專題07 函數(shù)的性質(zhì)-單調(diào)性、奇偶性、周期性 2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)方法技巧講義（解析版）

高中數(shù)學(xué)精編資源③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3.周期性技巧4.函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.5.對(duì)稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值題型九：已知奇函數(shù)+M題型十：函數(shù)的對(duì)稱性與周期性題型十一：類周期函數(shù)題型十二：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性題型十三：函數(shù)性質(zhì)的綜合【典例例題】題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件可得當(dāng)a<b時(shí)，f(a)<f(b)，或當(dāng)a>b時(shí)，f(a)>f(b)，從而可判斷.【詳解】由>0知f(a)-f(b)與a-b同號(hào)，即當(dāng)a<b時(shí)，f(a)<f(b)，或當(dāng)a>b時(shí)，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數(shù).故選：A.例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有，則不等式的解集為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由條件得到函數(shù)是單增的，然后把函數(shù)值的大小比較轉(zhuǎn)化為自變量大小比較，即可解得解集.【詳解】不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，故是上的增函?shù)，原不等式等價(jià)于，解得．故選：B.例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸即得解.【詳解】由題得二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向上，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）判斷在其定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）在R上是增函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）由題可判斷函數(shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù)，利用定義法的步驟證明即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即解.【詳解】（1），則函數(shù)是奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，，即，，則，即，則在，上是增函數(shù)，是上的奇函數(shù)，在上是增函數(shù).（2）在上是增函數(shù)，不等式等價(jià)為不等式，即.即不等式的解集為.例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）討論函數(shù)（）在上的單調(diào)性.【答案】答案見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性的定義分類討論．【詳解】任取、，且，，則：，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增.【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫(xiě)出它們的單調(diào)區(qū)間．題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出定義域，再求出內(nèi)層函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間，然后由復(fù)合函數(shù)“同增異減”判斷單調(diào)性的方法可得答案【詳解】令，解得，令，則，∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)遞增，∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是故選：C例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求解原函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法判斷原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】令，．由，得．因?yàn)楹瘮?shù)是關(guān)于的遞減函數(shù)，且時(shí)，為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，較簡(jiǎn)單，解答時(shí)注意不要忽略原函數(shù)的定義域.例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】設(shè)t＝x2﹣2x﹣3，則函數(shù)在（﹣∞，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增．因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上為減函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可知，此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”．【方法技巧與總結(jié)】討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過(guò)程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：1．若，在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；2．若，在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減．題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值例9．（2022·河南·新鄉(xiāng)縣高中模擬預(yù)測(cè)（理））在人工智能領(lǐng)域的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，常用到在定義域I內(nèi)單調(diào)遞增且有界的函數(shù)，即，，．則下列函數(shù)中，所有符合上述條件的序號(hào)是______．①；②；③；④．【答案】③④【解析】【分析】根據(jù)定義考慮函數(shù)的單調(diào)性，且要是單調(diào)遞增函數(shù)，也可考慮函數(shù)的值域.【詳解】對(duì)于①，無(wú)界，不符合題意；對(duì)于②，不單調(diào)，不符合題意；對(duì)于③，單調(diào)遞增，且，則，符合題意；對(duì)于④，單調(diào)遞增，且，則，符合題意．故答案為：③④例10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)對(duì)于任意的，總有，且當(dāng)時(shí)，且．（1）求的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；（3）求函數(shù)在上的最大值與最小值．【答案】（1）；（2）在單調(diào)遞減；（3）最大值，最小值.【解析】（1）令，代入計(jì)算；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，設(shè)，令，，則可判斷，即可判斷出函數(shù)在單調(diào)遞減；（3）根據(jù)，令，代入計(jì)算，令，，計(jì)算，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞減，直接寫(xiě)出最大值與最小值.【詳解】解：（1）令，．（2）在單調(diào)遞減設(shè)，令，，則，所以，得即對(duì)任意，若，則，在單調(diào)遞減．（3）因?yàn)?，令，令，，，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減，所以．例11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；（2）若，求時(shí)函數(shù)的值域.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）運(yùn)用單調(diào)性的定義進(jìn)行分類討論進(jìn)行判斷證明即可；（2）根據(jù)求出的值，結(jié)合（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).當(dāng)時(shí)，證明如下：任取，則.因?yàn)椋?，得，故函?shù)在上是單調(diào)減函數(shù)；同理可證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù).（2）由.由（1）得在上是減函數(shù)，從而函數(shù)在上也是減函數(shù)，其最小值為，最大值為.由此可得，函數(shù)在上的值域?yàn)?例12．（2022·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)（理））已知，函數(shù)的定義域?yàn)镮，若存在，使得在上的值域?yàn)?，我們就說(shuō)是“類方函數(shù)”.下列四個(gè)函數(shù)中是“類方函數(shù)”的是（

