《第三節(jié) 相似三角形》（同步訓(xùn)練）初中數(shù)學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期-滬教版-2024-2025學(xué)年

《第三節(jié)相似三角形》同步訓(xùn)練(答案在后面)一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、在下列圖形中，若∠A=∠B，則下列結(jié)論一定成立的是：A.△ABC∽△DEFB.△ABC∽△DEF，且AC=DFC.△ABC∽△DEF，且∠C=∠FD.△ABC∽△DEF，且∠A=∠D2、已知在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，那么三角形ABC的邊長比例是：A.1：√3：2B.√3：1：2C.1：2：√3D.2：1：√33、在下列各組三角形中，若滿足兩角對(duì)應(yīng)相等的條件，則下列哪組三角形一定是相似的？A.△ABC和△DEFB.△ABC和△DEF，其中∠C.△ABC和△DEF，其中∠D.△ABC和△DEF，其中∠4、已知直角三角形ABC中，∠A=90°，A.9B.18C.9D.185、在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6cm，則AC的長度是（）A.3√3cmB.6√3cmC.2√3cmD.3cm6、已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=45°，那么三角形ABC是（）A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.鈍角三角形7、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(-1,-2)分別是兩個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)，且這兩個(gè)三角形相似。若點(diǎn)C(0,0)是兩個(gè)三角形的公共頂點(diǎn)，那么這兩個(gè)直角三角形的相似比是：A.2：1B.3：2C.1：2D.1：38、在三角形ABC中，∠A=90°，∠B=45°，點(diǎn)D是邊AC上的一點(diǎn)，使得∠CBD=45°。若AB=6cm，那么三角形BCD的面積是：A.9cm2B.12cm2C.18cm2D.36cm29、在直角三角形ABC中，∠C=90°，如果AC:BC=3:4，那么AB:BC的比值是（）A.3:5B.4:5C.5:4D.5:310、已知△ABC∽△DEF，且AB:DE=2:3，若△ABC的周長為18cm，則△DEF的周長是多少？（）A.12cmB.18cmC.24cmD.27cm二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題在△ABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，E是AC邊上的一點(diǎn)，且DE∥BC。已知AD=3cm,DB=6cm,AE=4cm。求EC的長度。第二題：在直角三角形ABC中，∠C為直角，∠A=45°，BC=8cm。點(diǎn)D是邊AB上的一個(gè)點(diǎn)，使得∠ADC=90°。若AD=12cm，求CD的長度。第三題：在直角三角形ABC中，∠C為直角，AB=6cm，AC=8cm。點(diǎn)D是斜邊AB上的一點(diǎn)，且AD=4cm。求CD的長度。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6cm。若點(diǎn)D在邊AB上，使得∠ADC=∠B，求AD和CD的長度。第二題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ADB=∠ACB。求證：三角形ABD∽三角形ABC。第三題：已知在三角形ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=90°，D為BC邊上的一點(diǎn)，使得∠ADC=∠BAC。求證：三角形ADC與三角形ABC相似。第四題：已知在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D在BC上，且∠BAC=∠DAC。求證：三角形ACD與三角形ABC相似。第五題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，點(diǎn)D在邊AC上，且∠ADC=90°。已知CD=6cm，求三角形ADC與三角形ABC的面積比。第六題：在直角三角形ABC中，∠C為直角，∠A=30°，AB=10cm。點(diǎn)D在AC上，使得△ABD與△ACD相似。求：（1）點(diǎn)D在AC上移動(dòng)時(shí)，△ABD與△ACD相似比；（2）當(dāng)△ABD與△ACD相似比為1:2時(shí)，CD的長度。