.

【思考】：鈍角A4BC中的類比結(jié)論

(6)兩內(nèi)角與其正弦值：

在AABC中，6T>/?<=>>B<=>sinA>sinB<=>cos2B>cos2A,…

⑺若A+8+C=%,則Y+V+Z222yzeosA+2XZCOS5+2AYCOSC.

B4.三角恒等與不等式

組一

sin3。=3sina-4sii?a,cos3a=4cos3a-3cosa

sin2a-sin2p=sin(er+/5)sin(cr一尸)=cos2p-cos2a

“3tan0-tan30八冗c、,71

tan30=-----------1——-tan0tan(----夕)tan(——b0)

l-3tan2￡?33

組二

tanA+tang+tanC=tanAtanBtanC

?,?-?「)ABC

smA+sm3+sinC=4cos—cos—cos一

222

c-I一A.B.C

cosA+cosB+cosC=14-4sin—sin—sin一

222

sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC

組三常見三角不等式

乃

(1)若不￡(0,一)，則sinxvxvtanx；

2

(2)若尤￡(0,2)，貝！JI<sinx+cosxW0；

2

(3)|sinx14-1cosx1；

(4)/(此=任二在(0,乃)上是減函數(shù)；

x

B5.概率的計算公式：

A包含的基本事件的個數(shù)

⑴古典概型:P(A)=

基本事件的總數(shù)

①等可能事件的概率計算公式：p(A)=-=CanKA);

ncard(I)

②互斥事件的概率計算公式：P(A+B)=P(A)+P(助;

③對立事件的概率計算公式是：P(A)=1—P(4)；

④獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式是：P{A-B)=P(A)?P(B)；

⑤獨立事件重復(fù)試驗的概率計算公式是：

P,仆)=C：PA(1-P)T(是二項展開式［(1一。+/T的第(-1)項).

⑵幾何概型：若記事件人={任取一個樣本點，它落在區(qū)域guC},則A的概率定義為

=g的測度=構(gòu)成事件4的區(qū)域長度(面積或體積等)

-c的測度—試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積等)

注意：探求一個事件發(fā)生的概率，常應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想和分解(分類或分步)轉(zhuǎn)化思想處理：把所求的事件

7

轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率（常常采用排列組合的知識）；轉(zhuǎn)化為若干個互斥事件中有一個發(fā)生的概率；利用對立

事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率；看作某一事件在〃次實驗中恰有〃次發(fā)生的概率，但要注

意公式的使用條件.事件互斥是事件獨立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件.

【說明】：條件概率：稱尸（8|A）=C改為在事件A發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的概率。

P（A）

注意:①0<P（8|4）Wl；②P（BUC|A）=P（B|A）+P（C|A）。

B6.排列、組合

（1）解決有限制條件的（有序排列，無序組合）問題方法是：

彳立置分析法

「、古垃、+用加法原理（分類）元素分析法

①直接法：-----------------<

用乘法原理（分步）插入法（不相鄰問題）

、捆綁法（相鄰問題）

②間接法：即排除不符合要求的情形

③一般先從特殊元素和特殊位置入手.

（2）解排列組合問題的方法有：

①特殊元素、特殊位置優(yōu)先法

元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；

位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。

②間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉））?

③相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，

最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。

④不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好

沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）。

⑤多排問題單排法。

⑥多元問題分類法。

⑦有序問題組合法。

⑧選取問題先選后排法。

⑨至多至少問題間接法。

⑩相同元素分組可采用隔板法。

?涂色問題先分步考慮至某一步時再分類.

（3）分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成〃組問題別忘除以〃!.

B7.最值定理

①>（）,由x+y藥，若積初=產(chǎn)（定值），則當(dāng)x=y時和x+y有最小值2，萬；

②x,y>0,由x+y22j石，若和x+y=S（定值），則當(dāng)x=y是積盯有最大值;

【推廣】：已知則有（x+y）:=（x-y）2+2xy.