）①；②；③；④.A．①② B．②④ C．②③ D．③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)新定義，確定函數(shù)的單調(diào)性，由（增函數(shù)）或有解（），不易求解時(shí)可根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷．確定結(jié)論．【詳解】①中，假設(shè)是“類方函數(shù)”，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，即，又，方程無(wú)解，①不符合；②中，假設(shè)是“類方函數(shù)”，因?yàn)椋?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以，②符合；③中，假設(shè)是“類方函數(shù)”，易知在上單調(diào)遞增，且，所以，且，所以，又，解得，③符合；④中，假設(shè)是“類方函數(shù)”，易知在R上單調(diào)遞減，且，所以，且所以，即即方程有兩個(gè)正數(shù)解，由與的圖象可知兩圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，④不符合.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：1．如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．2．如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．3．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．4．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．5．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍例13．（2022·河南濮陽(yáng)·一模（理））“”是“函數(shù)是在上的單調(diào)函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的在區(qū)間上的單調(diào)性求得的取值范圍，結(jié)合充分、必要條件的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，函數(shù)是在上的單調(diào)函數(shù)，由于在上遞增，所以在上遞增，所以且，即.所以“”是“函數(shù)是在上的單調(diào)函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B例14．（2022·全國(guó)·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)若，，，且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)增函數(shù)的定義可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用分段函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍；根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镽，有，即，即與同號(hào)，所以在R上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，則，故；因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，即，又，所以與沒(méi)有公共點(diǎn)，若函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)與圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，則與有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，且為，所以在處的切線的斜率k大于等于1，而，得，即，解得，綜上，的取值范圍為.故選：C.例15．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)在區(qū)間（-∞，1]是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]【答案】A【解析】【分析】由對(duì)稱軸與1比大小，確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，要想在區(qū)間（-∞，1]是減函數(shù)，所以.故選：A例16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的開(kāi)口方向，確定分段函數(shù)在在上的單調(diào)遞增，再根據(jù)分段函數(shù)在上的單調(diào)所要滿足的條件列出不等關(guān)系，求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)榉侄魏瘮?shù)在上的單調(diào)函數(shù)，由于開(kāi)口向上，故在上單調(diào)遞增，故分段函數(shù)在在上的單調(diào)遞增，所以要滿足：，解得：故選：B例17.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】本題可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)且時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，需要滿足，解得，結(jié)合選項(xiàng)易知，只有不滿足，故選：D.例18．（2022·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的范圍是_______.【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化原函數(shù)為，利用反比例函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合定義域，即得解【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，又，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以只需在上是減函數(shù)，因此，解得.故答案為：例19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果，則的取值范圍是___________．【答案】．【解析】【分析】先根據(jù)不等式的形式構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即可【詳解】解：由已知得令，則對(duì)任意恒成立，于是在上單調(diào)減．即由在上單調(diào)遞減得，解得所以的取值范圍是．故答案為：例20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，且.（1）求的值，并判斷的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；在上為增函數(shù)；（2）.【解析】（1）利用賦值法求出的值，利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷的單調(diào)性即可；（2）利用已知等式把不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合常變量分離法、配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）令，得，得，令，得，得；設(shè)是任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因此即在上為增函?shù)；（2）因?yàn)?，即，即，又，所以，又因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上恒成立；得在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取最小值，所以；即時(shí)滿足題意.【方法技巧與總結(jié)】若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．1.若在上恒成立在上的最大值．2.若在上恒成立在上的最小值．題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性例21．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））下列函數(shù)在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)選項(xiàng)的函數(shù)性質(zhì)，逐一判斷即可【詳解】A：由二次函數(shù)性質(zhì)知，圖象開(kāi)口向上，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤﹔B：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，將圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得出的圖象，其在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；C：由冪函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，其在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；D：根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，又，所以在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：D.例22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】分別求出選項(xiàng)中各函數(shù)的定義域，并判斷其單調(diào)性，從而可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于，，是上的減函數(shù)，不合題意；對(duì)于，是定義域是且為增函數(shù)，符合題意；對(duì)于，，定義域是，不合題意；對(duì)于，，定義域是，但在上不是單調(diào)函數(shù)，不合題，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的定義域與單調(diào)性，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.