湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

高中數(shù)學(xué)精編資源2/22023屆湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、試室號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡指定位置上，并在相應(yīng)位置填涂考生號(hào)．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上.4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合，，則（）A{x|} B.{x|1≤x<3} C.{1，2} D.{1，2，3}2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則（）A. B. C. D.3.若將整個(gè)樣本空間想象成一個(gè)1×1的正方形，任何事件都對(duì)應(yīng)樣本空間的一個(gè)子集，且事件發(fā)生的概率對(duì)應(yīng)子集的面積.則如圖所示的涂色部分的面積表示（）A.事件A發(fā)生的概率 B.事件B發(fā)生的概率C.事件B不發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率 D.事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率4.已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.5.在數(shù)列中，已知，且，則以下結(jié)論成立的是（）A. B. C. D.6.橢圓上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值是（）A.11 B. C. D.7.恰有一個(gè)實(shí)數(shù)使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知四面體中，，則體積的最大值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是偶函數(shù) B.在（0，+∞）上單調(diào)遞減C.是周期函數(shù) D.≥-1恒成立10.[多選題]已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)為B.若直線過(guò)點(diǎn)，則C.若，則的最小值為D.若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，O為正方體的中心，M為的中點(diǎn)，F(xiàn)為側(cè)面正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則（）A.若P為正方體表面上一點(diǎn)，則滿足面積為的點(diǎn)有12個(gè)B.動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是一條線段C.三棱錐的體積是隨點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)而變化的D.若過(guò)A，M，三點(diǎn)作正方體的截面，Q為截面上一點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為12.畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，直線，則（）A.直線與蒙日?qǐng)A相切B.的蒙日?qǐng)A的方程為C.記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為D.若矩形的四條邊均與相切，則矩形的面積的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知的最大值為_(kāi)______，此時(shí)__________.14.六名考生坐在兩側(cè)各有一條通道的同一排座位上應(yīng)考，考生答完試卷的先后次序不定，且每人答完試卷后立即離開(kāi)座位走出教室.則其中至少有一人交卷時(shí)為到達(dá)通道而打擾其他尚在考試的同學(xué)的概率為_(kāi)_________.15.如圖，，，是全等的等腰直角三角形（，處為直角頂點(diǎn)），且，，，四點(diǎn)共線.若點(diǎn)，，分別是邊，，上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則________，的取值范圍為_(kāi)______.16.有一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正四面體，其中有一半徑為的球自由運(yùn)動(dòng)，正四面體內(nèi)未被球掃過(guò)的體積為四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知外心為，為線段上的兩點(diǎn)，且恰為中點(diǎn).（1）證明：（2）若，，求的最大值.18.如圖①，在平面五邊形中，是梯形，，，，，是等邊三角形.現(xiàn)將沿折起，連接、得如圖②的幾何體.（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.微信小程序“黨史知識(shí)競(jìng)賽”中的“答題競(jìng)賽”版塊有個(gè)“雙人競(jìng)賽”欄目，可滿足兩人通過(guò)回答多個(gè)問(wèn)題的形式進(jìn)行競(jìng)賽.甲，乙兩單位在聯(lián)合開(kāi)展黨史學(xué)習(xí)教育特色實(shí)踐活動(dòng)中通過(guò)此欄目進(jìn)行比賽，比賽規(guī)則是：每一輪比賽中每個(gè)單位派出一人代表其所在單位答題，兩單位都全部答對(duì)或者都沒(méi)有全部答對(duì)則均記0分；一單位全部答對(duì)而另一單位沒(méi)有全部答對(duì)，則全部答對(duì)的單位記1分，沒(méi)有全部答對(duì)的單位記-1分.設(shè)每輪比賽中甲單位全部答對(duì)的概率為，乙單位全部答對(duì)的概率為，甲，乙兩單位答題相互獨(dú)立，且每輪比賽互不影響.（1）經(jīng)過(guò)1輪比賽，設(shè)甲單位的記分為X，求X的分布列和期望；（2）若比賽采取3輪制，試計(jì)算第3輪比賽后甲單位累計(jì)得分低于乙單位累計(jì)得分的概率.21.