（1）若積町是定值，則當(dāng)|x-y|最大時，|x+y|最大：當(dāng)|x—y|最小時，|x+y|最小.

（2）若和|x+葉是定值,則當(dāng)最大時，|xy|最??；當(dāng)|x-y|最小時，|町|最大.

③已知eR7,若（zr+〃y=l,則有：

—+—=（ax+&>'）（-+--）=a+b+—+—^a+b+2y[ab=（y/a+\[b）：

xyxyxy

@a,x,b,y&R+,若@+2=1則有：x+j=（x+>1）（—+—）=a+b+2\[ab=（\[a+\[b）'

xyxy

B8.求函數(shù)值域的常用方法：

①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的特征來求解；

【點撥】：二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間[凡山上的最值；二是求區(qū)間定（動），對

稱軸動（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意開口方向和對稱軸與所給區(qū)間的相對

位置關(guān)系.

②逆求法：通過反解，用y來表示x,再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍，型如

-/

ax+b

y,XG(777,n)的函數(shù)值域;

cr+d

④換元法：化繁為間，構(gòu)造中間函數(shù)，把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)

解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，通過代換構(gòu)造容易求值域的簡單函數(shù)，再求其值域；

⑤三角有界法：直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，如轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函

數(shù)，再運用其有界性來求值域；

⑥不等式法：利用基本不等式4+6N2J茄(“/€/?+)求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積

k

為定值，型如y=x+—(A>0),解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技

X

巧；

⑦單調(diào)性法：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域，常結(jié)合導(dǎo)數(shù)法綜合求解；

⑧數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，可根據(jù)函數(shù)的幾何意義，如斜率、距離、絕對值等,

利用數(shù)與形相互配合的方法來求值域；

⑨分離常數(shù)法：對于分子、分母同次的分式形式的函數(shù)求值域問題，把函數(shù)分離成一個常數(shù)和一個分式和

的形式，進(jìn)而可利用函數(shù)單調(diào)性確定其值域.

⑩判別式法：對于形如初=%工+4工+、(4,牝不同時為0)的函數(shù)常采用此法.

a2x+h2x+c^

【說明工對分式函數(shù)(分子或分母中有一個是二次)都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進(jìn)行

求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：

=型，可直接用不等式性質(zhì)；

k+r

2.y=一衛(wèi)hr一型，先化簡，再用均值不等式；

x+nvc+n

x~-I-rvi,Ynr

3.y—-——型，通常用判別式法；

x~+mx+n

+fTjrY-i-

4.y----------型，可用判別式法或均值不等式法；

mx+n

@用數(shù)法：一般適用于高次多項式函數(shù)求值域.……

B9.函數(shù)值域的題型

(-)常規(guī)函數(shù)求值域：畫圖像，定區(qū)間，截段.

常規(guī)函數(shù)有：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對號函數(shù).

(二)非常規(guī)函數(shù)求值域：想法設(shè)法變形成常規(guī)函數(shù)求值域.

解題步驟：(1)換元變形；

(2)求變形完的常規(guī)函數(shù)的自變量取值范圍：

(3)畫圖像，定區(qū)間，截段。

(三)分式函數(shù)求值域：四種題型

z-?V*_i_ac

(1)y=(。工0)：則y。一且

ax+ba

CY4-d

(2)y=i±_^(x>2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用X的范圍解不等式求y的范圍.

2/+3x—2

⑶y

6x2-x—1

(2x-l)(x+2)x+2.1、1[r

y=------------=-----(xw-)，則y。一n且ywl且D

(2x-l)(3x+l)3x+l23

2r—1

(4)求y=Y——的值域，當(dāng)xeR時，用判別式法求值域。

X+X+1

2r—1

y=-......=yj?+(y-2)x+y+l=0,A=(y-2)2—4y(y+l)N0=>值域.

x+x+1

一/

(四)不可變形的雜函數(shù)求值域：利用函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)趨勢圖像，定區(qū)間，截段.