例23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是奇函數(shù)，且對(duì)任意且都成立，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)已知不等式可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)時(shí)，由，因此函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，因此當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以有，因?yàn)?，所以，即，因?故選：B例24．（2022·山東·濟(jì)南一中模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，若，，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性判斷大小.【詳解】由題意可知，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，，，所以，故．故選：D【方法技巧與總結(jié)】1. 比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.2. 求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間(同增異減).3.利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點(diǎn)間關(guān)系求參數(shù).同時(shí)注意函數(shù)定義域的限制，遇到分段函數(shù)注意分點(diǎn)左右端點(diǎn)函數(shù)值的大小關(guān)系.題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明例25．（2022·北京通州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在是單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在是單調(diào)遞增C．是偶函數(shù)，且在是單調(diào)遞減 D．是奇函數(shù)，且在是單調(diào)遞減【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷可得；【詳解】解：定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，又與在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增；故選：B例26．（2022·安徽·蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性逐一判斷即可得結(jié)果.【詳解】是奇函數(shù)，但整個(gè)定義域內(nèi)不是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；在定義域（0，+∞）上是減函數(shù)，但不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；在R上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，故C正確；在R上是奇函數(shù)但不是單調(diào)函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.例27．（2022·廣東·二模）存在函數(shù)使得對(duì)于都有，則函數(shù)可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先判斷出必為偶函數(shù).對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的奇偶性一一判斷，即可得到答案.【詳解】因?yàn)閷?duì)于都有，且為偶函數(shù)，所以必為偶函數(shù).對(duì)于A：為奇函數(shù).故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：為非奇非偶函數(shù).故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：對(duì)于.定義域?yàn)镽.因?yàn)?，所以為奇函?shù).故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：對(duì)于.定義域?yàn)镽.因?yàn)?，所以為偶函?shù).故D正確；故選：D例28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x)＝＋；（2）f(x)＝(x＋1)；（3）f(x)＝.（4）f(x)＝【答案】（1）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；（2）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；（3）奇函數(shù)；（4）奇函數(shù)．【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，首先判斷函數(shù)的定義域，得到函數(shù)，再結(jié)合奇偶函數(shù)的定義，即可判斷.【詳解】（1）由得x＝±3.∴f(x)的定義域?yàn)閧－3，3}，此時(shí)f(x)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．（2）由得－1<x≤1.∵f(x)的定義域(－1，1]不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（3）由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定義域?yàn)閇－2，0)∪(0，2]，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．此時(shí)，有f(x)＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．（4）當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)為奇函數(shù)．例29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②為奇函數(shù)；③，；④任意的，，.（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.【答案】（1）偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析.【解析】（1）取結(jié)合得出，再由證明函數(shù)的奇偶性；（2）由奇偶性得出，再由函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合證明函數(shù)在上的單調(diào)性.【詳解】解：（1）依題意，.∴∴，又因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù).（2）由④知，，∵，，，∴，∴即在上單調(diào)遞增.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在證明奇偶性時(shí)關(guān)鍵是利用求出，再由定義證明函數(shù)為偶函數(shù)；在證明單調(diào)性時(shí)，關(guān)鍵是由，結(jié)合，證明在上單調(diào)遞增.【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時(shí)，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性.題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)例30．（2022·北京海淀·二模）若是奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由為奇函數(shù)可得，代入相應(yīng)解析式解方程即可.【詳解】易知定義域?yàn)椋蔀槠婧瘮?shù)可得，即，解得.故選：C.例31．（2022·河南洛陽(yáng)·三模（理））若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．【答案】C【解析】【分析】由已知，根據(jù)函數(shù)的解析式，寫(xiě)出的解析式，然后根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，借助，列出等量關(guān)系，化簡(jiǎn)即可求解參數(shù).【詳解】由已知，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，整理得：，所以.故選：C.例32．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，計(jì)算可得，經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意，即可得解.【詳解】由為奇函數(shù)，所以，所以，可得，解得，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋项}意，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)榉项}意，故選：D例33．（2022·江西·南昌十中模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義化簡(jiǎn)變形即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，則有=，得，則有.故答案為：.例34．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______．【答案】2或【解析】【分析】根據(jù)條件，由，求出的值，再檢驗(yàn)即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，其定義域?yàn)橛?，解得或?dāng)時(shí)，，則，滿足條件.當(dāng)時(shí)，，則，滿足條件.故答案為：2或例35．