27.2.1 相似三角形的判定（第三課時）（導(dǎo)學(xué)案）九年級數(shù)學(xué)下冊同步備課系列（人教版）

學(xué)習(xí)目標1.了解“兩角分別相等的兩個三角形相似”和“如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.”判定定理的證明過程，能運用這兩個判定定理證明兩個三角形相似.2.通過對相似三角形兩個判定定理的學(xué)習(xí)，會用已知條件證明三角形相似并解決一些簡單的問題.重點難點突破★知識點1：三角形相似判定定理5：兩角分別相等的兩個三角形相似.★知識點2：直角三角形相似判定定理1：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.核心知識一、三角形相似判定定理5：兩角分別_____________的兩個三角形相似.二、直角三角形相似判定定理1：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)____________，那么這兩個直角三角形相似.復(fù)習(xí)鞏固【提問1】如何判斷兩個三角形是否相似呢？新知探究【小組討論】分別畫△ABC和△DEF，使得∠A和∠D都等于∠α，∠B和∠E都等于∠β，此時，∠C與∠F相等嗎？三邊的比ABDE【問題一】改變∠α，∠β的大小，以上結(jié)論還成立嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？【證明一】如圖，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B’，求證：△ABC∽△A'B'C'.典例分析例1已知一個三角形的兩個內(nèi)角分別是35°，65°，另一個三角形的兩個內(nèi)角分別是35°，80°，則這兩個三角形()A．一定不相似 B.不一定相似C．一定相似 D.不能確定【針對訓(xùn)練】1．如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．APAB=AB2.如圖，D是△ABC的邊AB上一點，下列條件：①∠ACD＝∠B；②AC2=AD?AB；③BCCD＝A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3.在△ABC中，D是AB上的點，且∠ACD＝∠B，1）證明：△ABC與△ACD相似.2）AD=4，AC=6，求AB.4．如圖，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的動點，若∠DCE=90°.求證：△ACD∽△BEC5．如圖，將矩形紙片ABCDAD>DC沿著過點D的直線折疊，使點A落在BC邊上，落點為F，折痕交AB邊于點E(1)求證：△EFB～△DEC；(2)若AD=10,CD=6，求EF的長；探究新知【問題二】如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中∠B=∠E=90°根據(jù)之前所學(xué)已知哪些條件我們可以證明這兩個三角形相似呢？【問題三】我們知道，兩個直角三角形全等可以用“HL”來判定.那么滿足斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似嗎？【證明】在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，ABA'B'

=ACA'C'典例分析例2在Rt△ABC和Rt△DEF中，(1)∠A=55°，∠D=35°；(2)AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；(3)AB=10，AC=8，DE=15，EF=9．能力提升1．如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么經(jīng)過秒時△QBP與△ABC相似．課堂小結(jié)1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些知識？2.簡述判定兩個三角形相似的方法？3.你知道判定兩個三角形相似的思路嗎？【參考答案】新知探究【小組討論】分別畫△ABC和△DEF，使得∠A和∠D都等于∠α，∠B和∠E都等于∠β，此時，∠C與∠F相等嗎？三邊的比ABDE,【問題一】改變∠α，∠β的大小，以上結(jié)論還成立嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？成立，△ABC∽△DEF【證明一】如圖，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B’，求證：△ABC∽△A'B'C'.證明：在△ABC的邊AB(或延長線)上截取AD=A'B'，過點D作BC的平行線，交AC于點E，則∠ADE=∠B,∠AED=∠C，AD過點D作DF∥AC，交BC于點F，則ADAB=CFCB∵DE∥BC，DF∥AC∴四邊形DFCE是平行四邊形∴DE=CF∴

AEAC=∴△ADE∽△ABC∵∠A=∠A’，∠ADE=∠B’，AD=A’B’，∴△ADE≌△A'B’C’∴△ABC∽△A'B'C'.典例分析例1已知一個三角形的兩個內(nèi)角分別是35°，65°，另一個三角形的兩個內(nèi)角分別是35°，80°，則這兩個三角形(C)A．一定不相似 B.不一定相似C．一定相似 D.不能確定【針對訓(xùn)練】1．如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是（D）A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．APAB=ABAC2.如圖，D是△ABC的邊AB上一點，下列條件：①∠ACD＝∠B；②AC2=AD?AB；③BCCD＝ABACA．1個 B．2個 C．3個 D．4個3.在△ABC中，D是AB上的點，且∠ACD＝∠B，1）證明：△ABC與△ACD相似.2）AD=4，AC=6，求AB.解：在△ABC和△ACD中∵∠A=∠A，∠ACD=∠B∴△ABC∽△ACD∴ACAB

=4．如圖，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的動點，若∠DCE=90°.求證：△ACD∽△BEC【詳解】證明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，∴∠DAC=90°=∠EBC，∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，∵∠DCE=90°，∴∠DCA+∠ECB=90°，∴∠D=∠ECB，∵∠DAC=90°=∠EBC，∴△ACD∽△BEC．5．如圖，將矩形紙片ABCDAD>DC沿著過點D的直線折疊，使點A落在BC邊上，落點為F，折痕交AB邊于點E(1)求證：△EFB～△DEC；(2)若AD=10,CD=6，求EF的長；【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，∴∠CDE+∠CED=90°根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠DEF=∠A=90°，∴∠BEF+∠CED=90°∴∠BEF=∠CED∴△EFB～△DEC（2）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得：DE=AD=10，∵CD=6，∴CE=D∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=10，∴BE=2．探究新知【問題二】如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中∠B=∠E=90°根據(jù)之前所學(xué)已知哪些條件我們可以證明這兩個三角形相似呢？情況一：∠B=∠E，∠C=∠F(或∠A=∠D)情況二：∠B=∠E，ABDE情況三：AB【問題三】我們知道，兩個直角三角形全等可以用“HL”來判定.那么滿足斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似嗎？相似【證明】在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，ABA'B'

=ACA'C'設(shè)ABA'B'

=ACA'C'=k，則AB=kA'B∴BCB'C'∴ABA'B'

∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'典例分析例2在Rt△ABC和Rt△DEF中，(1)∠A=55°，∠D=35°；(2)AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；(3)AB=10，AC=8，DE=15，EF=9．【詳解】（1）解：在Rt△ABC和Rt∠C=∠F=90°．∵∠A=55°∴∠B=90°?∠A=35°，∴∠B=∠D，∴Rt△ABC和Rt（2）解：在Rt△ABC和Rt∠C=∠F=90°．∵ACDF=96=∴Rt△ABC和Rt（3）解：在Rt△ABC和∠C=∠F=90°．在Rt△ABC中，AB=10，∴BC=1∵ABDE=1015=∴Rt△ABC和能力提升1．如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果P、Q兩動點同時運動，那么經(jīng)過0.8或2秒時△QBP與△ABC相似．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過t秒時，△QBP與△ABC相似，則AP=2tcm,BP=(8?2t)cm,BQ=4tcm,∵∠PBQ=∠ABC∴當(dāng)BPBA=BQBC時，△BPQ∽△BAC，即當(dāng)BPBC=BQ即8?2t16=4t綜上所述：經(jīng)過0.8s或2s秒時，△QBP與△ABC相似，