同濟高等數(shù)學第六章第二節(jié)教案

§6.2定積分在幾何學上的應用一、平面圖形的面積二、體積三、平面曲線的弧長結束首頁返回下頁上頁鈴1.直角坐標情形設平面圖形由上下兩條曲線yf?(x)

與yfī(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成.在點x處面積增量的近似值為[f:(x)

f(x)]dx,它也就是面積元素.因此平面圖形的面積為Ayy=f±(x)a

x+dxO

X

b

xy=fr(x)首頁

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鈴一、平面圖形的面積討論:由左右兩條曲線xj左(y)與xjé及上下兩條直線yd與yc所圍成的平圖形的面積如何表示為定積分?提示:首頁

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鈴面積元素為[j(y)面積為j

左(y)]dy,Ayy=ft(x)y

=fr(x)x+dxb

xOXa例1計算拋物線y2x與yx2所圍成的圖形的面積.解(1)畫圖；(2)確定在x軸上的投影區(qū)間:[0,1];首頁(4)計算積分結束返回下頁上頁鈴(2)確定在y軸上的投影區(qū)間:[-2,4].(3)確定左右曲線:Ay(4)計算積分y2=2xO-2(-2,2)首頁上頁返回下頁結束例2

計算拋物線y2

2x與直線y

x

4所圍成的圖形的面積解

(1)畫圖；(4,8)V=x-4X鈴例3

一

解橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍.橢圓在第一象限部分的面積元素為ydx,于是

因為橢圓的參數(shù)方程為x

acost,y

bsint,所以首頁

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結束鈴2.極坐標情形·曲邊扇形曲邊扇形是由曲線·曲邊扇形的面積元素·曲邊扇形的面積首頁

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鈴()及射線

所圍例4計算阿基米德螺線a(a>0)上相應于的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.解

O例5

計算心形線圍成的圖形的面積.解從0變到22πaX結束曲邊扇形的面積:a(1

COS

(a>(首頁鈴下頁返回p=ad上頁二

、體積1.旋轉體的體積旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體.這直線叫做旋轉軸.下頁結束

鈴首頁返回上頁二、體積1.旋轉體的體積旋轉體都可以看作是由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、a及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體.·旋轉體的體積元素考慮旋轉體內點x處垂直于x軸的厚度為dx的切片,用圓柱體的體積[f(x)]2dx作為切片體積的近似值,于是體積元素為dV

[f(x)]2dx.·旋轉體的體積首頁

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下頁結束鈴旋轉體的體積:例6連接坐標原點0及點P(h,r)的直線、直線xh及x軸圍成一個直角三角形.將它繞x軸旋轉構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體.計算這圓錐體的體積.解首頁上頁

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鈴旋轉體的體積:例7計算由橢圓1所成的圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體(旋轉橢球體)的體積.解

P

軸圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體.旋轉橢球體的體積為首頁

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結束鈴例8計算由擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱,所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積.解所給圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為首頁

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鈴例8計算由擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱,呈所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積.解設曲線左半邊為x=x?(y),右半邊為x=x?(y).所給圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積為首頁

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鈴6

3

a32.平行截面面積為已知的立體的體積設立體在x

軸上的投影區(qū)間為[a,b],立體內垂直于x軸的截面面積為A(x).立體的體積元素為A(x)dx.立體的體積為首頁上頁

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鈴截面面積為A(x)的立體體積:例9一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角.計算這平面截圓柱所得立體的體積.解建立坐標系如圖，則底圓的方程為x2y2R2.立體中過點x且垂直于x軸的截面為直角三角形，其面積為首頁上頁

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鈴所求立體的體積為三、平面曲線的弧長·直角坐標情形設曲線弧由直角坐標方程yf(x)(axb)給出,其中f(x)在區(qū)間[a,b]上具有一階連續(xù)導數(shù).現(xiàn)在來計算這曲線弧的長度.在曲率一節(jié)中,我們已經(jīng)知道弧微分的表達式為這也就是弧長元素.因此,曲線弧的長度為首頁上頁

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鈴曲線yf(x)(axb)的弧長例11一長度.解因此,所求弧長為首頁

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鈴曲線yf(x)(a

x

b)的弧

長·參數(shù)方程情形設曲線弧由參數(shù)方程x

(t)、y

(t)(

t

)給上(t)

在[

,

]上具有連續(xù)導數(shù).首頁

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鈴于是曲線弧的長為曲線yf(x)(axb)的弧長:曲線x(t)、y(t)(t)的弧者例13求擺線xa(qsing),ya(1cosq)的一拱(0長度.解弧長元素為首頁

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結束鈴O

2πa

xx=a(O-sinO)

y=a(1-cosθ)于是所求弧長為Ay2a曲線yf(x)(axb)的弧長:曲線x(t)、y(t)(t)的弧·極坐標情形設曲線弧由極坐標方程()()給出，其![,]上具有連續(xù)導數(shù).因為x(q)cosq,y(q)sing(所以弧長元素為返回

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鈴首頁曲線弧的長為上頁曲線yf(x)(axb)的弧長:曲線x(t)、y(t)(t)的弧曲線()()的弧長弧長.解

弧長元素為于是所求弧長為例14

求阿基米德螺線a

(a>0)相應于

從0到2首頁

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鈴內容小結1.平面圖形的面積直角坐標方程邊界方程弧微分:ds=√(dx)2+(dy)2直角坐標方程曲線方程參數(shù)方程方程極坐標方程2.平面曲線的弧長極坐標方程

d0首頁

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