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______．【答案】1【解析】【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求參數(shù).【詳解】由題設(shè)，，所以.故答案為：1例36.（2022·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)___________.【答案】1【解析】【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】由偶函數(shù)得，即對(duì)恒成立整理得，故故答案為：1【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為，建立方程，使問(wèn)題得到解決，但是在解決選擇題、填空題時(shí)還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值例37．（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)為奇函數(shù)，且時(shí)，，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求．【詳解】由題可知，．故答案為：．例38．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)后，代入可得，由此可得時(shí)，；根據(jù)奇偶性可求得時(shí)，的解析式，求導(dǎo)后代入即可得到切線斜率.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，又為偶函數(shù)，，即時(shí)，，則，.故選：A.例39．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時(shí)，，則在上的最大值為(

)A．1 B．8 C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知f(0)＝0可求m的值，根據(jù)x≤0時(shí)的解析式，結(jié)合f(x)是奇函數(shù)可求x＞0時(shí)f(x)的解析式，判斷f(x)在[1，2]上單調(diào)性即可求其最大值.【詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又∵，，∴，∴時(shí)，，設(shè)，則，則，則，即當(dāng)x＞0時(shí)，，∴f(x)在上單調(diào)遞減，∴f(x)在上的最大值為.故選：C.例40．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B．在上單調(diào)遞減C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．的最小值為1【答案】B【解析】【分析】通過(guò)題目信息求出的解析式，然后利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷【詳解】由題，將代入得，因?yàn)榉謩e是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以可得，將該式與題干中原式聯(lián)立可得.對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，所以不可能單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：根據(jù)偶函數(shù)定義可得，所以為偶函數(shù)，表示向右平移1101個(gè)單位，故關(guān)于對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D：根據(jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故D正確；故選：B例41．（2022·山西呂梁·一模（文））已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以.故選：D例42．（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.(1)求和的值；(2)求在上的解析式.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由奇偶性和，取x=1可得；（2）取，利用，代入解析式結(jié)合奇偶性可解.(1)滿足，，.(2)由題意知，.當(dāng)時(shí)，.由是奇函數(shù)，，綜上，在上，例43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且其定義域均為.若，求，的解析式.【答案】，【解析】【分析】由、列方程組，解方程組求得.【詳解】依題意，函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，解得，.【方法技巧與總結(jié)】抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于的方程，從而可得的解析式.題型九：已知奇函數(shù)+M例44．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知（a，b為實(shí)數(shù)），，則______．【答案】-2014【解析】【分析】先化簡(jiǎn)得到，再利用函數(shù)奇偶性進(jìn)行求解.【詳解】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，其中，所以，解得：故答案為：-2014例45．（2022·河南·西平縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，且，則（

）A．2 B．3 C．－2 D．－3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)定義判斷函數(shù)的奇偶性，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件可求.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，因?yàn)椋?，則．故選：D.例46．（2022·福建省福州第一中學(xué)高二期末）若對(duì)，有，函數(shù)在區(qū)間上存在最大值和最小值，則其最大值與最小值的和為（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】利用已知條件可得，則為奇函數(shù)，構(gòu)造即可知為奇函數(shù)，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和為0，即可求最大、最小值的和.【詳解】由題設(shè)，且，∴，則，∴為奇函數(shù)，令，∴，即是奇函數(shù)，∴在上的最小、最大值的和為0，即，∴.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題設(shè)求出，構(gòu)造奇函數(shù)，根據(jù)區(qū)間內(nèi)存在最值可知，進(jìn)而求最值的和.例47．（2022·上海·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的最大值和最小值分別為、，則函數(shù)圖像的對(duì)稱中心不可能是_______A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，可得為奇函數(shù)，進(jìn)而得到，從而得到解析式；根據(jù)的對(duì)稱中心，平移可得對(duì)稱中心的坐標(biāo)；再分別對(duì)應(yīng)四個(gè)選項(xiàng)，當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，則不可能為對(duì)稱中心，由此可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則即為奇函數(shù)令則，可知的對(duì)稱中心為將的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得的圖象的對(duì)稱中心為當(dāng)時(shí)，，不合題意，可知不可能為又當(dāng)時(shí)分別對(duì)應(yīng)選項(xiàng)，可知均為的對(duì)稱中心本題正確選項(xiàng)：例48．（2022·河南·溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三月考（理））若函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為、，則的值為（）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)樗砸驗(yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以它在區(qū)間上的最大值、最小值之和為0，

也即，

所以例49．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三月考（理））函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)為上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)為上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由函數(shù)向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以.故選：C.例50．（2022·廣東潮陽(yáng)·高一期末）函數(shù)，若最大值為，最小值為，，則的取值范圍是______.【答案】【分析】先化簡(jiǎn)，然后分析的奇偶性，將的最大值和小值之和轉(zhuǎn)化為和有關(guān)的式子，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解出的取值范圍.【詳解】，令，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，∴為奇函數(shù)，∴，∴，，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，，∴，∴，故答案為：.例51．（2022·安徽·合肥市第九中學(xué)高三月考（理））已知定義域?yàn)镽的函數(shù)有最大值和最小值，且最大值和最小值的和為6，則λ-μ=___.【答案】-3【分析】先確定，否則沒(méi)有最大值和最小值，再由為奇函數(shù)，利用條件，即可得出結(jié)論．【詳解】解：，有最大值和最小值，則，否則沒(méi)有最大或最小值，于是，設(shè)的最大值為，最小值為，則，令，則，故為奇函數(shù)；即是奇函數(shù)，，即，．．故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】已知奇函數(shù)+M，，則（1）（2）題型十：函數(shù)的對(duì)稱性與周期性例52．（2022·天津三中二模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對(duì)任意的，且，恒有，則稱函數(shù)具有對(duì)稱性，其中點(diǎn)為函數(shù)的對(duì)稱中心，研究函數(shù)的對(duì)稱中心，求（