如圖，已知圓，點(diǎn)，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓O，點(diǎn)的集合記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知直線，，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，記的斜率分別為，問(wèn)：是否為定值？若是，給出證明，并求出定值；若不是，說(shuō)明理由.22.已知函數(shù)在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）若函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，求證：.（）2023屆湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合.則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到或，再求即可.【詳解】因?yàn)椋曰?，所?故選：B2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（）A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求解【詳解】設(shè)，由題意得，則，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為兩條直線，故選：A3.若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡(jiǎn)求解【詳解】由題意得，故選：C4.已知代表不同的平面，代表不同的直線，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用空間線面的關(guān)系，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，則與平面可能平行，也可能垂直，也可能斜交.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則可能平行，也可能相交，也可能異面.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則可能平行，也可能異面故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則.又，所以.故D正確.故選：D5.已知為單位向量，且，若，則實(shí)數(shù)k的值為（）A.－6 B.6 C.3 D.－3【答案】B【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為，利用數(shù)量積分配律，求解即可【詳解】由題意，故又為單位向量，且故可得，即故選：B6.圖1是一個(gè)不倒翁模型，它是一種古老的中國(guó)兒童玩具，最早記載出現(xiàn)于唐代，一經(jīng)觸動(dòng)就搖擺然后恢復(fù)直立狀態(tài).如圖2，將圖1的模型抽象成一個(gè)正圓錐和半球的組合體.已知半球的密度是圓錐的2倍，已知要讓半球質(zhì)量不小于圓錐質(zhì)量，才能使它在一定角度范圍內(nèi)“不倒”，則圓錐的高和底面半徑之比至多為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】由圓錐和球的體積公式列不等式求解【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，由題意得，即，則，故選：D7.將曲線的圖像畫(huà)在坐標(biāo)軸上，再把坐標(biāo)軸擦去（軸水平向右，軸豎直向上），得到的圖像最有可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】當(dāng)趨于無(wú)窮時(shí)，曲線無(wú)限趨于，結(jié)合斜率關(guān)系和的正負(fù)，用排除法得到答案.【詳解】直線把平面劃分為四個(gè)區(qū)域，如圖，區(qū)域（1）滿足，區(qū)域（3）滿足，均有(x＋y)(x－2y＋1)＞0，不滿足(x＋y)(x－2y＋1)＋1＝0；排除，，區(qū)域（2）滿足；區(qū)域（4）滿足；所以曲線的圖像只可能在區(qū)域（2）（4）內(nèi)，當(dāng)趨于無(wú)窮時(shí)，曲線無(wú)限趨于，直線的斜率分別是，由直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可知：直線的傾斜角為135°，直線傾斜角為銳角且小于30°，從而排除，故選：B．8.若實(shí)數(shù)滿足：對(duì)每個(gè)滿足的不為常數(shù)的數(shù)列，存在，使得，則的最大值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)選項(xiàng)，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系，對(duì)其賦予恰當(dāng)?shù)闹?，然后進(jìn)行邏輯推理論證即可.【詳解】令，則.故.下證：當(dāng)時(shí)滿足條件.①存在，已經(jīng)成立；②存在，則，成立；③存在，則，成立.假設(shè)存在，使得對(duì)每個(gè)，設(shè).則.令，則，矛盾.故總存在，滿足①，②，③其中之一.故選：C【點(diǎn)睛】值的得到可以從二階不動(dòng)點(diǎn)的角度考慮，也可以從選項(xiàng)出發(fā)考慮.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得分.9.已知，則的值可能為（）A. B. C.24 D.【答案】BC【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解【詳解】由題意得，，則時(shí)，，同理時(shí)，故選：BC10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】A.先構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性確定的大致范圍，再構(gòu)造，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性確定與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到A選項(xiàng).B.先構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性確定的大致范圍，再構(gòu)造，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性確定與的大小關(guān)系，進(jìn)而可知B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C.