第七題：已知在△ABC中，∠A=45°，∠C=90°，點(diǎn)D在邊AC上，使得∠BDC=45°。若AB=8cm，求CD的長度?！兜谌?jié)相似三角形》同步訓(xùn)練及答案解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、在下列圖形中，若∠A=∠B，則下列結(jié)論一定成立的是：A.△ABC∽△DEFB.△ABC∽△DEF，且AC=DFC.△ABC∽△DEF，且∠C=∠FD.△ABC∽△DEF，且∠A=∠D答案：C解析：根據(jù)相似三角形的判定條件，如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別相等，則這兩個(gè)三角形相似。因此，如果∠A=∠B，那么△ABC∽△DEF，但這個(gè)條件不足以確定其他邊的比例關(guān)系，因此選項(xiàng)A和B不正確。選項(xiàng)D提到∠A=∠D，但題目中只給出了∠A=∠B，沒有提到∠D，所以D也不正確。只有選項(xiàng)C正確，因?yàn)樗f明了兩個(gè)三角形相似，并且提供了第三個(gè)相等的角∠C=∠F。2、已知在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，那么三角形ABC的邊長比例是：A.1：√3：2B.√3：1：2C.1：2：√3D.2：1：√3答案：A解析：在直角三角形中，如果一個(gè)角是30°，那么它的對(duì)邊是斜邊的一半。由于∠ABC=30°，且∠BAC=90°，所以∠ACB=60°。在30°-60°-90°的特殊直角三角形中，邊長比例為1：√3：2。因此，三角形ABC的邊長比例為1：√3：2，選項(xiàng)A正確。其他選項(xiàng)的邊長比例與30°-60°-90°三角形的邊長比例不符。3、在下列各組三角形中，若滿足兩角對(duì)應(yīng)相等的條件，則下列哪組三角形一定是相似的？A.△ABC和△DEFB.△ABC和△DEF，其中∠C.△ABC和△DEF，其中∠D.△ABC和△DEF，其中∠答案：D解析：根據(jù)相似三角形的判定條件，如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相似。在選項(xiàng)D中，雖然給出了三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，但還需要滿足邊的比例關(guān)系。由于沒有給出邊長比例的信息，無法判斷其他選項(xiàng)中的三角形是否相似。因此，只有選項(xiàng)D滿足兩角對(duì)應(yīng)相等的條件，但沒有給出邊長比例，所以不能確定是否相似。但由于題目要求找出“一定是相似”的三角形，根據(jù)已知條件，選項(xiàng)D是最符合題意的。4、已知直角三角形ABC中，∠A=90°，A.9B.18C.9D.18答案：C解析：在直角三角形中，如果一個(gè)角是30°，那么它的對(duì)邊是斜邊的一半。因此，AB=2×AC=2×6=12。三角形ABC的面積可以通過公式S=15、在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6cm，則AC的長度是（）A.3√3cmB.6√3cmC.2√3cmD.3cm答案：C解析：在直角三角形中，如果其中一個(gè)角是30°，那么它對(duì)邊是斜邊的一半。因此，AC是斜邊AB的一半，而BC是斜邊AB的一半，所以AC的長度是BC的長度，即AC=BC=6cm。但是，我們需要求的是AC的長度，而不是BC的長度。由于∠A=30°，我們知道在30°-60°-90°的直角三角形中，對(duì)30°角的邊是斜邊的一半，所以AC=BC/2=6cm/2=3cm。所以正確答案是D.3cm。6、已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=45°，那么三角形ABC是（）A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.鈍角三角形答案：B解析：在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。在本題中，∠A和∠B都是45°，所以三角形ABC有兩個(gè)相等的角，因此它是一個(gè)等腰三角形。但是，由于三角形ABC有兩個(gè)45°的角，加上它們之間的直角（90°），我們可以確定這是一個(gè)45°-45°-90°的特殊直角三角形，其中兩個(gè)腰相等，所以它實(shí)際上是一個(gè)等邊三角形。正確答案是B.等邊三角形。7、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(-1,-2)分別是兩個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)，且這兩個(gè)三角形相似。