）A．2022 B．4043 C．4044 D．8086【答案】C【解析】【分析】令函數(shù)，得出函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而求得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，得到當(dāng)時(shí)，再結(jié)合倒序相加法，即可求解.【詳解】令函數(shù)，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，即當(dāng)，可得，設(shè)，所以所以.故選：C.例53．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．是奇函數(shù) D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】C【解析】【分析】由周期函數(shù)的概念易知函數(shù)的周期為2，根據(jù)圖象平移可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而可得奇偶性.【詳解】由可得2是函數(shù)的周期，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，，所以是奇函數(shù)，故選：C.例54．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（

）A．2021 B． C．2022 D．【答案】C【解析】【分析】通過(guò)已知條件，判斷函數(shù)的奇偶性、周期性，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)為奇函數(shù)；因?yàn)閷?duì)任意，都有，令，得，又函數(shù)為奇函數(shù)，故，解得，則，即，所以4是函數(shù)的一個(gè)周期；所以.故選：C.例55．（2022·新疆·三模（文））已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的奇偶性，單調(diào)性以及周期性，可將三個(gè)函數(shù)值轉(zhuǎn)化到區(qū)間中，根據(jù)在的單調(diào)性即可比較函數(shù)值的大小.【詳解】，時(shí)，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞增；，，綜上所述，.故選：A.例56．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足對(duì)任意恒成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先利用賦值法求出，代入等式賦值得到，即對(duì)稱軸為，再根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律判斷函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)一步求得函數(shù)周期，進(jìn)而得到，則可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，都有令得解得則即所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以所以所以8是函數(shù)的一個(gè)周期，所以故選：D.例57．（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知可求得函數(shù)的周期為3，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)可得即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因此函?shù)的周期為，所以，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，所以，即，所以原式，又當(dāng)時(shí)，，可得，因此原式.故選：B．例58．（2022·江西鷹潭·二模（文））已知是定義在R上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)且，則（

）A． B． C． D．6【答案】C【解析】【分析】依題意可得，從而得到，即可是以為周期的周期函數(shù)，再根據(jù)及周期性計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，又為偶函數(shù)，所以、且，則，即，所以，即是以為周期的周期函數(shù)，由，所以，，，所以；故選：C例59．（2022·江蘇·徐州市第七中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)滿足：對(duì)，都有，則函數(shù)的最小值為（

）A．-20 B．-16 C．-15 D．0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，由，求得，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)滿足：對(duì)，都有，所以，即，解得，所以，則，，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，故選：B例60．（2022·黑龍江·哈爾濱三中三模（理））定義在R上的函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：①對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有成立；②函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；③對(duì)任意的，，，都有成立.則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由①②可得函數(shù)是周期為4的函數(shù)，且是奇函數(shù)，由③可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而利用周期性和單調(diào)性即可求解.【詳解】解：由題意，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，又，所以，即，因?yàn)?，所以函?shù)是周期為4的函數(shù)，所以，，，因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)為奇函數(shù)，又因?yàn)閷?duì)任意的，，，都有成立，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，故選：B.例61．（2022·陜西·榆林市教育科學(xué)研究所模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)滿足，且函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，，，，則（

）A．－4π B．－2π C．2π D．4π【答案】B【解析】【分析】由題意可得出函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而可得出答案.【詳解】函數(shù)滿足，則的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.又的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱所以函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.則，所以故選：B【方法技巧與總結(jié)】（1）若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.題型十一：類周期函數(shù)例62．（2022·天津一中高三月考）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，再根據(jù)函數(shù)解析式以及單調(diào)性求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，最后解不等式得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，，選B.【點(diǎn)睛】對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來(lái)，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問(wèn)題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬(wàn)能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.例63．（2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)高三期中）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意首先得得到函數(shù)的具體表達(dá)式，由，所以，所以，再由可得出f（x）的表達(dá)式，在根據(jù)函數(shù)思維求出f（x）最小值解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)闀r(shí)，，所以，因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以，所以，，又因?yàn)椋愠闪?