第8章 概率與統(tǒng)計初步（知識考點）-高中數(shù)學單元復習講與測（高教版2021基礎模塊下冊）解析版

第8第8章概率與統(tǒng)計初步知識點一：隨機事件1．隨機試驗(1)定義：把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗．(2)特點：①試驗可以在相同條件下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結果．2．樣本點和樣本空間(1)定義：我們把隨機試驗的每個可能的基本結果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間．(2)表示：一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點．如果一個隨機試驗有個可能結果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．3．事件的分類(1)隨機事件：①我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．②隨機事件一般用大寫字母，，，…表示．③在每次試驗中，當且僅當中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件發(fā)生．(2)必然事件：作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件．(3)不可能事件：空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱為不可能事件．4．頻率與概率(1)隨機事件的頻率在相同的條件下重復次試驗，觀察某一事件是否出現(xiàn),稱次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件出現(xiàn)的比例為事件出現(xiàn)的頻率.大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性.一般地，隨著試驗次數(shù)的增大，頻率偏離概概率的幅度會縮小，即事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率估計概率.由概率的定義可知：(1)對于任意事件，都有；(2)必然事件的概率為1，即；(3)不可能事件的概率為0，即.知識點二：古典概型1．古典概型的定義如果一個試驗具有如下性質：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．稱這樣的為古典概率模型，簡稱古典概型．2．古典概型的概率計算公式一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率，其中，和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數(shù)．知識點三：概率的簡單性質1．互斥事件一般地，如果事件與事件不能同時發(fā)生，也就是說是一個不可能事件，即，則稱事件與事件互斥(或互不相容)，符號表示：，圖示：.2．對立事件一般地，如果事件和事件在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即，且，那么稱事件與事件互為對立，事件的對立事件記為，符號表示：，且，圖示：.3．互斥事件與相互獨立事件的區(qū)別與聯(lián)系相互獨立事件互斥事件判斷方法一個事件發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響兩個事件不可能同時發(fā)生，即概率公式事件與相互獨立等價于事件與互斥，則知識點四：抽樣方法1．簡單隨機抽樣一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．最常用的簡單隨機抽樣方法是抽簽法.抽簽法(抓鬮法)：一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取1個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本．簡單隨機抽樣有操作簡便易行的優(yōu)點，在總體個數(shù)不多的情況下是行之有效的．2．系統(tǒng)抽樣一般地，假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，我們可以按下列步驟進行系統(tǒng)抽樣：①先將總體的N個個體編號．有時可直接利用個體自身所帶的號碼，如學號、準考證號、門牌號等；②確定分段間隔k，對編號進行分段．當eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k＝eq\f(N,n)，如果遇到eq\f(N,n)不是整數(shù)的情況，可以先從總體中隨機地剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除；③在第1段用簡單隨機抽樣方法確定第一個個體編號l(l≤k)；④按照一定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號(l＋k)，再加k得到第3個個體編號(l＋2k)，依次進行下去，直到獲取整個樣本．當總體中元素個數(shù)較少時，常采用簡單隨機抽樣，當總體中元素個數(shù)較多時，常采用系統(tǒng)抽樣．3．分層抽樣(1)分層抽樣的概念：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣的方法．(3)分層抽樣時，每個個體被抽到的機會是均等的．知識點五：統(tǒng)計圖表名稱概念頻數(shù)、頻率將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個組,各組內數(shù)據(jù)的個數(shù),叫作該組的頻數(shù).每組頻數(shù)除以全體數(shù)據(jù)個數(shù)的商叫作該組的頻率.頻率反映該組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例的大小樣本的頻率分布根據(jù)隨機所抽樣本的大小,分別計算某一事件出現(xiàn)的頻率,這些頻率的分布規(guī)律(取值狀況)就叫作樣本的頻率分布極差若一組數(shù)據(jù)的最小值為a,最大值為b,則b-a的差就叫作極差組距把所有數(shù)據(jù)分成若干組,每個小組的兩個端點之間的距離稱為組距頻率直方圖的制作步驟：(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)(2)決定組距與組數(shù)組距是指每個小組的兩個端點之間的距離.為方便起見一般取等長組距，并且組距的選擇應力求“取整”.極差、組距、組數(shù)有如下關系：若為整數(shù)，則=組數(shù)；若不為整數(shù)，則[]+1=組數(shù)。(3)將數(shù)據(jù)分組：通常對組內數(shù)據(jù)所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間。(4)列頻率分布表：統(tǒng)計各組數(shù)據(jù)的頻數(shù)，計算頻率，填入表格中，完成頻率分布表。(5)畫頻率直方圖：畫圖時，以橫軸表示分組，縱軸（小長方形的高）表示頻率與組距的比值。在頻率分布直方圖中，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，數(shù)據(jù)落在各小組內的頻率用各小長方形的面積表示，各小長方形的面積總和等于1．知識點六：樣本的均值和標準差1．眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或者最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)，即＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等．2．樣本方差，樣本標準差標準差s＝，其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，是平均數(shù)．標準差是反映總體波動大小的特征數(shù)，樣本方差是樣本標準差的平方．通常用樣本方差估計總體方差，當樣本容量接近總體容量時，樣本方差很接近總體方差．考點一隨機試驗1．連續(xù)擲一顆篩子兩次，以下是必然事件的是（

