(人教A版數(shù)學(xué)必修一講義)第4章第08講第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(含函數(shù)零點(diǎn))拓展提升(11類熱點(diǎn)題型講練)(學(xué)生版+解析)

第08講第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（含函數(shù)零點(diǎn)）拓展提升題型01指數(shù)（型）函數(shù)的值域（最值）【典例1】（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的值域?yàn)椋?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性，并說明理由；(2)求時(shí)，的值域.【典例3】（23-24高一上·山東泰安·期中）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間(2)若有最大值3，求的值【變式1】（23-24高一·全國(guó)）已知的值域?yàn)?，則x的取值范圍可以為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）已知函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的表達(dá)式；(2)求的最小值；(3)設(shè)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式3】（23-24高一上·甘肅慶陽·期末）已知函數(shù)（，且）.(1)若，求函數(shù)在上的最值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型02指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性【典例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值的范圍是．【典例3】（23-24高二上·浙江·期末）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是．【變式1】（23-24高一上·重慶·期末）若函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù).則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·四川·期中）已知且，函數(shù)滿足對(duì)任意不相等的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式3】（23-24高三下·河南信陽·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)且在區(qū)間單調(diào)遞減，則的取值范圍是.題型03對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的定義域【典例1】（23-24高二上·四川成都·期末）函數(shù)的定義域?yàn)?【典例2】（24-25高一上·上海·課堂例題）已知函數(shù)．(1)若該函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的范圍；(2)若該函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的范圍．【典例3】（23-24高一上·陜西漢中·期末）已知函數(shù)，其中(1)求函數(shù)的定義域；(2)若函數(shù)的最大值為2，求的值.【變式1】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)．【變式2】（23-24高一上·安徽六安·階段練習(xí)）（1）若函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍．（2）若函數(shù)的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．【變式3】（23-24高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性并予以證明.題型04對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的值域（最值）【典例1】（2024·貴州黔東南·二模）若函數(shù)的值域?yàn)?則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在內(nèi)有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的值．【典例3】（23-24高一上·天津·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集；(3)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）已知函數(shù)．(1)求該函數(shù)的定義域；(2)求該函數(shù)的最小值．【變式2】（23-24高一下·遼寧葫蘆島·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值；并方程的解集M.(2)當(dāng)，求的最小值、最大值及對(duì)應(yīng)的x的值.【變式3】（23-24高一上·吉林延邊·期末）設(shè)函數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.題型05對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性【典例1】（23-24高二下·浙江杭州·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一下·湖南·期末）已知是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高二下·江西贛州·期末）“”是“函數(shù)在單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2】（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式3】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）不等式的解集為．題型06指數(shù)（型）對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（北京市昌平區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試卷）把液體放在冷空氣中冷卻，如果液體原來的溫度是，空氣的溫度是，則min后液體的溫度可由公式求得．把溫度是的液體放在的空氣中冷卻，液體的溫度冷卻到和所用時(shí)間分別為min，min，則的值約為（

）（參考數(shù)據(jù)）A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7【典例2】（2024·北京·高考真題）生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（

）A． B．C． D．【典例3】（2024·陜西渭南·二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)研究可知：在室溫下，某種綠茶用的水泡制，經(jīng)過后茶水的溫度為，且.當(dāng)茶水溫度降至?xí)r飲用口感最佳，此時(shí)茶水泡制時(shí)間大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．8min D．【變式1】（23-24高二下·浙江·期末）近年，“人工智能”相關(guān)軟件以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注，深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的．在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2及以下所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．16 B．72 C．74 D．90【變式2】（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）19世紀(jì)美國(guó)天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本·福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本·福特定律，即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律，后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若（，），則k的值為（