通過(guò)，得到，進(jìn)而可得與的大小關(guān)系,進(jìn)而可知C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D.與C選項(xiàng)同樣的方法即可判斷.【詳解】A.令則，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故.令則，所以在上單調(diào)遞減，且即故選項(xiàng)A正確B.令則，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故.令所以在上單調(diào)遞減，且即故選項(xiàng)B錯(cuò)誤C.又在單調(diào)遞增故選項(xiàng)C錯(cuò)誤D.由C可知，又在單調(diào)遞減故選項(xiàng)D正確故選：AD11.已知，則（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】對(duì)于A，利用賦值法求解，對(duì)于B，利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解，對(duì)于C，利用賦值法求解，對(duì)于D，利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】對(duì)于A，令，則，令，則，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，令，則，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)槎?xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以，，，，，所以，，所以，所以D正確，故選：CD12.已知.設(shè)命題：過(guò)點(diǎn)恰可作一條關(guān)于的切線.以下為命題的充分條件的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】首先對(duì)求導(dǎo)，然后寫(xiě)出切線方程，代入化簡(jiǎn)得，轉(zhuǎn)化為方程有一個(gè)根，再轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為：，因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將點(diǎn)代入得，化簡(jiǎn)得，方程有一個(gè)根，令，，轉(zhuǎn)化為直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，，，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，則有或即，，同理當(dāng)時(shí)，，，，，故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，可得或，，綜上，要想過(guò)恰可作一條關(guān)于的切線，則或；或.A選項(xiàng)，，若，則，無(wú)法推出，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，若，則，若，則，可以推出，故B正確；C選項(xiàng)，，無(wú)法推出，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，若，則，若，則，可以推出，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】對(duì)三次函數(shù)切線個(gè)數(shù)問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)中的重難點(diǎn)，也是曾經(jīng)高考考查過(guò)的內(nèi)容，方法是轉(zhuǎn)化成方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.圓的直徑為_(kāi)__________.【答案】5【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即得解【詳解】由題意，故圓的半徑為，直徑為5故答案為：514.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足以下條件的函數(shù)的解析式___________.①為偶函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)寫(xiě)出一個(gè)符合題意的函數(shù)即可.【詳解】記，則.所以當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即.所以恒成立.所以當(dāng)時(shí)，可取滿足.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以可以找到一個(gè)符合題意的函數(shù)：故答案：（答案不唯一）.15.數(shù)學(xué)家高斯在各個(gè)領(lǐng)域中都取得了重大的成就.在研究一類二次型數(shù)論問(wèn)題時(shí)，他在他的著作《算術(shù)研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理論在噪音工程學(xué)?密碼學(xué)以及大數(shù)分解等各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.已知對(duì)于正整數(shù)，若存在一個(gè)整數(shù)，使得整除，則稱是的一個(gè)二次剩余，否則為二次非剩余.從1到20這20個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)整數(shù)，記事件與12互質(zhì)”，是12的二次非剩余”，則___________；___________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意，計(jì)算出1-20內(nèi)與12互質(zhì)的數(shù)，再在這些互質(zhì)數(shù)內(nèi)，計(jì)算出12的二次非剩余數(shù)即可.【詳解】在1-20內(nèi)與12互質(zhì)的數(shù)有1，5，7，11，13，17，19，所以；根據(jù)定義，對(duì)于整數(shù)的x不存在，則a是12的二次非剩余數(shù)，顯然，當(dāng)a=1時(shí)，x=11，當(dāng)a=5，7，11，13，17，19時(shí)，x不存在；；故答案為：.16.