判斷單調(diào)性的方法：選擇填空題首選復(fù)合函數(shù)法，其次求導(dǎo)數(shù)；大題首選求導(dǎo)數(shù)，其次用定義。詳情見單

調(diào)性部分知識講解.

(五)原函數(shù)反函數(shù)對應(yīng)求值域：原函數(shù)的定義域等于反函數(shù)值域，原函數(shù)值域等于反函數(shù)定義域.

(六)已知值域求系數(shù)：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形式表示的值域與已

知值域?qū)φ涨笞帜溉≈祷蚍秶?

B10.應(yīng)用基本不等式求最值的“八種變形技巧”：

⑴湊系數(shù)(乘、除變量系數(shù)).例1.當(dāng)0<%<4時，求函的數(shù)y=x(8—2x)最大值.

⑵湊項(加、減常數(shù)項)：例2.已知％<*,求函數(shù)/(幻=4%-2+」一的最大值.

44x—5

Y24-7x4-10

⑶調(diào)整分子：例3.求函數(shù)/(%)=-----------(xw-1)的值域；

X+1

⑷變用公式：基本不等式竺々NJ石有幾個常用變形：與止Nab,(-)2>ab,

222

下手［之學(xué)，4^2(學(xué))2前兩個變形很直接，后兩個變形則不易想到，應(yīng)重視；例4.求函數(shù)

y=J2x-1+45—2x(；<x<!)的最大值；

⑸連用公式：例5.已知a>匕>0,求y=/+—J的最小值；

-b(a-b)

⑹對數(shù)變換：例6.已知x>g,y>l,且Ay=e,求f=(2x)i"的最大值;

JT

⑺三角變換：例7.已知0<y且tanx=3tany,求，=x-y的最大值；

⑻常數(shù)代換(逆用條件)：例8.已知。>0,。>0,且a+2b=1,求『='+，的最小值.

ab

B11.“單調(diào)性”補了“基本不等式”的漏洞：

⑴平方和為定值__

若/+丁2=。(〃為定值，awO),可設(shè)x=Gcosa,y=J^sina,,其中0WaV2；r.

①f(x,y)=x+y=y/asina+cosa-V2asin(a+—)在［0,—幻,［—萬,2萬)上是增函數(shù)，在

444

匚1應(yīng)5匕萬］上是減函數(shù)；

44

113571357

②g(x,>)=孫=—asin2a在［0,—;r］,—乃］,［—兀,2%)上是增函數(shù)，在［一I,一乃］,［一］,一萬］上是減

■244444444

函數(shù)；

?,11x+ysina+cosa..k,/乃、舟上

③m{x,y)x=—+—=----=-j=----------.令r=sina+cosa=\J2asin(a+—),其中

xyxyJasinacosa4

—21)電(5.由r=i+2sinocosa,得2saina=tc-o,從而

m(x,y)=一=一J-在［一夜，一1)U(-1,1)Ud,V2］上是減函數(shù).

癡2-DG(」

t

⑵和為定值

若x+y=6(人為定值，〃。0),則>=力一天.

bb

?g(^y)=xy=-x2+笈在(一8,萬］上是增函數(shù)，在［萬,+8)上是減函數(shù)；

-/

Iix+vhhh

②加(x,y)=—+—=----=—----.當(dāng)力>0時，在(一oo,0),(0,—］上是減函數(shù)，在+8)上

xyxy-x+bx22

是增函數(shù)；當(dāng)b<0時，在(―8力),(/］上是減函數(shù)，在20),(0,+8)上是增函數(shù).