）A．674 B．675 C．676 D．677【變式3】（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)藥品注射到人體內(nèi)，它在血液中的殘余量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，另一種藥物注射到人體內(nèi)，它在血液中的殘余量會(huì)以每小時(shí)的速度減少．現(xiàn)同時(shí)給兩位患者分別注射藥品A和藥品B，當(dāng)兩位患者體內(nèi)藥品的殘余量恰好相等時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．題型07指數(shù)（型）對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的綜合應(yīng)用【典例1】（23-24高二下·福建南平·期末）已知函數(shù)，為偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)寫出的單調(diào)區(qū)間（不需要說明理由）；(3)若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【典例2】（23-24高一下·云南大理·期末）已知函數(shù)，函數(shù).(1)試判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性（不需證明，寫出結(jié)論即可），并根據(jù)性質(zhì)求解關(guān)于的不等式；(2)類比同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，研究下列問題①已知，求的值；②恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【典例3】（23-24高一下·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性（不用證明）；(3)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【變式1】（23-24高一下·云南·期末）已知函數(shù)，且.(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)若，試判斷函數(shù)的單調(diào)性.并求使不等式在上恒成立的的取值范圍；(3)若，且在上的最小值為，求的值.【變式2】（23-24高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若關(guān)于x的方程的解集中恰好只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)，若，函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值之差不超過1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【變式3】（23-24高一上·吉林延邊·期中）已知函數(shù)，且.(1)若，求不等式的解集；(2)若，令，若對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，試確定的取值范圍.題型08根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)【典例1】（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值不可能為（

）A．0 B． C．2 D．3【典例2】（2024高二下·遼寧·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【典例3】（23-24高三·湖南湘潭·期末）已知函數(shù)若函數(shù)恰有8個(gè)零點(diǎn)，則a的值不可能為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【變式1】（23-24高一上·四川遂寧·期末）已知函數(shù)，函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一上·廣東深圳·期末）已知函數(shù)且在上無零點(diǎn)，在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式3】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型09求函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)【典例1】（23-24高二下·吉林白城·期末）若偶函數(shù)滿足且時(shí)，，則方程的根有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)【典例2】（2024·浙江溫州·三模）已知函數(shù)，則關(guān)于方程的根個(gè)數(shù)不可能是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)則（