，故，解不等式可得?【點(diǎn)睛】考查函數(shù)的解析求法，解本題關(guān)鍵就是要能合理的運(yùn)用已知條件將變量的范圍變化到已知表達(dá)式范圍中，然后根據(jù)函數(shù)的最值思維即可得出結(jié)論.例64．（2022山西省榆林市高三二模理科數(shù)學(xué)試卷）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，，又，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)，從而，選C.考點(diǎn)：分段函數(shù)性質(zhì)，不等式恒成立【名師點(diǎn)睛】分段函數(shù)的考查方向注重對(duì)應(yīng)性，即必須明確不同的自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是什么.函數(shù)周期性質(zhì)可以將未知區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上.解決此類問(wèn)題時(shí)，要注意區(qū)間端點(diǎn)是否取到及其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，尤其是分段函數(shù)結(jié)合點(diǎn)處函數(shù)值.例65．（2022·湖北·高三月考）已知函數(shù)，其中，給出以下關(guān)于函數(shù)的結(jié)論：①②當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)棰郛?dāng)時(shí)方程恰有四個(gè)實(shí)根④當(dāng)時(shí)，若恒成立，則．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題可畫(huà)函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，是把向右平移2個(gè)單位變成后，再把縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到的圖象，如圖：∵，故①正確；由題知函數(shù)在上函數(shù)值域?yàn)?，在上函?shù)值域?yàn)?，在上函?shù)值域?yàn)?，在上函?shù)值域?yàn)?，故?dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)椋盛谡_；當(dāng)時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)根，故③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象交于點(diǎn)，結(jié)合圖象，即，故④正確，故選：C【方法技巧與總結(jié)】1.類周期函數(shù)若滿足：或，則橫坐標(biāo)每增加個(gè)單位，則函數(shù)值擴(kuò)大倍．此函數(shù)稱為周期為的類周期函數(shù)．類周期函數(shù)圖象倍增函數(shù)圖象2.倍增函數(shù)若函數(shù)滿足或，則橫坐標(biāo)每擴(kuò)大倍，則函數(shù)值擴(kuò)大倍．此函數(shù)稱為倍增函數(shù)．注意當(dāng)時(shí)，構(gòu)成一系列平行的分段函數(shù)，．題型十二：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性例66．（2022·山東聊城·二模）已知為上的奇函數(shù)，，若對(duì)，，當(dāng)時(shí)，都有，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由題意得到為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，由將原不等式轉(zhuǎn)化為和，函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】由，得，因?yàn)椋?，即，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，而，則，解得：；因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以，則為R上的偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，，則，解得：；綜上，原不等式的解集為.故選：B.例67．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知定義在R上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)遞增，若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得在上單調(diào)遞增，，，從而可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可得，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可知，.由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合在上單調(diào)遞增可得在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：C例68．（2022·黑龍江大慶·三模（理））已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則方程在區(qū)間上所有解的和為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】【分析】令，由已知可得函數(shù)與的圖象在區(qū)間上關(guān)于直線對(duì)稱，利用對(duì)稱性即可求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)是周期為2的函數(shù)，又的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，作出函數(shù)與在區(qū)間上的圖象，如圖所示：由圖可知，函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有8個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱，所以方程在區(qū)間上所有解的和為，故選：A.例69．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判斷并證明函數(shù)的奇偶性.【答案】（1）1；（2）偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析.【解析】（1）令，代入，可得答案；（2）由（1）知，且，得出，利用偶函數(shù)的定義判斷可得函數(shù)的奇偶性．【詳解】（1）依題意，.（2）由（1）知，∴，即，∴，又因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù).例70．（2022·上海·高三專題練習(xí)）定義在(－1，1)上的函數(shù)f(x)滿足①對(duì)任意x、y∈(－1，1)，都有f(x)+f(y)=f()；②當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，有f(x)>0．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】根據(jù)f(x)+f(y)=f()中的x，y，采用賦值法論證f(x)在x∈(－1，1)上是奇函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性定義論證f(x)在(－1，0)上是單調(diào)遞減函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)得到f(x)在x∈(0，1)上是遞減函數(shù)，且f(x)＜0，然后由，利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】證明：對(duì)f(x)+f(y)=f()中的x，y，令x=y=0，得f(0)=0，再令y=－x，又得f(x)+f(－x)=f(0)=0，即f(－x)=－f(x)，∴f(x)在x∈(－1，1)上是奇函數(shù).設(shè)－1＜x1＜x2＜0，則f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f()，∵－1＜x1＜x2＜0，∴x1－x2＜0，1－x1x2>0.∴＜0，又，所以，所以由②知f()>0，從而f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故f(x)在x∈(－1，0)上是單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知f(x)在x∈(0，1)上仍是遞減函數(shù)，且f(x)＜0，，，，時(shí)，，，故原不等式成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將變形為，利用裂項(xiàng)相消法求和，再結(jié)合x(chóng)∈(0，1)時(shí)，f(x)＜0問(wèn)題得解.【方法技巧與總結(jié)】抽象函數(shù)的模特函數(shù)通常如下：(1)若，則(正比例函數(shù))(2)若，則(指數(shù)函數(shù))(3)若，則(對(duì)數(shù)函數(shù))(4)若，則(冪函數(shù))(5)若，則(一次函數(shù))(6)對(duì)于抽象函數(shù)判斷單調(diào)性要結(jié)合題目已知條件，在所給區(qū)間內(nèi)比較大小，有時(shí)需要適當(dāng)變形.題型十三：函數(shù)性質(zhì)的綜合例71．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則關(guān)于t的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，再由基本初等函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化原不等式后求解即可.【詳解】，圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，又的定義域?yàn)?