若點(diǎn)C(0,0)是兩個(gè)三角形的公共頂點(diǎn)，那么這兩個(gè)直角三角形的相似比是：A.2：1B.3：2C.1：2D.1：3答案：C解析：由于點(diǎn)C是公共頂點(diǎn)，我們可以通過比較點(diǎn)A和點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離來找出相似比。點(diǎn)A和點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離分別是：AC=√[(2-0)2+(3-0)2]=√[4+9]=√13BC=√[(-1-0)2+(-2-0)2]=√[1+4]=√5相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，因此相似比是AC：BC，即√13：√5。為了簡化比例，我們可以將兩個(gè)根號(hào)內(nèi)的數(shù)相除：√13/√5=√(13/5)=√(2.6)≈1.61由于1.61接近于1.6，我們可以通過觀察得出√13/√5約等于1.6，而√5約等于2.2，所以比例接近于1：2。因此，正確答案是C。8、在三角形ABC中，∠A=90°，∠B=45°，點(diǎn)D是邊AC上的一點(diǎn)，使得∠CBD=45°。若AB=6cm，那么三角形BCD的面積是：A.9cm2B.12cm2C.18cm2D.36cm2答案：B解析：由于∠A=90°且∠B=45°，三角形ABC是一個(gè)等腰直角三角形，因此AB=BC=6cm。因?yàn)椤螩BD=45°，所以三角形BCD也是一個(gè)等腰直角三角形。在等腰直角三角形中，兩條直角邊相等，所以CD=BC=6cm。三角形BCD的面積可以通過以下公式計(jì)算：面積=(底×高)/2面積=(CD×BC)/2面積=(6cm×6cm)/2面積=36cm2/2面積=18cm2但是，這里我們計(jì)算的是三角形ABC的一半，因?yàn)椤螧和∠CBD都是45°，所以三角形BCD實(shí)際上是三角形ABC的一半面積。因此，三角形BCD的實(shí)際面積是：面積=18cm2/2面積=9cm2所以正確答案是A.9cm2。注意，這里提供的答案選項(xiàng)中沒有A，可能是出題時(shí)的錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)為A。9、在直角三角形ABC中，∠C=90°，如果AC:BC=3:4，那么AB:BC的比值是（）A.3:5B.4:5C.5:4D.5:3答案：C)5:4解析：根據(jù)題意，我們知道這是一個(gè)直角三角形，其中∠C是直角。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理，我們可以得知，對(duì)于直角三角形而言，兩個(gè)直角邊的比例可以用來確定斜邊與任意一條直角邊的比例。給定比例AC:BC=3:4，我們可以設(shè)AC=3k,BC=4k(k為正實(shí)數(shù))。根據(jù)勾股定理，我們有AB2=AC2+10、已知△ABC∽△DEF，且AB:DE=2:3，若△ABC的周長為18cm，則△DEF的周長是多少？（）A.12cmB.18cmC.24cmD.27cm答案：D)27cm解析：因?yàn)椤鰽BC和△DEF是相似三角形，它們對(duì)應(yīng)邊的比例相等，即AB:DE=BC:EF=AC:DF=2:3。相似三角形的周長之比等于其對(duì)應(yīng)邊長之比。既然△ABC的周長是18cm，而相似比是2:3，那么△DEF的周長將是△ABC周長的32倍。計(jì)算得出18二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題在△ABC中，D是AB邊上的一點(diǎn)，E是AC邊上的一點(diǎn)，且DE∥BC。已知AD=3cm,DB=6cm,AE=4cm。求EC的長度。答案：EC=8cm解析：根據(jù)題目條件，我們有DE平行于BC，這意味著△ADE與△ABC是相似三角形（依據(jù)平行線截比例定理）。因此，對(duì)應(yīng)邊的比例相等。由題意得：AD:DB=3:6=1:2因?yàn)镈E∥BC，所以AE:EC=AD:DB=1:2已知AE=4cm，設(shè)EC=xcm，則有：解這個(gè)方程找到x的值：故EC的長度為8cm。這表明當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的邊長成比例，通過利用這種比例關(guān)系，我們可以輕松解決這類問題。第二題：在直角三角形ABC中，∠C為直角，∠A=45°，BC=8cm。點(diǎn)D是邊AB上的一個(gè)點(diǎn)，使得∠ADC=90°。若AD=12cm，求CD的長度。答案：CD=4√2cm解析：由于∠A=45°，在直角三角形ABC中，∠A和∠B都是45°，因此三角形ABC是一個(gè)等腰直角三角形。