(人教A版數學必修一講義)第5章第02講5.2.1三角函數的概念(知識清單+6類熱點題型講練+分層強化訓練)(學生版+解析)

第02講5.2.1三角函數的概念課程標準學習目標①理解結合單位圓定義三角函數的意義。②結合任意角終邊與單位圓的交點會求任意角的正弦、余弦、正切值。③根據任意角終邊所在象限的位置，會判斷任意角三角函數值的符號。1.掌握三角函數的定義；2會求任意角的三個三角函數值；3.能準確判斷任意角的三角函數值的符號；知識點01：任意角的三角函數定義1、單位圓定義法：如圖,設是一個任意角,,它的終邊與單位圓相交于點①正弦函數：把點的縱坐標叫做的正弦函數,記作,即②余弦函數：把點的橫坐標叫做的余弦函數,記作,即

③正切函數：把點的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切,記作,即()

我們將正弦函數、余弦函數和正切函數統(tǒng)稱為三角函數2、終邊上任意一點定義法：在角終邊上任取一點，設原點到點的距離為①正弦函數：②余弦函數：③正切函數：()

知識點02：三角函數值在各象限的符號,,在各象限的符號如下:（口訣“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）知識點03：特殊的三角函數值角度弧度正弦值余弦值正切值知識點04：誘導公式一(1)語言表示:終邊相同的角的同一三角函數的值相等.

(2)式子表示:①②③其中.

知識點05：三角函數線設角的終邊與單位圓相交點；④由點向軸做垂線，垂足為點；⑤由點作單位圓的切線與終邊相交于點。如下圖所示：在中：為正弦線，長度為正弦值。為余弦線，長度為余弦值。在中：。為正切線，長度為正切值。題型01利用三角函數的定義求三角函數值【典例1】（23-24高一上·廣東佛山·階段練習）已知角、的頂點在原點，始邊在軸的正半軸上，終邊關于軸對稱，若角的終邊上有一點，則的值為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·江西吉安·期末）已知角的終邊與單位圓交于點，則A． B．或 C．或 D．【變式1】（2024·陜西榆林）若角的終邊經過點，則的值是A． B．45 C． D．【變式2】（24-25高一上·全國·課堂例題）已知角的終邊經過點，則，，．題型02由終邊或終邊上點求三角函數值【典例1】（23-24高一上·江西鷹潭·期末）若角的終邊經過點（），則（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一下·遼寧·階段練習）若角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高一上·廣東惠州·期末）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點，則．【變式1】（23-24高一下·貴州六盤水·期中）已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高一下·北京懷柔·期末）已知角的終邊經過點，則.題型03由三角函數值求終邊上的點或參數【典例1】（23-24高一下·上海寶山·期末）已知角終邊上一點，若，則實數的值為（

）A．1 B．2 C． D．【典例2】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）已知角的終邊經過點，且，則實數．【典例3】（23-24高一下·河南·階段練習）已知角的終邊經過點，若，則實數．【變式1】（23-24高一下·北京·期中）已知是第二象限的角，為其終邊上的一點，且，則（

）．A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·江西撫州·期中）已知角的終邊經過點，若，則（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·全國·模擬預測）已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸．若是角終邊上一點，且，則．題型04三角函數值符號的運用【典例1】1．（23-24高一下·四川內江·期中）若，則的終邊在（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、三象限或在軸的非負半軸上 D．第二、四象限或在軸的非負半軸上【典例2】（23-24高一上·湖南株洲·階段練習）已知為第三象限角，則（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24高一上·重慶·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．【變式2】(多選）（23-24高一下·遼寧朝陽·期中）下列選項中，結果為正數的有（

）A． B． C． D．題型05畫三角函數線【典例1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）如圖，已知點A是單位圓與x軸的交點，角的終邊與單位圓的交點為P，PM⊥x軸于M，過點A作單位圓的切線交角的終邊于T，則角的正弦線?余弦線?正切線分別是（