，由在上單調(diào)遞增知，在上遞增，，，即，，解得，又，解得，所以.故選：C例72．（2022·安徽·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由的性質(zhì)知：在上遞減且，結(jié)合題設(shè)不等式可得求的范圍，即可知最小值.【詳解】由題設(shè)，在上遞減，由偶函數(shù)知：，∴，即，∴，則，得.故的最小值是.故選：C例73．（2022·河南許昌·高三月考（理））已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式.【詳解】∵∴又，∴函數(shù)為奇函數(shù)，又，且僅時(shí)，∴函數(shù)在R上為增函數(shù)，∴函數(shù)為R上的增函數(shù)，不等式可化為，∴∴∴或，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D.例74．（2022·河南·新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)高三月考（文））已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性定義判定該函數(shù)為奇函數(shù)，再利用基本不等式、導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判定該函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，再綜合利用奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行求解.【詳解】令，則，即函數(shù)為上的奇函數(shù)，又，函數(shù)為上的增函數(shù)，又，，則，，所以，即解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是或．故選：A．例75．（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高三月考）定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】若對(duì)任意的，不等式恒成立，即對(duì)，不等式恒成立，，進(jìn)而可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，故在上單調(diào)遞減，由，得的對(duì)稱軸為，若對(duì)任意的，不等式恒成立，即對(duì)，不等式恒成立，，即，即，故實(shí)數(shù)的最大值為.故選：C.例76．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高一月考（理））設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，解不等式即可．【詳解】解：∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2，∴此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)當(dāng)x<0時(shí)，f（x）＝x2，若對(duì)任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，∵2f（x）＝f（x），∴f（x+a）≥f（x）恒成立，則x+a恒成立，即a≥﹣x恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴（）max（a+2），即a（a+2），解得a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為．故選：例77．（2022·湖南·岳陽(yáng)一中一模）已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先判斷為上的增函數(shù)且，利用這兩個(gè)性質(zhì)可得關(guān)于不等式，利用判別式可求參數(shù)的取值范圍，注意分類討論.【詳解】的定義域?yàn)椋?，故，，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立），（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立），故，所以為上的增函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為：，即轉(zhuǎn)化為：，所以對(duì)任意的恒成立，故對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，故符號(hào)，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，的圖象為開(kāi)口向上的拋物線，故對(duì)任意不恒成立，舍，故，故選：C.例78．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】函數(shù)為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增有解得解【詳解】解：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)在R上單調(diào)遞增.因?yàn)橛薪猓从薪?，所以有解，由函?shù)在R上單調(diào)遞增，可得有解.解法一：令，則.①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令，得；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此，，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.解法二：若，則有解.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故，即.若，則有解，易知恒小于零，所以，即.若，則，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.解法三：若，如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出與的圖象，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，再結(jié)合切線過(guò)原點(diǎn)得，故，由有解，得函數(shù)的部分圖象在直線的下方，所以，數(shù)形結(jié)合可知.若，易知函數(shù)的圖象必有一部分在直線的下方，符合題意.若，由函數(shù)的單調(diào)性可知，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D例79．（2022·黑龍江·哈師大附中三模（理））已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．[1，+∞) C． D．【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以時(shí)，，函數(shù)在上為單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)在上為單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以可化為，所以，所以，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：C.【方法技巧與總結(jié)】（1）奇偶性與單調(diào)性綜合解題，尤其要重視利用偶函數(shù)（或軸對(duì)稱函數(shù)）與單調(diào)性綜合解不等式和比較大小.（2）奇偶性、單調(diào)性、周期性綜合解題，尤其要注意對(duì)稱性與周期性之間的關(guān)系，周期是兩條對(duì)稱軸（或?qū)ΨQ中心）之間距離的2倍，是對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間距離的4倍.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·安徽·蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性逐一判斷即可得結(jié)果.【詳解】是奇函數(shù)，但整個(gè)定義域內(nèi)不是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；在定義域（0，+∞）上是減函數(shù)，但不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；在R上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，故C正確；在R上是奇函數(shù)但不是單調(diào)函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】不等式同構(gòu)變形，然后構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，由單調(diào)性確定結(jié)論．【詳解】設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上是增函數(shù)，原不等式變形為，即，所以．故選：B．3．（2022·湖北·房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，則等價(jià)于，解得，即原不等式的解集為.故選：B.4．（2022·浙江浙江·高三階段練習(xí)）已知定義在R上的奇函數(shù)在時(shí)滿足，且在有解，則實(shí)數(shù)m的最大值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)，得到在上單調(diào)遞增，再化簡(jiǎn)得到，把不等式轉(zhuǎn)化為，得到在有解，結(jié)合，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以，所以，即在有解，又由?dāng)時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)最大值為.故選：D.5．（2022·河北·石家莊二中高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間的最大值是M，最小值是m，則的值等于(