）A．點數(shù)和為偶數(shù) B．至少出現(xiàn)一次點數(shù)為偶數(shù)C．點數(shù)和不小于2 D．點數(shù)和為奇數(shù)【答案】C【詳解】連續(xù)擲一顆篩子兩次，兩次事件相互獨立，各自的可能都為1,2,3,4,5,6，對于A：若兩次點數(shù)分別為1，2，則和為奇數(shù)，故A錯誤；對于B：若兩次點數(shù)分別為1，3，則都為奇數(shù)，故B錯誤；對于C：兩次點數(shù)最小都為1，則和不小于2，故C正確；對于D：若兩次點數(shù)分別為1，3，則和為偶數(shù)，故D錯誤；故選：C.2．將2個1和1個0隨機排成一排，則這個試驗的樣本空間__________.【答案】【解析】將2個1和1個0隨機排成一排，這個試驗的樣本空間，故答案為：3．寫出從集合任取兩個元素構成子集的樣本空間．【答案】【解析】從集合任取兩個元素，則構成子集的樣本空間.4．下列四個命題中真命題的個數(shù)為（

）個①有一批產品的次品率為，則從中任意取出件產品中必有件是次品；②拋次硬幣，結果次出現(xiàn)正面，則出現(xiàn)正面的概率是；③隨機事件發(fā)生的概率就是這個隨機事件發(fā)生的頻率；④擲骰子次，得點數(shù)為的結果有次，則出現(xiàn)點的頻率為.A． B． C． D．【答案】A【解析】對于①，一批產品的次品率即出現(xiàn)次品的概率，它表示的是產品中出現(xiàn)次品的可能性的大小，并非表示件產品中必有件次品，故①不是真命題；對于②，拋次硬幣，結果次出現(xiàn)正面，可知出現(xiàn)正面的頻率是，而非概率，故②不是真命題；對于③，隨機事件發(fā)生的概率不隨試驗次數(shù)的多少而發(fā)生變化，是事件的一種固有屬性，而隨機事件發(fā)生的頻率，會發(fā)生變化，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會穩(wěn)定于概率，但頻率只是概率的近似值，并不表示概率就是頻率，故③不是真命題；對于④，擲骰子次，得點數(shù)為的結果有次，即次試驗中，“出現(xiàn)點”這一事件發(fā)生了次，則出現(xiàn)點的頻率為，故④為真命題，綜上所述，真命題個數(shù)為個，故選：A.考點二古典概型5．下列試驗是古典概型的為．①從6名同學中選出4人參加數(shù)學競賽，每人被選中的可能性大??；②同時擲兩枚骰子，點數(shù)和為6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④甲乙等10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．【答案】①②④【解析】因為古典概型需要滿足基本事件是有限個，且每個基本事件的概率相等，據(jù)此①②④均符合要求，③不滿足等可能的要求，因為降雨受多方面因素影響，故答案為：①②④.6．天河英才秋季運動會三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”這三個圖案的卡片（卡片的形狀?大小和質地完全相同）放入盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設三張卡片“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”依次記為,若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則基本事件為：共9種，則其中一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的基本事件為：共2種，所有所求概率為，故選：C.7．從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】從6張卡片中無放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.8．從至的個整數(shù)中隨機取個不同的數(shù)，寫出所有不同的取法.【答案】答案見解析【解析】從至的個整數(shù)中隨機取個不同的數(shù)，共有以下種不同的取法，,,,,.9．