）A．有向線段OM，AT，MP B．有向線段OM，MP，ATC．有向線段MP，AT，OM D．有向線段MP，OM，AT【典例2】（24-25高一上·全國·課堂例題）（1）作出下列各角的正弦線、余弦線與正切線．①；②．（2）分別作出和的正弦線、余弦線和正切線，并比較：和，和，和的大小．【變式1】（24-25高一上·全國·課前預習）三角函數線如圖，設單位圓與x軸的正半軸交于點A，與角α的終邊交于點P．過點P作x軸的垂線PD，垂足為D，過點A（1，0）作單位圓的切線，如果tanα存在，設該切線與角α的終邊（當α為第一、四象限角時）或其反向延長線（當α為第二、三象限角時）相交于點T．單位圓中的有向線段，，分別稱為角α的正弦線、余弦線、正切線．記作：，，．【變式2】（23-24高一·江蘇·課后作業(yè)）作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：（1）；

（2）；

（3）；

（4）.題型06三角函數線的應用【典例1】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）利用正弦線比較的大小關系是（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）設，和分別是角的正弦線、余弦線和正切線，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【典例3】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）利用三角函數線比較大小(1)與；(2)與；(3)與.【變式1】（23-24高三·全國·對口高考）以下命題正確的是（

）A．都是第一象限角，若，則B．都是第二象限角，若，則C．都是第三象限角，若，則D．都是第四象限角，若，則【變式2】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）[多選題]已知，那么下列命題成立的是（

）A．若，是第一象限角，則B．若，是第二象限角，則C．若，是第三象限角，則D．若，是第四象限角，則【變式3】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）若，且，，利用三角函數線，得到的取值范圍是.A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（24-25高一上·北京·開學考試）點關于y軸對稱的點的坐標是（）A． B．C． D．2．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知角α的終邊上一點，則的值為（

）A． B． C． D．10．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習）若角的終邊在第三象限，則的值可能為（

）A．0 B．2 C．4 D．三、填空題11．（23-24高一上·上?！て谀┓匠痰慕馐?12．（2020高三·全國·專題練習）若角的終邊上有一點，則的值是．四、解答題13．（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知為第二象限的角，其終邊上有一點，且．求．B能力提升1．（23-24高一下·內蒙古呼和浩特·期中）如圖，在平面直角坐標系中，，，，分別是單位圓上的四段弧（不含與坐標軸的交點），點在其中一段上，角以為始邊，為終邊，若，則所在的圓弧是（

）

A． B． C． D．2．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）已知角為第一象限角，其終邊上一點滿足，則．3．（24-25高一·上海·隨堂練習）已知角的終邊在直線上．(1)若角終邊上一點的橫坐標為，求和的值；(2)求的值．第02講5.2.1三角函數的概念課程標準學習目標①理解結合單位圓定義三角函數的意義。②結合任意角終邊與單位圓的交點會求任意角的正弦、余弦、正切值。③根據任意角終邊所在象限的位置，會判斷任意角三角函數值的符號。1.掌握三角函數的定義；2會求任意角的三個三角函數值；3.能準確判斷任意角的三角函數值的符號；知識點01：任意角的三角函數定義1、單位圓定義法：如圖,設是一個任意角,,它的終邊與單位圓相交于點①正弦函數：把點的縱坐標叫做的正弦函數,記作,即②余弦函數：把點的橫坐標叫做的余弦函數,記作,即

③正切函數：把點的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切,記作,即()

我們將正弦函數、余弦函數和正切函數統(tǒng)稱為三角函數2、終邊上任意一點定義法：在角終邊上任取一點，設原點到點的距離為①正弦函數：②余弦函數：③正切函數：()

知識點02：三角函數值在各象限的符號,,在各象限的符號如下:（口訣“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）知識點03：特殊的三角函數值角度弧度正弦值余弦值正切值知識點04：誘導公式一(1)語言表示:終邊相同的角的同一三角函數的值相等.

(2)式子表示:①②③其中.