）A． B．2023 C． D．4046【變式3】（23-24高一上·江蘇蘇州·期中）已知若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型11函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用【典例1】（23-24高一下·廣東茂名·期末）已知函數(shù).(1)若，求與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)若在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【典例2】（23-24高一下·湖南·期中）已知函數(shù)．(1)是否存在，使得為定值，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由；(2)若，方程有兩個(gè)根，，且，，求的取值范圍．【典例3】（23-24高二下·江蘇蘇州·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)設(shè)函數(shù)，求的值；(2)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的方程的解；(2)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的解，求的取值范圍.【變式2】（23-24高二下·浙江寧波·期末）已知函數(shù).(1)設(shè)，若是奇函數(shù)，求的值，并證明；(2)已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在內(nèi)恰有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式3】（2024高二上·福建·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)且．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．第08講第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（含函數(shù)零點(diǎn)）拓展提升題型01指數(shù)（型）函數(shù)的值域（最值）【典例1】（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的值域?yàn)椋?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)實(shí)數(shù)分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的值域可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)闈M足，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù)的最小值小于或等于零；若時(shí)，依題意有的最小值，即，若時(shí)，不符合題意；綜上：，故選：B.【典例2】（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性，并說明理由；(2)求時(shí)，的值域.【答案】(1)為奇函數(shù)，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)奇偶函數(shù)的定義即可下結(jié)論；（2）根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性判斷在上單調(diào)遞增，進(jìn)而求解.【詳解】（1）為奇函數(shù)，理由如下：由題意知，的定義域?yàn)镽，由，得，所以，故為奇函數(shù)；（2），因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以在上的值域?yàn)?【典例3】（23-24高一上·山東泰安·期中）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間(2)若有最大值3，求的值【答案】(1)答案見解析(2)1【分析】（1）令，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析求解；（2）令，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知的最小值為，然后分和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)最值分析求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且在R上為減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）令，則，因?yàn)榈淖畲笾禐?，且在R上為減函數(shù)，所以的最小值為，當(dāng)時(shí)，無最大值，不合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)a的值為1.【變式1】（23-24高一·全國(guó)）已知的值域?yàn)?，則x的取值范圍可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，根據(jù)值域解不等式組可得t的范圍，然后解指數(shù)不等式可得.【詳解】令，則，由題知，，解得或，即或，解得或.故選：D【變式2】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）已知函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的表達(dá)式；(2)求的最小值；(3)設(shè)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將點(diǎn)代入計(jì)算即可；（2）整體思想，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題即可；（3）利用基本不等式求最值即可.【詳解】（1）將代入，得，解得或（舍），故．（2）由（1）易知，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為．（3）由題意，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故要使恒成立，則，故的取值范圍是．【變式3】（23-24高一上·甘肅慶陽·期末）已知函數(shù)（，且）.(1)若，求函數(shù)在上的最值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求最值；（2）首先求解內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，再討論外層函數(shù)的單調(diào)性和定義域，即可求解參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，函數(shù)在上遞減，在上遞增，函數(shù)在上遞減，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，，，，所以當(dāng)，時(shí)，，.（2）函數(shù)在上遞減，在上遞增當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞增，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，又，則函數(shù)在區(qū)間上遞增，故滿足題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，又，若需滿足題意，則，得.綜上，的取值范圍是.題型02指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性【典例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，解之即可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以．又因?yàn)楹瘮?shù)5）圖像的對(duì)稱軸是直線，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍是．故選:B．【典例2】（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值的范圍是．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則知在上單調(diào)遞增，利用絕對(duì)值函數(shù)單調(diào)性列不等式即可求解.【詳解】記，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且在定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則知，在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.【典例3】（23-24高二上·浙江·期末）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是．【答案】【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行分情況討論得出a的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)由和復(fù)合而成，由于是單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng)時(shí)，開口向下，對(duì)稱軸為，故需要滿足，顯然成立，滿足題意，綜上：.故答案為：.【變式1】（23-24高一上·重慶·期末）若函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù).則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】要求分段函數(shù)的兩段均遞增，且左側(cè)函數(shù)值不大于右側(cè)函數(shù)值，列出不等式，計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【變式2】（23-24高一下·四川·期中）已知且，函數(shù)滿足對(duì)任意不相等的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】由題意可知在上為增函數(shù)，對(duì)各段考慮，求出交集即可．【詳解】由于函數(shù)，又對(duì)任意不相等的實(shí)數(shù)，都有成立，則在上為增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，則有，即，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，則有，②由在R上為增函數(shù)，則，即有③，由①②③可得的取值范圍為：．故答案為：．【變式3】（23-24高三下·河南信陽·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)且在區(qū)間單調(diào)遞減，則的取值范圍是.【答案】【分析】對(duì)參數(shù)分類討論，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得參數(shù)范圍.【詳解】若，在單調(diào)遞增，要滿足題意，則要在單調(diào)遞減，故，即；若，在單調(diào)遞減，要滿足題意，則要在單調(diào)遞增，故，即，不滿足，故舍去；綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.題型03對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的定義域【典例1】（23-24高二上·四川成都·期末）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)根式函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)及分式函數(shù)定義域法則列不等式求解即可.【詳解】由題意或，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：【典例2】（24-25高一上·上海·課堂例題）已知函數(shù)．(1)若該函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的范圍；(2)若該函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的范圍．【答案】(1)；(2)或．【分析】（1）轉(zhuǎn)化為恒成立，求解即可；（2）轉(zhuǎn)化為，計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意知需使恒成立，只要，得；（2）要使函數(shù)的值域是，需真數(shù)能取盡一切正數(shù)，只要，得或．【典例3】（23-24高一上·陜西漢中·期末）已知函數(shù)，其中(1)求函數(shù)的定義域；(2)若函數(shù)的最大值為2，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0求定義域；（2）首先求出真數(shù)的范圍，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，列方程即可.【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?；?）函數(shù)因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，在單調(diào)遞增，即，即解得（負(fù)舍）.的值為.【變式1】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)中真數(shù)大于0求解即可；（2）根據(jù)根號(hào)下大于等于0與對(duì)數(shù)的定義域求解即可.【詳解】（1）由條件知，即得或，故定義域?yàn)?（2）由條件知，即.故此函數(shù)的定義域?yàn)?【變式2】（23-24高一上·安徽六安·階段練習(xí)）（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．（2）若函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）依據(jù)題意轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立處理即可.（2）對(duì)參數(shù)分類討論，轉(zhuǎn)化為方程有解問題處理即可.【詳解】依題意，對(duì)一切實(shí)數(shù)，都有恒成立，則，解得．故實(shí)數(shù)的取值范圍為：．依題意，能取到所有正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，則真數(shù)為，能取到所有正實(shí)數(shù)，故成立，當(dāng)時(shí)，則解得或，綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍為：或．【變式3】（23-24高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性并予以證明.【答案】(1)(2)奇函數(shù)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零解不等式即可得的定義域?yàn)?；?）將化簡(jiǎn)可得，利用函數(shù)奇偶性的定義可得為奇函數(shù).【詳解】（1）由，解得或，故的定義域?yàn)椋?）為奇函數(shù)；證明如下：由（1）知的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)椋?；即可得為奇函?shù).題型04對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的值域（最值）【典例1】（2024·貴州黔東南·二模）若函數(shù)的值域?yàn)?則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得需滿足，可得，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及運(yùn)算法則可得結(jié)果.【詳解】依題意可得要取遍所有正數(shù)，則需要求，因?yàn)?，解得；?故選：C【典例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在內(nèi)有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得到對(duì)恒成立．結(jié)合對(duì)稱軸，分與兩種情況，得到不等式，求出的取值范圍；（2）結(jié)合題意得到的值域?yàn)椋瑥亩玫椒匠?，求出【詳解】?）由在內(nèi)有意義，知對(duì)恒成立．因?yàn)閳D象的對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，，即，解得；當(dāng)時(shí)，，即，所以．綜上，的取值范圍為．（2）因?yàn)?，所以的值域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．解得．【典例3】（23-24高一上·天津·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求關(guān)于的不等式的解集；(3)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)．【分析】（1）由奇函數(shù)定義計(jì)算即可得；（2）可結(jié)合函數(shù)單調(diào)性計(jì)算，亦可借助換元法解不等式；（3）計(jì)算出及的值域后，對(duì)任意的，總存在，使得成立即為的值域?yàn)榈闹涤虻淖蛹?，?jì)算即可得.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即在定義域上恒成立，整理得，故；（2）解法一：由（Ⅰ）知，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得；所以此時(shí)不等式的解集為；解法二：因?yàn)椋?，則可化簡(jiǎn)為，即，即，解得，即．所以此時(shí)不等式的解集為．（3）由（Ⅰ）得在的值域，又，，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)時(shí)，取最大值為，即在上的值域，又對(duì)任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得．【變式1】（24-25高一上·上海·課堂例題）已知函數(shù)．(1)求該函數(shù)的定義域；(2)求該函數(shù)的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，解不等式即可求得定義域；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的可確定函數(shù)的最小值.【詳解】（1）∵，∴，解得，∴定義域?yàn)椋?）令，∵，，為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值為，∴該函數(shù)在時(shí)取最小值．【變式2】（23-24高一下·遼寧葫蘆島·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值；并方程的解集M.(2)當(dāng)，求的最小值、最大值及對(duì)應(yīng)的x的值.【答案】(1)(2)，相應(yīng)的，相應(yīng)的；【分析】（1）利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)解方程求參數(shù)a即可，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算解復(fù)合方程即可；（2）由（1）得，換元法有，則，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最值，并確定對(duì)應(yīng)的值.【詳解】（1）因?yàn)?，即，所以，所以，則，故，即，解得或，所以或，所以方程的解集；（2）由（1）知：，令，則由得，故，當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，；綜上，有，有.【變式3】（23-24高一上·吉林延邊·期末）設(shè)函數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【答案】(1)(2)0【分析】（1）根據(jù)題意直接代入可求得，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，求得的定義域；（2）先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，由，得，則，解得；又，解得，所以的定義域?yàn)?；?）由（1）得，因?yàn)?，令，令，則函數(shù)在單調(diào)遞增，故，即時(shí)，取最小值，故的最小值為0.題型05對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性【典例1】（23-24高二下·浙江杭州·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出定義域，再利用復(fù)合函數(shù)同增異減求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】令得，故的定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足同增異減可得，只需求出在上的單調(diào)遞減區(qū)間，在上單調(diào)遞減，故數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C【典例2】（23-24高一下·湖南·期末）已知是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用分段函數(shù)單調(diào)性判斷方法來研究，考慮每段函數(shù)的單調(diào)性，再研究分段點(diǎn)處的函數(shù)值大小關(guān)系即可.【詳解】當(dāng)是上的單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，需要滿足解得當(dāng)是上的單調(diào)遞減函數(shù)時(shí)，解得.綜上，的取值范圍是.故選：D.【典例3】（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析得在上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性即可得到答案.【詳解】設(shè)，易知函數(shù)是增函數(shù)，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即.故選：D.【變式1】（23-24高二下·江西贛州·期末）“”是“函數(shù)在單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】由二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：要滿足函數(shù)在單調(diào)遞增，需要，因?yàn)?，所以“”是“函?shù)在單調(diào)遞增”的必要不充分條件．故選：B．【變式2】（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由得或，設(shè)，函數(shù)在為增函數(shù)，此時(shí)為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，即的單調(diào)增區(qū)間為.故選：C.【變式3】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）不等式的解集為．【答案】【分析】結(jié)合函數(shù)的定義域和單調(diào)性列不等式組，解不等式組求得不等式的解集.【詳解】由于函數(shù)在上遞減，所以解得，所以原不等式的解集為，故答案為：.題型06指數(shù)（型）對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（北京市昌平區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試卷）把液體放在冷空氣中冷卻，如果液體原來的溫度是，空氣的溫度是，則min后液體的溫度可由公式求得．把溫度是的液體放在的空氣中冷卻，液體的溫度冷卻到和所用時(shí)間分別為min，min，則的值約為（