22

bh

③n(x,y)=f+V=2x2+2bx+〃在(-oo,萬］上是減函數(shù)，在弓，+℃>)上是增函數(shù)：

⑶積為定值

若jqy=c(c為定值，c*0),JJPJy--.

x

①/(x,y)=x+y=x+￡.當(dāng)c>。時，在［-G,0),(0,W］上是減函數(shù)，在(一8,-6］,［八,+8)上是增

X

函數(shù)；當(dāng)C<0時，在(-00,0),(0,+0。)上是增函數(shù)；

②m(x,y)=—+—==-(%+—).當(dāng)c>0時，在［->fc,0)”(上是減函數(shù)，在

xyxycx

(-00,-五］,］&,+00)上是增函數(shù)；當(dāng)C<0時，在(Y0,0),(0,+8)上是減函數(shù)；

2

③n(x,y)=%2+J=f+==(%+與2-2c在(-oo,-7c),(0,Vc］上是減函數(shù)，在(-Vc,OJ,［Vc,+oo)上是

xx

增函數(shù).

⑷倒數(shù)和為定值

若L+L=2(。為定值，_L,_L,_L),則>=￡.成等差數(shù)列且均不為零，可設(shè)公差為z,其中z聲±2，

xydxdyxd

l111dd

則nl一=:_2,_=：+2得*=_r--

xdya:1-az;1+dz

①/(x)=x+y=—■方.當(dāng)d>0時，在(―8,-工),(—工,0］上是減函數(shù)，在［0,工),(工,一。。)上是增函

l-d-zdddd

數(shù)；當(dāng)d<0時，在(―8,'),(工,0］上是增函數(shù)，在［0,+8)上減函數(shù)；

dddd

②g(x,y)=_xy=—&■=..當(dāng)d>0時，在(一oo,-L),(-?L。］上是減函數(shù)，在［0,'),(',+8)上是增函

\-d~zdddd

數(shù)；當(dāng)d<0時，在(―8,工),(工,0］上是減函數(shù)，在［0,-工),(—2,+8)上是增函數(shù)；

dddd

22

③〃(九,y)=彳2+y2=2"(,,一［1)..令/=jz+i,其中且f/2,從而

(dz-1)

*7才2tQJ2

n(x,y)=----7=y—在［1,2)上是增函數(shù)，在(2,+8)上是減函數(shù).

0-2)-

Z+2.4

t

B12.理解幾組概念

*1.廣義判別式

設(shè)/(%)是關(guān)于實數(shù)x的一個解析式，a,"c都是與x有關(guān)或無關(guān)的實數(shù)且。H0,則△=〃—4acZ0是

方程a［f(x)］2+af(x)+c=0有實根的必要條件，稱為廣義判別式.

*2.解決數(shù)學(xué)問題的兩類方法：

一是從具體條件入手,運用有關(guān)性質(zhì)，數(shù)據(jù),進(jìn)行計算推導(dǎo),從而使數(shù)學(xué)問題得以解決;二是從整體上考查命

題結(jié)構(gòu),找出某些本質(zhì)屬性,進(jìn)行恰當(dāng)?shù)暮怂?從而使問題容易解決,這一方法稱為定性核算法.

*3.二元函數(shù)

設(shè)有兩個獨立的變量x與y在其給定的變域中。中，任取一組數(shù)值時，第三個變量Z就以某一確定的

法則有唯一確定的值與其對應(yīng)，那末變量Z稱為變量x與y的二元函數(shù).記作：Z=f(x,y).其中x與y稱

-/

為自變量，函數(shù)Z也叫做因變量，自變量x與)，的變域O稱為函數(shù)的定義域.

把自變量x、y及因變量Z當(dāng)作空間點的直角坐標(biāo)，先在my平面內(nèi)作出函數(shù)Z=/(x,y)的定義域。；

再過O域中得任一點M(x,y)作垂直于wy平面的有向線段MP,使其值為與(X,)，)對應(yīng)的函數(shù)值Z；

當(dāng)M點在。中變動時，對應(yīng)的P點的軌跡就是函數(shù)Z=/(x,y)的幾何圖形.它通常是一張曲面，

其定義域D就是此曲面在叼平面上的投影.

*4.格點

在直角坐標(biāo)系中，各個坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做格點(又稱整數(shù)點).在數(shù)論中，有所謂格點估計問題.在直

角坐標(biāo)系中，如果一個多邊形的所有頂點都在格點上，這樣的多邊形叫做格點多邊形.特別是凸的格點多邊形,

它是運籌學(xué)中的一個基本概念.