)A．0 B．10 C． D．【答案】C【解析】【分析】令，則，f(x)和g(x)在上單調(diào)性相同，g(x)時(shí)奇函數(shù)，可得g(x)在，據(jù)此可求M＋m，從而求出.【詳解】令，則，∴f(x)和g(x)在上單調(diào)性相同，∴設(shè)g(x)在上有最大值，有最小值.∵，∴，∴g(x)在上為奇函數(shù)，∴，∴，∴，.故選：C.6．（2022·安徽·蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】首先求出時(shí)函數(shù)解析式，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，又，故切線方程為，即.故選：A7．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．-11 B．-8 C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性和周期性以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算化簡(jiǎn)可得，結(jié)合題意計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，由知，函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，則.故選：A.8．（2022·江西·南昌市實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模（理））對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱點(diǎn)與點(diǎn)是函數(shù)的一對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”．若函數(shù)的圖像恰好有2對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)根，根據(jù)圖象得到答案.【詳解】依題意，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根，即：，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；又在出的切線方程為，如圖，由圖可知，要使方程有兩個(gè)根，則或.故選：B.二、多選題9．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說(shuō)法正確的是（

）A．的定義域?yàn)?B．的值域?yàn)镃．在定義域上單調(diào)遞減 D．點(diǎn)是圖象的對(duì)稱中心【答案】AD【解析】【分析】由，可知由向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，根據(jù)的性質(zhì)得到的性質(zhì)，即可判斷；【詳解】解：由向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，故D正確；函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋蔄正確，B錯(cuò)誤；函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；故選：AD10．（2022·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的偶函數(shù)的圖像是連續(xù)的，，在區(qū)間上是增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的一個(gè)周期為6 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D．在區(qū)間上共有100個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】由條件結(jié)合周期函數(shù)的定義證明函數(shù)為周期函數(shù)，再根據(jù)奇偶性，周期性，單調(diào)性判斷B，C，并由零點(diǎn)的定義判斷D.【詳解】因?yàn)?，取，得，故，又是偶函?shù)，所以，所以，故，即的一個(gè)周期為12，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；又在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，由周期性可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B項(xiàng)正確；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，由周期性可知的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故C項(xiàng)正確；因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，，由周期性可知，在區(qū)間上，，而區(qū)間上有168個(gè)周期，故在區(qū)間上有336個(gè)零點(diǎn)，又，所以在區(qū)間上有337個(gè)零點(diǎn)，由為偶函數(shù)，可知在區(qū)間上有674個(gè)零點(diǎn)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC項(xiàng)．11．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且對(duì)任意的，且，都有，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．【答案】ABCD【解析】【分析】由，得到，得出是周期為4的周期函數(shù).根據(jù)函數(shù)的圖象變換，得到函數(shù)的關(guān)于對(duì)稱，得出函數(shù)為偶函數(shù).結(jié)合，根據(jù).進(jìn)而求得，得到函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和周期性，進(jìn)而得出.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)函數(shù)的圖象變換，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由函數(shù)對(duì)任意都有，可得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，因?yàn)?，可得，則，所以B正確；又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，即，所以，可得，所以函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，所以C正確；由對(duì)任意的，且，都有，可得函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，故，所以D正確.故選：ABCD12．（2022·河北秦皇島·二模）已知函數(shù)，，，則（

）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱B．的圖象沒(méi)有對(duì)稱中心C．對(duì)任意的，的最大值與最小值之和為D．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性直接可判斷ABC，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可判斷D.【詳解】由題意知的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故A正確；因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B不正確；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以對(duì)任意的，最大值與最小值之和為，故C正確；由，得，又在上單調(diào)遞減，且，所以或，解得或，故D正確，故選：ACD.三、填空題13．（2022·山東臨沂·二模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則__________．【答案】2【解析】【分析】求出f(x)定義域，根據(jù)f(x)是偶函數(shù)，可取定義域內(nèi)任意x，根據(jù)f(-x)=f(x)即可求得m的值．【詳解】由得的定義域?yàn)?，則∵是偶函數(shù)，故f(-1)=f(1)，即，解得m=2．此時(shí)，而，故確為偶函數(shù)，故m=2．故答案為：2．14．（2022·湖北·房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上的最小值為1，則的值為_(kāi)_______.【答案】1【解析】【分析】分，討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值即得.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，∴的最小值為，，所以不成立；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，符合題意.故.故答案為：1.15．（2022·廣東佛山·三模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】先求得a的值，再利用函數(shù)單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為，解之即可求得的取值范圍.【詳解】定義在R上函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，解之得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意均為R上增函數(shù)，則為R上增函數(shù)，又，則不等式等價(jià)于，解之得故答案為：16．（2022·陜西寶雞·二模（文））若函數(shù)f（x）同時(shí)滿足：（1）對(duì)于定義域上的任意x，恒有；（2）對(duì)于定義域上的任意，當(dāng)，恒有，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”，下列①，②，③，④四個(gè)函數(shù)中，能被稱為“理想函數(shù)”的有__