）（參考數(shù)據(jù)）A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7【答案】B【分析】根據(jù)題目給的溫度公式，代入計(jì)算即可.【詳解】由已知，，所以，，所以.故選：.【典例2】（2024·北京·高考真題）生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可得，消去即可求解.【詳解】由題意得，則，即，所以.故選：D.【典例3】（2024·陜西渭南·二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)研究可知：在室溫下，某種綠茶用的水泡制，經(jīng)過后茶水的溫度為，且.當(dāng)茶水溫度降至?xí)r飲用口感最佳，此時(shí)茶水泡制時(shí)間大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．8min D．【答案】B【分析】根據(jù)初始條件求得參數(shù)，然后利用已知函數(shù)關(guān)系求得口感最佳時(shí)泡制的時(shí)間．【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，即，則，所以茶水泡制時(shí)間大的為7min.故選：B.【變式1】（23-24高二下·浙江·期末）近年，“人工智能”相關(guān)軟件以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注，深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的．在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2及以下所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．16 B．72 C．74 D．90【答案】C【分析】由題可知題目相當(dāng)于解不等式，然后由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得答案.【詳解】由題意知，只要解不等式，化簡(jiǎn)得．因?yàn)?，所以，所以．故選：C．【變式2】（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）19世紀(jì)美國(guó)天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本·福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本·福特定律，即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律，后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若（，），則k的值為（