知識點05：三角函數線設角的終邊與單位圓相交點；④由點向軸做垂線，垂足為點；⑤由點作單位圓的切線與終邊相交于點。如下圖所示：在中：為正弦線，長度為正弦值。為余弦線，長度為余弦值。在中：。為正切線，長度為正切值。題型01利用三角函數的定義求三角函數值【典例1】（23-24高一上·廣東佛山·階段練習）已知角、的頂點在原點，始邊在軸的正半軸上，終邊關于軸對稱，若角的終邊上有一點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出終邊上關于對稱的點,再利用正切函數的定義求解即可.【詳解】因為角的終邊上有一點,且角、的頂點在原點,始邊在軸的正半軸上,終邊關于軸對稱,故終邊過.故.故選：D【點睛】本題主要考查了正切函數的定義求值,屬于基礎題.【典例2】（23-24高一上·江西吉安·期末）已知角的終邊與單位圓交于點，則A． B．或 C．或 D．【答案】C【解析】由三角函數的定義進行求解，注意兩解的情況.【詳解】根據三角函數的定義，，由同角三角函數關系得：；當，代入解得；當，代入解得.綜上所述，原式等于或.故選：C.【點睛】本題考查三角函數的定義，屬基礎題.【變式1】（2024·陜西榆林）若角的終邊經過點，則的值是A． B．45 C． D．【答案】A【詳解】因為角的終邊經過點，所以，所以.【變式2】（24-25高一上·全國·課堂例題）已知角的終邊經過點，則，，．【答案】/-0.5/33/133【分析】根據三角函數的定義求得正確答案.【詳解】因為，所以，由三角函數的定義知，，．故答案為：；；題型02由終邊或終邊上點求三角函數值【典例1】（23-24高一上·江西鷹潭·期末）若角的終邊經過點（），則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應用任意角三角函數定義求正弦值和余弦值再計算即可.【詳解】，為坐標原點，則，，故.故選：C.【典例2】（23-24高一下·遼寧·階段練習）若角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據三角函數的定義求出，，再代入計算可得.【詳解】因為角的終邊經過點，所以，，所以.故選：D【典例3】（23-24高一上·廣東惠州·期末）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊經過點，則．【答案】【解析】根據三角函數定義直接求結果.【詳解】由三角函數的定義可得，故答案為：.【點睛】本題考查根據三角函數定義求三角函數值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.【變式1】（23-24高一下·貴州六盤水·期中）已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數的定義求解即可.【詳解】角的終邊過點，故.故選：A【變式2】（23-24高一下·北京昌平·期末）已知角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據條件，利用三角函數的定義，即可求出結果.【詳解】因為角的終邊經過點，所以，故選：C.【變式3】（23-24高一下·北京懷柔·期末）已知角的終邊經過點，則.【答案】/【分析】利用三角函數的定義易得正切值和余弦值.【詳解】依題意，，，則故答案為：；.題型03由三角函數值求終邊上的點或參數【典例1】（23-24高一下·上海寶山·期末）已知角終邊上一點，若，則實數的值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由三角函數定義計算即可得.【詳解】由三角函數定義可得，解得.故選：C.【典例2】（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）已知角的終邊經過點，且，則實數．【答案】【分析】根據任意角的三角函數定義計算求參即可.【詳解】由題設，可知，且，即，，則，解得（舍）或，綜上，．故答案為：【典例3】（23-24高一下·河南·階段練習）已知角的終邊經過點，若，則實數．【答案】【分析】由三角函數的定義求出角的正弦值，且，建立等式，求參數的值即可；【詳解】由于角的終邊經過點，由角正弦的定義得：，且，得：，解方程得：，即，得，由于，則，所以．故答案是：.【變式1】（23-24高一下·北京·期中）已知是第二象限的角，為其終邊上的一點，且，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，利用三角函數定義列式計算即得.【詳解】點是第二象限的角終邊上的一點，則，由，得，所以.故選：C【變式2】（23-24高一下·江西撫州·期中）已知角的終邊經過點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角函數的定義求出，再由三角函數的定義計算可得.【詳解】因為角的終邊經過點，且，所以，解得，所以.故選：A.【變式3】（2024·全國·模擬預測）已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸．若是角終邊上一點，且，則．【答案】【分析】根據三角函數定義式列方程，解方程即可.【詳解】由題設知，即，且，即，且，解得，故答案為：.題型04三角函數值符號的運用【典例1】1．（23-24高一下·四川內江·期中）若，則的終邊在（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、三象限或在軸的非負半軸上 D．第二、四象限或在軸的非負半軸上【答案】D【分析】由已知得出的終邊在第四象限，再求出的范圍得出結果.【詳解】因為，所以的終邊在第四象限，即，則，當時，的終邊在第二象限；當時，的終邊在第四象限；故選：B【典例2】（23-24高一上·湖南株洲·階段練習）已知為第三象限角，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意首先得出，對于ABD三個選項的判斷比較常規(guī)，對于C而言，這里要利用到商數關系、平方關系進行變形.【詳解】由題意為第三象限角，所以，從而，，，.故選：D.【變式1】（23-24高一上·重慶·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數的基本關系式，結合角的范圍即可得解.【詳解】因為，所以，又，所以，則.故選：A.【變式2】(多選）（23-24高一下·遼寧朝陽·期中）下列選項中，結果為正數的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先算出的范圍，然后結算象限角的三角函數特點即可得解.【詳解】因為，所以.故選：AC.題型05畫三角函數線【典例1】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）如圖，已知點A是單位圓與x軸的交點，角的終邊與單位圓的交點為P，PM⊥x軸于M，過點A作單位圓的切線交角的終邊于T，則角的正弦線?余弦線?正切線分別是（