在等腰直角三角形中，斜邊長度是直角邊長度的√2倍。已知BC=8cm，因?yàn)锳BC是等腰直角三角形，所以AB=BC=8cm。由于∠ADC=90°，所以三角形ADC也是一個(gè)直角三角形，并且∠DAC=45°（因?yàn)椤螦和∠DAC都是45°）。在直角三角形ADC中，由于∠DAC=45°，它也是一個(gè)等腰直角三角形，所以AD=DC。已知AD=12cm，因此CD也等于12cm。但是，我們需要求的是CD的長度，而題目中給出的信息是BC的長度，并且AB=BC。由于AB是斜邊，我們可以使用勾股定理來求CD的長度。在直角三角形ABC中，我們有：AB^2=AC^2+BC^2由于AB=BC=8cm，所以：8^2=AC^2+8^264=AC^2+64AC^2=64-64AC^2=0這顯然是不可能的，因?yàn)锳C不可能為0。這里出現(xiàn)了一個(gè)錯(cuò)誤，因?yàn)槲覀儧]有正確地使用相似三角形的性質(zhì)。正確的方法是使用相似三角形的性質(zhì)。因?yàn)椤螦=45°，所以三角形ADC和三角形ABC是相似的（它們都是45°-45°-90°的特殊直角三角形）。在相似三角形中，對(duì)應(yīng)邊的比例相等。因此，我們有：AD/AB=CD/BC代入已知的數(shù)值：12/8=CD/8簡化得：CD=12所以，CD的長度是12cm。但是，我們需要注意到這里的結(jié)果與題目中的條件矛盾，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)了AD和CD是相等的，但實(shí)際上它們不是。因此，我們需要重新審視題目。實(shí)際上，我們應(yīng)該使用以下關(guān)系：在相似三角形ADC和ABC中，我們有：AD/AB=CD/BC代入已知的數(shù)值：12/8=CD/8簡化得：CD=12/8CD=3/2但是，我們之前已經(jīng)知道在等腰直角三角形ADC中，AD=DC，所以CD的長度應(yīng)該是12cm。這里出現(xiàn)了另一個(gè)錯(cuò)誤，因?yàn)槲覀儧]有正確地考慮到題目中給出的信息AD=12cm。最終，正確答案是CD=12cm。解析修正：由于∠A=45°，在直角三角形ADC中，∠ADC=90°，所以三角形ADC是45°-45°-90°的特殊直角三角形，其兩條直角邊相等。已知AD=12cm，因此CD也等于12cm。所以，CD的長度是12cm。第三題：在直角三角形ABC中，∠C為直角，AB=6cm，AC=8cm。點(diǎn)D是斜邊AB上的一點(diǎn)，且AD=4cm。求CD的長度。答案：CD的長度為5cm。解析：由題意知，三角形ABC是直角三角形，且AB=6cm，AC=8cm。根據(jù)勾股定理，可得BC的長度：BC=√(AB2-AC2)=√(62-82)=√(36-64)=√(-28)由于BC的長度不能為負(fù)數(shù)，說明我們的計(jì)算有誤。實(shí)際上，應(yīng)該是：BC=√(AB2+AC2)=√(62+82)=√(36+64)=√100=10cm現(xiàn)在我們知道了BC的長度是10cm。由于點(diǎn)D在斜邊AB上，AD=4cm，那么BD的長度就是AB減去AD：BD=AB-AD=6cm-4cm=2cm在直角三角形ABC和直角三角形ACD中，∠ACD=∠BAC（都是直角），∠CAD=∠CAB（對(duì)應(yīng)角相等），因此三角形ABC和三角形ACD是相似三角形。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比例相等，即：AD/AC=CD/BC將已知值代入，得：4cm/8cm=CD/10cm解這個(gè)比例關(guān)系，得到CD的長度：CD=(4cm/8cm)*10cm=0.5*10cm=5cm所以，CD的長度是5cm。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6cm。若點(diǎn)D在邊AB上，使得∠ADC=∠B，求AD和CD的長度。答案：AD=4cmCD=2cm解析：由題意知，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6cm。因此，在直角三角形ABC中，根據(jù)30°角的性質(zhì)，BC=AC×√3=6√3cm。又因?yàn)椤螧=30°，所以AB=2BC=12√3cm。在△ADC中，∠ADC=∠B=30°，所以△ADC是一個(gè)30°-60°-90°的特殊直角三角形。在這種特殊直角三角形中，較短的直角邊（AC對(duì)應(yīng)）等于斜邊（AB對(duì)應(yīng)）的一半，而較長的直角邊（CD對(duì)應(yīng)）等于斜邊的一半乘以√3。因此，AD=AB/2=12√3/2=6√3cm。CD=AD×√3=6√3×√3=18cm。但是，由于點(diǎn)D在邊AB上，所以CD的實(shí)際長度應(yīng)為AB-AD=12√3-6√3=6√3cm。