）A．674 B．675 C．676 D．677【答案】B【分析】結(jié)合條件及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】，，故．故選：B【變式3】（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)藥品注射到人體內(nèi)，它在血液中的殘余量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，另一種藥物注射到人體內(nèi)，它在血液中的殘余量會(huì)以每小時(shí)的速度減少．現(xiàn)同時(shí)給兩位患者分別注射藥品A和藥品B，當(dāng)兩位患者體內(nèi)藥品的殘余量恰好相等時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)經(jīng)過小時(shí)后兩位患者體內(nèi)藥品的殘條量恰好相等，根據(jù)題意列方程，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】設(shè)經(jīng)過小時(shí)后兩位患者體內(nèi)藥品的殘條量恰好相等，由題意得：，整理得：，兩邊取常用對(duì)數(shù)得：，即，即，所以，即，所以大約經(jīng)過時(shí)，兩位患者體內(nèi)藥品的殘余量恰好相等．故選：C．題型07指數(shù)（型）對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的綜合應(yīng)用【典例1】（23-24高二下·福建南平·期末）已知函數(shù)，為偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)寫出的單調(diào)區(qū)間（不需要說明理由）；(3)若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)；(2)遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；(3).【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義求出值.（2）利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性及偶函數(shù)的性質(zhì)求解即得.（3）利用偶函數(shù)性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性脫去法則“f”，轉(zhuǎn)化為恒成立的不等式求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，由為偶函數(shù)，得，即，即，又不恒為0，所以.（2）函數(shù)，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞增，又函數(shù)是R上的偶函數(shù)，因此在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.（3）由（2）知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，不等式，則，而，于是，依題意，對(duì)于任意恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【典例2】（23-24高一下·云南大理·期末）已知函數(shù)，函數(shù).(1)試判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性（不需證明，寫出結(jié)論即可），并根據(jù)性質(zhì)求解關(guān)于的不等式；(2)類比同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，研究下列問題①已知，求的值；②恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)為奇函數(shù)，在上為增函數(shù)；.(2)①；②.【分析】（1）由奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)即可解出不等式；（2）①觀察函數(shù)和的結(jié)構(gòu)，結(jié)合題干提示，計(jì)算的值，從而得到和的關(guān)系式，繼而求出的值；②利用①小問中和的關(guān)系式，將題干不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式.結(jié)合的定義和基本不等式得到的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知，的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為奇函數(shù)；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上為增函數(shù)；由，所以，由于在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以x的解集是.（2）①.由，則，而，所以.②由①可知，所以，即，因?yàn)?，?dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以.故.而，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.【典例3】（23-24高一下·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性（不用證明）；(3)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)在，上單調(diào)遞減.(3)【分析】（1）考慮和兩種情況，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)計(jì)算得到答案.（2）確定定義域，設(shè)，且，計(jì)算，得到單調(diào)性.（3）根據(jù)單調(diào)性確定時(shí)的值域，設(shè)，換元得到二次函數(shù)，計(jì)算最大值和最小值，根據(jù)值域的包含關(guān)系得到答案.【詳解】（1）由已知函數(shù)需滿足，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)為奇函數(shù)，所以，即在上恒成立，即，（舍），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，又函?shù)為奇函數(shù)，所以，此時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)為奇函數(shù)，滿足，綜上所述：；（2）在和上單調(diào)遞減，證明如下：，定義域?yàn)?，設(shè)，且，則因?yàn)?，且，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，同理可證，所以在上單調(diào)遞減；所以在，上單調(diào)遞減.（3）函數(shù)在和上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)的值域，又，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)時(shí)，取最大值為，即在上的值域，又對(duì)任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得，即.【變式1】（23-24高一下·云南·期末）已知函數(shù)，且.(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)若，試判斷函數(shù)的單調(diào)性.并求使不等式在上恒成立的的取值范圍；(3)若，且在上的最小值為，求的值.【答案】(1)奇函數(shù)；(2)單調(diào)遞增，；(3).【分析】（1）利用奇偶性定義判斷即可.（2）由，得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷的單調(diào)性，再脫去法則“f”，分離參數(shù)借助基本不等式求出最小值即得.（3）求出值，再換元并構(gòu)造函數(shù)，求出新函數(shù)的定義域，再結(jié)合二次函數(shù)最值分類討論求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，，所以函數(shù)是奇函數(shù).（2）由，，得，則，顯然函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，因此函數(shù)是R上的增函數(shù)，不等式，則，，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，所以的取值范圍是.（3）由，得，而，解得，則，，令，由（2）知，函數(shù)是R上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，解得與矛盾；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵.【變式2】（23-24高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若關(guān)于x的方程的解集中恰好只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)，若，函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值之差不超過1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為一元二次方程來求解，此時(shí)還要把根代入原方程檢驗(yàn)，再作出綜合判斷；（2）先利用單調(diào)性求最值，再轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題來求解.【詳解】（1）由題意有：，所以，整理可得，即，當(dāng)時(shí)，方程的解為，代入原方程檢驗(yàn)，成立，當(dāng)時(shí)，方程的解為，代入原方程檢驗(yàn)，成立，當(dāng)且時(shí)，方程的解為，若為原方程的解，則，即；若為原方程的解，則，即，要使原方程有且只有一個(gè)解，則.綜上所述，的取值范圍為或；（2）解法一：令，在上遞減，由函數(shù)為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的最大值和最小值之差不超過1，則有，即，所以，即，令，則，令，對(duì)任意的，由于所以，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以