）A．有向線段OM，AT，MP B．有向線段OM，MP，ATC．有向線段MP，AT，OM D．有向線段MP，OM，AT【答案】D【分析】根據題圖及三角函數線的定義判斷角的正弦線?余弦線?正切線.【詳解】由題圖知：圓O為單位圓，則，且，故角的正弦線?余弦線?正切線分別是有向線段MP，OM，AT.故選：D【典例2】（24-25高一上·全國·課堂例題）（1）作出下列各角的正弦線、余弦線與正切線．①；②．（2）分別作出和的正弦線、余弦線和正切線，并比較：和，和，和的大小．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析，，，【分析】（1）根據三角函數線的知識畫出圖象；（2）根據三角函數線的知識畫出圖象，并由此進行比較大小.【詳解】（1）如圖，有向線段分別表示各角的正弦線、余弦線、正切線．（2）如圖，，，，，，．由圖可知：，且符號皆正，∴；，且符號皆負，∴；，且符號皆負，∴．【變式1】（24-25高一上·全國·課前預習）三角函數線如圖，設單位圓與x軸的正半軸交于點A，與角α的終邊交于點P．過點P作x軸的垂線PD，垂足為D，過點A（1，0）作單位圓的切線，如果tanα存在，設該切線與角α的終邊（當α為第一、四象限角時）或其反向延長線（當α為第二、三象限角時）相交于點T．單位圓中的有向線段，，分別稱為角α的正弦線、余弦線、正切線．記作：，，．【答案】DPODAT【分析】略【詳解】略【變式2】（23-24高一·江蘇·課后作業(yè)）作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：（1）；

（2）；

（3）；

（4）.【答案】（1）答案見詳解；（2）答案見詳解；（3）答案見詳解；（4）答案見詳解；【分析】作出單位圓，交角的終邊于P，過P作軸于點M，過點作軸，交角的終邊（或終邊的反向延長線）于T，則正弦線為PM，余弦線為OM，正切線為AT.【詳解】（1）作出單位圓，交角的終邊于P，過P作軸于點M，過點作軸，交角的終邊于T，如下圖所示，則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT；（2）作出單位圓，交角的終邊于P，過P作軸于點M，過點作軸，交角的終邊反向延長線于T，如下圖所示，則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT；（3）作出單位圓，交角的終邊于P，過P作軸于點M，過點作軸，交角的終邊的反向延長線于T，如下圖所示，則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT；（4）因為，所以角與角的終邊相同，作出單位圓，交角的終邊于P，過P作軸于點M，過點作軸，交角的終邊的反向延長線于T，如下圖所示，則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT.題型06三角函數線的應用【典例1】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）利用正弦線比較的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據正弦線的知識求得正確答案.【詳解】依題意，，在單位圓中，觀察正弦線可知，在區(qū)間，的長度隨著增大而增大，所以故選：D