這里我們發(fā)現(xiàn)解析中的錯(cuò)誤，正確答案應(yīng)為：AD=4cm（因?yàn)锳B=12cm，AD是AB的一半）CD=2cm（因?yàn)锳D是CD的兩倍）所以，AD的長度為4cm，CD的長度為2cm。第二題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ADB=∠ACB。求證：三角形ABD∽三角形ABC。答案：證明：已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ADB=∠ACB。因?yàn)椤螦DB=∠ACB，所以∠ADB=∠ACB=90°-∠B。由于∠C=90°，所以∠B=90°-∠C。因此，∠ADB=90°-∠B=90°-(90°-∠C)=∠C。所以，∠ADB=∠C。在三角形ABD和三角形ABC中，有：∠ADB=∠C（已證明）∠BAD=∠BAC（公共角）根據(jù)AA相似準(zhǔn)則，三角形ABD∽三角形ABC。解析：本題考查了相似三角形的判定。通過證明∠ADB=∠C，利用AA相似準(zhǔn)則，得出三角形ABD∽三角形ABC。解題關(guān)鍵是理解直角三角形中角的關(guān)系，并正確運(yùn)用相似三角形的判定方法。第三題：已知在三角形ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=90°，D為BC邊上的一點(diǎn)，使得∠ADC=∠BAC。求證：三角形ADC與三角形ABC相似。答案：證明：（1）由題意可知，∠ABC=45°，∠ACB=90°，因此三角形ABC是一個(gè)等腰直角三角形，AB=AC。（2）因?yàn)椤螦DC=∠BAC，所以三角形ADC與三角形ABC有兩組角對(duì)應(yīng)相等。（3）由（1）和（2）可知，三角形ADC與三角形ABC有兩個(gè)角分別相等。（4）根據(jù)相似三角形的判定條件：如果兩個(gè)三角形的兩組角分別相等，則這兩個(gè)三角形相似。（5）因此，三角形ADC與三角形ABC相似。解析：本題主要考查相似三角形的判定方法。通過證明兩組角相等，運(yùn)用相似三角形的判定條件得出結(jié)論。解題的關(guān)鍵是正確理解題目所給條件，并能夠熟練運(yùn)用相似三角形的判定方法。第四題：已知在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D在BC上，且∠BAC=∠DAC。求證：三角形ACD與三角形ABC相似。答案：證明：因?yàn)椤螦BC=90°，∠BAC=∠DAC，所以∠BAC=∠ACD（直角三角形兩銳角互余）。又因?yàn)椤螦BC=∠ACD，所以三角形ACD與三角形ABC有兩組角分別相等。根據(jù)相似三角形的判定條件，兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。因此，三角形ACD與三角形ABC相似。解析：本題考查了相似三角形的判定方法。首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，知道直角三角形兩銳角互余，即兩個(gè)銳角的和為90°。由題意可知，∠BAC=∠DAC，所以∠BAC=∠ACD。接著，根據(jù)題目條件∠ABC=∠ACD，可以得出三角形ACD與三角形ABC有兩組角分別相等。根據(jù)相似三角形的判定條件，兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，從而證明三角形ACD與三角形ABC相似。第五題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，點(diǎn)D在邊AC上，且∠ADC=90°。已知CD=6cm，求三角形ADC與三角形ABC的面積比。答案：三角形ADC與三角形ABC的面積比為1:2。解析：由于∠BAC=30°，在直角三角形ABC中，根據(jù)30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半，可得AB=2CD=26cm=12cm。三角形ABC的面積S_ABC可以通過底和高來計(jì)算，底為AB，高為AC，由于AC是斜邊，所以三角形ABC的高即為CD，因此：S_ABC=(底*高)/2=(AB*CD)/2=(12cm*6cm)/2=36cm2。同理，三角形ADC的面積S_ADC為：S_ADC=(底*高)/2=(CD*AD)/2。由于∠ADC=90°，三角形ADC是直角三角形，根據(jù)勾股定理，有AD2=AC2-CD2。由于AC是斜邊，AC的長度為12cm，CD的長度為6cm，所以：AD2=12cm2-6cm2=36cm2-6cm2=30cm2。因此，AD=√30cm。將AD的值代入三角形ADC的面積公式中，得到：S_ADC=(CD*AD)/2=(6cm*√30cm)/2=3√30cm2。所以三角形ADC與三角形ABC的面積比為：S_ADC:S_ABC=