所以，當(dāng)時(shí)，；綜上，的取值范圍為.解法二：由在上恒成立，得在上恒成立，令，，在上單調(diào)遞增，，得，所以，的取值范圍為.【變式3】（23-24高一上·吉林延邊·期中）已知函數(shù)，且.(1)若，求不等式的解集；(2)若，令，若對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，試確定的取值范圍.【答案】(1)或(2)(3).【分析】（1）原不等式化簡(jiǎn)可得，結(jié)合一元二次不等式解法及指數(shù)不等式解法求解即可.（2）先應(yīng)用常數(shù)分離化簡(jiǎn)函數(shù)，再化簡(jiǎn)不等式，應(yīng)用基本不等式求解即可.（3）先代入化簡(jiǎn)已知不等式，再應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解關(guān)于不等式可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以不等式，可化為，所以，所以，所以或，所以或，所以不等式的解集為或，?）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，又因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立即得，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）因?yàn)椋宜?，即令，?dāng)，為增函數(shù)，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增的，當(dāng)，為增函數(shù)，且，又在上單調(diào)遞減當(dāng)，是單調(diào)遞減的，因?yàn)椋菃握{(diào)遞增的，，所以因?yàn)?，是單調(diào)遞減的，，所以，所以或.的取值范圍為.題型08根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)【典例1】（23-24高一下·廣東惠州·階段練習(xí)）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值不可能為（