已知集合，在集合A中可重復的依次取出三個數(shù)，則這3個數(shù)能夠成為一個三角形三條邊的概率是.【答案】【解析】集合，在中可重復的依次取出三個數(shù)，，，基本事件有共有8個，“以，，為邊長恰好構成三角形”包含的基本事件個數(shù)，分別為：，所以“以，，為邊長恰好構成三角形”的概率：，故答案為：.10．同時骰兩枚骰子，求：（1）至少有一個點數(shù)為6的概率；（2）點數(shù)和為6的倍數(shù)的概率．【答案】(1)；(2)【解析】解：（1）同時骰兩枚骰子,所有的基本事件有共有36個，至少有一個點數(shù)為6有共11個，故概率為（2）點數(shù)和為6的倍數(shù)的包含的基本事件有共有6個，故概率為考點三概率的性質11．已知件產品中有件正品，其余為次品.現(xiàn)從件產品中任取件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，下列選項中的兩個事件互為對立事件的是（

）A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品【答案】D【解析】對于A項，恰好有1件次品和恰好有兩件次品互為互斥事件，但不是對立事件；對于B項，至少有1件次品和全是次品可以同時發(fā)生，不是對立事件；對于C項，至少有1件正品和至少有1件次品可以同時發(fā)生，不是對立事件；對于D項，至少有1件次品即存在次品，與全是正品互為對立事件，故選：D.12．書架上有2本數(shù)學書和2本語文書，從這4本書中任取2本，那么互斥但不對立的兩個事件是（

）A．“至少有1本數(shù)學書”和“都是語文書”B．“至少有1本數(shù)學書”和“至多有1本語文書”C．“恰有1本數(shù)學書”和“恰有2本數(shù)學書”D．“至多有1本數(shù)學書”和“都是語文書”【答案】C【解析】對于A：“至少有1本數(shù)學書”和“都是語文書”是對立事件，故不滿足題意；對于B：“至少有1本數(shù)學書”和“至多有1本語文書”可以同時發(fā)生，故不滿足題意；對于C：“恰有1本數(shù)學書”和“恰有2本數(shù)學書”互斥但不對立，滿足題意；對于D：“至多有1本數(shù)學書”和“都是語文書”可以同時發(fā)生，故不滿足題意，故選：C.13．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則甲獲勝的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，記事件兩人下成和棋，事件乙獲勝，事件甲獲勝，則事件和事件為互斥事件，且事件與事件互為對立事件，所以，甲獲勝的概率為，故選：C.14．有3個兩兩互斥的事件A，B，C，已知事件是必然事件，事件A發(fā)生的概率是事件B發(fā)生的概率的2倍，事件C發(fā)生的概率比事件B發(fā)生的概率大0.2.分別求事件A，B，C發(fā)生的概率.【答案】，，【解析】解：設，則，，由題意知，解得，所以，，.15．若隨機事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因隨機事件，互斥，則，依題意及概率的性質得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：C.16．已知事件與互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則.【答案】【解析】因為事件A、B互斥，，所以，又它們都不發(fā)生的概率為，所以，解得，所以，故答案為：.考點四抽樣方法17．關于簡單隨機抽樣的特點,有以下幾種說法,其中不正確的是()A．要求總體中的個體數(shù)有限B．從總體中逐個抽取C．這是一種不放回抽樣D．每個個體被抽到的機會不一樣,與先后順序有關【答案】D【解析】簡單隨機抽樣，除具有A、B、C三個特點外，還具有的特點：是等可能抽樣，各個個體被抽取的機會相等，與先后順序無關，選：D.18．某公司有160名員工，其中研發(fā)部120名，銷售部16名，客服部24名，為調查他們的收入情況，從中抽取一個容量為20的樣本，較為合適的抽樣方法是（