已知為平面單位向量，平面向量滿足，則的最小值為_(kāi)__________，最大值為_(kāi)__________.【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)，利用余弦定理將轉(zhuǎn)換成，再利用換元的思路轉(zhuǎn)換成，分類討論的范圍求最值即可.【詳解】設(shè)，則①.如圖由余弦定理，.將表達(dá)式齊次化，原式.當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，由圖可知，，再結(jié)合①解得，記，令，原式.當(dāng)，則原式；當(dāng)，原式；當(dāng)，原式.綜上，的最小值為，最大值為.故答案為：；.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列為等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列為常數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，平方后求出，再利用可表示出，從而可得數(shù)列的公差為，從而可表示出，然后可求出為常數(shù)，（2）由（1），，則，化簡(jiǎn)后利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)數(shù)列的公差為，則，，所以所以所以所以的公差為，因?yàn)樗?，即，所以，所以為常?shù)，所以數(shù)列為常數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1），，對(duì)也成立，因?yàn)?，，所?所以.18.設(shè)的內(nèi)心為點(diǎn)與的外接圓的另一交點(diǎn)為點(diǎn).（1）證明：；（2）若，且的三邊成等差數(shù)列，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）證明角度相等即可；（2）利用內(nèi)心的性質(zhì)及三角函數(shù)定義，三角形面積公式得到，最后根據(jù)余弦定理求出的值.【小問(wèn)1詳解】由，.【小問(wèn)2詳解】設(shè)角所對(duì)邊分別為內(nèi)切圓半徑為.則，由條件，，故.又面積，，得.若，代入上式得.由余弦定理，，符合題意；若，則由與對(duì)稱，與上面相同；若，則，則，不符合題意.綜上，的值為.19.隨機(jī)變量的概念是俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫在十九世紀(jì)中葉建立和提倡使用的.切比雪夫在數(shù)論?概率論?函數(shù)逼近論?積分學(xué)等方面均有所建樹(shù)，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設(shè)為離散型隨機(jī)變量，則，其中為任意大于0的實(shí)數(shù).切比雪夫不等式可以使人們?cè)陔S機(jī)變量的分布未知的情況下，對(duì)事件的概率作出估計(jì).（1）證明離散型切比雪夫不等式；（2）應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問(wèn)題：已知正整數(shù).在一次抽獎(jiǎng)游戲中，有個(gè)不透明的箱子依次編號(hào)為，編號(hào)為的箱子中裝有編號(hào)為的個(gè)大小?質(zhì)地均相同的小球.主持人邀請(qǐng)位嘉賓從每個(gè)箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，記從編號(hào)為的箱子中抽取的小球號(hào)碼為，并記.對(duì)任意的，是否總能保證（假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結(jié)論.附：可能用到的公式（數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)）：對(duì)于離散型隨機(jī)變量滿足，則有.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）不能保證，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】通過(guò)方差的計(jì)算公式，結(jié)合變形即可證明.結(jié)合所給公式，再變形式子來(lái)解出，再利用第（1）證明的離散型切比雪夫不等式即可得到矛盾.【小問(wèn)1詳解】設(shè)所有可能取值為取的概率為.則，【小問(wèn)2詳解】（2）由參考公式，.，用到而，故.當(dāng)時(shí)，，因此，不能保證.20.如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.（1）證明：平面；（2）若，設(shè)為棱的中點(diǎn)，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時(shí)與所成角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）6【解析】【分析】（1）先做一條輔助線，再通過(guò)面面垂直的性質(zhì)得到平面，再根據(jù)平面，可得，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明.（2）過(guò)點(diǎn)作交與點(diǎn),連接,通過(guò)題目條件和小問(wèn)1結(jié)論證明四邊形為平行四邊形，然后把多面體分為兩個(gè)三棱錐求體積，令，把求體積的最大值轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的函數(shù)的最大值.構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而得到的最大值，求出此時(shí)的值.然后以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量法求與所成角的正切值.【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)作交與點(diǎn)，平面平面，且兩平面的交線為平面又平面又且平面【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)作交與點(diǎn),連接平面平面，且兩平面的交線為平面又平面到平面的距離相等且，平面又，令則，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取