【典例2】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）設，和分別是角的正弦線、余弦線和正切線，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先做出三角函數線，根據三角函數線，比較大小.【詳解】分別作角的正弦線、余弦線和正切線，如圖所示，∵，，，∴．故選：B．【典例3】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）利用三角函數線比較大小(1)與；(2)與；(3)與.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）根據三角函數線即可比較大小.【詳解】（1）與對應的三角函數線分別為有向線段如下圖所示：故，

（2）與對應的三角函數線分別為有向線段由圖可得：．（3）與對應的三角函數線分別為有向線段所以【變式1】（23-24高三·全國·對口高考）以下命題正確的是（

）A．都是第一象限角，若，則B．都是第二象限角，若，則C．都是第三象限角，若，則D．都是第四象限角，若，則【答案】D【分析】根據角所在象限，應用對應函數線的大小關系判斷各項正誤.【詳解】A：都是第一象限角，如下圖單位圓中，此時，錯；

B：都是第二象限角，如下圖單位圓中，此時，錯；

C：都是第三象限角，如下圖單位圓中，此時，錯；

D：都是第四象限角，如下圖單位圓中，此時，對.

故選：D【變式2】（23-24高一·全國·課后作業(yè)）[多選題]已知，那么下列命題成立的是（

）A．若，是第一象限角，則B．若，是第二象限角，則C．若，是第三象限角，則D．若，是第四象限角，則若，是第二象限角，如圖，，，觀察可知，即，所以B正確；若，是第三象限角，如圖，由，可得，此時，即，所以C不正確；若，是第四象限角，如圖，，，則，即，所以D正確.故選：BD．【變式3】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）若，且，，利用三角函數線，得到的取值范圍是.故答案為：A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（24-25高一上·北京·開學考試）點關于y軸對稱的點的坐標是（）A． B．C． D．2．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知角α的終邊上一點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函數定義，求出，即可求出的值．【詳解】解：角的終邊上有一點，，故選：B．3．（24-25高一·上?！るS堂練習）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為，關于的三角函數值與梯子的傾斜程度之間，下列說法正確的是（

）．A．的值越大，梯子越陡；B．的值越大，梯子越陡；C．的值越小，梯子越陡；D．陡緩程度與的三角函數值無關．【答案】A【分析】直接由三角函數的定義以及實際意義即可得解.【詳解】根據“銳角的正弦、余弦、正切”的定義，點A豎立墻面的距離是“常數”；對于A，的值越大，越大，梯子越陡，正確；對于B，的值越大，越小，梯子越緩，錯誤；對于C，的值越小，越小，梯子越緩，錯誤；對于D，根據的三角函數值可以判斷梯子的陡緩程度，錯誤．故選：A.4．（23-24高一下·內蒙古呼和浩特·期中）在中，B為鈍角，則點（

）A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限【答案】D【分析】根據三角函數定義即可判斷.【詳解】在中，因為B為鈍角，則為銳角，則，則點在第四象限.故選：D.5．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）若角的終邊在直線上，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在終邊上取點（或），根據三角函數的定義計算可得.【詳解】在角的終邊上取一點，所以；或角的終邊上取一點，所以，綜上可得等于.故選：B．6．（23-24高一上·江蘇揚州·期中）已知函數，則（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根據條件，代入求函數值，先求，即可求出結果.【詳解】因為，得到，所以，故選：A.7．（2024·四川成都·模擬預測）在平面直角坐標系中，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（

）A．11 B． C．10 D．【答案】D【分析】由題意利用任意角的三角函數定義，可求得的值，代入計算即可.【詳解】因為角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，且角的終邊經過點，所以，，所以.故選：B.8．（2023·福建福州·模擬預測）已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，為其終邊上