第8章 排列組合（知識考點）-【中職專用】高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)講與測（高教版2021·拓展模塊一下冊）原卷版

第8第8章排列組合知識點一：計數(shù)原理1．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理基本形式一般形式分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．注意：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法種數(shù)．它們的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，各方法相互獨立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成．2．應(yīng)用兩個原理解題的一般思路注意：(1)明白要完成的事情是什么；(2)分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；(3)有無特殊條件的限制；(4)檢驗是否有重復(fù)或遺漏．知識點二：排列與組合1．排列與排列數(shù)(1)一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．(2)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Peq\o\al(m,n)表示．(3)排列數(shù)公式的兩種形式①Peq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.②Peq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).(4)全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，全排列數(shù)為Peq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的階乘)．規(guī)定：0！＝1.2．組合及組合數(shù)的定義(1)組合一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．(2)組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．(3)排列與組合的關(guān)系相同點兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素不同點排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序關(guān)系組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)與排列數(shù)Peq\o\al(m,n)間存在的關(guān)系:Peq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Peq\o\al(m,m)(4)組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1.(5)組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).知識點三：二項式定理1．二項式定理(1)定義一般地，對于任意正整數(shù)，都有：.這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，其中的系數(shù)叫做二項式系數(shù)(2)二項式的展開式的特點：①項數(shù)：共有項，比二項式的次數(shù)大1；②二項式系數(shù)：第項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到0；字母升冪排列，次數(shù)從0到，每一項中，a，b次數(shù)和均為；(3)二項展開式的通頂公式公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；2．二頂式系數(shù)及其性質(zhì)(1)的展開式中各項的二頂式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：①對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離"的兩項的二項式系數(shù)相等，即；②增減性與最大值：二項式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值．其中，當(dāng)為偶數(shù)時，二項展開式中間一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時，二項展開式中間兩項的二項式系數(shù)相等，且最大．(2)各二項式系數(shù)之和為，即；(3)二項展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即．(4)二項式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別二項展開式中，第項的二項式系數(shù)是組合數(shù)，展開式的系數(shù)是單項式的系數(shù)，二者不一定相等．考點一計數(shù)原理1．書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法有__________種.2．用1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，這樣的兩位數(shù)個數(shù)為（

）A．6 B．12 C．16 D．243．如圖，從甲村到乙村有3條路可走，從乙村到丙村有2條路可走，從甲村不經(jīng)過乙村到丙村有2條路可走，則從甲村到丙村的走法種數(shù)為（

）A．3 B．6 C．7 D．84．用數(shù)字0，1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)，其中比200大的有（

）A．24個 B．12個 C．18個 D．6個5．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是（

）A．26B．60C．18D．10806．3名大學(xué)生利用假期到2個山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只能去1個村，則不同的分配方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．10種7．“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，節(jié)約糧食是我國的傳統(tǒng)美德．已知學(xué)校食堂中午有2種主食、6種素菜、5種葷菜，小華準(zhǔn)備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的選取方法有（

）A．13種 B．22種 C．30種 D．60種8．如圖，一條電路從A處到B處接通時，可以有_____________條不同的線路（每條線路僅含一條通路）．考點二排列與組合9．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．10．下列問題是排列問題的是（

）A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構(gòu)成多少條線段？C．集合的含有三個元素的子集有多少個？D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法？11．計算：（1）；（2）；12．寫出從A，B，C，D，E5個元素中，依次取3個元素的所有組合．13．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（

）A．24種 B．6種 C．4種 D．12種14．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為．15．用數(shù)字組成個沒有重復(fù)數(shù)字并且是的倍數(shù)的五位數(shù).16．現(xiàn)有8個人（5男3女）站成一排．(1)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？(2)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？17．已知有6本不同的書.(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？考點三二項式定理18．求展開式中的前4項.19．（1）求展開式中的第8項；（2）求展開式中的第7項．20．的展開式中常數(shù)項為（用數(shù)字作答）．21