）A．0 B． C．2 D．3【答案】A【詳解】根據(jù)零點(diǎn)定義，逐個(gè)帶入分析判斷即可得解.【點(diǎn)睛】若，可得，此時(shí)令可得，只有一個(gè)零點(diǎn)，故A不符合；若，可得，此時(shí)令可得，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故B符合；若，可得，此時(shí)令可得，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故C符合；若，可得，此時(shí)令可得，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，故D符合；故選：A【典例2】（2024高二下·遼寧·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】把函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù),數(shù)形結(jié)合即可求出的范圍.【詳解】若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則有三個(gè)根.即函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn),如圖,先畫出的圖像,當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí),數(shù)形結(jié)合可以得到故選:【典例3】（23-24高三·湖南湘潭·期末）已知函數(shù)若函數(shù)恰有8個(gè)零點(diǎn)，則a的值不可能為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】A【解析】分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)顯然不成立，當(dāng)時(shí)，的實(shí)根為.令，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合分析可得.【詳解】解：易知，當(dāng)時(shí)，方程只有1個(gè)實(shí)根，從而不可能有8個(gè)零點(diǎn)，則的實(shí)根為.令，則，則數(shù)形結(jié)合可知，直線與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以由題意可得直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則必有，又，所以.故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.【變式1】（23-24高一上·四川遂寧·期末）已知函數(shù)，函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得的解析式并畫出圖象，根據(jù)圖象求得正確答案.【詳解】令，得，若，則，；若，則，.所以，畫出其圖象如下圖所示，當(dāng)時(shí)，.由圖可知，要使函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】求解含參數(shù)的函數(shù)的零點(diǎn)問題，可以考慮直接研究法，也可以考慮分離參數(shù)法進(jìn)行求解.本題是利用分離參數(shù)法來求解，分離參數(shù)后，將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題來進(jìn)行研究.【變式2】（23-24高一上·廣東深圳·期末）已知函數(shù)且在上無零點(diǎn)，在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化成研究方程在上無實(shí)數(shù)根，在上有實(shí)數(shù)根，即考查函數(shù)的交點(diǎn)情況，作出函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】函數(shù)在上無零點(diǎn)，在上有零點(diǎn)，即方程在上無實(shí)數(shù)根，在上有實(shí)數(shù)根，即在上無實(shí)數(shù)根，在上有實(shí)數(shù)根，設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，恒成立，若，則在時(shí)，，故不滿足條件.由于與的圖象在上無交點(diǎn)，在上有交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的圖像可知，解得故選：D.【變式3】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】問題轉(zhuǎn)化為有實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)有零點(diǎn)，即有解，即，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn).畫出函數(shù)，即的大致圖象如圖所示.若函數(shù)有零點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解，此時(shí)需要根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)合理尋找“臨界”情況，特別注意邊界值的取舍.題型09求函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)【典例1】（23-24高二下·吉林白城·期末）若偶函數(shù)滿足且時(shí)，，則方程的根有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)題意，分析可得是周期為2的周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的解析式作出的圖象，進(jìn)而分析函數(shù)與的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，兩圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程的根的個(gè)數(shù)．【詳解】方程的解的個(gè)數(shù)，等價(jià)于的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以周期，當(dāng)時(shí)，，且為偶函數(shù)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，如圖所示：顯然函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，故有4個(gè)實(shí)數(shù)根.故選：C.【典例2】（2024·浙江溫州·三模）已知函數(shù)，則關(guān)于方程的根個(gè)數(shù)不可能是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出的圖象，分、、三種情況，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