）A．簡單隨機抽樣 B．系統(tǒng)抽樣C．分層抽樣 D．其他抽樣【答案】C【解析】由題意員工來自三個不同的部門，因此采取分層抽樣方法較合適，故選：C．19．某高中有三個年級，其中高一學生900人，高二學生860人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法調查學生的視力情況，在抽取的樣本中有高二學生43人、高三學生39人，則該高中的學生總人數(shù)應為（

）A．2600 B．2580 C．2540 D．2500【答案】C【解析】設高三有人，高二學生860人，在抽取的樣本中有高二學生43人、高三學生39人，根據(jù)分層抽樣的特點可得：，得，所以該高中的學生總人數(shù)應為，故選：C20．現(xiàn)要完成3項抽樣調查：①從10盒酸奶中抽取3盒進行衛(wèi)生檢查；②科技報告廳有座椅32排，每排40個座位，有一次報告會恰好坐滿了觀眾，抽取32位進行座談；③某中學共有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名，為了解教職工對校務公開方面的意見，抽取一個容量為20的樣本進行調查（）A．①簡單隨機抽樣②系統(tǒng)抽樣③分層抽樣B．①簡單隨機抽樣②分層抽樣③系統(tǒng)抽樣C．①系統(tǒng)抽樣②簡單隨機抽樣③分層抽樣D．①分層抽樣②系統(tǒng)抽樣③簡單隨機抽樣【答案】A【解析】對于①總體中的個體數(shù)較少，宜用簡單隨機抽樣；②總體中的個體數(shù)較多，而且容易分成均衡的若干部分，選32人剛好32排，每排選一人，宜用系統(tǒng)抽樣；③總體是由差異明顯的幾部分組成，宜用分層抽樣，故選：A．21．從編號1，2，3，…，99的99個零件中，抽取一個樣本容量為11的樣本，按系統(tǒng)抽樣的方法分為11組，若第一組中抽取的零件編號為3，則第三組中抽取的零件編號為．【答案】21【解析】因為有99個零件，分11組，所以每組有9個，因為第一組中抽取的零件編號為3，所以第三組抽取的零件編號為，故答案為：21.考點五統(tǒng)計圖表22．為了解某地居民的月收入情況，一個社會調查機構調查了20000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率直方圖如圖所示(最后一組包含兩端值，其他組包含最小值，不包含最大值)．現(xiàn)按月收入分層，用分層抽樣的方法在這20000人中抽出200人做進一步調查，則月收入在[1500，2000)(單位：元)內的應抽取人．【答案】40【解析】月收入在[1500，2000)內的頻率為1－(0.0002＋0.0005×2＋0.0003＋0.0001)×500＝0.2，故應抽取200×0.2＝40(人)，故答案為：.23．采用簡單隨機抽樣抽到一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，各組的頻數(shù)如下表：分組[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)頻數(shù)23x5y2已知樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間[20，40)內的頻率為0.35，則樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間[50，60)內的頻率為（）A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20【答案】D【解析】由題意得，=0.35，解得x=4，則y=20-2-3-4-5-2=4，故所求頻率為=0.20.24．某工廠對200個電子元件的使用壽命進行檢查，按照使用壽命（單位：h），可以把這批電子元件分成第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組.由于工作中不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，現(xiàn)有以下部分圖表：使用壽命頻數(shù)3020頻率0.20.4（1）求圖2中A的值；（2）補全圖2頻率分布直方圖，并求圖2中陰影部分的面積；（3）為了某次展銷會，用分層抽樣的方法在壽命位于內的產品中抽取5個作為樣本，那么在內應抽取多少個？【答案】（1）；（2）