*5.間斷點

我們通常把間斷點分成兩類：如果/是函數(shù)/(x)的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把飛稱為

函數(shù)"X)的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.

*6.拐點

連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點.

如果y=在區(qū)間(。,。)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定y=/(x)的拐點.

⑴求/〃(x)；

(2)令/"(x)=0,解出此方程在區(qū)間(a,切內(nèi)實根；

(3)對于(2)中解出的每一個實根檢查/"(x)在/左、右兩側(cè)鄰近的符號，若符號相反，則此

點是拐點，若相同，則不是拐點.

*7.駐點

曲線/(x)在它的極值點與處的切線都平行于x軸，即/(%)=0.這說明，可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它的

駐點(又稱穩(wěn)定點、臨界點)；但是，反之，可導(dǎo)函數(shù)的駐點，卻不一定是它的極值點.

*8.凹凸性

定義在。上的函數(shù)/(x),如果滿足：對任意士,玉e。的都有外1，；"(占)+/(玉)1，則稱是/(X)上

的凸函數(shù).定義在。上的函數(shù)如果滿足：對任意的知x,e。都有了(土也)五,"(占)+/(Xi)l,則稱f(x)是。上

22

的凹函數(shù).

【注】：一次函數(shù)的圖像(直線)既是凸的又是凹的(上面不等式中的等號成立).

若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的下方，則稱這段弧是凹的；若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的

上方，則稱這段弧是凸的.連續(xù)曲線凹與凸部分的分界點稱為曲線的拐點.

B13.了解幾個定理

*1.拉格朗日中值定理：

如果函數(shù)y=/(x)在閉區(qū)間切上連續(xù)，在開區(qū)間(a/)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a/)內(nèi)至少有一點c,使

/(&)-/(?)=S-a)f'(c)成立.這個定理的特殊情形，即：f(b)=/⑷的情形.描述如下：

若奴幻在閉區(qū)間［a,。］上連續(xù)，在開區(qū)間(a,加內(nèi)可導(dǎo)，且0(a)=°(與，那么在(。,打內(nèi)至少有

一點c,使°'(c)=o成立.

*2.零點定理：

設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［a,句上連續(xù)，且/(a>/(b)V0.那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)/(x)的一個零

點，即至少有一點J使/(鄉(xiāng)=0.

*3.介值定理：

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間口，句上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同函數(shù)值，f(a)=A,f(b)=B,那么對于A,B

之間任意的一個數(shù)C,在開區(qū)間(a,力內(nèi)至少有一點使得/(4)=C

*4.夾逼定理：

設(shè)當(dāng)0V|X—X。|Vb時，有g(shù)(x)W/(x)<〃(x),且limg(x)=lim/?(x)=A,則必有l(wèi)imf(x)=A.

X-^XQXT而XT與

【注】：|x-X0|:表示以Xo為的極限，則|x-Xol就無限趨近于零.(？為最小整數(shù))

C、10?12,思維拓展題，稍有難度，要在方法切入上著力

-/

C1.線段的定比分點公式

設(shè)片（和乂），鳥12，%），P（x,y）是線段片鳥的分點，力是實數(shù)，且物=/而（或9=上麗）,

A

則

_%+AX2

1+4一kOP+AOP--—1,—-/1、

c。。尸二—!------y-?>OP=tOP+(]-t)Oe(1=------)

_」+4為1+九-1+4

—1+2

X+%

y=

推廣1：當(dāng)2=1時，得線段尸的中點公式：.2

X)+x

X=2

2

推廣2：些=丸貝|J而二第"對應(yīng)終點向量）?

MB

_x{+x2+x3

x~~

三角形重心坐標(biāo)公式：XABC的頂點A{XX，力1M%2，丁2），。（與，y3），重心坐標(biāo)G（X,?。?lt;

1，一。+)'2+%