將原問題轉(zhuǎn)化為直線（過定點(diǎn)）與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；所以直線與函數(shù)的圖象不可能有兩個(gè)交點(diǎn)．故選：C．【典例3】（2024高三上·河南·專題練習(xí)）已知函數(shù)則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】畫出的大致圖象，由，逐層進(jìn)行求解，從而求得正確答案.【詳解】作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，由解得，由解得或，.令，得，得或或，結(jié)合圖象可知：當(dāng)時(shí)，有1個(gè)解；當(dāng)時(shí)有2個(gè)解；當(dāng)時(shí)，由于，所以有個(gè)解，故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.故選：C

【變式1】（23-24高一下·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】按分段討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理及數(shù)形結(jié)合求解即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)在上都單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，則函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，顯然，因此函數(shù)在區(qū)間上至少各有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，得，則在上的零點(diǎn)即為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象與直線，如圖，

觀察圖象知，函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)解，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：D【變式2】（2024高二下·山東·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】由函數(shù)偶函數(shù)性質(zhì)及結(jié)合得到函數(shù)的周期，然后求出在上的解析式，則求的零點(diǎn)就等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，作出相關(guān)圖形，從而可求解.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，所以，因?yàn)閷?duì)任意，都有，即，所以函數(shù)的周期，當(dāng)時(shí)，，則，對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，如圖所示，一共有10個(gè)交點(diǎn)，故C正確.故選：C.【變式3】（23-24高一下·河北保定·開學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】當(dāng)時(shí)，解二次方程得函數(shù)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，把函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得或；當(dāng)時(shí)，令，則，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，可知在上兩函數(shù)圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，故的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：C題型10根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)或根的代數(shù)和【典例1】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)方程有兩個(gè)不同的根，分別是則（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】方程有兩個(gè)不同的根等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)與的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得：為R上的增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，方程有兩個(gè)不同的根等價(jià)于函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖可知與圖象關(guān)于對(duì)稱，則兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，中點(diǎn)在圖象上，由，解得：.所以.故選：B【典例2】（23-24高一上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)、、、，且，則下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的選項(xiàng)為（

）A．的范圍為 B．C． D．【答案】D【分析】作出函數(shù)與的圖象，數(shù)形集合可判斷A選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的對(duì)稱性可判斷B選項(xiàng)；利用可得出，結(jié)合及絕對(duì)值的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；分析可得，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：

當(dāng)時(shí)，，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，由圖可知，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則，的值不確定，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由圖可知，，由可得，即，即，所以，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，由可得，則，因?yàn)殡p勾函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)?，則，D對(duì).故選：D.【典例3】（23-24高一上·山東泰安·期中）已知函數(shù)，方程有三個(gè)解，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】變換